Skripta do matematiky k maturitě 1 30

Skripta do matematiky k maturitě 1 30 IgMen igmen.wz.cz 008

Obsah 1 Výroková logika...4 1.1 Základní logické spojky...4 1. Kvantifikované výroky...5 Množiny operace, intervaly...6.1 Absolutní hodnota reálného čísla...7. Intervaly...8 3 Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce...9 3.1 Mnohočleny...9 3. Algebraické rovnice...11 4 Lomené výrazy...13 5 Mocniny a odmocniny...15 5.1 Mocniny...15 5. Odmocniny...15 6 Lineární funkce, lineární rovnice...17 6.1 Lineární funkce...17 6. Lineární rovnice...19 7 Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou...0 7.1 Lineární rovnice s parametrem...0 7. Lineární rovnice s absolutní hodnotou...1 8 Soustava lineárních rovnic... 8.1 rovnice o neznámých... 8. Frobeniova věta...3 8.3 Cramerova metoda...5 8.4 3 rovnice o 3 neznámých...6 9 Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé...8 9.1 Lineární nerovnice...8 9. Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé...31 10 Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant...3 10.1 Typy matic...3 10. Operace s maticemi...33 10.3 Hodnost matice...34 10.4 Determinanty...35 11 Kvadratické funkce...37 1 Kvadratická rovnice metody řešení...39 1.1 Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou...4 13 Kvadratické nerovnice...43 13.1 Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou...44 14 Iracionální rovnice...45 15 Shodná zobrazení konstrukční úlohy...48 15.1 Shodnost trojúhelníku...50 16 Podobná zobrazení konstrukční úlohy...51 16.1 Podobnost trojúhelníku...51 16. Stejnolehlost...5 17 Pythagorova a Eukleidovy věty konstrukční úlohy...53 17.1 Eukleidova věta o výšce...53 17. Eukleidova věta o odvěsně...54 17.3 Pythagorova věta...55 18 Obvody a obsahy rovinných obrazců...56 19 Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru...60 19.1 Stereometrie...60

19. Polohové vztahy...61 19.3 Řezy...65 19.4 Průsečnice rovin...67 19.5 Metrické vztahy...67 0 Povrchy a objemy těles...69 1 Goniometrické funkce...71 1.1 Orientovaný úhel...71 1. Definice goniometrických funkcí...7 1.3 Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů pomocí úhlu ostrého...73 1.4 Určení goniometrických funkcí libovolného orientovaného úhlu...74 1.5 Grafy goniometrických funkcí...75 1.6 Vlastnosti goniometrických funkcí...76 1.7 Harmonická funkce...77 Řešení pravoúhlého trojúhelníku...78 3 Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců...79 4 Goniometrické rovnice...8 5 Řešení obecného trojúhelníku...87 5.1 Sinova věta...87 5. Kosinova věta...88 6 Komplexní číslo pojem, algebraický tvar, operace...90 6.1 Algebraický tvar komplexního čísla...90 6. Geometrický model komplexních čísel...91 6.3 Absolutní hodnota komplexního čísla...9 6.4 Zobrazování komplexních čísel v Gaussově rovině...93 7 Komplexní číslo goniometrický a exponenciální tvar, operace...95 7.1 Goniometrický tvar komplexního čísla...95 7. Exponenciální tvar komplexního čísla...96 8 Moivreova věta, binomické rovnice...98 8.1 Moivreova věta...98 8. Binomické rovnice...98 9 Lineární lomená funkce...100 9.1 Lineární lomená funkce...100 9. Nepřímá úměrnost...103 30 Mocninné funkce...105

1 Výroková logika Výrok: Sdělení, o kterém má smysl říct, zda je či není pravdivé. Hypotéza: Výrok, u něhož jsme v daném okamžiku neurčili jednoznačně pravdivost. (Domněnka) pravdivý výrok 1 nepravdivý výrok 0 1.1 Základní logické spojky negace (není pravda, že ) konjunkce ( a a současně a zároveň ) disjunkce ( nebo ) implikace (jestliže pak když pak je-li pak ) ekvivalence ( právě když právě tehdy ) A: Dnes prší. B: Venku je bláto. A Není pravda, že dnes prší. A Dnes neprší. B Není pravda, že je venku bláto. B Venku není bláto. A B Dnes prší a venku je bláto. A B Dnes prší nebo je venku bláto. A B Jestliže prší pak je venku bláto. A B Venku je bláto právě když prší. Jednoduchý výrok: Složený výrok: Výroková formule: Tautologie: Kontradikce: p ; q p; p q ; p q; p q ; p q; p q p q Vzniká kombinací více logických operací (případně výroků). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí:,,,, ; pokud není jejich nadřazenost změněna závorkou. Výroková formule, která je vždy pravdivá. Výroková formule, která je vždy nepravdivá. Tabulka pravdivostních hodnot a výrokových formulí základních složených výroků: p q p q p q p q p q p q 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 4 / 106 IgMen

A B B A A B A B A B B A A B B A 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 A B B A A B A B A B B A A B B A 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 C A B C A B C A B C A B C C A B C 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1. Kvantifikované výroky obecný (univerzální) kvantifikátor existenční kvantifikátor / neexistenční kvantifikátor druhá mocnina každého reálného čísla je kladná x R : x 0 existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice: x 9=0 x N : x 9=0 x N : x=k x =l pro všechna přirozená čísla platí, že jestliže je dané číslo sudé, je jeho druhá mocnina sudá 5 / 106 IgMen

Množiny operace, intervaly Zápis množin: A, B, C množiny Množina je souhrn prvků, které chápeme jako celek. 1. výčet prvků: A={1; ; 3}. interval: B=< 3; 5) 3. charakteristická vlastnost: A={x N ; x 3} B={x N ; 3 x 5} C={x N ; x 1 4} Operace s množinami: doplněk A ' rovnost A= B podmnožina (inkluze) A B sjednocení A B průnik A B rozdíl A B ; B A 6 / 106 IgMen

Číselné množiny: N...přirozená čísla N ={1; ;3; K } N 0...nezáporná přirozená čísla N 0 ={0 ;1 ; ;3; K } Z...celá čísla Z ={K 3 ; ; 1 ; 0 ;1; ; 3 ; K } Q...racionální čísla Q={K ; 1,5; 1; 0,75; 0,3; 0;0,3;0,75;1 ;1,5 ;; K } R...reálná čísla R={ ; } C...komplexní čísla C={ 1} Platí: N N 0 Z Q R C.1 Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotou reálného čísla rozumíme číslo a, které má tyto vlastnosti: a 0 a =a a 0 a = a 3 8 =3 8 0,5 =0,5 Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla od počátku číselné osy. 7 / 106 IgMen

. Intervaly Množina reálných čísel, kterou můžeme znázornit na číselné ose úsečkou, nazýváme omezený interval. Ty množiny, které lze znázornit polopřímkou nebo přímkou nazýváme neomezené intervaly. Omezené intervaly se dělí na: 1. uzavřený. otevřený 3. polouzavřený Omezené intervaly: množina znázornění na ose zápis intervalu název intervalu x R ;a x b a ;b uzavřený interval a ;b x R ;a x b ( a ;b> polouzavřený interval a ;b x R ;a x b < a ;b) polouzavřený interval a ;b x R ;a x b a ;b otevřený interval a ;b x R ; x a a < a ; ) zleva uzavřený interval a ; x R ; x a a a ; zleva otevřený interval a ; x R ; x a a ( ; a > zprava uzavřený interval ;a x R ; x a a ;a zprava otevřený interval ;a A={x R ; x 3 5} B= 7 ;0 A B=( 7 ; > A B= ;0 < 8 ; ) A B=( ; 7 > <8; ) B A= ;0 8 / 106 IgMen

3 Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce Výraz obecně: množinový AI B YC číselný 1 ;; ; 3 výraz s proměnnou 5y 3 ; x lomený výraz 5 x ; a b a b Legenda: 1; ;3;5;...konstanty a ;b...proměnné A ; B ;C...množiny U lomených výrazů a výrazů s odmocninou je nutné udat podmínky pro proměnnou, aby měl výraz smysl. a 6 Např.: c 0 c 3.1 Mnohočleny Mnohočlen obecně: a m x m a m 1 x m 1 a m x m K a 1 x a 0 Např.: x 3x ;3x 5 64x ;5x 6 1 3 x Sčítání a odčítání mnohočlenů: Sčítat a odčítat se mohou pouze mnohočleny se stejnou proměnnou a stejnou mocninou dané proměnné. x 3 3x 4x 1 x 4 3x 3 5x =x 4 x 3 8x 4x 3 x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1 = x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1= = x 5 7x 4 5x 3 7x 5x 4 a b c [ b 3c ]=a b c [ b 3c]=a b c b 3c=a b 4c 9 / 106 IgMen

Násobení mnohočlenů: 3 4 x 1 6 xy 5 3 4xy = 18x 3 y 4x y 3 40xy 3xy x 3y 4x xy =1x y 1xy 3x y 3 x y 3xy Dělení mnohočlenů jednočlenem: Čísla se dělí, exponenty odčítají. 18a 4 7a 3 9a 90a =a 3 3a a 10 9a podmínka: a 0 Dělení mnohočlenů mnohočlenem: 10 / 106 IgMen

3. Algebraické rovnice Součtové vzorce: A B =A AB B A B =A AB B A B C = A B C AB BC CA A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B = A B A B A 3 B 3 = A B A AB B A 3 B 3 = A B A AB B x y =x 4xy 4y x 3y 3 =8x 3 36x y 54xy 7y 3 0,001 0,01 x 0,048 x 0,064 x 3 = 0,1 0,4 x 3 Vietovy vzorce: x px q= x x 1 x x x 1 x =q x 1 x = p x 8x 1= x x 6 x 1 x = 6=1 x 1 x = 6=8 x 1 =; x =6 11 / 106 IgMen

Rozklad výrazu v součin: 1. vytýkání. pomocí vzorců 3. rozkladem kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců 18a 45a 63a 3 =9a 5a 7a x 1 9 = x 1 3 x 1 3 m 6 m 4 m 3 m =m 4 m 1 m m 1 =m 4 m 1 m 1 m m 1 = =m m 1 [m m 1 ]=m m 1 m 3 m x 8x 1= x x 6 x 1 x =1=6 x 1 x =8=6 x 1 =; x =6 1 / 106 IgMen

4 Lomené výrazy Rozšiřování lomených výrazů: Lomený výraz se rozšiřuje tak, že se čitatel i jmenovatel násobí stejným výrazem. a r Rozšíření výrazu výrazem r: ;b 0; r 0 b r Rozšiř výraz x výrazem a x. b x a x b a x =ax x ab ax ;ax bx Krácení lomených výrazů: Lomený výraz se krátí tak, že se čitatel i jmenovatel vydělí stejným výrazem. a :r Krácení výrazu výrazem r: ;b 0 ;r 0 b :r a 5 b 3 a3 a 5= b b ;b 0 a b a 4ab b = a b a b a b = a b = a b a ab b a b a b ;a b 18a 30 1a 0a = 6 3a 5 4a 3a 5 = 6 4a = 3 a ;a 0 3x 3xy 3x x y = x y x y x y = 3x x y ; x y Základní tvar zlomku: Je to takový tvar zlomku, který nelze dále krátit. 13 / 106 IgMen

Sčítání a odčítání lomených výrazů: 1 3 = 1 3 3 = 3 4 6 = 7 6 =1 1 6 3x y x y y y x x y y y 1 x y = 1 3x = x y 1 x y x ± y 3x y y x y x y = x y x y a 1 a a a a 4 a 1 a a = a 1 a a a a a a 1 a a = = a a 1 a a a a a a a 1 a a = a a a = a a a 4 a 3 4a a 1 a a a 4 = a a 4 = a a a a a a a = a a a 4 a a 4 = a 4 a ± a 0 Násobení lomených výrazů: Lomené výrazy se násobí tak, že se vynásobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. x 1 x 1 y = x 1 x 1 y x 1 = x 1 y y 3 5x 5y 3x y x y 5 x y x y x y = = 5 y x y =5 x x y 3x y x y 3x y 3x y 14 / 106 IgMen

5 Mocniny a odmocniny 5.1 Mocniny a n =a cod a a a n krát a 0 =1 a n = 1 a n r a = r s a r s =a r s a b r =a r b r a b r= ar b r a r a s =a r s a r a s =ar s 5. Odmocniny n a n b= n a b n a=b b n =a n a n b = n a b m a= n m n a n a s = n a s n a= n p a p k n a k m = n a m 15 / 106 IgMen

1 = 1 3 4 1= 3 1 4 = 4 1 3 3 4 = 4 3 1 = = 4 3 = 16 9 3 = 8 4 4 = 3 8 = 4 3 3 3 3 = 9 3 3 3 =7 3 a b 3 3 c d 1 c4 d 1 a 3 b = a b 3 c d 3 c8 d a 6 b 4 = b3 d 3 a c a6 c 8 b 4 d = d c 6 1 a4 b a 3 b 4 a b 3 = a3 a b 4 b 3 = a5 b 7 =a5 b 7 = a4 c 6 d b 14 n 1 35 n 3 4 3n 4 70 1 n = 7 n 1 5 7 n 3 3 7 3n 4 5 7 1 n = = n 7 n 7 5 n 7 n 5 3 7 3 3n 3 3n 7 3n 4 3 4 7 4 5 7 n 5 n 7 n = = 3n 3 3n 5 n 7 5n 3 4 5 4 7= 3n 3 3n 4 5 n 4 7 5n 1 1 3 a a a 5= a 3 a 3 1 3 5 15 1 a = a 3 15 a 3 10 a 3 5 = a 1 3 5 5 a a 3 10 = a 4 5 a 3 10 8 3 =a 5 1 10 =a 10 =a = a [ a 3 b 1 3] 1 [ a 3 b 1 ] 1 3 = a3 b 1 6 a 3 b 1 6 = a 3 1 6 6 b 3 a 6 b 6 = b 1 6 b 6 1 =b 6 b 3 6 =b 6 =b = b x y a 1 u v a 1 x y a u v a 1 x y a 1 u v = x y a x y u v a u v x y a x y u v a u v 1 x y a x y u v = = x y a x y x y a x y = x y a x y x y a x y x y a x y x y a x y a x y x y =x y 5 b 1 5 b = 1 5 b 5 b = 5 b b 1 16 / 106 IgMen

6 Lineární funkce, lineární rovnice 6.1 Lineární funkce y= f x...y je funkcí x Funkce f definovaná na množině M R je pravidlo, které každému prvku x z množiny M přiřadí právě jedno y. Lineární funkce funkce y=ax b (a směrnice, b úsek), kde a a b jsou reálná čísla, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka nebo její část (úsečka, polopřímka). Graf funkce grafem funkce y= f x rozumíme množinu všech bodů [ x; y ] v rovině. Vlastnosti funkce: definiční obor... obor hodnot... sudost... lichost... rostoucí... klesající... prostá... omezenost zdola a shora minimum a maximum D f...množina všech x H f...množina všech y je to množina všech y, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru f x = f x...graf funkce je souměrný podle osy y f x = f x...graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x...jakýmkoli dvěma x nenáleží totéž y 17 / 106 IgMen

Zvláštní případy lineární funkce: a=0 ;b=0 y=0...grafem je osa x a=0 ;b 0 y=b...grafem je rovnoběžka s osou x konstantní funkce (b úsek na ose y) a 0 ;b=0 y=ax...grafem je přímka procházející počátkem přímá úměrnost (a směrnice přímky) směrnice y=3x ; D f = 1 ; H f = 5 ; 4 ani sudá, ani lichá rostoucí prostá 5 4 3 1 0-1,5-1 -0,5-1 0 0,5 1 1,5,5 - -3-4 -5-6 y= 0,5 x lichá klesající prostá 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 - -1,5-1 -0,5-0, 0 0,5 1 1,5-0,4-0,6-0,8-1 18 / 106 IgMen

6. Lineární rovnice Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme rovnici ve tvaru ax=b, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá. Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem Řešení lineárních rovnic: x=1 ; x= 1 rovnice má jediné řešení =; 0=0 rovnice má nekonečně mnoho řešení 3= 1 ; =4 rovnice nemá řešení 3x 1 5 = 1 10 10 3x 1 5 10 = 10 10 3x 1 =1 6x =1 6x=1 6x=3 x= 3 6 x= 1 =0,5 4x 5 =x 1 x 4x 5=x 1 x 4x 5=x x 4x 5=4x 4x 4x=5 0=3 rovnice nemá řešení x 3 =8 1 x 5 x 4x 6=8 8x 5x 10 4x 6=18 13x 4x 13x=18 6 17x=1 x= 1 17 3x 1 1 x x 1 =3 0 5 4 4 3x 1 10 1 x =60 5 x 1 1x 4 10 10x=60 5x 5 x 14=65 5x x 5x=65 14 7x=79 x= 79 7 3x 1 3x x 3 6 =x 1 6 3x 1 3x 3x=6x 6 6x 3x 3x=6x 6 6x=6x 6 6x 6x= 6 0= 6 rovnice nemá řešení 19 / 106 IgMen

7 Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou 7.1 Lineární rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahuje kromě neznámých další proměnné, kterým se říká parametry. Je to zápis množiny všech rovnic, které lze získat dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. Při řešení lineární rovnice s parametrem se rovnice postupně upravuje v závislosti na hodnotách parametru. x... neznámá p... parametr p 3 x 1= px p p 3 x px= p 1 p p 1 p 1 x= p 1 p=0 0x=1 P 1 = p 0 p 1 p 1 x= p 1 p p= 1 0x=0 P =R p 1 p 1 x= 1 p p=1 0x=1 P 3 = p 1 1 x= p p 1 1 p p 1 } P 4 ={ 0 / 106 IgMen

7. Lineární rovnice s absolutní hodnotou x 3 =6 nulový bod: x 3=0 x 0 = 3 ; 3 3; x 3 x 3 x 3 x 3=6 9=x P 1 ={ 9} x 3=6 x=3 P =3 P=P 1 P ={ 9;3} x 7 4x= x 5 nulové body: x 7=0 x 0 =7 x 5=0 x 0 = 5 ; 5 5 ;7 7 ; x 7 x 7 x 7 x 7 x 5 x 5 x 5 x 5 x 7 4x= x 5 3x 7= x 5 5x= x= 5 5} P 1 ={ P=P 1 P P 3 = { 1 ; 5 ; 3 } x 7 4x=x 5 3x 7=x 5 x= 1 P ={ 1} x 7 4x=x 5 5x 7=x 5 3x= x= 3 P 3 = { 3} 1 / 106 IgMen

8 Soustava lineárních rovnic 8.1 rovnice o neznámých Metody řešení: 1. sčítací. dosazovací 3. srovnávací (komparační) 4. grafická sčítací dosazovací srovnávací (komparační) 3x y=8 x 5y= 3 3 3x y=8 x 5y= 3 x=5y 3 3x y=8 x 5y= 3 3x y=8 3x 15y=9 17x=17 y=1 3 5y 3 y=8 15y 9 y=8 17y=17 y=1 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x 4 x 5y= 3 x 5 1= 3 x= x 5y= 3 x 5 1= 3 x= y= 1 5 x 3 5 y= y 3 x 4= 1 5 x 3 5 4 3 5 = 1 5 x 3 x grafická 3x y=8 x 5y= 3 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x 4 0 5 3 5 = x 15x 10 17 5 = 17 10 x 17 5 = x 17 10 17 5 10 17 =x = x y= 1 5 x 3 5 x 5y= 3 5y= 3 5=5y 1= y / 106 IgMen

8. Frobeniova věta A... matice soustavy A... rozšířená matice soustavy x 1 3x 5x 3 4x 4 =3 x 1 4x 3 x 4 =1 3x 1 x x 3 = A=[ 1 3 5 4 0] 0 4 3 1 A=[ 1 3 5 4 3 ] 0 4 1 3 1 0 soustava lineárních rovnic (m rovnic o n neznámých) homogenní pravé strany všech rovnic soustavy jsou rovny 0 nehomogenní alespoň jedna rovnice soustavy nemá pravou stranu rovnu 0 x y 3z=0 x z=0 3x y z=0 x y z=1 3x y= 4x y z=0 soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, jestliže hodnost matice rozšířené se rovná hodnosti matice soustavy h A =h A h A =h A =n soustava má jediné řešení (triviální) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení h A =h A =n soustava má jediné řešení (Cramerova metoda) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení 3 / 106 IgMen

x y z=5 3x y z=3 4x y z=10 A=[ 1 1 1 3 1 4 1 ] A=[ 1 1 1 5 3 1 3 4 1 10] 3 A=[ 1 1 1 5 0 5 1 0 5 10] 1 A=[ 1 1 1 5 ] 0 5 1 0 0 0 h A = h A =3 h A h A nehomogenní soustava nemá řešení 4 x y 5z=0 3x 4y 7z=0 5x 6y 9z=0 A=[ 1 5 3 4 7 5 6 9] A=[ 1 5 0 0] 3 3 4 7 0 5 6 9 5 A=[ 1 5 0 0] 0 8 0 0 4 16 A=[ 1 5 0 0] 0 8 0 0 0 0 h A = h A = h A =h A homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení 3x 1 x x 3 =4 3x 1 x x 3 =1 x 1 x x 3 =3 h A =3 h A =3 h A =h A =n nehomogenní soustava má jedno řešení A=[ 1 1 3 1 1 1 1] A=[ 1 1 3] 4 3 3 1 1 1 1 1 A=[ 1 1 4 ] 0 1 5 10 5 0 5 3 10 A=[ 1 1 4 0 1 5 10 0 0 40] 4 / 106 IgMen

8.3 Cramerova metoda Používá se pouze v případě n rovnic o n neznámých. A...matice soustavy D...determinant matice soustavy D=det A= A A =0...soustava nemá řešení A 0...soustava má právě jedno řešení x=[ x 1 ; x ; x 3 ; K x n ], kde: x i = D i D i {1 ; ;3 ; K n} { x 1 =D 1 D ; x =D D ; x 3 =D 3 D ; K x n =D n D } D i...determinant, který vznikne z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy viz. 3 rovnice o 3 neznámých 5 / 106 IgMen

8.4 3 rovnice o 3 neznámých Metody řešení: 1. dosazovací. sčítací 3. Cramerova 4. Gaussova eliminační dosazovací x 3y z=5 z=x 3y 5 3x y z=5 4x y 3z=11 3x y x 3y 5 =5 4x y 3 x 3y 5 =11 3x y 4x 6y 10=5 4x y 6x 9y 15=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y=15 7 1 4y=15 4y=8 y= sčítací x 3y z=5 3 3x y z=5 4x y 3z=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y=15 7 1 4y=15 4y=8 y= x 3y z=5 z=x 3y 5 z= 1 3 5 z=3 x 3y z=5 z=x 3y 5 z= 1 3 5 z=3 6 / 106 IgMen

Cramerova metoda D=[ 3 1 ] 3 = 1 4 3 8 4 7= 16 4 1 3 =[ 5 3 1 ] D 1 5 = 30 66 5 45 10= 16 11 1 3 =[ 5 1 ] D 3 5 =30 40 33 0 45 44= 3 4 11 3 =[ 3 5 D 3 3 5 4 1 11] = 44 60 15 40 99 10= 48 x= D 1 D = 16 16 =1 y= D D = 3 16 = z= D 3 D = 48 16 =3 Gaussova eliminační metoda [ 3 1 5 3 5 4 1 3 11] 3 [ 3 1 5 ] 0 13 7 5 7 0 7 5 1 13 [ 3 1 5 ] 0 13 7 5 0 0 16 48 x 3y z=5 13y 7z= 5 16z=48 z=3 x 3y 3=5 13y 7 3= 5 x 3y=8 13y= 6 y= x 3 =8 x= x=1 7 / 106 IgMen

9 Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 9.1 Lineární nerovnice Lineární nerovnice je každá nerovnice ve tvaru: ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem (záporný výraz obrací znaménko nerovnosti) Řešení lineárních nerovnic interval. 4u 3 4u 9 3u 4 30 5 6 6 4u 3 5 4u 9 15 3u 4 4u 18 0u 40 45u 60 44u 58 45u 60 newlie 3 u P= ; 3 x 1 3x 3 1 3 4 1 6 x 1 4 3x 3 1 4 1x 6 1x 1 3 6 3 3 0 P R 5x 3x 4 7 14 x 3 14 5x 3x 4 7 x 3 10x 4 3x 4 7x 1 7x 7x 1 0 1 nemá řešení 8 / 106 IgMen

Lineární nerovnice v součinovém tvaru: 3x 4 5x 0 x 7 x 3 0 3x 0 4 5x 0 3x 0 4 5x 0 x 7 0 x 3 0 x 7 0 x 3 0 3x 4 5x 3x 4 5x x 7 x 3 x 7 x 3 P 1 = x 3 4 5 x 4 5 ; P=P 1 P = P = x 3 4 5 x ; 3 ; 3 4 5 ; x 7 x 3 P 1 = 3 ; P = x 7 x 3 ; 7 P=P 1 P = ; 7 3; x x 1 3 x x 1 3 0 x 3 x 1 0 x 1 x 3x 3 0 x 1 5 x x 1 0 5 x 0 x 1 0 5 x x 1 P 1 = 5; 5 x 0 x 1 0 5 x x 1 P = ;1 P=P 1 P = ;1 5; 9 / 106 IgMen

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: 5 x 7 nulový bod: 5 x=0 5=x 0 ;5 5 ; 5 x 5 x x 5 5 x 7 x P 1 = ;5 P=P 1 P = ;1 x 5 7 x 1 P = 5 ;1 x x 3 x 3 nulové bod: x =0 x 0 = x 3=0 x 0 =3 ; ; 3 3 ; x x x x x 3 3 x 3 x x 3 x x 3 3 x x x 3x 3 x P 1 = ; P=P 1 P P 3 = ; 4 ; x x 3 3 x x P = ; x x 3 x 3 6 x x 4 P 3 = 4 ; 30 / 106 IgMen

9. Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 4 x 1 6 x 5 x 1 3x x 1 3 x 4x 4 6x 1 5x 5 16 x 5x 5 11 3x P 1 = ; 11 3 3x x 3x 6 x 3x 6 4 x x P = ; P=P 1 P = ; 11 7 3x x 1 x 1 7x 3 x 3 P 1 = 3; P = 4 5x 4 5 x ; 4 5 x 3 x 1 3x 1 4 x x 1 5x 3 7 x 4 x 3x x 4 3x 3 3x 1 x 7 3x 1 6 4x P 1 = 6 4 x 3 x ; 3 8 4x x 5x 3 6 x 5x 3 3 7x 3 7 x P = ; 3 7 7x 8 x 3x 5x 8 3x x 30 x 15 P 3 = 15; 15; 3 P=P 1 P P 3 = P=P 1 P = 31 / 106 IgMen

10 Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant 11 a 1 a 13 a 1n A m;n =[a a 1 a a 3 a n a m1 a m a m3 a mn] a mn... prvek matice Matice typu (m;n) je množina m n čísel uspořádaných do obdelníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích. =[ 1 3 4 7] A 3 ;4 0 5 3 1 1 4 matice typu (3;4) a 3 =5 a 34 =7 a 11 = 1 10.1 Typy matic Nulová matice každý její prvek je roven nule 0 m; n =[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] Čtvercová matice n-tého stupně má stejný počet řádků i sloupců 11 a 1 a 1n A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn] Diagonální matice čtvercová matice, která má, kromě diagonály ( a n ), všechny prvky nulové. 11 0 0 A n =[a 0 a 0 0 0 a nn] Jednotková matice 0 0 diagonální matice, kde všechny prvky diagonály jsou rovny 1. A n =[1 1] 0 1 0 0 0 3 / 106 IgMen

Transportovaná matice k matici A m;n - je matice A T typu (m;n) mění se řádky za sloupce a naopak. A=[ 1 3 4 3 1 5] AT =[ 3 1 3 1 4 5] 10. Operace s maticemi Rovnost matic: Matice A m;n =[a ij ], B m ; n =[b ij ] jsou si rovny, jestliže a ij =b ij. A= B A=[ 1 3 5 ],B= [ 1 3 5 ] Sčítání a odčítání matic: A=[ 3 1 ] [ 1 1 ] 1 5, B= 3 8 3 4 3 1 1 1 C= 1 5 3 A B=[ ] [ 3 1 1 1 = 1 5 3 3 8 4 3 1 1 1 C= 1 5 3 A B=[ A± B=C a ij ±b ij =c ij 3 8 4] [ 0 = 3 1 1] ] [ 3 1 1 1 ] [ 4 = 1 5 3 = 1 8 3 8 4 3 8 4 1 4 ] Násobení matic konstantou: Matice se násobí číslem k R tak, že se tímto číslem vynásobí každý člen matice. k=, A=[ 3 5 1 1] k A=[ 3 5 1 1] = [ 6 4 10 4 ] 33 / 106 IgMen

Násobení matice maticí: Matici A m;n můžeme násobit pouze maticí B n; p, tj. matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Součinem takových dvou matic A B je matice C m; p. A=[ 3 1 3 ] [ 4 1 0 4],B= 5 1 C= A B=[ c 11 c 1 c 13 c 1 c c c 11 = 3; 1; 4 ;; =3 4 1 =1 4=14 3] c 1 = 3; 1; 1;; 1 =3 1 1 1 =3 = 1 c 13 = 3; 1; 0;5; 4 =3 0 1 5 4=0 5 8=3 c 1 = ;3; 4; ; = 4 3 =8 6 4=10 c = ;3; 1;; 1 = 1 3 1 = 6 =10 c 3 = ;3; 0;5; 4 = 0 3 5 4=0 15 8=7 14 1 3 C=[ 10 10 7] Násobení matic není obecně komutativní: A B B A 10.3 Hodnost matice Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně závislých řádků matice A: A m;n, h A m. Lineárně závislé řádky jeden řádek je násobkem druhého. Hodnost matice se nezmění, při: záměně pořadí řádků násobení řádku číslem různým od nuly přičtení nebo odečtení řádku k jinému řádku přidání nebo vynechání řádku, který je násobkem řádku jiného Regulární a singulární matice: Čtvercová matice A n se nazývá regulární, jestliže hodnost n-té matice je rovna m, jinak se nazývá singulární. Trojúhelníkový tvar matice: Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začíná větším počtem nul, než řádek předcházející. Má-li matice trojúhelníkový tvar, pak počet jejich nenulových řádků je roven hodnosti matice. 34 / 106 IgMen

A=[ 3 4 5 0 1 3 0 0 3 1] h A =1 A=[ 1 3 4 1 1 5 3 1 1] 3 A=[ 1 3 4 0 5 3 3 8 0 8 8 13] 3 A=[ 1 3 4 ] 0 5 3 3 0 0 16 41 h A =1 10.4 Determinanty 11 a 1 a 1n Nechť je dána čtvercová matice A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn]. Determinantem řádu n matice A nazýváme číslo D a značíme D=det A= A, které definujeme takto: je-li n=1 pak D=a 11 je-li n= pak D=a 11 a a 1 a 1 je-li n=3 pak se D vypočítá Sarrusovým pravidlem je-li n=4 pak se D vypočítá pomocí rozvoje podle libovolného řádku či sloupce Determinanty 1. řádu: [ 5]= 5 Determinanty. řádu: [ 1 3 4] =1 4 3=4 6= [ 5 0 1] =5 1 0=5 0=5 a 1 [ a a] = a a 1 a=a a=a 35 / 106 IgMen

Determinanty 3. řádu: [a11 a1 a13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33]=a 11 a a 33 a 1 a 3 a 31 a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 =D [ 1 3 9] 4 5 6 =1 5 9 6 7 3 4 8 3 5 7 4 9 1 6 8=45 84 96 105 7 48=0 7 8 Determinanty 4. řádu: hodnota determinantu se nezmění zaměněním řádků za sloupce jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule jestliže se v determinantu zamění dva řádky, determinant změní znaménka jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se determinant nule je-li některý řádek determinantu násobkem řádku jiného, rovná se determinant nule násobí-li se některý řádek determinantu D reálným číslem různým od nuly, vznikne determinant D', pro který platí D '= D přičte-li se k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D=[ 0 1 ]= [ 1 1 1 1 1] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 0 [ 1 1 1 1 1 1 1 ] = 4 4 4 1 4 1 1 4 0= = 9 9 9=18 18=0 36 / 106 IgMen

11 Kvadratické funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce ve tvaru y=ax bx c ;a,b, c R ;a 0. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Graf kvadratické funkce...parabola. Vrchol paraboly... V =[ b b ;c a 4a ] Průsečíky paraboly s osou x... ax bx c=0 Vlastnosti funkce: y=x...základní parabola a 0...parabola otevřená nahoru a 0...parabola otevřená dolů c...průsečík paraboly s osou y y=x V =[ 0;0 ] x 1, = b± b 4ac a = 0± 0 4 1 0 1 = 0± 0 =0 y= x V =[0 ;] x 1, = b± b 4ac a = 0± 0 4 1 1 = 0± 8 = 37 / 106 IgMen

Rovnice tvaru y= x r p : Vlastnosti funkce: Posun vrcholu paraboly ve směru osy y: p 0...nahoru p 0...dolů Posun vrcholu paraboly ve směru osy x: r 0...doleva r 0...doprava y= x 6x 8 y= x 6x 8= x 6x 8 = = x 6x 9 9 8= = x 6x 9 9 8= = x 3 1 V =[ 3;1] 38 / 106 IgMen

1 Kvadratická rovnice metody řešení Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: ax bx c=0 ;a 0 ;a,b,c R. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Neúplné kvadratické rovnice: ryze kvadratická rovnice b=0 ax c=0 řešení ax c=0 ax = c x = c a x=± c a 4x 5=0 4x =5 x = 5 4 x=± 5 4 x=± 5 3 x=1 4 x x 3 x x =1 x 4 x x 3x 6 x x=x 4 x x 6=x x x 6 x =0 x 8=0 x =8 x=± 8 x=± kvadratická rovnice bez absolutního členu c=0 ax bx=0 řešení ax bx=0 x ax b =0 x 1 =0 ax b=0 ax = b x = b a 39 / 106 IgMen

4x 9x=0 x 4x 9 =0 x 1 =0 4x 9=0 4x =9 x = 9 4 3x 5 4x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 3x 3 3x 5 4x 3 3x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 4x 3 3x 3 3x 5 3x 3 = 4x 5 4x 3 9x 9x 15x 15=16x 1x 0x 15 9x 4x 15=16x 3x 15 9x 4x 15 16x 3x 15=0 7x 56x=0 1 7x 56x=0 x 7x 56 =0 x 1 =0 7x 56=0 7x =56 podmínky pro zlomky: 4x 3 0 3x 3 0 4x 3 x 3 3x 3 x 1 4 x = 56 7 x =8 Úplná kvadratická rovnice: a,b, c 0 ax bx c=0 Metody řešení: 1. ax bx c=0 x 1, = b± b 4ac = ± D a a D=b 4ac...diskriminant D 0... řešení (kořeny) D=0...1 řešení (dvojnásobný kořen) D 0... řešení (komplexně sdružená čísla) 40 / 106 IgMen

. x px q=0...normalizovaný tvar a=1 x 1 x =q x 1 x = p Rovnice nemá normalizovaný tvar: ax bx c=0 :a x b a x c a =0 x 1 x = c a x 1 x = b a 3. grafická metoda ax bx c=0 ax = bx c y=ax y= bx c x 3x 1=0 1. x 3x 1=0 x 1, = 3± 3 4 1 = 3± 9 8 4 = 3± 1 4 = 3±1 4 3 1 = 4 = 4 4 = 1 3 1 = 4 4 = 1. x 3x 1=0 : x 3 x 1 =0 x 1 x = 1 = 1 = 1 1 x 1 x = 3 = 1 = 1 = 1 1 41 / 106 IgMen

3. x 3x 1=0 x = 3x 1 y=x y = 3x 1 x 1 = 1 x = 1 1.1 Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou x x 1 x 1=0 nulové body: x 0 =x 0 1=0 x 01, = ± 4 1 1 1 = 1± = 1 1 = ± 4 4 = ±sqrt8 = ± sqrt = 1±sqrt = ; 1 1 ; 1 1 ; x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = x x 1 x 1=0 x 3x=0 x x 3 =0 x 1 =0 x 3=0 3= x x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = P 1 = P ={0} P 3 ={1} P=P 1 P P 3 ={0 ;1} 4 / 106 IgMen

13 Kvadratické nerovnice Metody řešení 1. početně. graficky početně x x 15 0 x 1 x = 15=3 5 x 1 x ==3 5 x x 15= x 5 x 3 x 5 x 3 0 x 5 0 x 5 0 x 3 0 x 3 0 x 5 x 5 x 3 x 3 P 1 = 5; P = ; 3 P=P 1 P = ; 3 5; graficky x x 15 0 x 1, = ± 4 60 = ± 64 = ±8 = a 0...parabola otevřená nahoru 8 =5 8 = 3 P=P 1 P = ; 3 5; 43 / 106 IgMen

13.1 Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou x x 3 x 1 nulové body: x 0 x 0 3=0 x 01, = ± 4 1 3 1 = ± 4 1 = ± 16 = ±4 = 4 =3 4 = 1 ; 1 1;3 3 ; x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x 1 x x x 3 1 0 x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 0 x x 0 1 x x 0 x 1, = 1± 1 8 = = 1± 9 = 1±3 = 1 3 = = 1 3 = 1 x x 3 x 1 x x x 3 1 0 x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) P=P 1 P P 3 = ;4 P 1 = ; 1 1; P 1 = P = 1;3 ; 1 ; P = ;3 P 3 = 3; 1 ;4 P 3 = 3;4 44 / 106 IgMen

14 Iracionální rovnice Postup řešení: podmínky řešení (zbavení se odmocniny) zkouška Rovnice s neznámou pod odmocninou. x 3 =3 x podmínky: x 3 0 x 6 0 x 6 x 3 řešení: x 3 =3 x x 3 = 3 x x 3 =9 6x x x 6=9 6x x 0=x 8x 15 x 1, = 8± 8 4 1 15 1 = 8± 64 60 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 3 =3 x x 3 =3 x 3 3 =3 3 5 3 =3 5 0=0 4= zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={3} = 8± 4 = 8± = 8 =5 8 =3 45 / 106 IgMen

x 5 x 1=8 podmínky: x 5 0 x 5 x 1 0 x 1 x 5 řešení: x 5 x 1=8 x 5 x 5 x 1 x 1=64 3x 4 x 5 x 1 =64 x 5 x 1 =60 3x 4 x 5 x 1 =3600 360x 9x 4 x x 5x 5 =3600 360x 9x 4 x 3x 5 =3600 360x 9x 8x 1x 0=3600 360x 9x 0=9x 8x 360x 1x 3600 0 0=x 37x 360 x 1, = 37± 37 4 1 360 1 37 35 =36 = 37 35 =10 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 5 x 1=8 36 5 36 1=8 74 5 361=8 79 19=8 7 19=8 46 8 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={10} = 37± 138384 14480 x 5 x 1=8 10 5 10 1=8 0 5 9=8 5 3=8 5 3=8 8=8 = 37± 13904 = 37±35 = 46 / 106 IgMen

4x 8x 5=x 1 řešení: 4x 8x 5=x 1 4x 8x 5=4x 4x 1 4x 4x 4x 1= 8x 5 4x 1= 8x 5 16x 8x 1=8x 5 16x 8x 8x 1 5=0 16x 4=0 16x =4 x = 4 16 x=± 4 16 x=± 4 x=± 1 zkouška: 4x 8x 5=x 1 4 1 8 1 5= 1 1 4 1 4 8 5= 1 4 4 4 5= 1 1 1 1=0 1 1=0 0=0 0=0 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P= { 1 } 4x 8x 5=x 1 4 1 8 1 5= 1 1 4 1 4 8 5= 1 4 4 4 5=1 1 1 9= 1 3= = nemá řešení 47 / 106 IgMen

15 Shodná zobrazení konstrukční úlohy Shodné zobrazení (shodnost) je každé zobrazení v rovině, které má tu vlastnost, že pro libovolné body A, B této roviny a jejich obrazy A', B' platí, že AB = A' B '. Samodružný bod...bod, který se zobrazí sám do sebe A= A' Samodružný útvar...každý útvar, jehož obraz v daném zobrazení je týž útvar Klasifikace shodností: Identita Středová souměrnost Zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe. Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X takto: 1. X =S X =S = X '. X S X je koncový bod úsečky XX', kde bod S je jejím střědem 48 / 106 IgMen

Osová souměrnost Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X takto: 1. X o X = X '. X o X ' je koncový bod úsečky XX, jejíž osou je přímka o Posunutí (translace) Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému X přiřadí X takové, že orientované úsečky XX a AB mají stejnou délku i směr (jsou souhlasně orientovány). Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které přiřazuje každému X S bodu bod X takový, že velikost XS = X ' S a orientovaný úhel XSX má velikost. 49 / 106 IgMen

15.1 Shodnost trojúhelníku ABC A' B ' C ' věta sss AB = A' B ' BC = B ' C ' AC = A' C ' věta sus AB = A' B ' AC = A ' C ' BAC B ' A' C ' věta usu AB = A' B ' BAC B ' A' C ' ABC A' B ' C ' věta Ssu AB = A' B ' BC = B' C ' BC AC BAC B ' A' C ' Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech třech stranách věta sus ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném věta usu ve straně a v úhlech k ní přilehlých věta Ssu ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich Konstrukční úlohy: 1. rozbor. popis konstrukce 3. konstrukce 50 / 106 IgMen