CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CVIČENÍ Z MATEMATIKY II"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO

2

3 PŘEDMLUVA Učební tet Cvičení z matematiky II je určen jako učební pomůcka pro posluchače a konzultanty kombinovaného studia na FSI VUT Brno. Tematicky navazují cvičení na tet Matematika II, ve kterém jsou shrnuty všechny nejdůležitější pojmy a tvrzení z vybraných partií matematické analýzy v R n. Výběr látky je určen současnými osnovami předmětu. Cvičení z matematiky II je koncipováno jako malá sbírka řešených úloh. Úlohy jsou rozděleny do třinácti samostatných kapitol. Ke všem úlohám jsou uvedeny výsledky a metodický postup řešení. Tet rovněž obsahuje pro větší názornost několik desítek obrázků. Snahou autora bylo do tetu zařadit zejména takové příklady, které by svou složitostí odpovídaly náročnosti a požadavkům zkoušky. Sbírka úloh je použitelná rovněž pro studenty magisterské formy studia. Budu vděčen čtenářům za všechny připomínky, které by přispěly k vylepšení tetu, a přeji hodně trpělivosti při řešení úloh. Brno, září Autor

4 Typeset by AMS-TEX

5 OBSAH Předmluva Obsah 3 Lekce. Funkce více proměnných I 5 Lekce. Funkce více proměnných II 9 Lekce 3. Limita a spojitost 3 Lekce 4. Parciální a směrové derivace, gradient 5 Lekce 5. Diferenciál a Taylorův polynom 8 Lekce 6. Lokální etrémy Lekce 7. Vázané a globální etrémy 6 Lekce 8. Implicitní funkce 3 Lekce 9. Dvojrozměrné integrály I (Fubiniho věta) 33 Lekce. Trojrozměrné integrály I (Fubiniho věta) 37 Lekce. Dvojrozměrné integrály II (Transformace) 4 Lekce. Trojrozměrné integrály II (Transformace) 45 Lekce 3. Aplikace vícerozměrných integrálů 49 3

6 4

7 LEKCE. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH I. ( Definiční obory funkcí dvou proměnných ) Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému (O,, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných.. f(, y) = 4 + y 9.. f(, y) = ln( ln(y )). 3. f(, y) = sin y. 4. f(, y) = ( ln y) ln( ). 5. f(, y) = ln( y) + y f(, y) = ln ( + y ). 7. f(, y) = ( + y). 8. f(, y) = sin(π( + y )). 9. f(, y) = arcsin(y( + ) ).. f(, y) = ln( + y 9) + arctg 5 y. ŘEŠENÍ.. [, y Df (4 ) (y 9 ) ( 4) (y 9) ( ) ( y 3), y (, 3 3, ) [, y, ((, 3 3, )). Tedy Df =, ((, 3 3, )). Viz obr.. Obr. 5

8 . [, y Df ln(y ) > ( > ln(y ) > ) ( < ln(y ) < ) (> y >) (< < y <) (> y > +) ( < y < + y >). Obr. 3. [, y Df siny ( sin y ) ( sin y ) ( y k= kπ, (k + )π ) ( y (k )π, kπ ). k= Obr [, y Df ( ln y) ln( ) ( lny ln( ) ) ( ln y ln( ) ) (lny ) (ln y > ) ( < y e ) (y e < ). Obr. 4 6

9 5. [, y Df y > y + 4 y < y +. Odtud Df = {[, y; y < y + }. Obr [, y Df + y > +y > ( + y > > ) ( + y < < ) ( > y > ) ( < y < ). Obr [, y Df ( +y) ( +y) +y ( +y y ) ( +y +y ) +y +y y. Tedy Df = {[, y; y }. Obr. 7 7

10 8. [, y Df sin π( + y ) kπ π( + y ) (k + )π, k Z k +y k+, kde k Z. Odtud plyne Df = k= {[, y; k +y k+}. Obr [, y Df y( + ) y( + ) y. + Tedy Df = {[, y; y }. Po vyšetření průběhu funkce již snadno + + nakreslíme definiční obor. Obr. 9. [, y Df + y 9 > 5 y y 9 + y + 5 y 9 ( + ) + y 6. Obr. 8

11 LEKCE. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH II. ( Metoda řezů a definiční obory funkcí tří proměnných ) Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí.. f(, y) = ln(3 y) rovinou z =. y. f(, y) = 3 + y rovinou z =. Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. f(, y) = + y. 4. f(, y) = + y. 5. f(, y) = ( + y). 6. f(, y) = e y. 7. f(, y) = + y. Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému (O,, y, z) zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. f(, y, z) = + y z + + y + z 9. f(, y, z) = z + y + 6 ( + y + z).. f(, y, z) = ( + y + z ) + 7/5 ( + z). ŘEŠENÍ.. Předně vyšetříme definiční obor. Platí [, y Df y 3 y > y y < 3. Odtud plyne, že Df ={[, y; y < 3 y }. Viz obr.. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici y ln(3 y)=. Platí y ln(3 y)= = 3 y = = y = 3. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz obr.. Obr.. Definiční obor funkce f(, y) = 3 + y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici 3 + y =. Platí y = 3 + a odtud y = ± 3 +. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy. Vyšetříme průběh funkce g() = ± 3 +. Předně Dg ( + ). Tedy Dg =, ). Určíme první derivaci g () = 3 + = (3+) 3 +. Definiční 3 + obor derivace g je Dg = (, ) {}. Jediný nulový bod je = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na (, 3 ) je g 9

12 kladná, na ( 3, ) záporná a na (, ) kladná. Odtud plyne, že funkce g je na (, 3 ) rostoucí, na ( 3, ) klesající a na (, ) rostoucí. V bodě = 3 je maimum g( 3 ) = a v bodě = je minimum g() =. Druhá derivace po úpravě vychází g () = (3+4). Odtud plyne, že na intervalu 4 (+) (+) (, ) je funkce g konkávní a na (, ) konvení. Bod = není inflení bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz obr.. Obr. 3. Definiční obor funkce f(, y)= +y je celá rovina R a Hf =, ). Řezy rovinami z =c jsou pro z > kružnice +y =c, pro z = bod [, a pro c< jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = +c. Po umocnění dostáváme z =c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z =. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz obr. 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obr Pro f(, y) = + y platí, že Df = R a Hf =, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±±c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru z = + c. Viz obr. 4. Obr. 4

13 5. Pro f(, y) = ( + y) platí, že [, y Df ( + y) y. Tedy Df = {[, y, y }. Zřejmě Hf =, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na obr. 5. Obr Pro f(, y) = e y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi + y = ln c. Pro z = je řez bod [, a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru z =e c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e okolo osy z. Viz obr. 6. Obr Pro f(, y)= +y je Df =R {[, } a Hf =(, ). Řezy rovinami z =c jsou pro z > tvořeny kružnicemi +y =. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy c rovinami y = c jsou tvaru z = +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = okolo osy z. Viz obr. 7. Obr Pro f(, y, z) = + y z+ + y + z platí [, y, z Df

14 + y z + y +z z + y z + y. Df ={[, y, z,, y, +y z +y }. Definiční obor je těleso ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz obr. 8. Obr Pro f(, y, z) = z + y + 6 ( + y + z) platí [, y, z Df z + y 6 ( + y + z) z + y z 6 ( + y ). Df = {[, y, z,, 4 y 4, +y z 6 ( +y )}. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice +y =4. Viz obr. 9. Obr. 9. Pro f(, y, z) = ( + y + z ) + 7/5 ( + z) platí [, y, z Df ( + y + z ) 7 5 ( + z) + y + z z 7. Definiční 5 obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz obr.. Obr.

15 LEKCE 3. LIMITA A SPOJITOST. y. Vyšetřete limitu lim [,y [, 3 + y. + y. Vyšetřete limitu lim [,y [, y. 3 y 3. Vyšetřete limitu lim [,y [, 4 + y 4. y 4. Vyšetřete limitu lim [,y [, 4 + y. y 5. Vyšetřete limitu lim [,y [, + y. y 6. Vyšetřete, zda je funkce f(, y)= pro [, y [, +y pro [, y=[, 4 y 7. Vyšetřete, zda je funkce f(, y)= 8 pro [, y [, +y4 pro [, y=[, + y 8. Spočtěte limitu lim +. [,y [, + y 3 y 3 9. Spočtěte limitu lim [,y [, 4 y. 4. Spočtěte limitu lim [,y [, 3( + y ) + y + 4. spojitá v bodě [,. spojitá v bodě [,. Výsledky úloh:. Neeistuje.. Neeistuje. 3. Neeistuje. 4. Neeistuje. 5. Neeistuje. 6. Spojitá. 7. Nespojitá ŘEŠENÍ.. K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí y L = lim(lim y 3+y ) = lim 3 = lim 3 = 3. y L = lim(lim y 3+y ) = lim y y y = lim( ) =. Obě postupné limity L, L eistují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neeistuje.. K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí +y L = lim(lim y y ) = lim = lim =. +y L = lim(lim y y ) = lim y y y = lim ( ) =. Obě postupné limity L, L eistují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neeistuje. 3

16 3. Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. Platí L = lim 3 y,y=k 4 +y = lim 3 k k 4 4 +k 4 = lim (k 4 +) = lim k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, nemá limitu. 4. Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim y,y=k 4 +y = lim k k 4 +k = lim 4 k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, nemá limitu. 5. K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí L y ρ cos ϕρ sin ϕ = lim ρ,=ρ cos ϕ,y=ρ sin ϕ +y = lim ρ ρ cos ϕ+ρ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ=cos ϕ sin ϕ. ρ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, limitu. 6. Aby byla funkce f spojitá v bodě [,, musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí lim y +y = lim lim y +y. Přitom =. Ukažme nyní že [,y [, y funkce +y + y [,y [, [,y [, lim [,y [, je ohraničená. Platí ( y ) y + y y y +y y +y y. Tedy funkce +y je ohraničená. 7. Aby byla funkce f spojitá v bodě [,, musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = lim,y=k 4 y 8 +y 4 = lim 4 (k ) k 8 +(k ) = lim 8 4 (+k 4 ) = k 8 +k. 4 Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, nespojitá. 8. Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. lim +y + ( = lim +y + )( +y ++) = [,y [, +y [,y [, ( +y )( +y ++) lim [,y [, ( +y + ) ( +y )( +y ++) = lim [,y [, = +y Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. 3 y 3 ( y)( 4 y = lim +y+y ) 4 ( y)(+y)( +y ) = lim +y+y (+y)( +y ) = (4+4) = 3 8. lim [,y [, [,y [, [,y [,. Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [,y [, 3( +y ) +y +4 = lim [,y [, 3( +y )( +y +4+) ( +y +4 )( +y +4+) = 3( lim +y )( +y +4+) [,y [, +y +4 4 = lim 3( +y +4+)=3(+)=. [,y [, 4

17 LEKCE 4. PARCIÁLNÍ A SMĚROVÉ DERIVACE, GRADIENT.. Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. (a) f(, y) = ( y + y) 4. (b) f(, y) = e y + y. (c) f(, y, z) = ( y z ).. Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. (a) f(, y) = ln(+ +y ), A = [,. (b) f(, y) = ( + log y ) 3, A = [e, e. (c) f(, y, z) = arctg y + z z, A = [,,. 3. Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. (a) f(, y) = e y sin, A = [,. (b) f(, y) = arctg y +y, A = [3,. (c) f(, y) = e ey, A = [,. 4. f(, y) = ln(y). Spočtěte f yy f(, y) = ln( + + y). Spočtěte y. 6. Určete bod, ve kterém je gradient funkce f(, y)=ln(+ y 7. Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce f(, y)=( +y ) 3 rovná. 8. Spočtěte derivaci f(, y)= y v bodě A=[, ve směru vektoru u=(, ). +y 9. Zjistěte, zda je funkce f(, y) = 3 + y v bodě A = [, ve směru vektoru u = ( 3, ) rostoucí.. Spočtěte derivaci funkce f(, y)=ln(+y) v bodě A=[, ležícím na parabole y = 4 ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Výsledky úloh:. (a) f = 8y4 ( + ) 3, f y = 4y3 ( + ) 4. (b) f = y e y + y y, ) roven vektoru (, 6 9 ). f y = y e y + y ln. (c) f = ( y z ) ln( y z ), f y = ( y )( y z ), f z = ( z )( y z ).. (a) f (A) = 5, f y (A) = 5+. (b) f 5 (A) = e, f y (A) = e. (c) f (A) = 4, f y(a) =, f z(a) = 4 + ln (a) f (A) =, f y (A) =, f yy (A) =. (b) f (A) = 6, f y (A) = 8, f yy (A) = 6. (c) f (A) =, f y(a) =, f yy(a) 35! = (++y). 6. [ 36 3, 3 4, [ 7 3, Body leží na kružnici + y = Klesající. f u(a) = ŘEŠENÍ.. (a) f(, y)=( y + y) 4, f =4( y + y) 3 y =8y 4 ( + ) 3, f y =4( y + y) 3 =4y 3 ( + ) 4. (b) f(, y) = e y + y, f = e y y + yy, f y = e y ( ) + ln y. y (c) f(, y, z) = ( y z ), f = ( y z ) ln( y z ), f y = y = ( z y )( y z ), f z = y ( )z = ( z )( y z ). 5

18 . (a) f = ( + + +y )= +y + =, f +y + +y +y (A) = +y 5, f y = y + +y = y, f +y +y + +y y(a) = (b) Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y = ln ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar f(, y) = ( + log y ) 3 = ( + ln ln y )3. Odtud f =3( + log y ) ln y, f (A) = 3( + log e e) e ln e = e, f y =3( + log ln y ) y ln y, (c) f(, y, z) = arctg y + z z, f = f y = + y f z(a)= 4+ln6. f y(a) = 3( + log e e) ln e e ln e = e. + y y y y, f (A) = 4, y y ln, f y(a)=, f z =zz z +ln z z z =z z (ln z+), 3. (a) f(, y) = e y sin, f = e y cos, f y = e y sin, f = e y sin, f (A)=, f yy =4ey sin, f yy (A)=, f y =ey cos, f y (A)=. (b) f(, y) = arctg y +y, f = +y ( y) +( y +y ) (+y) = y f y = f yy = (+y) ( y) +( y +y ) (+y) = +y, f = +y. y ( +y ), f (A) = 6, y ( +y ), f yy(a) = 6, f y = y ( +y ), f y(a) = 8. (c) f(, y)=e ey, f =e ey e y, f y =e ey e y, f =e ey (e y ), f (A)=, f yy = eey (e y ) + e ey (e y ) = e ey e y (e y + ), f yy (A) =, f y = e ey e y e y + e ey e y = e ey e y (e y + ), f y(a) =. 4. f(, y) = ln(y), f = ln(y)+ y y = ln(y)+, f = y y =, f y =. 5. Funkce f(, y) = ln( + + y) je symetrická vzhledem k proměnným a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 f(, y) y = 36 f(, y) 36 Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f = ++y, f = (++y), f = (++y) 3, f Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že = 6 (++y), f (5) 4 4 = (++y). 5 k f(, y) = ( )k+ (k )!. k ( + + y) k Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 f(, y) y = 36 f(, y) 36 = 35! ( + + y) 36. 6

19 6. Spočítáme gradient funkce f(, y) = ln( + y ). Pro parciální derivace prvního řádu platí f = + y y y+, y +y y+, y +y = y y+, f y = = + y y +y. y ). Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem Odtud gradf = ( (, 6 9 ). Platí ( y 6 ) = (, ). Z rovnosti složek vektorů získáme systém 9 y rovnic y+ =, y +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme. Pro y = 3 4 je = 3, pro y = 3 4 je = Gradient zadané funkce je roven vektoru (, 9 ) v bodech [ 3, 3 4, [ 7 3, Spočítáme gradient funkce f(, y) = ( +y ) 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f = 3 ( + y ) = 3 + y, f y = 3 ( + y ) y = 3y + y. Odtud gradf = (3 + y, 3y + y ). Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = (f ) +(f y ) = 9 ( +y )+9y( +y )= 9( +y ) =3( +y ). Dostáváme rovnici 3( + y ) =. Velikost gradientu funkce f(, y)=( +y ) 3 se rovná v bodech ležících na kružnici + y = Nejprve určíme parciální derivace funkce f(, y) = y +y v bodě A = [,. f = ( +y ) ( y ) ( +y ) = 4y ( +y ), f (A) =. f y = y( +y ) ( y )y ( +y ) = 4 y ( +y ), f y(a) =. Odtud plyne, že gradf(a) = (, ). Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f u(a) = gradf(a) u = (, ) (, ) = =. 9. Spočítáme derivaci funkce f(, y) = 3 + y v bodě A = [, ve směru vektoru u = ( 3, ). Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f = 3, f 3 +y (A) = 3, f 3 y =, f 3 +y y(a) =. 3 Odtud plyne, že gradf(a) = ( 3, 3 ). Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 f u(a) = gradf(a) u = ( 3, 3 9 ) ( 3, ) = = Protože je derivace f u(a) záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající.. Nejprve určíme parciální derivace funkce f(, y) = ln( +y ) v bodě A = [,. f = +y, f (A) = 3, f y = +y, f y (A) = 3. Odtud plyne, že gradf(a) = ( 3, 3 ). Spočteme rovnici tečny k parabole = 4 y. Platí = (y )(y y ), kde =, y =, () =. Rovnice tečny je tvaru y + = a tečna má směrový vektor v = (, ). Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u = (, ). Spočítáme derivaci ve směru. f u(a) = gradf(a) u = ( 3, 3 ) (, ) = = 3. 7

20 LEKCE 5. DIFERENCIÁL A TAYLORŮV POLYNOM.. Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. (a) f(, y) = y y, A = [3,. (b) f(, y) = arctg, A = [,. y (c) f(, y, z) = y z, A = [,, 4.. Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. (a) f(, y) = e y. (b) f(, y) = y +y. (c) f(, y) = ln y. 3. Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. (a) f(, y) = 4 + y y +, A = [,. (b) f(, y) = ln( + y ), A = [,. 4. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)=ln(7 3y) v bodě A=[,. 5. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)= e +sin v bodě A=[, a s jeho pomocí určete e+sin. 6. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)= y v bodě A=[,. 7. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y) = + y v bodě A = [3, 4 a s jeho pomocí určete (.98) + (4.5). 8. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=e +y. v bodě A=[,. 9. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=sin cos y v bodě A=[,.. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=e sin y. v bodě A=[,. Výsledky úloh:. (a) d h f(a)= 3 8 d 3 dy. (b) d hf(a)= 5 d 5 dy. (c) d hf(a)= d dy+ 6 dz.. (a) d h f = e y d 4ye y ddy + (4y )e y dy. (b) d h f = 4y (+y) d + 3 4( y) (+y) ddy+ 4 3 (+y) dy. (c) d 3 h f = d + y ddy y dy. 3. (a) 5+y z 3 =, = y 5 = z 5( ). (b) 4 + y = 5z 5( ln 5) =, = 5(y ) = z ln T (, y) = 7 3y. 5. 4, T (, y) = + + y. 6. T (, y) = y y , T = ( 3) (y 4)+ 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). 8. T 3 (, y) = + ( ) + ( + ) + [( ) + ( )(y + ) + (y + ) + 6 [( )3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) T 3 (, y) = 6 3 y.. T 3 (, y) = y + y + y 6 y3. 8

21 ŘEŠENÍ.. (a) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = y y v bodě A = [3,. Platí f = (y) ( y )y y = +y y, f (A) = 3 8, f y(a) = y(y) ( y ) y = +y y, f y(a) = 3. Diferenciál je tvaru d hf(a) = f (A)d + f y(a)dy. Dosadíme. Platí d h f(a) = 3 3 8d dy. (b) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = arctg v bodě A = [,. Platí y f = +( y ) y = y, f +y (A) = 5, f y (A) = =, f +( y ) y +y y (A) = 5. Diferenciál je tvaru d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy. Provedeme dosazení. Platí d h f(a) = 5 d 5 dy. (c) Spočteme parciální derivace funkce f(, y, z) = y z v bodě A = [,, 4. Platí f = z, f (A)=, f y(a)= z, f y(a)=, f z = y (, f z) z(a)= 3 6. Diferenciál je tvaru d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy + f z(a)dz. Provedeme dosazení. Platí d h f(a) = d dy + 6 dz.. (a) Spočteme druhé parciální derivace funkce f(, y)=e y. Platí f =e y, f y = ye y, f = e y, f y = ye y, f yy = e y ( y)( y)+e y ( ) = (4y )e y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f d + f yddy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = e y d 4ye y ddy + (4y )e y dy. (b) Spočteme druhé parciální derivace funkce f(, y) = y +y. Platí f = y (+y), f y = (+y), f = 4y (+y), f 3 y = ( y) (+y), f 3 yy = 4 (+y). Druhý diferenciál je tvaru 3 d h f = f d + f y ddy + f yy dy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y (+y) d + 4( y) 3 (+y) ddy (+y) dy. 3 (c) Spočteme druhé parciální derivace f(, y)= ln y. Platí f =ln y+ y y ln y, f y = y y = = y, f = y =, f y = y = y, f yy =. Druhý y diferenciál je tvaru d h f = f d + f yddy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = d + y ddy y dy. 3. (a) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = 4 + y y + v bodě A = [,. Platí f = y y +, f (A) = 5, f y(a) =, f y(a) =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = f(a) =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f (, y )( ) + f y(, y )(y y ), kde A = [, y. Provedeme dosazení. Platí z = 5( )+(y ). Odtud plyne 5+y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru f (,y) = y y z z = f y (,y). Po dosazení dostáváme = y 5 = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5 + y z 3 = napíšeme normálový vektor 9

22 n = (5,, ). Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, je tvaru [, y, z = [,, +t(5,, ), t R. Tedy parametrické rovnice jsou = +5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah 5 = y = z. (b) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = ln( + y ) v bodě A = [,. Platí f =, f +y (A) = 4 5, f y (A) = y, f +y y (A) = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = f(a) = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 ( ) + (y ). Odtud plyne 4 + y = 5z 5( ln 5) =. Nyní 5 nalezneme rovnici normály. Platí 5( ) 4 = 5(y ) = z ln Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=ln(7 3y) v bodě A=[,. Platí f = 7 7 3y, f (A) = 7, f y = 3 7 3y, f y(a) = 3. Dále d = a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = 7d 3dy = 7( ) 3(y ) = 7 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a). Platí f(a) = ln =. Odtud T (, y)=7 3y. 5. Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = e + sin y v bodě A = [,. Platí f = e, f e +sin y (A) =, f y = cos y, f e +sin y y(a) =. Dále d = a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy = d + dy = + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a). Platí f(a) = e + sin =. Odtud T (, y)= + + y. Nyní zřejmě e + sin = f(, ) T (, ) = = Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y) = y v bodě A = [,. Platí f = yy, f (A) =, f y = ln y, f y (A) =, f = y(y )y, f (A) =, f y = y +y ln y, f y(a)=, f yy =(ln ) y, f yy(a)=. Dále d= a dy =y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy =, d hf(a) = f (A)d + f y(a)ddy + f yy(a)dy = ( )(y ). Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a)+! d hf(a) a upravíme. Platí T (, y) =y y+. 7. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)= + y v bodě A=[3, 4. f =, f +y (A) = 3 5, f y y =, f +y y(a) = 4 5, f y =, f ( +y ) (A) = 6 3 f y y =, f ( +y ) y(a)= 3 5, f, f ( +y ) yy(a)= 9. Dále platí d = a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y (A)dy = 3 5 ( 3)+ 4 5 (y 4), d hf(a) = f (A)d + f y (A)ddy+f yy (A)dy = 6 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T (, y) = f(a)+! d hf(a)+! d h f(a). Dostáváme T (, y) = ( 3)+ 4 6 (y 4)+ 5 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). Dále T (.98, 4.5) = = Hodnota z kalkulačky je přibližně yy = 8. Parciální derivace funkce f(, y) = e +y potřebné k určení diferenciálů nalezneme 5,

23 snadno. Platí f = f = f y = f = f y = f yy = f = f y = f yy = f yyy = e +y. f(a) = f (A) = f y(a) = f (A) = f y(a) = f yy(a) = f (A) = f y(a) = f yy(a) = f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy =( )+(y+), d hf(a)=f (A)d +f y(a)ddy+f yy(a)dy = ( ) +( )(y+)+(y+), d 3 hf(a)=f (A)d 3 +3f y(a)d dy+3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 =( ) 3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom Odtud T 3 (, y)=f(a)+! d hf(a)+! d h f(a)+ 3! d3 h f(a). T 3 (, y)=+( )+(+)+ [( ) +( )(y+)+(y+) [( )3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=sin cos y v bodě A=[,. f =cos cos y, f (A)=, f y = sin sin y, f y(a)=, f = sin cos y, f (A)=, f y = cos sin y, f y (A) =, f yy = sin cos y, f yy (A) =, f = cos cos y, f (A) =, f y = sin sin y, f y(a) =, f yy = cos cos y, f yy(a) =, f yyy = sin sin y, f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = + y =, d hf(a) = f (A)d + f y(a)ddy + f yy(a)dy = + y + y =, d 3 hf(a) = f (A)d 3 + 3f y(a)d dy + 3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 = y + 3( )y + y 3 = 3 3y. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 (, y) = f(a) +! d hf(a) +! d h f(a) + 3! d3 hf(a). Platí T 3 (, y) = 6 3 y.. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=e sin y v bodě A=[,. f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y(a) =, f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y(a) =, f yy = e sin y, f yy(a) =, f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y (A) =, f yy = e sin y, f yy (A) =, f yyy = e cos y, f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = + y = y, d hf(a) = f (A)d +f y(a)ddy+f yy(a)dy = + y+ y = y, d 3 hf(a) = f (A)d 3 + 3f y(a)d dy + 3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 = 3 +3 y+3 y +( ) y 3 = 3 y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 (, y) = f(a) +! d hf(a) +! d h f(a) + 3! d3 h f(a). Platí T 3 (, y) = y + (y) + 6 (3 y y 3 ) = y + y + y 6 y3.

24 LEKCE 6. LOKÁLNÍ EXTRÉMY. Vyšetřete lokální etrémy následujících funkcí více proměnných.. f(, y) = + y + 3y y.. f(, y) = y 3 y + + y. 3. f(, y) = 3 + y y. 4. f(, y) = 3 + y y f(, y) = 3 3y + y f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. 7. f(, y, z) = 3 + y + z + y + z. 8. f(, y) = e ( + y ). 9. f(, y) = ( + y )e y.. f(, y) = e ( + y + y). Výsledky úloh:. Min. [ 3 4, Ma. [ 3, Min. [,, ma. [ 5 3,. 4. Min. [,, ma. [,. 5. Min. [,. 6. Min. [,, Min. [4, 44,. 8. Min. [,. 9. Neostré ma. na + y =, min. [,.. Min. [,. ŘEŠENÍ.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = + y + 3y y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = +y +5 =, f y = + 6y + =. Parciální derivace eistují pro každé [, y R a proto jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární [ algebry. [ [ [ Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí f =, f y =, f yy =6. Odtud plyne, že f =f (a)= [ 6. Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a) = > a D (a) = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4 lokální minimum funkce f.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = y 3 y + + y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = y 6+ =, f y = 4y + =. Parciální derivace eistují pro každé [, y R a proto jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a=[ 3, 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí f = 6, f y =, f yy = 4. Odtud plyne, že f = f (a) = [ 6 4. Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a) = 6 < a D (a) = >. Podle kritéria nastává v bodě a=[ 3, 4 lokální maimum funkce f. 3. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = 3 + y y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f =6 +y +=, f y = y + y =. Jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze

25 druhé rovnice plyne y( + ) =. Odtud = y =. Dosazením = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6 + =, odkud = = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [,, a = [ 5 3,, a 3 = [,, a 4 = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a i ), i =,, 3, 4. Platí f = +, f y = y, f yy = +. Odtud plyne, že f = [ + y y +. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )= [, f (a )=[, f (a 4 3 )= [ 4 3 4, f (a 4 )= [ 4 4. Určíme hlavní minory matic f (a i ) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = >, D (a ) = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D (a ) = <, D (a ) = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maimum funkce f. Dále platí D (a 3 ) = <, D (a 3 ) = 6 < a D (a 4 ) = <, D (a 4 ) = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální etrém funkce f. 4. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)= 3 +y y 5. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 3 +y y 5 =, f y = y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne (y ) =. Odtud = y =. Dosazením = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3 6 =, odkud = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [,, a = [,, a 3 = [, + 6, a 4 = [, 6. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a i ), i =,, 3, 4. Platí f = 6, f y = y, f yy =. Odtud plyne, že f = [ 6 y y. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme [ f [ (a )= 6 6, f (a )= 6, f (a 3 )= [ 6 6, f (a 4 )= [ 6 6 Určíme hlavní minory matic f (a i ) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = 6 >, D (a ) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D (a ) = 6 <, D (a ) = 4 >. V bodě a nastává lokální maimum funkce f. Dále platí D (a 3 ) =, D (a 3 ) = 4 < a D (a 4 ) =, D (a 4 ) = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním etrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f(, + 6) = 3 + ( + 6) ( + 6) 5 = 3. Je-li >, pak f(, + 6) >, Je-li <, pak f(, + 6) <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální etrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f(, 6) = 3 + ( 6) ( 6) 5 = 3. Je-li >, pak f(, 6) >, Je-li <, pak f(, 6) <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální etrém. 5. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = 3 3y+y 3 +. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 6 3y =, f y = 3 + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y =. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6( ) 3 =, 3.

26 odkud = =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [,, a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). Platí f =, f y = 3, f yy =y. Odtud plyne, že f = [ 3. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )= [ 3 3, f (a )= [ , 3 y Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) =, D (a ) = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává etrém funkce f. Dále D (a ) = 6 >, D (a ) = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou, tj. přímkou y =. Zřejmě platí f(, ) = 3 +. Je-li >, pak f(, ) > = f(a ), Je-li <, pak f(, ) < = f(a ). Odtud plyne, že v bodě a není lokální etrém. 6. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. Sestavíme soustavu rovnic f =3 3z =, f y = y =, f z = z 3+ =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3. Dosazením do první rovnice dostáváme 3 3(3 ) =, odkud = =. Soustava má dvě řešení a = [,,, a = [,, 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). Platí f = 6, f yy =, f zz =, f y =, f z = 3, f yz =. Odtud plyne, že f =. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme [ f (a )= [ [ 3, f (a )=. 3 Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = 6 >, D (a ) = >, D 3 (a ) = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální etrém funkce f. Dále D (a ) = >, D (a ) = 4 >, D 3 (a ) = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. 7. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y, z) = 3 +y +z +y +z. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 3 +y =, f y = y + =, f z = z + =. Z třetí rovnice plyne z =. Ze druhé plyne y = 6. Dosazením do první rovnice dostáváme 4 =, odkud = = 4. Soustava má dvě řešení a = [,,, a = [4, 44,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). f =6, f yy =, f zz =, f y =, f z =, f yz =. Odtud plyne, že f = Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )=, f (a )= [ [ 44. [ 6 Platí. Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) =, D (a ) = 44 <, D 3 (a ) = 88 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává lokální etrém funkce f. Dále D (a ) = 44 >, D (a ) = 88 >, D 3 (a ) = 88 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou =, y =, z =. Zřejmě platí f(,, ) = 3. Je-li >, pak f(,, ) > = f(a ), Je-li <, pak f(,, ) < = f(a ). Odtud plyne, že v bodě a není lokální etrém. 4

27 8. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = e ( + y ). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f =e (+y )+e =e ( + y +)=, f y = ye =. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Dosazením do první rovnice dostáváme + =. Odtud =. Soustava má jediné řešení a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a f (a). Platí f = 4 e ( + y + 4), f y =ye, f yy =e. Odtud plyne, že [ f = 4 e [ ( + y + 4) ye,, f (a)= e. ye e Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) = e >, D (a) = >. Podle e kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. 9. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)=e y ( +y ). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f = ( y ) =, f e +y y = y( y ) =. Nalezneme e +y stacionární body. Z první rovnice plyne = + y = a ze druhé rovnice plyne y = + y =. Nalezli jsme stacionární bod a = [, a body b na kružnici + y =. Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí f = ( y )( ) 4, f e +y y = 4y( y ), f e +y yy = ( y )( y ) 4y. e +y Odtud plyne, že f = [ ( y )( ) 4 4y( y ) e +y e +y 4y( y ) ( y )( y ) 4y e +y e +y [ f (a)=, f (b)= [ 4 e 4y e 4y e 4y e Určíme hlavní minory matic. Platí D (a) = >, D (a) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. D (b) = 4 >, D e (b) =. Podle kritéria nelze rozhodnout. Platí však f(b) = e c e pro libovolné c. Odtud c plyne, že na + y = nastává neostré maimum f.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)=e (+y +y). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f = e (y + + 4y + ) =, f y = e (y + ) =. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Dosazením do první rovnice dostáváme =. Soustava má jediné řešení a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí f =4e (+y +y+), f y =4e (y+), f yy =e. Odtud plyne, že [ [ 4e f = ( + y + y + ) 4e (y + ) e 4e (y + ) e, f (a)= e Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) = e >, D (a) = 4e >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. e.,. 5

28 LEKCE 7. VÁZANÉ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY. V následujících úlohách vyšetřete vázané a globální etrémy.. f(, y) = y + y s vazbou + y =.. f(, y) = + y s vazbou + y = f(, y) = ln(y) s vazbou + y =. 4. f(, y) = 6 + 6y s vazbou 3 + y 3 = Určete rozměry pravoúhlé nádrže tvaru kvádru o objemu V = 3 m 3 tak, aby dno a stěny měly co nejmenší povrch. 6. Určete rozměry kvádru tak, aby součet délek jeho hran byl 96 cm a jeho objem byl co největší. 7. Určete rozměry otevřené nádrže tvaru kvádru tak, aby při daném povrchu P =8m měla co největší objem. 8. Určete rozměry válce o největším objemu, jestliže jeho povrch je 6πdm. 9. f(, y) = y y na množině ohraničené křivkami y = a y =4.. f(, y) = + y 4y + na množině : A = [,, B = [3,, C = [, 5. Výsledky úloh:. Ma. v [, 3.. Min. v [,, ma. v [,. 3. Ma. v bodech [,, [,. 4. Ma. [, r =, v =. 9. ma f =3 v [, 4, min f = v [,.. ma f =6 v [, 5, min f = 4 v [,. ŘEŠENÍ.. Z vazby + y = lze jednoznačně vyjádřit y. Platí y =. Dosadíme tento vztah do zadané funkce f(, y) = y + y. Tím vznikne funkce F () = f(, ) =. Zadanou úlohu jsme tak převedli na ekvivalentní úlohu o nalezení lokálního etrému funkce F () =. Platí F () =. Derivaci položíme rovnu nule a nalezneme stacionární bod =. Protože F () = má F v bodě = lokální maimum. Dopočítáme y = ( ) = 3. Odtud plyne, že f má v bodě [, 3 vázané lokální maimum. Hodnota maima je 4. Úlohu řešme nyní pomocí Lagrangeovy funkce. Platí L(, y) = y + y + λ( + y ). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = y + λ =, L y = + + λ =, + y =. Z prvních dvou rovnic vyjádříme λ. Platí λ = y, λ =. Odtud y + =. Ze třetí rovnice dosadíme za y = a snadno dostáváme jediný stacionární bod a = [, 3 pro λ =. Spočteme druhé derivace Lagrangeovy funkce. Platí L =, L y =, L yy =. Odtud plyne L =L (a)= [. Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) =, D (a) =. Podle kritéria nelze rozhodnout. Vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zřejmě pro λ = je L(, 3 ) = 4. Nechť (u, v) je libovolný (tzv. přírůstkový vektor). Spočteme L([, 3 + (u, v)) = uv + 4. Je zřejmé, že výraz uv + 4 může nabývat hodnot větších než 4 i menších než 4. Odtud plyne, že Lagrangeova funkce L nemá ve zkomaném bodě lokální etrém. O eistenci vázaného etrému nelze z této informace nic usuzovat. 6

29 . Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y) = +y+λ( +y 88). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = + λ =, L y = + λy =, + y = 88. Z prvních dvou rovnic plyne = y a λ =. Dosazením do vazby dostáváme = ±. Nalezli jsme dva stacionární body Lagrangeovy funkce a = [, pro λ = 4 a a = [, pro λ = 4. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L = λ, L y =, L yy = λ. Odtud plyne, L (a )=[, L (a )= [ L = [ λ λ Určíme hlavní minory matic. Platí D (a ) = <, D (a ) = >. Podle 44 kritéria nastává v bodě a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. Dále D (a ) = >, D (a ) = 44 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce L a tedy vázané minimum funkce f. 3. Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y) = ln(y)+λ( +y ). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = + λ =, L y = y + λy =, + y =. Z prvních dvou rovnic plyne λ = = y. Odtud = y Dosazením do vazby dostáváme = ±. Nalezli jsme čtyři řešení soustavy rovnic a = [,, a = [,, a 3 = [,, a 4 = [, pro λ =. Pozor! Body a 3, a 4 / DL = Df. V dalším vyšetřování se tedy stačí omezit pouze na body a, a. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L = +λ, L yy = +λ, L y y =. Odtud plyne [ L = +λ, L (a )=L (a ) = [. y +λ. Určíme hlavní minory. Platí D (a ) = D (a ) = <, D (a ) = D (a ) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodech a, a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. 4. Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y)=6+6y+λ( 3 +y 3 6). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = 6 + 3λ =, L y = 6 + 3λy =, 3 + y 3 = 6. Z prvních dvou rovnic plyne λ = = y. Odtud = y a y = ±. Dosazením y = do vazby dostáváme 3 = 6 a tedy =. Nalezli jsme stacionární bod a = [, pro λ =. Dosazení y = vede k rovnosti 6 =. Bod a je jediné řešení soustavy. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L =6λ, L yy =6λy, L y =. Odtud plyne. L = [ 6λ 6λy, L (a)= [ 6 6 Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 6 <, D (a) = 36 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. 5. Označme, y rozměry dna a z hloubku nádrže. Podle zadání máme minimalizovat povrch nádrže P (, y, z), je-li předepsán její objem V (, y, z) = 3m 3. Máme tedy nalézt vázané minimum funkce P (, y, z) = y + z + yz s vazbou V (, y, z) = yz = 3. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 3 y. Úlohu na vázaný etrém funkce P převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = P (, y, 3 64 ) = y+ y y Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f 64 = y+ =, f y = + 64 y =. Z první rovnice plyne y = 64. Dosazením do druhé rovnice 7

30 dostáváme 4 =. Odtud = = 4. Zřejmě = nevyhovuje zadání 64 úlohy. Nalezli jsme jediný stacionární bod a = [4, 4. Dopočítáme z = =. Spočteme matice f, f (a). Platí f f = [ = 8 y 3 3, f yy = 8, f (a)= [, f y 3 y =. Odtud plyne. Určíme hlavní minory. Platí D (a) = >, D (a) = 3 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [4, 4 lokální minimum funkce f a tedy v bodě [4, 4, vázané minimum funkce P. Rozměry nádrže jsou Označme, y, z rozměry kvádru. Podle zadání máme maimalizovat objem V (, y, z), je-li předepsáno, že 4 + 4y + 4z = 96, tj. že součet délek hran kvádru je 96cm. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (, y, z) = yz s vazbou 4+4y+4z = 96. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 4 y. Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = V (, y, 4 y) = y(4 y). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f = y(4 y) y =, f y = (4 y) y =. Triviální řešení, kdy = y = nebudeme uvažovat. Soustavu lze tak převést na tvar + y = 4, + y = 4. Snadno nalezneme jediné řešení a = [8, 8. Dopočítáme z = = 8. Spočteme matice f, f (a). Platí f = y, f yy f = [ y 4 y 4 y =, f y =4 y. Odtud plyne, f (a)= [ Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 6 <, D (a) = 9 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [8, 8 lokální maimum funkce f a tedy v bodě [8, 8, 8 vázané maimum funkce V. Rozměry kvádru jsou Označme, y rozměry dna a z hloubku nádrže. Podle zadání máme maimalizovat objem nádrže V (, y, z), je-li předepsáno, že y + yz + z = 8. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (, y, z) = yz s vazbou y + yz + z = 8. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 8 y (+y). Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = V (, y, 8 y (+y) ) = y(8 y) (+y) Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f = y ( +y 8) (+y) =, f y = (y +y 8) =. Triviální řešení, kdy = y = nebudeme uvažovat. Soustavu lze tak převést na tvar + y = 8, y + y = 8. Odtud (+y) plyne, že = y a 3 = 8. Tedy = 6. Nalezli jsme jediný stacionární bod a = [6, 6. Dopočítáme z = 8 36 f = y4 8y (+y) 3, f yy = 4 8 (+y) 3, f f = y = 8y 3 y 3 y y 3 (+y) 3 [ y 4 8y 8y 3 y 3 y y 3 (+y) 3 (+y) 3 8y 3 y 3 y y (+y) 3 (+y) 3 = 3. Spočteme matice f, f (a). Platí. Odtud plyne [, f 3 3 (a)= 3 3. Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 3 <, D (a) = 7 >. Podle kritéria 4 nastává v bodě a = [6, 6 lokální maimum funkce f a tedy v bodě [6, 6, 3 vázané maimum funkce V. Rozměry nádrže jsou Označme r, v poloměr a výšku válce. Podle zadání máme maimalizovat jeho objem V (r, v), je-li předepsáno, že povrch válce je P (r, v) = 6πdm. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (r, v)=πr v s vazbou P (r, v)=πrv+πr =6π. Po úpravě má vazba tvar rv + r = 3. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem 8

31 k v. Platí v = 3 r. Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o r lokálních etrémech funkce f(r) = V (r, 3 r r ) = πr(3 r ). Spočteme f (r) = π(3 r ) πr = 3π 3πr. Derivaci položíme rovnu nule a získáme rovnici 3 3r =. Odtud plyne r = ±. Zřejmě řešení r = nevyhovuje. Jediný stacionární bod je r =. Z vazby dopočítáme v =. Spočteme f (r) = 6πr a f () = 6π <. Odtud plyne, že v bodě r = nastává lokální maimum funkce f a tedy v bodě [, vázané maimum funkce V. Rozměry válce jsou r =, v =. 9. Nejprve nalezneme lokální etrémy funkce f(, y) = y y. Spočteme parciální derivace f = 6 +8 y = a f y = y = a nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Po dosazení do první rovnice dostáváme ( + ) =. Odtud plyne a = [,, a = [,. Přitom a h() a a /. Funkce f tedy nemá uvnitř lokální etrém. Hranice množiny je tvořena dvěma křivkami. Vyšetření hranice h() se tedy rozpadá na vyřešení dvou úloh na vázané etrémy s funkcí f a vazbami V : y = 4, V : y =. Je zapotřebí zvlášť vyšetřit body A = [, 4, B = [, 4, které jsou průniky vazeb V a V. Úlohy f, V a f, V převedeme na ekvivalentní úlohy nalezení lokálních etrémů funkcí jedné proměnné. Úloha f, V je ekvivalentní úloze nalézt lokální etrémy funkce F ()=f(, 4)= Platí F ()=6 +8 8=6(+)( 3 ). Stacionární body jsou = a = 3. Dále F ()=+8. Odtud F ( )= 6. Tedy v = je maimum funkce F a v A=[, 4 vázané maimum f. Podobně spočteme, že v bodě a = [ 3, 4 dochází k vázanému minimu f. Úloha f, V je ekvivalentní úloze nalézt lokální etrémy funkce F ()=f(, )= Snadno se zjistí, že úloha f, V má vázané minimum v bodě b = [,. Spočteme funkční hodnoty v nalezených bodech. Platí f(a) = 35 7, f(b) =, f(a) = 3, f(b) = 6. Odtud M = {, 35 7, 6, 3}. Tedy ma f() = ma M = 3 a nastává v bodě A a min f()=min M = a nastává v bodě b.. Nalezneme lokální etrémy funkce f(, y) = +y 4y +. Spočteme parciální derivace f = a f y = y 4 a nalezneme stacionární bod a = [,. Matice druhé derivace je rovna f = f (a) = [. Hlavní minory této matice jsou kladné a proto v bodě a nastává lokální minimum funkce f. Platí f(a) = 4. Tedy A = { 4}. Hranice množiny je tvořena třemi úsečkami. Vyšetření hranice h() se tedy rozpadá na vyřešení tří úloh na vázané etrémy s funkcí f a vazbami V : y =, V : 5 + 3y = 5, V 3 : =. Zvlášť vyšetříme body A, B, C, které jsou průniky různých vazeb. Úlohy f, V i, kde i =,, 3 převedeme na ekvivalentní úlohy nalezení lokálních etrémů funkcí F i, kde F ()=f(, )= +, F ()= f(, ) = , F 3 (y) = f(, y) = y 4y +. Snadno se zjistí, že úloha f, V má vázané minimum v bodě a = [, ; f, V má vázané minimum v a = [, ; f, V 3 má vázané minimum v a 3 = [ 7 7, 4. Spočteme funkční hodnoty 7 v nalezených bodech. Platí f(a ) =, f(a ) = 3, f(a 3 ) = 6 7, f(a) =, f(b) = 4, f(c) = 6. Odtud B = {, 3, 6 6,, 4, 6}. M = { 4,, 3,,, 4, 6}. Odtud 7 7 ma f()=ma M =6 v bodě C. Dále min f()=min M = 4 v bodě a. 9

32 LEKCE 8. IMPLICITNÍ FUNKCE.. Spočtěte y a y, je-li y + y 3 =.. Spočtěte y a y, je-li + y e y =. 3. Spočtěte y a y, je-li y + y e =. 4. Spočtěte a upravte y, je-li y =. 5. Určete, zda je funkce daná implicitně rovnicí y +y 5= rostoucí v bodě [,. 6. Spočtěte rovnici tečny ke grafu funkce dané implicitně rovnicí 5 + y 5 y = v bodě [,. 7. Spočtěte rovnici tečny ke grafu funkce dané implicitně rovnicí e y + sin y + y = v bodě [,. 8. Spočtěte rovnici normály ke grafu funkce dané implicitně rovnicí y+ln y = v bodě [,. 9. Rozhodněte, zda je funkce daná implicitně rovnicí 3 + y 3 y = konvení nebo konkávní v bodě [,.. Nalezněte lokální etrémy funkce dané implicitně rovnicí ln +y arctg y =. Výsledky úloh:. y = y 3y, y = 4y 6y(y ) 3y 3.. y = e y e y +, y = e y ( y ) e y y = e +e y, y = e +e y (y ). 4. y = 6y y = 6( y ). y+ y+ y y 5 5. Klesající. y () = ln y =. 7. y =. 8. y =. 9. Konkávní. y ()= 6.. Maimum v bodě e π 4 a minimum v bodě e π 4. ŘEŠENÍ.. První derivaci y určíme oběma možnými metodami. Nejprve podle vzorce y = f f. Pro parciální derivace funkce f(, y) = y + y 3 platí f y = y a f y = + 3y. Po dosazení do vzorce dostáváme y = y 3y. Druhá možnost výpočtu spočívá ve zderivování dané rovnice y + y 3 = podle, přičemž y považujeme za funkci proměnné. Platí y y + 3y y =. Vypočítáme y a opět dostáváme y = y 3y. Nyní přistupme k výpočtu druhé derivace y. Tu podle vzorce určovat nebudeme. Pro výpočet druhé derivace budeme vždy používat metodu derivování rovnice podle. Vztah y y + 3y y = znovu zderivujeme podle. Platí y y y +6yy y +3y y =. Rovnici upravíme a vypočteme y. Dostáváme y = 4y 6y(y ) 3y 3. 3

33 . Vzorec pro výpočet y je vhodné použít, pokud nemusíme určovat derivace vyšších řádů. Použijeme tedy k výpočtu druhé metody. Rovnici + y e y = zderivujeme podle. Platí + y e y ( y ) =. Odtud po úpravě plyne y = e y e y +. Druhou derivaci y funkce dané implicitně získáme dalším derivováním vztahu +y e y ( y )=. Platí y e y ( y ) e y ( y )=. Z poslední rovnice již vypočítáme y. Dostáváme y = e y ( y ). e y + 3. Postupujme jako v předchozí úloze. První derivací rovnice y + y e = dostáváme y + y + yy e e =. Odtud plyne y = e +e y y+. Druhým zderivováním dostaneme y + y + y + y y + yy e e e =. Vztah upravíme a vypočítáme y. Platí y = e + e y (y ). y + 4. Rovnici y = třikrát zderivujeme podle. Pro první derivaci platí yy =. Odtud y = y. Druhou derivací rovnice dostáváme y y yy =. Odtud y = (y ) y. Ze třetí derivací rovnice dostáváme 4y y y y yy =. Odtud y = 6y y. Po dosazení za y a y a krátké úpravě y = 6( y ) y y Rovnici y +y 5 = zderivujeme podle. Platí ln y (y +y )+yy =. Odtud y ln y y = y+ln. Nyní dosadíme souřadnice zadaného bodu [, do y. y y ln ( ) () = ( )+ln = ln. Protože je derivace ve vyšetřovaném bodě záporná, je funkce daná implicitně v tomto bodě klesající. 6. Předně rovnice tečny ke grafu funkce y = y() v bodě [, y je dána vztahem y y = y ( )( ). Ze zadání úlohy plyne = a y =. K vyřešení úlohy tedy stačí určit hodnotu derivace y (). Rovnici 5 + y 5 y = zderivujeme podle. Platí y 4 y y y =. Odtud y = y 54 5y 4 a y () = 5 5 =. Dosadíme do rovnice tečny. Platí y = ( ). Po úpravě dostáváme +y =. 7. Postupujeme analogicky jako v předchozím příkladu. Ze zadání úlohy plyne = a y =. Určíme hodnotu derivace y (). Rovnici e y + sin y + y = zderivujeme podle. Platí e y (y + y ) + cos y y + yy =. Odtud y = ye y y+cos y+e y a y () =. Po dosazení dostáváme, že rovnice tečny je y =. 8. Předně rovnice normály ke grafu funkce y = y() v bodě [, y je dána vztahem y y = y ( ( ) ). Ze zadání úlohy plyne = a y =. K vyřešení úlohy tedy opět stačí určit hodnotu derivace y (). Rovnici y + ln y = zderivujeme podle. Platí y + y + y y =. Odtud y = y +y a y () = + =. Dosadíme do rovnice normály. Platí y = ( ). Po úpravě dostáváme y =. 3

34 9. Abychom rozhodli, zda je funkce daná implicitně rovnicí 3 + y 3 y = konvení nebo konkávní v bodě [,, musíme spočítat hodnotu derivace y (). Zadanou rovnici zderivujeme podle. Platí 3 + 3y y y y =. Odtud y y 3 = 3y a tedy y () = 3 =. Z tohoto výsledku lze usoudit, 3 že funkce je v bodě = klesající. Nyní zderivujeme zadanou rovnici podruhé. Platí Odtud 6 + 6yy y + 3y y y y y =. y = 4y 6 6y(y ), y 4( ) 6 6 ( ) () = 3y 3 = 6. Protože je druhá derivace záporná, leží graf funkce v okolí bodu [, pod tečnou a tedy funkce je v bodě = konkávní.. Nejprve vypočteme y. Rovnici ln +y arctg y = zderivujeme podle. Platí ( + +y +y yy ) ) ( y y ) =. Vztah upravíme. +yy +y y y +y = a tedy +y+yy y +y y = +y y = ( y + =. Odtud plyne + y + yy y = a y. Podobně dojdeme k výsledku podle vzorce y = F F. y + y + y + y + ( y y + y + ( y ) ) y = + y + y + y y + y = + y +y y. Ve druhém kroku nalezneme stacionární body, tj. body, pro které platí y =. Z předchozího výpočtu ale plyne, že y = právě když + y =, tj. y =. Dosazením do zadané rovnice dostaneme ln arctg( ) =. Odtud plyne ln + π 4 =. Odlogaritmováním získáme = e π 4 a = e π 4. Nalezli jsme dva stacionární body s = e π 4 a s = e π 4. Ve třetím kroku určíme druhou derivaci y. Rovnici + y + y y y = znovu zderivujeme podle. Platí + y + y y + (y ) y y =. Odtud plyne, že y = (y ) + = ( + y ) y ( y) 3. Poslední rovnost vznikla dosazením y = +y y. V závěrečném kroku pomocí druhé derivace rozhodneme, zda v bodech S a S dochází k lokálním etrémům. Pro bod s platí y s (s ) = (s ( s )) 3 = <. s Podobně pro bod s platí y (s ) = s >. Tedy v bodě s dochází k lokálnímu maimu a v bodě s k lokálnímu minimu implicitní funkce. 3

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Učební text předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Globální extrémy (na kompaktní množině) Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více