JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8. Určete v kolika z následujících čtyřech případů se jedná o dvojici funkce f(x) a její primitivní funkce f(x) na nějakém intervalu... Správně bychom měli integrovat, protože toto je minitest na integrály. Rychlejší řešení asi bude naopak derivovat ty rádoby primitivní funkce F(x). Pokud dostaneme příslušnou f(x), je to ten případ, na který se ptají. Pro názornost pak provedu i tu integraci. V písemce rozhodně doporučuju ) vyhnout se integrování, kde jen to jde, protože integrování je vždy do jisté míry nejistý podnik, zvláště u škaredých funkcí. ) takovýto příklad, pokud neobsahuje úplně jednoduché funkce, nechat na konec, protože po nás chce nutně nejméně čtyřikrát správně zderivovat, což zdržuje oproti příkladům, kde např. stačí jednou zderivovat a dosadit. První dvojice: f(x) = -e x, F(x) = e -x F`(x) =... složená funkce, vnitřní je z = -x, z` = -; vnější je e z, její derivace: e z = e -x... = -e -x -e x Ne! Slíbený integrál: - e x d x=- e x d x=- e x C Druhá dvojice: f(x) = -cosx +, F(x) = x - + sinx F`(x) = cosx = cosx + -cosx + Ne! Integrováním by to bylo takto: - cos x d x=-sin x x C =... když za C dosadíme -... = x - - sinx x - + sinx, protože si to je rovno pouze tam, kde je sinx nulové, a to nám nestačí. Nejde o interval, ale oddělené body (x = kπ, k Z ). Třetí dvojice: f(x) = x, x F(x) = x x `. x - x. x ` F`(x) = x x - x - = =- x x x Integrováním:. x - x. = x =

2 d x =... substituce: z = x + ; x = dz = dx... = d z z = = z - d z = - z - + C = -z - + C = - z C = = - x C x x... Skutečně? S tou konstantou, která může být jakékoliv číslo, je to zapeklité. x Pokus: x = x x = x x x = x Kdyby bylo C =, bylo by to už hodně podobné, ale ne stejné. Takže zase ne! Poslední dvojice: f(x) = 5x 4 +, F(x) = x 5 + x + F`(x) = 5x = 5x 4 + Ano! Integrálem: 5 x 4 d x= 5 x5 5 x C = x 5 + x + C, Kde jedna z možností je: C =. Potom vyjde x 5 + x + jako reprezentace toho integrálu, která se shoduje se zadanou funkcí F(x). Takže ano! A výsledek: (B), že jedna dvojice vyhovuje.. Najděte tabulkový integrál t d t. Nevím, jestli máte nějakou tabulku integrálů nafasovanou. Vím, že v publikaci "Bartsch - Matematické vzorce" se najde lecos, ale já ji nemám (naposledy jsem ji viděl na náměstí v antikvariátě za cca. 00,-Kč - FUJ!). Také jsem nějakou tabulku viděl ve Vašich skriptech: "Doc. RNDr. Václav Nýdl, CSc., Mgr. Renata KLUFOVÁ Matematika Část - Matematická analýza". Pochybuju ale, že Vám skripta povolí k písemce. Navíc se stejně jako první díl (alespoň vydání, která jsem měl půjčena z JVK) hemží chybami, takže by to chtělo tu tabulku přepočítat. Chci tím říci jenom tolik, že tabulkové integrály jsou podle mě kravina! Následuje normální výpočet: t d t= d t= dt t t =... substituce: x =, = /.,.dt. dx = dt... = x..d x= x d x = arctgx + C = arctg( t ) C, což je úplně něco jiného, než je nabízeno. Takže (E). Já sám jsem si udělal zkoušku derivováním a vyšlo mi to u mého výsledku a u žádného z nabízených. Tady tu zkoušku neuvádím. Kromě docela divoké přípravné fáze to nebylo až zase tak těžké - jedna průhledá a jednoduchá substituce, kterou jsem tam viděl již od začátku, potřeboval jsem se akorát zbavit té dvojky ve jmenovateli a nahradit ji jedničkou. Podobné kousky se u integrování vždycky hodí. Zvykejte si tedy pomalu na úpravy na opačnou stranu, než obvykle děláte (myslím tím např.: x = x + - nebo a= a. anebo ta, co se Vám tady jistě líbila:

3 =.. Najděte všechny maximální otevřené intervaly, na nichž má funkce y= x funkci primitivní. x Klíčem k řešení je věta: Primitivní funkce existuje, když je zadaná funkce spojitá. Hledáme tedy místa, kde je definiční obor roztržený, což je tam, kde nastane něco zakázaného. Jde o zlomek. Ten nesmí mít nulu ve jmenovateli. Pro definiční obor tedy vycházíme z nerovnice: x + 0 / x - Jinou podmínku pro definiční obor nemáme. Takže můžeme psát: D(f) = (-, -) (-, ). V účku je přerušení. Zbytek jsou nepřerušené otevřené intervaly, které po nás chtěli. Takže výsledek je: (-, -), (-, ). Správně je tedy (B). 4. Pomocí tabulek určete h(s) = s ln s ds, přičemž integrační konstantu položte rovnu 0. Potom hodnota h() je rovna... Jak jsem již uvedl v předminulém příkladu, mám k úlohám tohoto typu nepřekonatelný odpor zláště proto, že nemám tabulky a nehodlám si je pořizovat. Vy si klidně zajděte do toho antíku, kupte si Barče a zkuste to tam najít. My chudí integrujeme bez tabulek. Je to násobek dvou nesourodých funkcí. Proto by to mohlo jít per partes. Ten kus s logaritmem budeme derivovat a s integrovat, protože to obojí umíme. Nakonec samozřejmě dosadíme do vzorečku pro per partes. Ještě poznámečka: Všimli jste si? Vzorec pro per partes: u ` x. v x d x=u x. v x - u x. v ` x d x znamená, že si zadanou funkci rozdělíme na součin funkce u`, kterou zintegrujeme na u a funkce v, kterou do druhého kola integrování naopak zderivujeme na v`. Takže integrujeme první půlku, přerovnáme a dointegrujeme. A proto se to jmenuje per partes = po částech.... konec poznámky. s ln s d s =...podle plánu u` = s integrujeme, vyjde u =, v = ln s derivujeme:... složená funkce. Vnitřní je z = lns, z` =. Vnější je z, její derivace je z, což je lns... =.lns = v`. = 4 s4. ln s - 4 s4. s. ln s d s = 4 s4. ln s - s ln sd s = 4 s4. ln s - s ln sd s = *... Uděláme si odbočku, ve které si spočítáme pouze ten poslední integrál. Až to budeme mít, budeme pokračovat v psaní celého výsledku. Tedy ten druhý integrál s ln s d s uděláme také metodou per partes, kde podobně jako v prvním

4 případě budeme mocninu integrovat: u` = s, u = 4 s4, kdežto logaritmus derivovat: v = lns, v` = s. s ln s d s= 4 s4 ln s - 4 s4. s d s = 4 s4 ln s - 4 s d s = 4 s4 ln s s4 = 4 s4 ln s - 6 s4. *...= 4 s4. ln s -.( 4 s4 ln s - 6 s4 ) C... zde jsme se definitivně zbavili integrálů, proto je nyní ten správný okamžik přidat konstantu, které v zadání říkají integrační... = 4 s4. ln s - 8 s4 ln s s4 C =...kdo by nyní pro zjednodušení vytkl před závorku s 4, myslí stgejně jako já, mně to ale ještě nestačí, ještě chci zmenšit počet zlomků ve výsledku na minimum a za tím účelem je převedu všechny na společného jmenovatele ()... 8 = s4. ln s- 4 s4 ln s s4 C =... teď teprve vytknu před závorku... = s4 8ln s - 4ln s C Dosazujeme tedy do vztahu: h(s) = s4 8ln s - 4ln s. h() = 4 8ln - 4ln = To je varianta (A) = 5. Funkce y= ln8 x 8 8 je primitivní funkcí k funkci... Řešení: Stačí zderivovat a porovnat s nabízeným. y` = ( ln8 x 8 )` = 8 ln 8 x ` =... složená funkce. Vnitřní je z = lnx, z` = ; vnější funkce je z 8, její derivace 8z 7... = 8.8. ln7 x. x =ln7 x x, což je možnost (D). 6. Vypočtěte neurčitý integrál u d u. Komentář k tomuto minitestu: Je to minitest na integrály a přesto je toto teprve třetí příklad, u kterého skutečně potřebujeme integrovat. A proto je tu málo materiálu na to, abyste si pořádně všimli, že integrování je disciplína podobná sázení na koníčky. Začátečník hodně tratí, když má ale štěstí, může dost vyhrát. Pokročilý koukne na integrál a už vidí, jak poběží. Proto ale také bývá u integrování klíčová přípravná fáze. Tento integrál je velmi lehký, pokud prohlédnete, že stačí tu funkci dobře upravit, a to takto:

5 = u = u u. = =. = u - u u Nyní integrujeme podle toho nejjednoduššího vzorečku - integrál mocniny. u d u = u - du = u - - du =. -.u + + C = =.u C = 6 u C, což je možnost (E). Poznámka: A je to úplně jinak, než k tomu příkladu propiskou připsalo to prase, co počmáralo knihovní výtisk cvičebnice a ještě si z ní jako tahák vytrhlo list se vzorečkama. Dobře mu tak! Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.