INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009
Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y).......................... 47
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1]
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] Vypočteme H(S 3 ) = 12 4 parciální derivace. Při derivování 4 12 podle 122 x 16 považujeme > 0, lok. min. y zav konstantu bodě [ 1, 1] a naopak.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hledáme stacionární body.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Toto je soustava, kterou řešíme.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Osamostatníme y z první rovnice.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Dosadíme za y do druhé rovnice.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Upravíme.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Rozložíme na součin.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = x = 4 0, nebo (x 8 1) = 0. 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] Druhý případ H(S 3 ) = 12 4 dává x 8 = 1 a x = ±1. Uvažujme 4 12tedy = tři 122 různé 16 případy > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1]
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 Najdeme odpovídající 4 12 y ke každému 16 > 0, lok. x (y min. = xv 3 bodě ). Dostáváme [ 1, 1] tři stacionární body.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body. Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé derivace a Hessiánu.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Vypočteme Hessián ve stacionárním bodě S 1. Hessián je záporný a funkce v tomto bodě nemá lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] V bodě S 2 je Hessián kladný a funkce zde má lokální extrém. Protože z xx = 16 > 0, funkce má v bodě S 2 lokální minimum.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hessián je kladný v bodě S 3 a funkce zde tedy má lokální extrém. Protože z xx = 16 > 0, má funkce v bodě S 3 lokální minimum.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hotovo!
xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1]
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Budeme hledat parciální derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního násobku. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Vypočteme derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Podobně derivujeme podle y. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Vypočteme jednotlivé derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Máme první derivace, které použijeme pro hledání stacionárních bodů. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Položíme H(S ) = 2 derivace 0 rovny nule. 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Řešíme soustavu z yy = 2(x2 nelineárních 1)(y) y = 2(x2 rovnic 1) 1 z xx = Začneme s první rovnicí. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Tato rovnice je ve tvaru součin rovná se nule. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Jeden ze z yy součinitelů = na levé 2(x2 1)(y) y = straně první rovnice musí být nula. 2(x2 1) 1 z xx Budeme 2(y2 1); zpracovávat z xy odděleně z yy případy, = 2(x2 kdy 1) (y 2 1) = 0, t.j., y = ±1. x = 0 a H(S ) = 2 0 = 4 > 0 0 H(S ) = 4 = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Případ 1. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme x H(S ) = 2 0 = 0 do druhé rovnice. 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Najdeme H(S ) = 2 y. Dostáváme 0 stacionární bod S 0. 1 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Podobně pro Případ 2(y2 1); z xy = 2. 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme y = 1 do druhé rovnice. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Vyřešíme vzhledem 2(y2 1); z xy = k x. 4xy; z yy = 2(x2 1) Dostáváme dvě řešení a tedy i dva stacionární body. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Podobně Případ 3. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme y = 1 do druhé rovnice. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Řešíme kvadratickou 2(y2 1); z xy = rovnici 4xy; pro x. z yy = 2(x2 1) Máme dvě řešení a dva další stacionární body. H(S ) = 2 0 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Celkem má funkce H(S 2 ) = 0 4 pět stacionárních bodů. Nyní budeme 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 vyšetřovat tyto body pomocí druhé derivace.. 4 0 = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z x podle x a upravíme. 4 0 = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z x podle y a upravíme. 4 0 = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z y podle y a upravíme. 4 0 = 16 < 0
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Použijeme H(S 2 ) = 0druhé 4 4 0 = derivace 16 < 0 pro testování H(S 5 ) = stacionárních 0 4 4 0 = 16 bodů < na existenci a kvalitu lokáního extrému. Začneme bodem S 0 1 a vypočteme Hessián H(S 3 ) = 0 4 H(S 1 ) = 4 0 z = xx 16 xy z xy z yy < 0 = 2 0 [x,y]=[0,0] 0 2 = 4 > 0. V bodě S 1 má funkce lokální maximum.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 2 ) = 0 = z xx 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[1,1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 2 není lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 3 ) = 0 z xx = 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[ 1,1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 3 není lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 4 ) = 0 z = xx 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[1, 1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 4 není lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 5 ) = 0 z xx = 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[ 1, 1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 5 není lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Jediný lokální H(S 3 ) = 0 4 extrém je v bodě S 1 = [0, 0]. Jedná se o lokální maximum. 4 0 = 16 < 0 Ostatní stacionární body jsou sedlové body.
Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Hotovo!
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0], 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009 xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Díky přitomnosti funkce ln( ) máme jistá omezení na definiční obor funkce. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 lny + y y = 0, ln(x 2 ) = 0 Vypočteme parciální lny = 1, derivace. Při derivování podle x 2 = x e 0 použijeme = 1 vzorec pro derivaci konstantního x = ±1 y = e 1 násobku, protože v součinu y ln(x 2 +y) považujeme součinitel y za konstantu. Používáme vzorec pro derivaci složené funkce, S 2 protože = [1, 0] funkce a S 3 = ln(x [ 1, 2 +y) 0]. je složená S 1 = [0,e s 1 vnitřní ] složkou (x 2 +y). S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] (y ln(x 2 +y)) x = y(ln(x2 +y)) x = y 1 (2x + 0) x 2 +y z xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Při derivování podle y použijeme vzorec pro derivaci součinu, protože oba xx = 2y(x2 součinitele, +y) 2xy2x y i ln(x 2 +y) jsou funkce, z xx = 2y2 proměnné 2yx 2 y., 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Pro nalezení xx = 2y(x2 stacionárních +y) 2xy2x bodů položíme derivace, z xx = 2y2 2yx rovny 2 nule., 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Začneme 1 ], řešit od S 2 první = [1, 0], rovnice (jesjednodušší). 3 = [ 1, 0] Zlomek je roven nule, pokud je jeho čitatel nulový. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Aby 1 byl ] součin roven nule, je nutné a stačí, aby byl nule roven S 1 = [0,e kterýkoliv 1 ], součinitel. S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Rozdělíme výpočet na dvě větve., 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009 xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Dosadíme xx = 2y(x2 x = 0+y) 2xy2x do druhé rovnice a upravíme., z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Inverzní funkce k logaritmu je funkce exponenciální. Použijeme tuto inverzní funkci xx = 2y(x2 k+y) 2xy2x osamostatnění y., z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Obdrželi jsme stacionární bod S 1 = [0,e 1 ]. Zkontrolujeme přitom, že S xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2 1 Dom(f )., 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Nyní 1 se ], budemes 2 věnovat = [1, 0], Případu 2. S 3 = [ 1, 0] Dosadíme y = 0 do červené rovnice. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Osamostatníme xx = 2y(x2 +y) 2xy2x x 2 a vyřešíme vzhledem k x., z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Obdrželi jsme dva stacionární body. Nezapomeneme zkontrolovat, že skutečně xx = 2y(x2 leží+y) 2xy2x v definičním oboru funkce., z xx = 2y2 2yx 2, 2 2 2 2 c Robert Mařík, 2009
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), H(S 1 ) = 2 Toto jsou naše dosavadní 2x 3 mezivýsledky. =, H(S 2 ) = xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. 2 0 0 e > 0, 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), H(S 1 ) = 2 2 0 0 e Použijeme druhé derivace ke zjištění, zda ve stacionárním > 0, 2x 3 =, H(S 2 ) = 0 2 bodě je lokální extrém. 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Derivujeme z x podle 2x 3 x. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Derivujeme z x podle 2x 3 y. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), Derivujeme z 2 yy 2x 3 podle y. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Upravíme. 2x 3 =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0, z yy = 1 x 2 +y + x 2 H(S 3 ) = (x 2 +y) 2. 0 2 2 2 = 4 < 0. Lokální minimum v bodě [0,e 1 ]. Žádný další lokální extrém. Vypočteme Hessián v každém ze stacionárních bodů.
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0, z yy = 1 x 2 +y + x 2 H(S 3 ) = (x 2 +y) 2. 0 2 2 2 = 4 < 0. Lokální minimum v bodě [0,e 1 ]. Žádný další lokální extrém. Podle hodnoty Hessiánu a podle čísel v hlavní diagonále Hessovy matice učiníme příslušný závěr.
Konec