Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Transkript

1 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou formu studia

2 OBSAH Obsah I Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 Definiční obor funkce dvou proměnných 3 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů 7 3 Limita a spojitost 4 Parciální a směrové derivace, gradient 4 5 Diferenciál a Taylorův polynom 7 6 Lokální extrémy 7 Vázané a globální extrémy 5 8 Implicitní funkce 3 II Integrální počet funkcí více proměnných 33 9 Dvojný integrál - Fubiniho věta 33 Trojný integrál - Fubiniho věta 37 Dvojný integrál - Transformace integrálů 4 Trojný integrál - Transformace integrálů 48 3 Aplikace vícerozměrných integrálů 54 RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

3 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 3 Část I Diferenciální počet funkcí více proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému O, x, y zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných:. Příklad fx, y = 4 x + y 9. Řešení 4 x y 9 x 4 y 9 x y 3 x, y, 3 3,. Tedy Df =,, 3 3,. Viz Obr... Příklad fx, y = ln xln y x. Řešení xln y x > x > ln y x > x < ln y x < x > y x > x < < y x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x + x < y < x + y > x}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

4 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 4 3. Příklad fx, y = x sin y. Řešení x sin y x sin y x sin y. Tedy Df = {[x, y] R R : x y k= kπ, k + π x y k= k π, kπ }. Viz Obr Příklad fx, y = ln yln x. Řešení ln yln x ln y ln x ln y ln x ln y x ln y > x. Tedy Df = {[x, y] R R : < y e x y e x < }. Viz Obr Příklad fx, y = ln x y + x y + 4. Řešení x y > x y + 4 y < x y x +. Tedy Df = {[x, y] R R : y < x y x + }. Viz Obr. 5. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

5 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 5 6. Příklad fx, y = ln x + y x. Řešení x + y x > x +y x > x + y > x > x + y < x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x x < y < x }. Viz Obr Příklad fx, y = x + y. Řešení x +y x +y x +y x +y x y x +y x + y x + y x + y x y x. Tedy Df = {[x, y] R R : x y x }. Viz Obr Příklad fx, y = sin πx + y. Řešení sin πx + y kπ πx + y k + π, k Z k x + y k +, kde k Z. Tedy Df = k= {[x, y] R R : k x + y k + }. Viz Obr. 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

6 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 6 9. Příklad fx, y = arcsin y + x. Řešení y + x y + x y +x. Tedy Df = {[x, y] R R : y +x }. Po vyšetření průběhu funkce +x již snadno nakreslíme definiční obor. Viz Obr. 9.. Příklad fx, y = ln + x y 9 + arctg 5 x y x. Řešení + x y 9 > 5 x y x x y 9 x + y + x 5. Tedy Df = {[x, y] R R : x y 9 x + + y 6}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí:. Příklad fx, y = x ln 3x y rovinou z =. y Řešení Předně vyšetříme definiční obor. Platí [x, y] Df y 3x y > y y < 3 x. Odtud plyne, že Df = {[x, y]; y < 3 x y }. Viz Obrázek. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici x y ln 3x y =. Platí x y ln 3x y = x = 3x y = x = y = 3 x. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz Obrázek. Obrázek :. Příklad fx, y = x 3 + x y rovinou z =. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x 3 + x y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici x 3 + x y =. Platí y = x 3 + x a odtud y = ± x 3 + x. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy x. Vyšetříme průběh funkce gx = ± x 3 + x. Předně x Dg x x + x. Tedy Dg =,. Určíme první derivaci g x = 3x +x = x3x+ x 3 +x. x 3 +x Definiční obor derivace g je Dg =, {}. Jediný nulový bod je x = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na, 3 je g kladná, na 3, záporná a na, kladná. Odtud plyne, že funkce g je na, 3 rostoucí, na 3, klesající a na, rostoucí. V bodě x = 3 je maximum g 3 = a v bodě x = je minimum g =. Druhá derivace po úpravě vychází g x = x3x+4 4. Odtud plyne, že na intervalu, je funkce g konkávní x+ x x+ a na, konvexní. Bod x = není inflexní bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

8 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 8 Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. Příklad fx, y = x + y. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x + y je celá rovina R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > kružnice x + y = c, pro z = bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Po umocnění dostáváme z x = c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z = x. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz Obrázek 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obrázek 3: 4. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±x ± c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Viz Obrázek 4. Obrázek 4: 5. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že [x, y] Df x + y y x. Tedy Df = {[x, y], y x}. Zřejmě Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = x c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru x = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na Obrázku 5. Obrázek 5: RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

9 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 9 6. Příklad fx, y = e x y. Řešení Pro fx, y = e x y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = ln c. Pro z = je řez bod [, ] a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = e x c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e x okolo osy z. Viz Obrázek 6. Obrázek 6: 7. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x +y je Df = R {[, ]} a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = c. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = x okolo osy z. Viz Obrázek 7. Obrázek 7: Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému O, x, y, z zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. Příklad fx, y, z = x + y z + x + y + z Řešení Pro fx, y, z = x + y z + x + y + z platí [x, y, z] Df x + y z x + y + z z x + y z x + y. Df = {[x, y, z] : x, x y x, x + y z ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz Obrázek 8. x + y }. Definiční obor je těleso RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

10 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady Obrázek 8: 9. Příklad fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z. Řešení Pro fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z platí [x, y, z] Df z x + y 6 x + y + z z x + y z 6 x + y. Df = {[x, y, z], x, 4 x y 4 x, x + y z 6 x + y }. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice x + y = 4. Viz Obrázek 9. Obrázek 9:. Příklad fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z. Řešení Pro fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z platí [x, y, z] Df x + y + z 7 5 x + z x + y + z z 7 5 x. Definiční obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

11 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Limita a spojitost x y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] 3x + y. Řešení K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí x y L = lim lim x y 3x + y = lim x x 3x = lim x 3 = 3. x y L = lim lim y x 3x + y = lim y = lim =. y y x Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x + y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x y. Řešení K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí x + y L = lim lim x y x y = lim x x x = lim =. x x + y L = lim lim y x x y = lim y y y = lim x =. Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x 3 y 3. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y 4. Řešení Platí L = Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. lim x,y=kx x 3 y x 4 + y 4 = lim x x 3 kx x 4 + k 4 x 4 = lim x kx 4 x 4 k 4 + = lim x k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. x y 4. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y. Řešení Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim x,y=kx x y x 4 + y = lim x x kx x 4 + k x 4 = lim x k k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. xy 5. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x + y. Řešení L = K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí lim ϱ,x=ϱ cos ϕ,y=ϱ sin ϕ xy x + y = lim ϱ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, ] limitu. ϱ cos ϕϱ sin ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ. ϱ RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

12 Limita a spojitost - řešené příklady x y 6. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x + y pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ]. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí Přitom Tedy funkce lim [x,y] [,] x y x + y = xy lim x =. Ukažme nyní že funkce [x,y] [,] lim x [x,y] [,] x +y lim [x,y] [,] xy x + y. je ohraničená. Platí x y x xy + y xy x + y xy x + y xy x +y je ohraničená. x 4 y 7. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x 8 + y 4 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] xy x + y. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = x 4 y lim x,y=kx x 8 + y 4 = lim x x 4 kx x 8 + kx 4 = lim x k x 8 + k 4 x 8 = k + k 4. Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, ] nespojitá. 8. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + x + y. Řešení Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. x + y lim + x [x,y] [,] x + y = lim + y + x + y + + [x,y] [,] x + y = x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + x + y x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + + =. x 3 y 3 9. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x 4 y 4. Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. x 3 y 3 lim [x,y] [,] x 4 y 4 = lim [x,y] [,] x yx + xy + y x yx + yx + y = lim [x,y] [,] x + xy + y x + yx + y = = x + y 3. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + 4. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

13 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [x,y] [,] 3x + y x + y + 4 = lim [x,y] [,] 3x + y x + y x + y + 4 x + y = 3x + y x = lim + y [x,y] [,] x + y = lim x + y = 3 + =. [x,y] [,] RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

14 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 4 4 Parciální a směrové derivace, gradient 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. a fx, y = x y + y 4 ; b fx, y = e x y + x y ; c fx, y, z = y z x. Řešení a f x = 4x y + y 3 xy = 8xy 4 x + 3, f y = 4x y + y 3 x = 4y 3 x + 4. b f x = e x y y + yxy, f y = e x y x y + ln x x y. c f x = y z x ln y z, f y = z x xy x = x y y z x, f z = y x xz x = x z y z x. 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. a fx, y = ln x + x + y, A = [, ]. b fx, y = + log y x 3, A = [e, e]. c fx, y, z = arctg x y + z z, A = [,, ]. Řešení a f x = + x x+ x +y = x +y +x =, f x +y x+ x +y x +y x xa = +y f y = x+ x +y y = y x +y x +y +x x +y, f ya = b Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y x = ln x ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar fx, y = + log y x 3 = + ln x ln y 3. Odtud f x = 3 + log y x xln y, f xa = 3 + log e e eln e = e ; f y = 3 + log y x ln x yln y, c f x = f y = +x y +x y x y yx y, f xa = 4 ; x y x y ln x, f ya = ; f ya = 3 + log e e ln e eln e = e. f z = zz z + ln z z z = z z ln z +, f za = 4 + ln 6. 5 ; 33. Příklad Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. a fx, y = e y sin x, A = [, ]; b fx, y = arctg x y x+y, A = [3, ]; c fx, y = e xey, A = [, ]. Řešení a f x = e y cos x, f y = e y sin x, f xx = e y sin x, f xxa =, f yy = 4e y sin x, f yya =, f xy = e y cos x, f xya =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

15 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 5 b f x = + x y f xx = x+y xy x+y x y x+y = y x +y, f y = x+y x y + x y x+y x+y = x x +y, xxa = 6 x +y, f, f yy = xy x +y, f yya = 6, f xy = x y x +y, f xya = 8. c f x = e xey e y, f y = e xey xe y, f xx = e xey e y, f xxa =, f yy = e xey xe y + e xey xe y = e xey xe y xe y +, f yya =, f xy = e xey xe y e y + e xey e y = e xey e y xe y +, f xya =. 34. Příklad fx, y = xln xy. Spočtěte f xxy. Řešení fx, y = xln xy, f x = ln xy + x xy y = ln xy +, f xx = xy y = x, f xxy = Příklad fx, y = ln + x + y. Spočtěte 79 x 57 y. Řešení Funkce fx, y = ln + x + y je symetrická vzhledem k proměnným x a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 36. x Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f x = + x + y, f xx = + x + y, f xxx = Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že + x + y 3, f xxxx = k fx, y x k = k+ k! + x + y k. 6 + x + y 4, f 5 xxxxx = Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 35! x 36 = + x + y x + y Příklad Určete bod, ve kterém je gradient funkce fx, y = ln x + y roven vektoru, 6 9. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = ln x + y. Pro parciální derivace prvního řádu platí y xy+, f x = x + y = y xy +, f y = x + y y = xy + y. Odtud gradf = xy +y. Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem, 6 9. Platí y xy+, xy +y =, 6 y 9. Z rovnosti složek vektorů získáme systém rovnic xy+ =, xy +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme x. Pro y = 3 4 je x = 3, pro y = 3 4 je x = 7 3. Gradient zadané funkce je roven vektoru, 6 9 v bodech [ 3, 3 4 ], [ 7 3, 3 4 ]. 37. Příklad Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 rovná. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = x + y 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f x = 3 x + y x = 3x x + y, f y = 3 x + y y = 3y x + y. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

16 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 6 Odtud gradf = 3x x + y, 3y x + y. Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = f x + f y = 9x x + y + 9yx + y = 9x + y = 3x + y. Dostáváme rovnici 3x + y =. Velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 ležících na kružnici x + y = 3. se rovná v bodech 38. Příklad Spočtěte derivaci fx, y = x y x v bodě A = [, ] ve směru vektoru u =,. + y Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = x y x +y v bodě A = [, ].. f x = xx + y x y x 4xy x + y = x + y, f xa = f y = yx + y x y y x + y = 4x y x + y, f ya =. Odtud plyne, že gradfa =,. Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f ua = gradfa u =,, = =. 39. Příklad Zjistěte, zda je funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3, rostoucí. Řešení Spočítáme derivaci funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3,. Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f x = 3x x 3 + y, f xa = 3 3, f y = x 3 + y, f ya = 3. Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 3 f ua = gradfa u = 3, 3, = = 4. 3 Protože je derivace f ua záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající. 4. Příklad Spočtěte derivaci funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ] ležícím na parabole y = 4x ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. f x = x + y, f xa = 3, f y = x + y, f ya = 3 Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Spočteme rovnici tečny k parabole x = 4 y. Platí x x = = x y y y, kde x =, y =, x =. Rovnice tečny je tvaru x y + = a tečna má směrový vektor v =,. Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u =,. Spočítáme derivaci ve směru. f ua = gradfa u = 3,, = = 3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

17 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 7 5 Diferenciál a Taylorův polynom 4. Příklad Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. a fx, y = x y xy, A = [3, ]. b fx, y = arctg x y, A = [, ]. c fx, y, z = x y z, A = [,, 4]. Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x y = x +y x y, f xa = 3 8, f ya = yxy x y x x y = x +y d h fa = f xadx + f yady. Dosadíme. Platí d h fa = 3 8 xy v bodě A = [3, ]. Platí f x = xxy x y y x y = xy, f ya = 3. Diferenciál je tvaru 3 dx dy. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = arctg x y v bodě A = [, ]. Platí f x = + x y y = = y x +y, f xa = 5, f ya = + x x y y = x x +y, f ya = 5. Diferenciál je tvaru d hfa = = f xadx + f yady. Provedeme dosazení. Platí d h fa = 5 dx 5 dy. c Spočteme parciální derivace funkce fx, y, z = x y z v bodě A = [,, 4]. Platí f x = z, f xa = =, f ya = z, f ya =, f z = x y, f z za = 3 6. Diferenciál je tvaru d hfa = f xadx + + f yady + f zadz. Provedeme dosazení. Platí d h fa = dx dy + 6 dz. 4. Příklad Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. a fx, y = e x y. b fx, y = x y x+y. c fx, y = xln y x. Řešení a Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = e x y. Platí f x = e x y, f y = ye x y, f xx = = e x y, f xy = ye x y, f yy = e x y y y + e x y = 4y e x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = dx ex y 4ye x y dxdy + 4y e x y dy. b Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = x y x+y. Platí f x = y x+y, f y = x x+y, f xx = = 4y x+y, f 3 xy = x y x+y, f 3 yy = 4x x+y. Druhý diferenciál je tvaru d 3 h f = f xxdx +f xydxdy +f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y x+y dx + 4x y 3 x+y dxdy + 4x 3 x+y dy. 3 c Spočteme druhé parciální derivace fx, y = xln y x. Platí f x = ln yx + x y y x x = ln y x, f y = x y x x = x y, f xx = y y x x = x, f xy = y x x = y, f yy = x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = x dx + y dxdy x y dy. 43. Příklad Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. a fx, y = x 4 + x y xy + x, A = [, ]. b fx, y = ln x + y, A = [, ]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

18 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 8 Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x 4 + x y xy + x v bodě A = [, ]. Platí f x = 4x xy y +, f xa = 5, f ya = x x, f ya =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f xx, y x x + f yx, y y y, kde A = [x, y ]. Provedeme dosazení. Platí z = 5x + y. Odtud plyne 5x + y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru y y x x f x x,y = z z f y x,y =. Po dosazení dostáváme x 5 = y = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5x + y z 3 = napíšeme normálový vektor n = 5,,. Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, ] je tvaru [x, y, z] = [,, ] + t5,,, t R. Tedyparametrické rovnice jsou x = + 5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah x 5 = y = z. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. Platí f x = x x +y, f xa = 4 5, f ya = y x +y, f ya = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 x + 5 y. Odtud plyne 4x + y = 5z 5 ln 5 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Platí 5x 4 = 5y = z ln Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Platí f x = 7 7x 3y, f xa = 7, f y = 3 7x 3y, f ya = 3. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h fa = f xadx+f yady = 7dx 3dy = 7x 3y = = 7x 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = ln =. Odtud T x, y = 7x 3y. 45. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ] a s jeho pomocí určete e + sin. Řešení Spočteme parciální derivace funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ]. Platí f x = e x, f ex +sin y xa =, f y = cos y, f ex +sin y ya =. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h fa = f xadx + f yady = dx + dy = x + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = e + sin =. Odtud T x, y = + x + y. Nyní zřejmě e + sin = f, T, = = Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Platí f x = yx y, f xa =, f y = ln x x y, f ya = ; f xx = yy x y, f xxa =, f xy = x y + yln x x y, f xya =, f yy = ln x x y, f yya =. Dále dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ + f yady = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x y. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa +! d hfa a upravíme. Platí T x, y = xy y +. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

19 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4] a s jeho pomocí určete Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4]. f x x =, f x +y xa = 3 5, f y y =, f x +y ya = 4 5, f xx y =, f x +y xxa = 6 3 5, f xy xy =, x +y 3 f xya = 5, f yy x =, f x +y yya = Dále platí dx = x 3 a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = = 3 5 x y 4, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = 6 5 x x 3x y 4. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa + +! d h fa. Dostáváme T x, y = x y x x 3x y 4. Dále T.98, 4.5 = = Hodnota z kalkulačky je přibližně Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x+y. v bodě A = [, ]. Řešení Parciální derivace funkce fx, y = e x+y potřebné k určení diferenciálů nalezneme snadno. Platí f = f x = f y = f xx = f xy = f yy = f xxx = f xxy = f xyy = f yyy = e x+y. fa = f xa = f ya = = f xxa = f xya = f yya = f xxxa = f xxya = f xyya = f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y +, d hfa = f xxadx + +f xyadxdy+f yyady = x +x y++y+, d 3 hfa = f xxxadx 3 +3f xxyadx dy+ + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Odtud T 3x, y = + x + x + + [x + x y + + y + + ] + 6 [x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3 ]. 49. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. f x = cos x cos y, f xa =, f y = sin x sin y, f ya =, f xx = sin x cos y; f xxa =, f xy = cos x sin y, f xya =, f yy = sin x cos y, f yya = ; f xxx = cos x cos y, f xxxa =, f xxy = sin x sin y, f xxya =, f xyy = cos x cos y, f xyya =, f yyy = sin x sin y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x + xy + y =, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + y 3 = x 3 3xy. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = x 6 x3 xy. 5. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. f x = e x sin y, f xa =, f y = e x cos y, f ya = ; f xx = e x sin y, f xxa =, f xy = e x cos y, f xya =, f yy = e x sin y, f yya = ; f xxx = e x sin y, f xxxa =, f xxy = e x cos y, f xxya =, f xyy = e x sin y, f xyya =, f yyy = = e x cos y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ +f yady = x+ y = y, d hfa = f xxadx +f xyadxdy+f yyady = x + xy+ y = xy, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + + y 3 = 3x y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = y + xy + 6 3x y y 3 = y + xy + x y 6 y3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

20 Lokální extrémy - řešené příklady 6 Lokální extrémy Vyšetřete lokální extrémy následujících funkcí více proměnných: 5. Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = x + y + 5 =, f y = x + 6y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx =, f xy =, f yy = 6. f = f a = Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium viz učební text. Platí D a = > a D a = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4] lokální minimum funkce f.. 5. Příklad fx, y = xy 3x y + x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = y 6x + =, f y = x 4y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a = = [ 3, ] 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6, f xy =, f yy = = 4. f = f a = 6 4 Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 < a D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 funkce f.., 4 ] lokální maximum 53. Příklad fx, y = x 3 + xy + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x + y + x =, f y = xy + y =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

21 Lokální extrémy - řešené příklady Jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne yx + =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6x + x =, odkud x = x = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [ 5 3, ], a 3 = [, ], a 4 = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = x +, f xy = y, f yy = x +. f = x + y y x + Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = 4 3, f a 3 =. 4 4, f 4 a 4 = 4 Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = >, D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = <, D a = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 = <, D a 3 = 6 < a D a 4 = <, D a 4 = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální extrém funkce f. 54. Příklad fx, y = x 3 + xy xy 5x. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 3x + y y 5 =, f y = xy x =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne xy =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3x 6 =, odkud x = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [, ], a 3 = [, + 6], a 4 = [, 6]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f xy = y, f yy = x. f 6x y = y x Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 6 a = f 6 a 3 = 6, f a =., f a 4 = Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = 6 <, D a = 4 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 =, D a 3 = 4 < a D a 4 =, D a 4 = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním extrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f x, + 6 = x x x + 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, + 6 >, Je-li x <, pak f x, + 6 <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální extrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f x, 6 = x x x 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, 6 >, Je-li x <, pak f x, 6 <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální extrém.,.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

22 Lokální extrémy - řešené příklady 55. Příklad fx, y = x 3 3xy + y 3 +. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x 3y =, f y = 3x + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y = x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6x 3x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [, ], a = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí f xx = x, f xy = 3, f yy = y. Odtud plyne, že f x 3 = 3 y Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 3 a = 3., f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a =, D a = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává extrém funkce f. Dále D a = 6 >, D a = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou x, tj. přímkou y =. Zřejmě platí fx, = x 3 +. Je-li x >, pak fx, > = fa. Je-li x <, pak fx, < = fa. Odtud plyne, že v bodě a není lokální extrém. 56. Příklad fx, y, z = x 3 + y + z 3xz y + z. Řešení Sestavíme soustavu rovnic f x = 3x 3z =, f y = y =, f z = z 3x + =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3x. Dosazením do první rovnice dostáváme 3x 33x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení a = [,, ], a = [,, 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f yy =, f zz =, f xy =, f xz = 3, f yz =. f = 6x 3 3 Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = >, D 3 a = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální extrém funkce f. Dále D a = >, D a = 4 >, D 3 a = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,