Lokální xtrémy - řšné příklady 1 Lokální xtrémy Vyštřt lokální xtrémy násldujících funkcí víc proměnných: 1 Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = x + y + 5 = 0, f y = x + 6y + = 0 Parciální drivac xistují pro každé [x, y] R a proto jdinými kandidáty na lokální xtrémy jsou stacionární body, ktré nalznm vyřšním vzniklé soustavy rovnic Soustava j linární, můžm tdy použít mtod linární algbry 5 6 5 0 3 5 0 1 3 Nalzli jsm stacionární bod a = [ 13, 3 ] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matici a Platí xx =, xy =, yy = 6 = a = 6 1 0 13 0 1 3 Určím hlavní minory matic a a použijm Sylvstrovo kritérium viz učbní txt Platí D 1 a = > 0 a D a = 8 > 0 Podl kritéria nastává v bodě a = [ 13, 3 ] lokální minimum funkc f Příklad fx, y = xy 3x y + x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = y 6x + 1 = 0, f y = x y + 1 = 0 Parciální drivac xistují pro každé [x, y] R a proto jdinými kandidáty na lokální xtrémy jsou stacionární body, ktré nalznm vyřšním vzniklé soustavy rovnic Soustava má jdiné řšní a = = [ 3 10, 10] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matici a Platí xx = 6, xy =, yy = = = a = 6 Určím hlavní minory matic a a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a = 6 < 0 a D a = 0 > 0 Podl kritéria nastává v bodě a = [ 3 funkc f 10, 10] lokální maximum 3 Příklad fx, y = x 3 + xy + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = 6x + y + 10x = 0, f y = xy + y = 0 RNDr Jiří Klaška, Dr ÚM FSI v Brně, 15 006
Lokální xtrémy - řšné příklady Jdinými kandidáty na lokální xtrémy jsou stacionární body, ktré nalznm vyřšním vzniklé soustavy rovnic Soustava j nlinární Z druhé rovnic plyn yx + 1 = 0 Odtud x = 1 y = 0 Dosazním x = 1 do první rovnic dostávám 6 + y 10 = 0, odkud y = ± Dál dosazním y = 0 dostávám 6x + 10x = 0, odkud x = 0 x = 5 3 Soustava má čtyři řšní Nalzli jsm čtyři stacionární body a 1 = [0, 0], a = [ 5 3, 0], a 3 = [ 1, ], a = [ 1, ] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a i, i = 1,, 3, Platí xx = 1x + 10, xy = y, yy = x + = 1x + 10 y y x + Po dosazní souřadnic stacionárních bodů dostávám 10 0 a 1 =, 10 0 a 0 = 0 3, a 3 = 0, a = 0 Určím hlavní minory matic a i a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a 1 = 10 > 0, D a 1 = 0 > 0 Podl kritéria nastává v bodě a 1 lokální minimum funkc f Dál D 1 a = 10 < 0, D a = 0 3 > 0 V bodě a nastává lokální maximum funkc f Dál platí D 1 a 3 = < 0, D a 3 = 16 < 0 a D 1 a = < 0, D a = 1 < 0 Podl kritéria nnastává v bodě a 3 ani v bodě a lokální xtrém funkc f Příklad fx, y = x 3 + xy xy 5x Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = 3x + y y 5 = 0, f y = xy x = 0 Nalznm stacionární body Soustava j nlinární Z druhé rovnic plyn xy 1 = 0 Odtud x = 0 y = 1 Dosazním x = 0 do první rovnic dostávám y y 5 = 0, odkud y = 1 ± 6 Dál dosazním y = 1 dostávám 3x 6 = 0, odkud x = ± Soustava má čtyři řšní Nalzli jsm čtyři stacionární body a 1 = [, 1], a = [, 1], a 3 = [0, 1 + 6], a = [0, 1 6] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a i, i = 1,, 3, Platí xx = 6x, xy = y, yy = x 6x y = y x Po dosazní souřadnic stacionárních bodů dostávám 6 6 0 a 1 = 0 0 6 a 3 = 6 0, a =, a = 6 0 0 0 6 6 0 Určím hlavní minory matic a i a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a 1 = 6 > 0, D a 1 = > 0 Podl kritéria nastává v bodě a 1 lokální minimum funkc f Dál D 1 a = 6 < 0, D a = > 0 V bodě a nastává lokální maximum funkc f Dál platí D 1 a 3 = 0, D a 3 = < 0 a D 1 a = 0, D a = < 0 Podl kritéria nlz rozhodnout, zda v bodch a 3, a dochází k lokálním xtrémům funkc f Vyštřím njprv podrobně okolí bodu a 3 Zvolm podokolí, ktré j průnikm libovolného okolí s přímkou y = 1 + 6 Zřjmě platí f x, 1 + 6 = x 3 + 1 + 6 x x 1 + 6 5x = x 3 J-li x > 0, pak f x, 1 + 6 > 0, J-li x < 0, pak f x, 1 + 6 < 0 v bodě a 3 nní lokální xtrém Podobně postupujm v případě bodu a Volm podokolí, ktré j průnikm libovolného okolí s přímkou y = 1 6 Zřjmě platí f x, 1 6 = x 3 + 1 6 x x 1 6 5x = x 3 J-li x > 0, pak f x, 1 6 > 0, J-li x < 0, pak f x, 1 6 < 0 ani v bodě a nní lokální xtrém, RNDr Jiří Klaška, Dr ÚM FSI v Brně, 15 006
Lokální xtrémy - řšné příklady 3 5 Příklad fx, y = x 3 3xy + y 3 + 1 Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = 6x 3y = 0, f y = 3x + 6y = 0 Nalznm stacionární body Soustava j nlinární Z první rovnic plyn y = x Dosazním do druhé rovnic dostávám 6x 3x = 0, odkud x = 0 x = 1 Soustava má dvě řšní Nalzli jsm dva stacionární body a 1 = [0, 0], a = [ 1, ] 1 Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a 1 a a Platí xx = 1x, xy = 3, yy = 1y 1x 3 = 3 1y Po dosazní souřadnic stacionárních bodů dostávám 0 3 a 1 = 3 0, a = 6 3 3 6 Určím hlavní minory matic a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a 1 = 0, D a 1 = 9 Podl kritéria nlz rozhodnout, zda v bodě a 1 nastává xtrém funkc f Dál D 1 a = 6 > 0, D a = 7 > 0 V bodě a nastává lokální minimum funkc f Nyní vyštřím podrobně okolí bodu a 1 Zvolm podokolí, ktré j průnikm libovolného okolí s osou x, tj přímkou y = 0 Zřjmě platí fx, 0 = x 3 + 1 J-li x > 0, pak fx, 0 > 1 = fa 1 J-li x < 0, pak fx, 0 < 1 = fa 1 v bodě a nní lokální xtrém 6 Příklad fx, y, z = x 3 + y + 1 z 3xz y + z Sstavím soustavu rovnic f x = 3x 3z = 0, f y = y = 0, f z = z 3x + = 0 Z druhé rovnic plyn y = 1 Z třtí plyn z = 3x Dosazním do první rovnic dostávám 3x 33x = 0, odkud x = 1 x = Soustava má dvě řšní a 1 = [1, 1, 1], a = [, 1, ] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a 1 a a Platí xx = 6x, yy =, zz = 1, xy = 0, xz = 3, yz = 0 = 6x 0 3 0 0 Po dosazní souřadnic stacionárních bodů dostávám a 1 = 0 0, a = 6 0 3 1 0 3 0 0 Určím hlavní minory matic a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a 1 = 6 > 0, D a 1 = 1 > 0, D 3 a 1 = 6 < 0 Podl kritéria nnastává v bodě a 1 lokální xtrém funkc f Dál D 1 a = 1 > 0, D a = > 0, D 3 a = 6 > 0 V bodě a nastává lokální minimum funkc f RNDr Jiří Klaška, Dr ÚM FSI v Brně, 15 006
Lokální xtrémy - řšné příklady 7 Příklad fx, y, z = x 3 + y + z + 1xy + z Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava f x = 3x + 1y = 0, f y = y + 1x = 0, f z = z + = 0 Z třtí rovnic plyn z = 1 Z druhé plyn y = 6x Dosazním do první rovnic dostávám x x = = 0, odkud x = 0 x = Soustava má dvě řšní a 1 = [0, 0, 1], a = [, 1, 1] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a 1 a a Platí xx = 6x, yy =, zz =, xy = 1, xz = 0, yz = 0 = 6x 1 0 1 0 0 0 Po dosazní souřadnic stacionárních bodů dostávám 0 1 0 a 1 = 1 0, a = 0 0 1 1 0 1 0 0 0 Určím hlavní minory matic a použijm Sylvstrovo kritérium Platí D 1 a 1 = 0, D a 1 = 1 < 0, D 3 a 1 = 88 < 0 Podl kritéria nlz rozhodnout, zda v bodě a 1 nastává lokální xtrém funkc f Dál D 1 a = 1 > 0, D a = 88 > 0, D 3 a = 88 > 0 V bodě a nastává lokální minimum funkc f Nyní vyštřím podrobně okolí bodu a 1 Zvolm podokolí, ktré j průnikm libovolného okolí s přímkou x = x, y = 0, z = 1 Zřjmě platí fx, 0, 1 = x 3 1 J-li x > 0, pak fx, 0, 1 > 1 = fa 1, J-li x < 0, pak fx, 0, 1 < 1 = fa 1 v bodě a 1 nní lokální xtrém 8 Příklad fx, y = x x + y Spočtm parciální drivac Vznikn soustava f x = x 1 x + y + x x = f y = y x = 0 x + y + 1 = 0, Nalznm stacionární body Z druhé rovnic plyn y = 0 Dosazním do první rovnic dostávám x + 1 = 0 Odtud x = Soustava má jdiné řšní a = [, 0] Spočtm druhé parciální drivac a sstavím matic a a Platí f xx = 1 x x + y +, f xy = y x, f yy = x 1 = x x + y + y x, y x x 1, a = 0 0 Určím hlavní minory matic Platí D 1 a = 1 > 0, D a = 1 > 0 Podl kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkc f RNDr Jiří Klaška, Dr ÚM FSI v Brně, 15 006
Lokální xtrémy - řšné příklady 5 9 Příklad fx, y = x + y x y Spočtm parciální drivac Vznikn soustava f x = x1 x y x +y = 0, f y = y1 x y x +y = 0 Nalznm stacionární body Z první rovnic plyn x = 0 x + y = 1 a z druhé rovnic plyn y = 0 x + y = 1 Nalzli jsm stacionární bod a = [0, 0] a body b na kružnici x + y = 1 Spočtm druhé parciální drivac a matic a a Platí = xx = 1 x y 1 x x x +y, xy = xy x y x +y, yy = 1 x y 1 y y x +y 1 x y 1 x x xy x y x +y x +y xy x y 1 x y 1 y y x +y x +y a = 0 0, b = x xy xy y, Určím hlavní minory matic Platí D 1 a = > 0, D a = > 0 Podl kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkc f D 1 b = x > 0, D b = 0 Podl kritéria nlz rozhodnout Platí však fb = 1 c pro libovolné c c 0 na x + y = 1 nastává nostré maximum f 10 Příklad fx, y = x x + y + y Spočtm parciální drivac Vznikn soustava f x = x y + x + y + 1 = 0, f y = x y + 1 = 0 Nalznm stacionární body Z druhé rovnic plyn y = 1 Dosazním do první rovnic dostávám x = 1 Soustava má jdiné řšní a = [ 1, 1] Spočtm druhé parciální drivac a matic a a Platí f xx = x x + y + y + 1, f xy = x y + 1, f yy = x = x x + y + y + 1 x y + 1 x y + 1 x, 0 a = 0 Určím hlavní minory matic Platí D 1 a = > 0, D a = > 0 Podl kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkc f RNDr Jiří Klaška, Dr ÚM FSI v Brně, 15 006