Symboliko - komplexní metoda Sériové zapojení prvků, a Použité zdroje: Blahove, A.: Elektrotehnika, nformatorium spol.s r.o., Praha 2005 Wojnar, J.: áklady elektrotehniky, Tribun E s.r.o., Brno 2009 http://hyperphysis.phy-astr.gsu.edu http://fei.vsb.z http://luy.troja.mff.uni.z http://www.regentsprep.org praoval: ng. B. Miloslav Otýpka Symboly pro prvky střídavého obvodu Fázory sinusovýh veličin si můžeme představit jako vektory v rovině, které lze matematiky popsat komplexními čísly. Tedy fázorové diagramy přenášíme do Gaussovy roviny pomoí
komplexníh čísel. Vhodnými symboly vyjádříme odpory, reaktane a admitane tak, aby pro, a platil Ohmův zákon i Kirhhoffovy zákony, přičemž napětí a proudy vyjadřujeme v hodnotáh efektivníh. Symboliko - komplexní metoda převádí počítání s harmonikými veličinami (goniometrikými funkemi) na počítání s komplexními čísly. Používáme ji při řešení složitějšíh obvodů. Elektriké veličiny vyjadřujeme komplexními čísly. Fázory napětí a proudu považujeme za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině. ovněž vztahy mezi jednotlivými fázory v obvodu vyjadřujeme pomoí komplexníh veličin. Řešení elektrikýh obvodů pomoí fázorů spočívá v tom, že fázory nahradíme komplexními čísly: absolutní hodnota komplexního čísla velikost fázoru argument komplexního čísla úhel fázoru od kladné osy reálnýh čísel. Sériové zapojení, a Obr. Sériové zapojení ideálníh prvků, a a odpovídajíí fázorový diagram v Gaussově rovině. Poznámka: sériového zapojení ideálníh prvků, a mohou nastat tři případy:. > - fázor výsledného napětí bude v. kvadrantu Gaussovy roviny - viz obr. 2. < - fázor výsledného napětí bude ve V. kvadrantu Gaussovy roviny 3. - fázor výsledného napětí bude ve fázi s proudem, obvod pak vykazuje pouze reálný odpor a dohází k sériové rezonani Veličina společná všem prvkům obvodu (kardinální otázka) je proud (kreslíme do osy +x). Mezi proudem a elkovým napětím platí podle Ohmova zákona:.. Y Y
Y [ symbol impedane, Y symbol admitane - obeně komplexní čísla] Pro napětí na jednotlivýh prvíh obvodu platí:., X., X. fázorového diagramu je zřejmé: Proud v obvodu (jeho fázor) leží v reálné ose a je to tedy reálné číslo. Napětí na ideálním rezistoru (jeho fázor) leží v reálné ose a je to tedy reálné číslo. Symbolem odporu je reálné číslo. Napětí na ideální íve (jeho fázor) leží na kladné imaginární ose a je to tedy kladné imaginární číslo. j Symbolem indukční reaktane X je kladné imaginární číslo. X j jx jω Napětí na ideálním kondenzátoru (jeho fázor) leží na záporné imaginární ose a je to tedy záporné imaginární číslo. -j Symbolem kapaitní reaktane X je záporné imaginární číslo. X j j Výsledné napětí lze zapsat podle. Kirhhoffova zákona vztahem + +. + jx. + (-jx.). + jx. -jx..( + jx - jx ). mpedane sériového obvodu složeného z ideálníh prvků, a (symbol impedane) bude: + j( X X ) + j( ω ) Jak řešíme sériový elektriký obvod symboliko komplexní metou Při řešení sériovýh obvodů střídavého proudu symbolikou metodou vyházíme z fázorového diagramu zobrazeného v Gaussově rovině. Místo fázorového součtu
geometrikého, využijeme součet symbolů pomoí komplexníh čísel. Dále jsou uvedeny základní vzore pro možná zapojení v sérii. a) deální rezistor a ideální ívka v sérii Oběma prvky prohází stejný proud. Napětí na ideálním rezistoru je ve fázi s proudem. Napětí na ideální íve předbíhá proud o 90 o, leží tedy na kladné imaginární ose. Společná veličina pro daný obvod je proud. Nakreslíme fázorový diagram, ze kterého je patrné, že fázory, a tvoří pravoúhlý trojúhelník, řešitelný Pythagorovou větou. fázorového diagramu také vyplývá, že v sériovém obvodu s ideálním rezistorem a ideální ívkou se proud zpožďuje za napětím o úhel φ, který je vždy větší jak 0 o a menší než 90 o. Obvod má indukční harakter. V rezistoru s činným odporem vzniká jen činný výkon (kladné reálné číslo). V ideální íve vzniká jen jalový výkon na její indukční reaktani (kladné imaginární číslo). Název symbolu Výpočet Napětí na ideálním rezistoru. Napětí na ideální íve j jω. j2πf elkové napětí + j. + jω.. ( + jω) Komplexní impedane obvodu + jx + jω Komplexní admitane obvodu Y G jb + jx Konduktane obvodu (činná vodivost) G 2 Suseptane obvodu (jalová vodivost) X B Absolutní hodnota impedane ( ) 2 2 2 + ω Absolutní hodnota napětí 2 ( ) 2 Fázový posun. + ω X tgϕ, os ϕ, sinϕ X Poznámka: Komplexní impedane a komplexní admitane (v symbolikém vyjádření) nejsou časovými fázory (jejih velikost a směr se nemění), je možné je však v Gaussově rovině znázornit. b) deální rezistor a ideální kondenzátor v sérii Oběma prvky prohází stejný proud. Napětí na ideálním rezistoru je ve fázi s proudem. Napětí na ideálním kondenzátoru se za proudem zpožďuje o 90 o, leží tedy na záporné
imaginární ose. Společná veličina pro daný obvod je proud. Nakreslíme fázorový diagram, ze kterého je patrné, že fázory, a tvoří pravoúhlý trojúhelník, řešitelný Pythagorovou větou. fázorového diagramu také vyplývá, že v sériovém obvodu s ideálním rezistorem a ideálním kondenzátorem proud předbíhá napětí o úhel φ, který je vždy větší jak 0 o a menší než 90 o. Obvod má kapaitní harakter. V rezistoru s činným odporem vzniká jen činný výkon (kladné reálné číslo). V ideálním kondenzátoru vzniká jen jalový výkon na jeho kapaitní reaktani (záporné imaginární číslo). Název symbolu Napětí na ideálním rezistoru Napětí na ideálním kondenzátoru elkové napětí Komplexní impedane. j j Výpočet +. j. jx Absolutní hodnota impedane 2 2 + Absolutní hodnota napětí 2 2 2 2 + + Fázový posun tgϕ (Fázový posun je záporný, napětí je zpožděno za proudem) ) deální ideální ívka a ideální kondenzátor v sérii sériového zapojení ideálníh prvků a mohou nastat tři případy:. > - fázor výsledného napětí bude ležet na kladné imaginární ose 2. < - fázor výsledného napětí bude ležet na záporné imaginární ose 3. - napětí na indukční i kapaitní reaktani jsou shodná (induktane se rovná kapaitani) a dohází k sériové rezonani Sériový rezonanční obvod má nejmenší impedani a při rezonančním kmitočtu jím protéká největší proud. Dohází k napěťové rezonani - napětí na íve a kondenzátoru dosahují maxima a mohou být i několikanásobně (Q -krát) vyšší než elkové napětí. Název symbolu Napětí na ideální íve Napětí na ideálním kondenzátoru jω. j ω Výpočet Q se nazývá činitel jakosti obvodu a platí: Q ω tráty v kondenzátoru jsou minimální a proto činitel jakosti obvodu je dán činitelem jakosti skutečné ívky.
elkové napětí Komplexní impedane Fázový posun ezonanční frekvene (Thomsonův vzore) + j ω.. j ω π ϕ ± 2 25330 f f 0 MHz, µ H, pf 2π 0, [ ] d) deální rezistor, ideální ívka a ideální kondenzátor v sérii harakter obvodu se stanoví porovnáním velikostí indukční a kapaitní reaktane. Název symbolu Napětí na ideálním rezistoru Napětí na ideální íve Napětí na ideálním kondenzátoru elkové napětí Komplexní impedane obvodu Výpočet. j jω. -j j. + j ω. ω + j(x -X ) + j ω Absolutní hodnota impedane (modul) 2 2 + ω Fázový posun ω tgϕ Příklady:. Jak velký protéká proud elektrikým obvodem s impedaní 3 + j4 Ω je-li napájeí napětí 45 + j0 V.
45 + j0 (45 + j0).(3 j4) 35 + j30 j80 + 40 75 j50 7 j A 3 + j4 (3 + j4).(3 j4) 9 + j2 j2 + 6 25 6 2. Vypočítejte elkovou impedani sériově zapojeného rezistoru 5 Ω a ívky 2 mh připojené na zdroj střídavého napětí u(t) 2 sin (5000t) V. Platí: u(t) 2sin(5000t) 2 sin (ω. t) V ω 5000 rad.s - Sečteme symboly odporu a indukční reaktane: 3 + jx + jω 5 + j5000.2.0 (5 + j0) Ω mpedane v našem příkladě vyjádřená algebraikým zápisem, není reálné ani ryze imaginární číslo, ale je to číslo komplexní a má indukční harakter. Algebraiký tvar zápisu impedane byhom mohli zapsat ve tvaru goniometrikém: 5 + j 0,8. (os 63,43 + j sin 63,43) Ω mpedani byhom ve tvaru exponeniálním zapsali: 5 + j0,8e j63,43 Ω 3. V sériovém obvodu je 00 Ω, 5 μf. Na obvod je přiloženo napětí u(t) 80 os (0000t) V. Vypočítejte elkovou impedani. Sečteme symboly odporu a kapaitní reaktane: + ( jx ) j 00 j 00 j (00 j20) Ω 6 6 0000.5.0 50000.0 mpedane v našem příkladě vyjádřená algebraikým zápisem není reálné ani ryze imaginární číslo, ale je to číslo komplexní a má kapaitní harakter. Algebraiký tvar zápisu impedane byhom mohli zapsat ve tvaru goniometrikém: 00 - j20 0,98. (os -,3 + j sin -,3) Ω mpedani byhom ve tvaru exponeniálním zapsali: 00 j20 0,98e j, 3 Ω 4. V sériovém obvodu je 4 mh a 50 μf. Na obvod je přiloženo napětí u(t) 50 sin (500t) V. Vypočítejte elkovou impedani.
Sečteme symboly indukční a kapaitní reaktane: 3 j jx + jx ) jω j j500.4.0 500.50.0 ( 6 j2 j40 j38ω mpedane v našem příkladě vyjádřená algebraikým zápisem je ryze imaginární číslo, které můžeme snadno převést na tvary goniometriký a exponeniální: j38 38. j( ) [ os( 90) + j sin( 90) ] 38e 90 Ω mpedane v našem příkladě je kapaitního harakteru. 5. V sériovém obvodu je zapojen ideální rezistor s odporem 50 Ω a ideální ívka s indukčností 500 mh. Obvodem protéká proud 800 ma s frekvení 50 Hz. Vypočítejte napětí na ideálníh prvíh, napětí zdroje, impedani obvodu, činný výkon, jalový výkon, zdánlivý výkon a úhel fázového posunu. [ 40 V, j25,6 V, 3,82 V, 64,75 Ω, P 32 W, Q 00,52 var, S 05,5 VA, φ 72,33 o ] 6. Do obvodu střídavého proudu je zapojen do série ideální rezistor s odporem 0 Ω a ideální kondenzátor s kapaitní reaktaní 20 Ω. Obvodem protéká proud 2 A. Vypočítejte napětí na ideálníh prvíh, napětí zdroje, impedani obvodu, činný výkon, jalový výkon, zdánlivý výkon a úhel fázového posunu. [ 20 V, 40 V, 44,72 V, 22,36 Ω, P 40 W, Q 80 var, S 89,44 VA, φ - 63,43 o ] 7. Sériový obvod s prvky, a je připojen na zdroj střídavého napětí 0 V. Na íve je napětí 20 V a na kondenzátoru je napětí 0 V. Obvodem protéká proud 0,25 A. Vypočítejte modul napájeího napětí v exponeniálním tvaru, impedani obvodu v exponeniálním tvaru, odpor rezistoru a fázový posun. [ e j45 o o j 4,4 V, 56,6e 45 Ω, 40 Ω, φ 45 o ]