STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114
ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny. V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla: Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0. Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami. Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.
V krychli ABCDEFGH s hranou AB = 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.
Přímky AC a BC leží v jedné rovině a jsou různoběžné. Protínají se v bodě C, a proto je naše hledaná odchylka úhel α = ACB. Z vlastností čtverce (stěna krychle) lze snadno odvodit, že úhel α = 45. Tento úhel lze také snadno spočítat díky goniometrickým funkcím.
V krychli ABCDEFGH s hranou AB = 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.
Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.
Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.
Přímky BE a CE se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel α = BEC. Trojúhelník BCE je pravoúhlý, proto při výpočtu můžeme užít Pythagorovy věty a goniometrické funkce.
BE 2 = AB 2 + AE 2 u 2 = a 2 + a 2 u = a 2 u = 8 2 cm tan α = BC BE Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém. Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu. tan α = a u tan α = 8 8 2 = 1 2 = 2 2 α 35
V krychli ABCDEFGH s hranou AB = 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.
Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod jsou mimoběžné. Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou. Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH. Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH byla by to přímka AH.
Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.
Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.
Díky skutečnosti, že nalezený řez je rovnostranný trojúhelník, víme, že každý vnitřní úhel trojúhelníku je 60, tedy i úhlu α = EBG, který je odchylkou přímek BE a G. Příklad je vyřešen.
V krychli ABCDEFGH s hranou AB = 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.
Přímky AT a SH jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.
Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.
Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.
Přímky SG a SH se protínají v bodě S, a proto je naše hledaná odchylka úhel α = GSH. Trojúhelník SGH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.
Před výpočtem odchylky α je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku SGH. Strana SG = y leží v boční stěně, kde bod S leží uprostřed hrany BC, tedy i uprostřed strany čtverce. K výpočtu velikosti úsečky SG využijeme Pythagorovy věty.
SG 2 = SC 2 + CG 2 y 2 = a 2 2 + a 2 Výpočet úsečky SG je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle. y 2 = a2 4 + a2 y 2 = 5a2 4 y = a 5 2 y = 12 5 2 = 6 5 cm
tan α = GH SG tan α = a y tan α = 12 6 5 = 2 5 = 2 5 5 α 42 Nyní známe velikost úsečky SG a můžeme vypočítat úhel α pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal i rozměr úsečky SH a využili tak i jiných goniometrických funkcí.
V kvádru ABCDEFGH s hranou AB = 8 cm, BC = 3 cm a AE = 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.
Přímky AD a CE jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE. Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.
Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.
Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.
Přímky CE a EH se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel α = CEH. Trojúhelník CEH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce. Z obrázku je patrné, že úhel ECB musí mít stejnou velikost, což vyplývá z vlastností pro úhly dvou rovnoběžek a jedné různoběžky (střídavé úhly).
Před výpočtem odchylky α je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku CEH. K výpočtu velikosti úsečky CH využijeme Pythagorovy věty.
Výpočet úsečky CH je uveden zde. CH 2 = DH 2 + CD 2 u 2 = c 2 + a 2 u 2 = 6 2 + 8 2 u 2 = 36 + 64 u 2 = 100 u = 100 u = 10 cm
tan α = CH EH tan α = u b tan α = 10 3 α 73 Nyní známe velikost úsečky CH a můžeme vypočítat úhel α pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal rozměr tělesové úhlopříčky t = CE a využili tak i jiných goniometrických funkcí.
ÚKOL ZÁVĚREM 1) V krychli ABCDEFGH s hranou AB = 7 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG. 2) V kvádru ABCDEFGH s hranou AB = 4 cm, BC = 10 cm a AE = 12 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.
ZDROJE Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.