ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a f(0,0,-1) platí: (A) f(1,0,0)<f(0,-1,0)<f(0,0,-1) (B) f(0,-1,0)<f(1,0,0)<f(0,0,-1) (C) f(0,0,-1)<f(1,0,0)<f(0,-1,0) (D) f(0,0,-1)<f(0,-1,0)<f(1,0,0) (E) žádný z uvedených vztahů není správný. Srandovně jednoduché! Stačí dosadit a výsledky porovnat. Aby nedošlo k mýlce: Dosazujeme do předpisu pro f(x,y,z), a to podle abecedy - první číslo v závorce za x, druhé za y, poslední za zet. f(1,0,0) 1 2 + 0 + 2.0 2 1 f(0,-1,0) 0 2 + (-1) + 2.0 2 0-1 + 0-1 f(0,0,-1) 0 2 + 0 + 2.(-1) 2 0 + 0 + 2.1 2 Porovnáme. Pohledem na nabízené výsledky zjistíme, že nejlepší bude seřadit hodnoty od nejmenší podle velikosti, tj.: -1<1<2, tedy f(0,-1,0) < f(1,0,0) < f(0,0,-1), což je možnost (B). 2. Je dána funkce dvou proměnných g(x 1,x 2 ) 8-x 1 -x 2. Kolik ze zadaných bodů A 1 [-2;1], A 2 [-1;], A [2;-1], A 4 [2;2] leží v definičním oboru funkce g? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) (E) 4. I zde by stačilo dosadit jako v předchozím příkladu postupně body A 1 až A 4. Když by nám vyšlo číslo, znamenalo by to, že ten daný bod do definičního oboru patří. Když by vyšlo něco zakázaného, v tomto případě mínus pod odmocinou, tak by ten bod do definičního oboru samozřejmě nepatřil. Tento postup samozřejmě doporučuji v písemce, kde jde o čas a kde je třeba si práci co nejvíce zjedodušit. My si ale ukážeme určení definičního oboru u funkce více proměnných. V podstatě postupujeme stejně jako u jedné proměnné. Ovšem s tím rozdílem, že když nemáme žádná omezení,
je definiční obor nikoliv D(f) R, ale D(f) R 2 pro funkci 2 proměnných, ( R 2 je množina všech možnách bodů [x 1, x 2 ], kde x 1, x 2 R. Jinými slovy rovina.) D(f) R pro funkci proměnných, ( R je obdobně množina všech bodů o souřadncích [x 1,x 2,x ] našeho trojrozměrného vesmíru/prostoru.) D(f) R 4 pro funkci 4 proměnných. (Tentokrát R 4 jsou všechny možné body o libovolných souřadnicích [x 1,x 2,x,x 4 ], kde x 1 R, x 2 R, atd., takže něco jako kompletní historie nekonečného trojrozměrného prostoru od x 4 mínus věčnost po x 4 plus věčnost.) A tak dále formálě zapsáno takhle jednoduše: D(f) R n {[x 1,..., x n ], x 1,..., x n R } pro funkci n proměnných. Když oproti tomu vyjde definiční obor omezený, bude to u funkce dvou proměnných nějaký rovinný obrazec - i nekonečný (třeba "čtvrtrovina" x (0; ) & y (- ; 1 nebo třeba pás x -1;1 & y R, klidně i vnitřek paraboly x R & y > (x - 2) 2 + 8; u funkce tří proměnných pak nějaké konečné nebo nekonečné těleso, např. půlpostor (nad rovinou o rovnici 1.x + 0.y + 2.z - 0): x R, y R, z > - 1 2 x + 2. Obrázek ukazuje jednak, jak ten půlprostor přibližně vypadá, hlavně ale, jak je těžké něco malovat, když máme více než dva rozměry: Poznámka: vymyslet funkci s takovým definičním oborem nedá moc práce. Tak třeba ln(z + 1 2 x - 2 ) dává podmínku: z + 1 2 x - 2 > 0 / -, + z > - 1 2 x + 2. A to je ono. To by rozhodně jako úvod stačilo. Zpět k našemu příkladu: g(x 1,x 2 ) 8 - x 1 - x 2 Zakázáno je mínus pod odmocninou, takže: 8 - x 1 - x 2 0 / -8 - x 1 - x 2 x 1 + x 2 x 2-8 8 - x 1 8 / -x 1 /.(-1) a nezapomeneme změnit znamení nerovnosti / x 2 8- x 1 A to už je vlastně výsledek. Zapíšeme ho, jak se sluší a patří: D(g) {[x 1,x 2 ] R 2, x 2 8- x 1 } čti: "Definiční obor funkce g je množina všech možných bodů o reálných souřadnicích [x 1,x 2 ] takových, že x 2 8- x 1." Věren Komenského odkazu jsem Vám to namaloval do obrázku, ale zapotil jsem se při tom, to
zas jo: Ke spočítání příkladu ovšem stačí ověřit postupně u všech zadaných bodů, zda platí nerovnost, která nám vyšla. A 1 [-2;1]: 1? 8- - 2 1? 8 8 1? 16, ano, platí, protože 8 2, 27 a tudíž 16 je někde mezi 2 a, tedy víc než 1. A 2 [-1;]:? 8- -1? 9, ne, protože 9 je méně než. A [2; -1]: -1? 8-2 -1? 0, ano. A 4 [2;2]: 2? 8-2 2? 0, ne, dvojka je víc než nula. Vyšlo to fifty-fifty: 2 body patří do definičního oboru funkce g, 2 nepatří. Je to možnost (C).. Který z následujících bodů je stacionárním bodem funkce z e x (x + y 2 )? (A) [0; -1] (B) [0; 1] (C) [1; 0] (D) [-1; 0] (E) žádný z uvedených Jako u funkce jedné proměnné je stacionární bod tam, kde je nulová derivace, je u funkcí několika proměnných stacionární bod tam, kde jsou všechny parciální derivace nulové (myslí se samozřejmě první derivace podle každé z proměnných). Takže budeme potřebovat první derivace. Do nich budeme pak dosazovat (za x a za y) souřadnice zadaných bodů, až vyjde (nebo také nevyjde) nula.
Nuže: x... derivace součinu... (ex )`.(x + y 2 ) + e x.(x + y 2 )` e x.(x + y 2 ) + e x.1 e x (x + y 2 + 1) y... raději si to rozepíšem... y ( ex ( x y 2 ))... a roznásobíme... y ( x ex e x y 2 )... e x je pro nás teď konstanta (tj. číslo)... 0 + e x.2y 2ye x Prověříme bod [0; -1]: x (0; -1) e0 (0 + (-1) 2 + 1) 1.(1 + 1) 2 0 Do y už nemá smysl dosazovat - tento bod není stacionární. Teď bod: [0;1] : x (0;1) e0 (0 + 1 2 + 1) 1.2 0 Totéž jako u prvního bodu. Ani tento to není. A co [1; 0]? x (1;0) e1 (1 + 0 2 + 1) e.2 2e 0. Zase do derivace podle y nemá smysl dosazovat, když už ta podle x je nenulová, takže ani tento to není. Zbývá [-1; 0]: x (-1;0) e-1 (-1 + 0 2 + 1) 1 e.0 0 y (-1;0) 2.0.e-1 0 Bingo! Tahle je zlatovláska! Výsledek tedy zní (D). 4. Je dána funkce f(x 1,x 2 ) ln(x 1 - x 2 ). Určete hodnotu 2 f (2;1). x 1 x 2 (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 2 (E) -2 Chce se po nás druhá derivace - smíšená - napřed podle x 1, potom podle x 2. Někdo by se mohl zaseknout na tom, podle které proměnné má derivovat napřed. Takovým z Vás prozradím tajemství: Je to jedno! Ano u všech funkcí, se kterými se kdy setkáte, to vyjde nastejno. Derivujeme poprvé: x 1 ln ( x 1 - x 2 )...Vnitřní funkce je z x 1 - x 2, její derivace podle x 1 je 1. Derivace vnější funkce
je (lnz)`... 1. 1 x 1 - x 2 1 x 1 - x 2 A derivujeme podruhé: 1 x 2 x 1 - x 2... Vnitřní funkce je zase z x 1 - x 2, její derivace podle x 2 je -1. Vnější funkce je zde z -1. Její derivace podle z je -1.z -2... -1. - 1 ( x 1 - x 2 ) 2 1 ( x 1 - x 2 ) 2 Nyní už jen dosadíme x 1 2, x 2 1: 2 f x 1 x 2 (2;1) 1 1 2 1 - Možnost (B). 5. Určete rovnici tečné roviny grafu elementární funkce dvou proměnných z -x 2 + 2x - y 2 + 6y - 5 v bodě A [2;0]. (A) z 2x + 6y - 9 (B) z -2x + 6y - 1 (C) z - 2x - 6y - 1 (D) z 2x - 6y - 9 (E) žádná z uvedených možností Je na to vzoreček. V nepovinné části za výsledkem si ukážeme, že je zcela analogický ke vzorečku pro tečnu grafu jedné proměnné. Ten vzoreček pro tečnou rovinu ke grafu funkce 2 proměnných f(x, y) v bodě A [a x, a y ] je: Potřebujeme parciální derivace. Opatříme si je: x x ( - x2 2x - y 2 6y -5 ) -2x + 2 Před dosazením připomínám zadaný bod A: [2;0]. dosazení: ( A ) -2.2 + 2-4 + 2-2 x y y ( - x2 2x - y 2 6y - 5) -2y + 6 dosazení: y ( A ) -2.0 + 6 6
Také budeme potřebovat f(a). Zase připomenu zadání: f : z -x 2 + 2x - y 2 + 6y - 5; f(a) f(2;0). Tedy: f (A) -2 2 + 2.2. - 0 2 + 6.0-5 -4 + 4-5 -5 Teď už můžeme dosadit do rovnice tečné roviny. (Pozn.: Když se podíváte na nabízené výsledky, vidíte všude rovnice ve tvaru z něco s x a s y. Když se podíváte na funkci f, vidíte také rovnici tvaru z něco s x a s y. Proto také před to píšeme "f:" Jak bude vidět v nepovinné části tohoto příkladu, v rovině zabráníme zmatku tím, že zavádíme druhou funkci t. (t nikoliv proto, že české slovo tečna na něj začíná, ale podle cizího slova tangenta) Pro odlišení, že jsme v prostoru, označíme my zde tu druhou funkci písmenkem τ (Toto řecké písmenko je tau. Důvod, proč se obvykle volí zrovna tau je stejný jako u toho té, ačkoliv by samozřejmě bylo poetičtější, kdyby to bylo podle pana Tau.)) τ: z x ( A )( x - a x) y ( A )( y -a y ) f ( A ) τ: z -2(x - 2) + 6(y - 0) - 5...roznásobíme τ: z -2x + 4 + 6y - 5...a odečteme čísla τ: z -2x + 6y - 1 MOŽNOST (B) Nepovinná část pro zvýdavé: V mém pojednání o zjištění rovnice tečny ke grafu funkce f jedné proměnné je ostup volený co nejnázorněji, abyste pochopili, jak a proč se co dělá. Bylo by také možné Vám rovnou předhodit vzorec a tečka. Jen byste nevěděli, proč to tak je, a bez taháku byste byli ztraceni - někteří i s tahákem. Tady jsem tuto možnost zvolil, protože u prostorového grafu je už většina lidí s představivostí v úzkých, tak jákápak názornost?! Nicméně, když si odvodíme vzorec pro případ jedné proměnné, zjistíme, že je to fakt na jedno brdo. Mějme tedy na chvilku funkci y f(x). K ní chceme v bodě x a najít tečnu. To je lineární funkce, která prochází stejným bodem [a, f(a)] a má v tom bodě stejný sklon jako funkce f. Lineární funkce má obecně tvar t: y Ax + B ; A, B jsou čísla. A udává sklon t, takže musí být: A f `(a), protože f `(a) udává zase sklon funkce f v tom bodě a. B dopočítáme tak, aby bod [a, f(a)] ležel na grafu t. x a, y f(a) f(a) A.a + B neboli: f(a) f `(a).a + B / -f `(a).a,
B f(a) - f `(a).a Toto B dosadíme zpět do předpisu pro t a ten učešeme: t: y f `(a).x + f(a) - f `(a).a / přerovnat y f `(a).x - f `(a)a + f(a) / vytknout derivaci A tečna vypadá takto: y f `(a) (x - a) + f (a) Kdežto tečná rovina takto: z x ( A )( x - a x) y ( A )( y -a y ) f ( A ).... Dobré, ne? 6. Pomocí totálního diferenciálu funkce f(x,y,z) xlny + 9 x - 2z 15 v bodě A [8, 1, -1] odhadněte hodnotu f(8,4; 0,98; -1,11). (A) 2,41 (B) 2,42 (C) 2,4 (D) 2,44 (E) žádný z uvedených výsledků není správný Použijeme vzoreček: f ( x, y, z ) f ( A) + ( x - x A ). x ( A ) + ( y - y A ). y ( A ) + ( z - z A ). Popořádku si opatříme vše, co budeme potřebovat: f (A) 8.ln1 + 9 8-2(-1) 15 8.0 + 9.2-2.(-1) 18 + 2 20 x x.ln y x + 9 x 1 x lny + 9. 1 x- - 0 2-2 z15 x lny + x 2 x (A) ln1 + 64 0 + 4 4 y x.ln y y + 9 x 1 y - 2 z15 y x y + 9.0-2.0 x y
y (A) 8 1 8 x.ln y 1 + 9 x 0 + 0-2.15.z 14-0z 14 (A) -0.(-1)14-0.1-0 - 2 z15 x - x A 8,4-8 0,4; y - y A 0,98-1 -0,02; z - z A -1,11 - (-1) -0,11 Teď tedy dosadíme: f(8,4; 0,98; -1,11) 20 + 0,4. 4 + (-0,02).8 + (-0,11).(-0) 20 + 0, - 0,16 +, 2,6-0,16 2,44 Možnost (D). 7. Determinant Hessovy matice funkce f(p,q) p - pq + 2q 2 je roven (A) 24p - 9 (B) 24p + 9 (C) 24p (D) 0 (E) není žádný z uvedených Hessova matice je čtvercová matice ze všech možných druhých derivací dané funkce. Je tedy takového řádu, kolik má funkce proměnných. Protože je dále derivace podle x a podle y stejná jako derivace podle y a podle x (a podobně i pro další nebo jinak pojmenované proměnné), je Hessova matice vždy symetrická. Pro dvě proměnné p, q vypadá takto: 2 f 2 f p 2 p q 2 f 2 f neboli q p q 2 f `` p f `` qp Spočítáme ty druhé derivace: f `` pq f `` q p p2 - q 2 f p 2 6p q -p + 4q 2 f q 2 4 2 f p q 2 f q p -
Máme vše. Podíváme se na ten determinant: H(f) neboli 2 6p.4 - (-).(-) 24p - 9 Možnost (A). 8. Funkce z x + y - xy má lokální maximum v bodě (A) [-1;-1] (B) [-1;1] (C) [1;-1] (D) [1;1] (E) v žádném z uvedených Plán postupu: Protože to vše budeme potřebovat, pořídíme si: - obě první parciální derivace z, - všechny čtyři, resp. tři druhé parciální derivace. Protože lokální maximum může být jen tam, kde jsou všechny (v našem případě obě) první derivace nulové, sestavíme a vyřešíme soustavu rovnic o 2 neznámých x, y: x 0 y 0 Tím dostaneme bod (body) M, které jsou podezřelé z toho, že jsou maxima (nebo také minima anebo také ani jedno). Pro každý z těch bodů určíme I. 1 2 z x 2 ( M ) II. 2 f `` x f `` yx ( M ) f `` xy ( M ) f `` y ( M ) ) ( M Podle toho, co z toho bude kladné a co záporné snad poznáme maximum. A teď hajdy podle plánu až do konce nebo dokud neselže: funkce: z x + y - xy x x2 - y, 2 z x 2 6x, 2 z x y y y2 - x 2 z y x -, 2 z y 2 6y
soustava rovnic: x 2 - y 0 / :, +y y 2 - x 0 / :, +x ~ x2 y y 2 x Třeba v té první rovnici máme vyjádřené y. Tak to dosadíme do druhé rovnice: (x 2 ) 2 x / vzoreček na mocninu mocniny x 4 x / hádáme řešení... hm, číslo, které když dáme na čtvrtou, dostaneme zase to samé číslo - tak taková čísla znám dvě: x 1 1 x 2 0 / dosadíme zpět do první rovnice 1 2 y 1 0 2 y 2 y 1 1 y 2 0 Dostali jsme tedy jen 2 stacionární body: A 1 [1;1], A 2 [0;0]. Pokročíme k dalšímu bodu našeho programu: 1 (1;1) 2 z x 2 (1;1) 6.1 6 > 0 2 (1;1) 6 6 6-9 27 > 0 1 (0,0) 2 z x 2 (0;0) 6.0 0 2 (0;0) 0 0 0-9 -9 < 0 Nyní, jak rozhodnout: Když 2 > 0 a zároveň 1 > 0, jde o minimum. To je zrovna případ bodu [1;1], takže ten není maximum. Když je 2 > 0 a zároveň 1 < 0, jde o maximum. Takový bod nemáme. A když konečně je 2 < 0, jako v případě druhého našeho stacionárního bodu [0;0], je to sedlový bod. Výsledek tedy je možnost (E) - funkce nemá maximum. Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.