x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f"

Transkript

1 II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých derivací f f 1 (A) = f (A), (A) = (A), (A) f (A), f (A) Věta (postačující podmínk pro lokální etrém funkce dvou proměnných). Necht funkce f(,) má spojité parciální derivace. řádu v bodě A. Necht je v bodě A splněna nutná podmínka gradf(a) = 0. Pak platí: Je-li 1 (A) > 0 a (A) > 0, pak funkce f má v bodě A ostré lokální minimum. Je-li 1 (A) < 0 a (A) > 0, pak funkce f má v bodě A ostré lokální maimum. Je-li (A) < 0, pak funkce f nemá v bodě A lokální etrém. Postup při výpočtu lokálních etrémů 1. krok: Podle nutné podmínk určíme tv. kritické bod, tj. a) bod, v nichž funkce f(, ) není diferencovatelná, b) bod, které jsou řešením soustav rovnic f = 0, f = 0.. krok: V bodech b) postupujeme podle postačující podmínk. Najděte lokální etrém funkce : Příklad 197. (,) = + Řešení : Daná funkce je definovaná v E. Parciální derivace = +, = neeistují v bodě A = 0, 0, který je jediným + kritickým bodem. V bodě A ted může být lokální etrém, nebot funkce f není v bodě A diferencovatelná. Nele však rohodnout podle výše uvedené postačující podmínk, proto použijeme definici lokálního etrému.pro každý bod prstencového okolí P(A) bodu A ale platí, že f(x) > f(a). Funkce f ted má v bodě A = 0, 0 ostré lokální minimum s hodnotou f(0,0) = 0. Ponámka. Nerovnost f(x) > f(a) je splněna v libovolném prstencovém okolí P(A). Funkce f ted má v bodě A = 0, 0 i ostré globální minimum. 35 Příklad má náornou geometrickou interpretaci. Stačí si uvědomit, jaká plocha je grafem funkce = +.

2 Příklad 198. f(,) = Řešení : Funkce f(,) má spojité parciální derivace 1. a. řádu. 1) Podle nutné podmínk f = 0, f = 0 dostaneme soustavu: f = 3 6 = 3 6 = 0 dosadíme f = = 0 3( ) = 0 = ( )(+1) = 0 = = = Připravíme si druhé derivace f = 6 f = 1 = f f = 1 = 1(,) = 6, (,) = ) Z postačující podmínk a dostaneme dva kritické bod,, 1, = ávěr, 9 10 ostré lok. minimum, f(,) = 10 1, 1-9 není etrém Příklad 199. (,) = Řešení : Zde máme funkci dvou proměnných v eplicitním tvaru. Funkce je diferencovatelná v E, proto nutná podmínka eistence lokálních etrémů je : = 0, = 0. = = = 0 = + = (+1) = 0 = bud = 0 nebo = 1 { 1 = 0 = A 1 = 0,0 = 0 : = 0 = = 5 3 = A = 5 { 3,0 = 1 : = 0 = = = A = 4 = 3 = 1, = = A 4 = 1, Nní si připravíme derivace druhého řádu : A 1 A A 3 A 4 = = + 4/3 0 0 = = Je-li (A i ) = > 0, pak eistuje lokální etrém v bodě A i. < 0, pak neeistuje lokální etrém v bodě A i. ProA 1 : (A 1 ) = 10 0 > 0, 0 1 (A 1 ) = (A 1 ) > 0, obdržímelokálníminimum (A 1 ) = Pro A : (A ) = 0 4 > 0, 1(A ) = (A ) < 0, je lokální maimum 3 (A ) =

3 Pro A 3, A 4 je (A 3 ) = (A 4 ) = 16 < 0, a proto v bodech A 3 a A 4 lokální etrém neeistují. Příklad 00. Funkce = f() je vjádřena v implicitním tvaru F(,) = + +8 = 0. Řešení : Spočítáme : = F = + pro. F Položíme = 0, ted + = 0 = =. Dosadíme do adání, abchom určili souřadnice případných lokálních etrémů +8 = 0 = = 8 = 1, = ±, 1, =. Dostali jsme dva bod A =, a B =,. Nní spočítáme = (1+ )( ) (+)( 1) ( ), takže (A) = 4 < 0 = f() = je lokální maimum a 16 (B) = 4 > 0 = f( ) = je lokální minimum. 16 Příklad 01.* f(,,) = Řešení : 3 = f f f f f f f f f, = f f f f, 1 = f Podle Slvestrov vět o kvadratických formách platí : { 3 (P) > 0, 1 (P) > 0,pak f(p) je ostré lokální minimum. Je-li (P) > 0, 3 (P) < 0, 1 (P) < 0, pak f(p) je ostré lokální maimum. Je-li (P) < 0, pak v bodě P neeistuje lokální etrém. Výpočet vpadá následovně : f = 3 +1 = 0 neboli +4 = 0, f = +1 = 0 neboli = 6, f = + = 0, neboli = 1 A = 0,0, 1, B = 4, 144, 1, pak 4 = 0 a 1 = 0, = 4, f = 6, f =,f =, f = 1, f = 0, f = 0. Protože (A) = < 0, v bodě A nenastává lokální etrém. Protože (B) = = 144 > 0, (B) = = 88 > 0 a 1 (B) = 144 > 0, je f(b) = f(4, 144, 1) = 6913 lokální minimum. 37

4 Můžeme se též přesvědčit přímo, že kvadratická forma d f(b) je poitivně definitní : d f(b) = 144(d) +4dd +(d) +(d) = (1d+d) +(d) +(d) > 0 Najděte lokální etrém daných funkcí s danou podmínkou: Příklad 0. = ( + ), jestliže + =. Řešení : Geometrick se jedná o naleení etrémů -ové souřadnice na průsečné křivce rotačního paraboloidu = ( + ) s rovinou + =. Z podmínk + = vjádříme např. = a dosadíme do dané funkce (,) = ( + ). Tím dostaneme () = (, ) = ( +( ) ), takže () = 4( +). Pro funkci jedné proměnné () hledáme lokální etrém. Je ted () = 4( ) = 0. Odtud 1 = 1, 1 = 1 = 1 a () = 8 > 0 (1,1) = 4 je lokální minimum. Příklad 03. = 3 + 4, jestliže + = 1. Řešení : Geometrick se jedná o naleení etrémů -ové souřadnice na průsečné křivce rovin = s rotační válcovou plochou + = 1. Jelikož podmínk + = 1 nele jednonačně vjádřit ani ani, přejdeme { { = rcost = cost do polárních souřadnic = rsint, kde r = 1, ted = sint. Potom = (cost,sint) = cost 3 + sint 4 a dále = d dt = sint + cost 3 4 tg t = 3 4. = 0, takže Jak vidíme na obráku je sint = ± 3 5, cost = ± t Pro sint 1 = 3 5, cost 1 = 4 je t 1 (0, π 5 ) a pro sint = 3 5, cost = 4 je t (π, 3π 5 ). 38

5 Dále je = d dt = cost sint = (t 1 ) < 0, (t ) > ( 4 Dospěli jsme k lokálnímu maimu (t 1 ) = 5, 3 = 5) = 5 1 ( a lokálnímu minimu (t ) = 4 ) 5, 3 = Příklad 04. = sin +sin, jestliže = π 4. Řešení : () = (, π/4) = sin +sin ( π 4 ), () = sincos+sin( π 4 )cos( π 4 ) = = sin+sin( π ) = sin+sincos π cossin π = sin cos Položíme-li () = 0, dostaneme sin = cos a dále = π 4 +kπ, = π 8 +k π, takže k 1 = n, k = n+1. Vpočteme druhou derivaci : () = cos+sin, ( π 8 +n π ) = + = > 0, ( π 8 +(n+1) π ) = ( π ) Ted 8 +nπ = sin π 8 = 1 cos π 4 = 1 ( π 8 ) +(n+1)π a = < 0. je lokální minimum = sin 5π π 8 +sin 8 = 1 ( 1 cos 5π 4 +1 cos π ) = 4 = 1 ( ) + = 1 je lokální maimum. Příklad 05.* = +, jestliže + +4 = 0. Řešení : ZdepoužijemeLagrangeovu funkci:je-li dána funkce = f(,) a podmínka g(, ) = 0, potom Lagrangeova funkce má vjádření L(,,λ) = f(,)+λg(,). Její stacionární bod ískáme řešením soustav L = 0 L = 0 L λ = g(,) = 0. Funkce = f(,) může mít a podmínk g(,) = 0 etrém poue v bodech,, ke kterým eistuje λ R takové, že,,λ je kritickým bodem funkce L(,,λ). V našem příkladě máme L(,,λ) = + +λ( + +4) L = +λ( ) = 0 a odtud = λ 1+λ, L = 4 +λ(4 +4) = 0 a odtud = λ 1+λ. Ted + +4 = 0, takže λ (1+λ) λ 1+λ + λ (1+λ) 4λ 1+λ = 0, 3λ (1+λ) = 6λ 3λ, λ 1 a následně 1+λ 1+λ = 6λ, 3λ +6λ = 0 = λ (λ+) = 0. 39

6 Zde máme λ 1 =, takže 1 =, 1 =, A 1 =, anebo λ = 0 takže = 0, = 0, A = 0,0. Dále je L = +λ, L = 4+4λ, L = 0 a odtud (A 1 ) = > 0, L (A 1 ) < 0, L(A 1 ) = 1 je lokálním maimem, (A ) = > 0, L (A ) > 0, L(A ) = 0 je lokálním minimem. Příklad06.V rovině + +3 = 0 najděte bod, jehož součet čtverců vdáleností od bodů A = 1,1,1 a B =,, je nejmenší. Řešení : Hledaný bod onačíme P =,, a sestavíme součet AP + BP, který apíšeme pomocí souřadnic bodů f(,,) = ( 1) +( 1) +( 1) +( ) +( ) +( ). Bod P musí ležet v rovině + +3 = 0. Ted tato rovnice rovin představuje vaební podmínku, která musí být splněna. Vjádříme-li si např. = + +3 a dosadíme-li do f(,,), potom funkce f(,,+ +3) bude funkcí dvou proměnných a : f(,) = f(,,++3) = ( 1) +( 1) +(++) +( ) +( ) +(++1), f = ( 1)+(++)+( )+(+ +1) = 8(+), f = ( 1)+4(+ +)+( )+4(+ +1) = 4(+5)+6. f Položíme = 0, pak + = 0 = =, f = 0, takže 4+10 = 3 = 6 = 3, 1 = 1, 1 = 1. Máme ted 1 = 5 1, P =, 1, 5. f (P) = 8 Dále je f (P) = 8 f (P) = 0 takže (P) = > 0, (P) f > 0 a f(p) = 7 je lokální minimum. Věta (Postačující podmínka eistence absolutních etrémů funkce na dané množině). Je-li funkce f(,) spojitá na neprádné množině M, která je omeená a uavřená, pak f nabývá maima a minima na množině M. Speciální případ je tv. váaný etrém, a to kdž M = {, E : g(,) = 0, kde g je daná funkce. Pokud le, pak vaební podmínk g(,) = 0 vjádříme jednu proměnnou, kterou dosadíme do dané funkce f. Získáme tak úlohu určit etrém funkce jedné proměnné. Postup při výpočtu absolutních etrémů. Připomeňme, že M 0 je vnitřek a M je hranice množin M. 40

7 1. krok: Ověříme splnění předpokladů právě uvedené vět, čímž důvodníme eistenci absolutních etrémů.. krok: Určíme všechn kritické bod X funkce f v M krok: Určíme všechn bod X M, ve kterých může funkce f nabývat absolutních etrémů. 4. krok: Určíme hodnot funkce f ve všech vpočítaných bodech. Největší hodnota je rovna ma M f a nejmenší hodnota je rovna min M f. Určete absolutní (globální) etrém funkce = f(,) na množině M : Příklad 07. f(,) = + +, M = {, E : 0, 0, + 1 Řešení : Ověříme eistenci absolutních etrémů: Daná množina M je uavřená a omeená. Daná funkce f je spojitá v E, ted též v M. To je postačující pro eistenci absolutních etrémů. 1) určíme stacionární bod na vnitřku množin M a jejich funkční hodnot : f + 1 = 0 = = 1 f + 1 = 0 3 = C 1 A 1 = 3 3, 1 M, f(a 1 ) = 1 3 ; M O ) určíme podeřelé bod na hranici M, tj. na jednotlivých stranách OBC OB : = 0 = h 1 () = f(,0) =, h 1() = 1 = 0 = = 1, 1 A =,0 M, f(a ) = 1 4, OC : = 0 = h () = f(0,) =, h () = 1 = 0 = = 1, A 3 = 0, 1 M, f(a 3 ) = 1 4, BC : = 1 = h 3 () = f(,1 ) = +(1 ) +(1 ) 1+ =, h 3() = 1 = 0 = = 1, 1, 3 M ; 3) určíme hodnot funkce f(, ) ve vrcholech O, B, C f(o) = f(0,0) = 0, f(b) = f(1,0) = 0, f(c) = f(0,1) = 0. Ze všech spočítaných funkčních hodnot vbereme nejmenší a největší. Globální maimum nastává v bodech O,B,C, f ma (O) = f ma (B) = f ma (C) = 0 a podobně globální minimum v bodě A 1, f min (A 1 ) = 1 3. B 1 0 M 1 41

8 Příklad 08. = + 6+6, M = {, E : + 4 Řešení : Geometrick se jedná o naleení etrémů -ové souřadnice na paraboloidu, která je ohraničena průnikem paraboloidu = s válcovou plochou + = 4. 1) Stacionární bod ve vnitřku množin M: = 6 = 0 = 1 = 3 = A = 3, 3, A M. = +6 = 1 = 3 ) Bod na hranici množin M apíšeme v parametrickém tvaru : = cost, t 0,π = sint Pak postupně : = (cost,sint) = 4 1cost+1sint, d = 1sint+1cost = 0, dt = sint = cost, t 1 = 3 4 π, t = 7 4 π, t 1 = 3 4 π = B =,, (B) = 4+1 je globální maimum a t = 7 4 π = C =,, (C) = 4 1 je globální minimum. M A Je dána funkce f = f(,). a) Napište nutnou podmínku pro lokální etrém diferencovatelné funkce n-proměnných v bodě A. b) Napište postačující podmínk pro lokální minimum(resp. maimum) funkce f(, ) v bodě A. c) Všetřete lokální etrém dané funkce f, tj. určete jejich polohu, tp a funkční hodnotu. 09. f(,) = Ostré lok. min. v bodě 8,, f( 8, ) = f(,) = Ostré lok. min. v bodě, 3, f(, 3) = 5, v bodě, 3 není etrém. 11. f(,) = e Ostré lok. ma. v bodě 1,1, f = 1+1/e 1. f(,) = f(,) = Ostré lok. min. v bodě,, f(,) =, v bodě0, 0 není etrém. Ostré lok. min. v bodě3,3, f(3,3) = 19, v bodě 1, 1 není etrém. 14. f(,) = Ostré lok. min. v bodě 1,1, f( 1,1) = 3 4

9 15. f(,) = f(,) = + + 6ln Ostré lok. min. v bodě 5,, (f(5,) = 30) fmin(, 1) = 3 6ln, bod,1 D(f) Určete lokální etrém funkce : 17. = min(4,4) = = min( 3,) = = ln(1 ) ma(0,0) = 0 0. = ( 6 +5 min 1, 1 ) = 4, v bodě 0,0 není etrém 1. = e / (+ ). = min(,0) = e min(1,1) = 17, ma( 4, 1) = 58 v bodech1, 1, 4, 1 neeistují etrém 3.* = 0 min(, 3) = 0, ma(, 3) = 4.* = 0 ve stac.bodech 1,,3, 1,, neeistují etrém 5.* f(,,) = f(, 1, 3)) = 14, lok.min. 6.* f(,,) = * = ln() další stac.b.a 3 = 1+ f(3,36,1) = 873,lok.min., v bodě3,0,0není etrém lok.ma. v boděa 1 = 1,1, lok.min. v boděa = 1+,1+,,1, A 4 = 1,1+ 8. a) Všetřete lokální etrém funkce f(,) = b) Zdůvodněte eistenci a najděte absolutní etrém této funkce na úsečce AB, kde A = 0,,B = 1,1. a) lokálníf min( 1, 1) = 1, b)f min(1/,3/) = 6, f ma(0,) = f ma(1,1) = 7 Je dána funkce f a množina M. a) Zdůvodněte eistenci absolutních etrémů funkce f na dané množině M. b) Absolutní etrém všetřete, tj. stanovte jejich polohu a vpočítejte hodnotu maima i minima funkce f na množině M. 9. f(,) = +ln, M = {, E ; = +1, 1/4 1 fmin(1,) = 3, f ma(1/,3/) = 7/4 ln. =,4, f(1/4,5/4) = 1/16 ln4. =,7není etrém 30. f(,) = + 3, M = {, E ; + 3, 0, f(,) = +, M = {, E ; + 9, 0 f min(0,3) = 3, f ma(0,0) = f ma(3,0) = 0 f min(1,0) = 1, f ma( 3,0) = 15 Pro všetření bodů na hranici můžete užít polárních souřadnic, úlohu však le řešit i be nich. 43

10 Určete globální etrém funkce = f(,) na množině M : 3. f(,) = +, M = {, E : + 1 glob.min.f(0,0) = 0 glob.ma.f(1,0) = f(0,1) = = f( 1,0) = f(0, 1) = f(,) =, M = {, E : + 4 (použijte polární souřadnice) glob.min.f(0,±) = 4 glob.ma.f(±,0) = f(,) = ( a)( b), M = {, E : 0 a, 0 b glob.ma.f( a, b ) = a b 16 glob.min.f(0,0) = f(a,0) = f(0,b) = f(a,b) = f(,) = ( ), M = {, E : 0, 0, + 1 glob.ma.f( 1, 1 ) = 1 4 glob.min.f(,0) = f(0,) = f(,) = , M = {, E : 0, 0, +3 0 glob.min.f( 1,0) = 5 4 glob.ma.f(0,3) = 11 44

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka 1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební FUNKCE VÍCE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební FUNKCE VÍCE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní tet pro obor G+K Katedra matematik Fakulta stavební České vsoké učení technické DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Globální extrémy (na kompaktní množině) Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

1.1 Steinerovy věty. lineární momenty a momenty kvadratické. Zajímat nás budou nyní osové kvadratické. v ohybu. Jejich definice je

1.1 Steinerovy věty. lineární momenty a momenty kvadratické. Zajímat nás budou nyní osové kvadratické. v ohybu. Jejich definice je VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ PRUŽNOST A PEVNOST I Řešené příklad Výpočet osových kvadratických momentů Pátek, 9. května 8 Jan Tihlařík 1 Osové kvadratické moment průřeů

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0]. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více