M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatí. Pokusme se to nejprve osvtlit na píklad, který s geometrií nesouvisí. Píklad 1: Napiš všechna ísla, pro která platí: jsou menší než deset a jsou to prvoísla Prvoísla jsou taková pirozená ísle, která jsou dlitelná pouze jednikou a sama sebou. Prvoísla menší než deset jsou tedy následující ísla: 1, 2, 3, 5, 7. Mžeme tedy íci, že ísla 1, 2, 3, 5, 7 patí do množiny (skupiny), která má tu vlastnost, že její prvky (ísla) jsou pirozená ísla menší než deset a jsou to prvoísla. Žádný jiný prvek (íslo) již do dané množiny nepatí. Napíklad íslo 8 je sice menší než deset, ale není to prvoíslo (je dlitelné 1, 2, 4, 8). íslo 11 rovnž do dané množiny nepatí je to sice prvoíslo, ale není menší než deset. Stejn budeme chápat s pojem množina bod dané vlastnosti i v geometrii! Poznámka: slovo skupina jsem doposud používal proto, že je pojmu množina velmi blízké a urit jsi ho již nkdy slyšel. Myslím, že už jsi pojem množina dostaten pochopil, a proto již budu hovoit pouze o množinách, nikoliv o skupinách.. ZÁKLADNÍ MNOŽINY BOD Píklad 2: Podívej se na následující obrázek. Je na nm narýsována kružnice k( S; r 4cm). Poté odpovídej na mé otázky
? Co mžeš íci o bodech A, D, E, G, I? Všechny body leží na kružnici k? Jaká je jejich vzdálenost od stedu S? Je pro všechny body stejná je rovna polomru r = 4 cm je to vlastnost všech tchto bod? Má bod F také takovou vlastnost? Nemá, bod F má od stedu S vzdálenost vtší než 4 cm, proto neleží na kružnici? A co bod H? Jeho vzdálenost od S je menší než 4 cm, proto také neleží na kružnici? Které další body nemají od bodu S vzdálenost 4 cm? B, C? Dokážeš íci, co to tedy vlastn kružnice je? Kružnice k(s;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r Píklad 3: Narýsuj si úseku AB, která má délku 8 cm a sestroj její osu. Poté si na této ose zvol libovoln body C, D. mimo osu si zvol body E, F.
? Zm vzdálenost bodu C ležícího na ose od krajních bod úseky AB. Co jsi zjistil? Bod C má od obou bod stejnou vzdálenost, platí tedy CA = CB? Zm vzdálenost bodu D ležícího na ose od krajních bod úseky AB. Co jsi zjistil? Bod D má od obou bod stejnou vzdálenost, platí tedy DA = DB? Zm si vzdálenost bodu E, který na ose neleží, od krajních bod AB. Co jsi zjistil? Bod E má od obou bod rznou vzdálenost, platí tedy EA > EB? Dokážeš tedy pomocí vlastnosti bod íci, co to vlastn osa úseky je? Osa o úseky AB je množina všech bod, které mají od bod A, B stejnou vzdálenost Píklad 4: Narýsuj si pímku p. Poté si zkus vyznait body A, B, C, D, které mají od pímky p stejnou vzdálenost 3 cm. Libovoln si pak vyzna body E, F, G, H, které mají od pímky p vzdálenost menší i vtší než 3 cm Než pistoupíme k ešení, uvdom si, jak míme vzdálenost bodu od pímky. Podívej se na obrázek: je na nm dán bod A a pímka p s body S, T, X, Y.
v( A; p) AX - protože AX p Zapamatuj si: Slovem vzdálenost obvykle myslíme nejmenší délku, vzdálenost míme na kolmici A nyní se vrame k naší úloze. Narýsuj si nejprve body A,B,C,D:? Jakou mají body A,B,C,D spolenou vlastnost? Všechny mají od pímky p vzdálenost 3 cm: v( A; p) v( B; p) v( C; p) v( D; p) 3cm? Dokážeš si sám vyznait další body (udlej to), které mají tutéž vlastnost?
Urit ano udlej si sám? Kolik takových bod je? Je jich nepoítan (matematik by ekl nekonen mnoho? Když všechny body s touto vlastností spojíš, co dostaneš? Dostanu dv pímky q, q (viz obrázek)? Dokážeš danou množinu bod popsat? Množinou všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost d cm, jsou dv rovnobžky q, q vzdálené o d cm od dané pímky p. Nyní si náš obrázek doplníme o zbývající body E,F,G,H, jejichž vzdálenost od pímky p je rzná od 3 cm:
? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od pímky p je vtší než 3cm? F, G každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od p je vtší nebo rovna 3cm? A, B, C, D, F, G každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od pímky p je menší než 3cm? E, H - každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost p je menší nebo rovna 3cm? A, B, C, D, E, H každý z tchto bod má tuto vlastnost? Dokážeš vyznait množinu všech takových bod, které mají od pímky p vzdálenost d menší nebo rovnou 3 cm?
Množinu bod, kterou si vyznail, nazýváme pás Pás je množina všech bod, které mají od dané pímky p vzdálenost menší nebo rovnou d (v našem píklad d = 3 cm). Píklad 5: Jsou dány rznobžky a, b. Jejich prseík si ozna V. Vyzna si dále úhly vedlejší úhly, u prseíku V. Sestroj si osy úhl,. Na jedné z os si zvol bod X.? Co nám udlá osa úhlu o s úhlem? Rozdlí nám úhel na dva shodné úhly /2? Všimni si trojúhelník VXY a VXY, co o nich mžeš íci? Jsou to shodné pravoúhlé trojúhelníky, krom pravého úhlu mají shodný i úhel u vrcholu V, trojúhelníky se tedy shodují podle vty uuu ve všech vnitních úhlech.? Co tedy platí pro vzdálenost bodu X od rznobžek (ramen úhlu) a, b? Je shodná, protože se jedná o shodné trojúhelníky. Platí tedy: XY XY? Dokážeš tedy pomocí vlastnosti bod íci, co to vlastn osa úhlu je? Osy úhl s rameny na rznobžkách a, b a s vrcholem v jejich prseíku V tvoí množinu všech bod, které mají od rznobžek a, b stejnou vzdálenost.
Z Á V R E N É S H R N U T Í Pro Tvj pehled uvádím pehled všech množin bod, které jsme si probrali. Navíc ješt uvedu další jednoduché množiny bod. S tmito základními množinami se budeme velmi asto setkávat v dalších kapitolách pi rzných konstrukcích. 1. Kružnice: Kružnice k(s;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r 2. Kruh
Kruh K(S;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnou r 3. Osa úseky: Osa o úseky je množina všech bod, které mají od krajních bod úseky stejnou vzdálenost
4. Pás Pás je množina všech bod, které mají od dané pímky p vzdálenost menší nebo rovnou d cm 5. Osa pásu Osa pásu je množina všech bod, které mají od daných dvou rovnobžek a, b stejnou vzdálenost
5. Pímka vzdálená o d cm od pímky p Množinou všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost d cm, jsou dv rovnobžky q, q vzdálené o d cm od dané pímky p. 6. osa úhlu
Osa úhlu je množina všech bod, které mají od obou ramen daného úhlu stejnou vzdálenost 7. Mezikruží Mezikruží je množina všech bod, které mají od stedu S vzdálenost vtší nebo rovnou r 1 a zárove menší nebo rovnou r 2 (r 1 < r 2 ) Píklad 6: Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC s hlavním vrcholem C. Co je množinou všech bod tohoto trojúhelníku, které mají stejnou vzdálenost od obou jeho ramen?
Hledanou množinou je osa základny AB bez bodu S (prseík osy se základnou). Bod S do dané množiny nepatí, protože by se pak nejednalo o trojúhelník ASB. Píklad 7: Je dán kruh K, jehož hranicí je kružnice k ( S; r) a dva jeho navzájem kolmé prmry AB, CD. Co je množinou všech bod kruhu K, které jsou stejn vzdálené od pímek AB, CD? Rozbor úlohy: Budu Ti pokládat otázky. Zkus si na n nejprve sám odpovdt. Svou odpov si poté zkontroluj s mou odpovdí, které je vždy hned pod otázkou? Co je to kruh? Je to množina všech bod, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnou r.? Co je množinou všech bod, které jsou stejn vzdálené od prmr AB, CD? Jsou to osy úhl ASC a ASD? Co musí podle zadání platit pro množinu bod, kterou hledáme? Musí ležet jednak na jedné z os úhl ASC nebo ASD, ale také musí ležet v kruhu. Musí tedy ležet v prniku dvou množin bod kruhu K a jedné z os úhl ASC, ASD. Všimni si, že jsme neznámé body získaly jako prnik dvou množin bod (kruhu a osy úhlu). Pomocí prniku množin bod budeme v následujících kapitolách hledat neznámé vrcholy trojúhelník, tyúhelník, stedy kružnic atd. Na obrázku je výsledná množina bod vyznaena erven.
Píklad 8: Je dána pímka p a bod A, který na ni neleží. Po pímce p se pohybuje bod X. Urete množinu všech sted úseek AX Hledanou množinou je pímka q, která je rovnobžná s pímkou p a prochází stedem úseky AX. Pokud by si na to hned nepišel, mžeš si takových bod udlat více stejn jako já. Poté již na výslednou množinu bod snadno pijdeš.
Píklad 9: V rovin sou dány dva rzné body A, B. Vyšetete množinu všech bod X, pro které platí AX > BX Rozbor: Urit si vzpomeneš na ešený píklad 6. Výslednou množinou bod zde byla osa úseky. Pro ni platí, že AX = BX. Pokud si tuhle množinu nartneš, nebude pro tebe problém najít práv tu množinu bod, pro kterou platí, že AX > BX. Máš stejný výsledek jako já na následujícím obrázku?? Patí do zmínné množiny bod také body na ose? Nepatí, aby patili, musela by množina bod splovat bu rovnost AX = BX, nebo by nerovnost nesmla být ostrá (>), ale neostrá: AX BX. Píklad 10: Najdte množinu sted S kružnic o polomru 4 cm, které procházejí bodem X. Jedná se o velmi jednoduchou úlohu, jejíž zadání by se dalo pevézt na hledání všech bod, které mají od daného bodu X vzdálenost 4 cm. Urit víš, že takovou základní množinou bod je kružnice se stedem v bod X a polomrem 4 cm. A skuten, každý bod na této kružnici pedstavuje sted S kružnice k, která má polomr 4 cm a prochází bodem X (na obr. jsou takové kružnice zobrazeny tyi.
Píklad 11: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané pímky p a mají daný polomr r = 4 cm. Opt velmi jednoduchá úloha, která je velmi podobná úloze o hledání všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost r. Takovou množinou byly dv rovnobžky a, b ve vzdálenosti r od pímky p. Tyto rovnobžky jsou hledanou množinou sted kružnic.
Píklad 12: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají daných dvou rovnobžek a, b. Opt se jedná o velmi podobnou úlohu k úloze o hledání všech bod,které jsou stejn vzdálené od rovnobžek a, b. Hledanou množinu všech sted kružnic je osa pásu, který rovnobžky a, b vymezují. Píklad 12: Najdte množinu sted S kružnic k o polomru r 1 = 2 cm, které se dotýkají dané kružnice l( O; r 4cm). Ze zadání víme, že sted S musí být od kružnice l( O; r 4cm) vzdálen 2 cm, aby se kružnice o polomru r 1 = 2 cm kružnice l( O; r 4cm) dotýkala. Stedy S tedy musí ležet bu na soustedné kružnici l1 ( O; r 4cm 2cm 6cm) nebo na soustedné kružnici l2 ( O; r 4cm 2cm 2cm).
Píklad 13: Jsou dány kružnice m( M ; r 5cm); n( N; r 6cm), piemž pro vzdálenost jejich sted (stednou) platí a) MX 5 cm a zárove NX 6 cm b) MX < 5 cm a zárove NX > 6 cm MN 4cm. Sestrojte množinu všech takových bod X, pro nž platí: Nejprve se podíváme na cviení a). Podívej se na následující obrázek. Co na nm vidíš? MX 5cm NX 6cm Na pedchozím obrázku máš znázornny ob množiny bod. Modrou je znázornna množina všech bod X, pro niž platí MX 5cm. Výslednou množinou je kruh. Žlutou barvou je pak znázornna množina všech bod, jejichž vzdálenost od bodu N je menší nebo rovna 6 cm.
Touto množinou je také kruh. Na následujícím obrázku je pak znázornna výsledná množina bod zelenou barvou.získáme ji jako prnik modré ( MX 5cm ) a žluté ( NX 6cm ). množiny. Jedná se o prnik kruh ohraniených kružnicemi m, n. b) Opt pi cviení postupuj tak, že si nejprve znázorníš ob množiny bod a poté vyznaíš jejich prnik. Já ti tentokrát znázorním pouze výslednou množinu bod. Zkus si odpovdt na následující otázky:? Co je množinou všech bod, pro nž platí MX < 5 cm? Je to vnitek kruhu ohranieného kružnicí m kružnice m do nj nepatí? Co je množinou všech bod, pro nž platí NX > 6 cm? Jsou to všechny body ležící mimo kruh ohraniený kružnicí n Výsledná množina bod je na obrázku znázornna zelenou barvou. Získáme ji tedy jako prnik vnitku kruhu ohranieného kružnicí m a vnjšku kruhu ohranieného kružnicí n.
Píklad 14: Narýsuj si libovolnou pímku p. Co je množinou sted všech kružnic, které mají polomr r = 5 cm a vytínají na pímce p ttivy dlouhé 8 cm. Nárt a rozbor: v nártu si zkusíme najít aspo jeden takový bod. Opt Ti budu pokládat otázky, které T dovedou k výsledku. Všimni si trojúhelníku XYS.? Co mžeš o trojúhelníku XYS íci?
Je to rovnoramenný trojúhelník se základnou (ttiva) dlouhou 8 cm a rameny (polomr) dlouhými 5 cm? Jaká je vzdálenost stedu S od pímky p? Na obrázku je oznaena erveným otazníkem a je rovna výšce na základnu rovnoramenného trojúhelníku.? Jaká je její velikost? Urím ji pomocí Pythagorovy vty hledaná vzdálenost je odvsnou SZ v pravoúhlém trojúhelníku:? Co je tedy hledanou množinou sted všech kružnic? Je to vlastn množina všech bod, které mají od pímky p vzdálenost 3 cm, jsou to tedy dv rovnobžky q, q vzdálené 3 cm od pímky p. Píklad 15: V rovin je dána úseka AB. Vyšetete množinu vrchol C všech trojúhelník, pro nž platí: a) = 45, má velikost nejvýše 45 b) i mají velikost nejvýše 45 Nejprve si je poteba uvdomit, co se skrývá pod slovem nejvýše 45 - znamená to, že úhel mí bu 45 nebo mén (nap. 30 nebo 5 ). Poté si zkus sám ob množiny bod ( = 45 ; 45 ) nakreslit. Poté zkoumej jejich prnik. Teprve poté si svj výsledek zkontroluj s mým. Úlohu budu ešit v polorovin, jejíž hranice je pímka procházející úsekou AB.
Na obrázku je modrou barvou znázornna nejvtší možná velikost úhlu (45 ), ržovou si vyznaeny úhly,, jejichž velikost je podle zadání menší než 45. Výsledná množina bod je pak vyznaena erven. Množinou bod je úseka AC 1 bez krajního bodu A (Pro?). Opt si zkus sestrojit pár bod C, které splují zadání: Myslím si, že nyní již pro tebe není problém píslušnou množinu bod zaznait. Jsou to všechny body uvnit trojúhelníku ABC 1 a všechny body úseek AC 1 (bez bodu A) a BC 1 (bez bodu B). Úseka AB do dané množiny nepatí ( Pro?)
Píklad 16 (obtížný a zajímavý): Je dán obdélník ABCD mající délky stran AB = 8 cm a BC = 4 cm. Najdte množinu sted všech kružnic, které jsou ástí obdélníku (nepesahují jej) a dotýkají se aspo dvou jeho stran (mohou se dotýkat dvou, tí nebo ty stran). Nejprve si takovou situaci nartneme, posléze se pokusíme na výslednou množinu formou otázek a odpovdí pijít:? Jaký polomr mže mít kružnice, aby splovala zadání? Musí mít polomr nejvýše 2 cm ( 2 cm nebo mén), jinak by její ást pesahovala obdélník? Jaký bude mít kružnice polomr, bude-li dotýkat pouze protjších stran AB, CD? Bude mít polomr 2 cm a její sted bude ležet na úsece XY ( Jaká bude její délka?)
? Co platí pro stedy kružnic, které se dotýkají dvou sousedních stran (nap. AB, DA)? Sted kružnice musí být od tchto stran stejn vzdálen? Na které množin bod budou tyto stedy ležet? Na ose pravého úhlu u vrcholu A? Jaký bude mít kružnice polomr, bude-li dotýkat pouze sousedních stran AB, DA? Bude mít polomr nejvýše 2 cm Na obrázku jsou na ukázku dv takové kružnice. Kružnice se stedem X má polomr 2 cm, kružnice se stedem S má polomr menší než 2 cm. Oba stedy leží na množin bod, kterou je úseka AX bez bodu A. Stejn bychom postupovali pro další sousední strany. Nyní oba výsledky zakreslíme do jednoho obrázku a úloha je hotova. Výsledná množina je opt vyznaena erven:
C V I E N Í Úloha 1: Je dána kružnice k( S; r 3cm). Vyznate množinu všech bod X, pro které platí: SX < r SX r Úloha 2: Narýsujte množinu všech bod, které mají: stejnou vzdálenost od bod A, B, které jsou od sebe vzdálené 5 cm stejnou vzdálenost od rovnobžek p, q, jejichž vzdálenost je 5 cm stejnou vzdálenost od ramen tupého úhlu AVB o velikosti 140 Úloha 3: Narýsuj si soustedné kružnice se stedem S a polomry 3cm a 5 cm. Sestroj množinu bod, pro které platí: a) mají od bodu S vzdálenost vtší než 3 cm a menší než 5 cm b) mají od bodu S vzdálenost menší než 3 cm a vtší než 5 cm Úloha 4: Jsou dány dva rzné body A, B. Nartnte množinu všech bod X, pro které platí: AX BX AX < BX Úloha 5: Je dána kružnice k( S; r 3cm) a bod X, který se po ní pohybuje. Urete množinu sted všech úseek SX. Úloha 6: Je dána kružnice a bod X, který se po ní pohybuje. Urete množinu všech bod S soumrn sdružených s bodem S podle bodu X. Úloha 7: Je dána kružnice. Urete množinu všech bod S soumrn sdružených s bodem S podle všech teen kružnice k. Úloha 8: Jsou dány ti body A, B, C, které neleží v jedné pímce. Sestrojte množinu všech bod, které mají od všech bod stejnou vzdálenost. Úloha 9: Najdte množinu všech sted kružnice, které procházejí danými dvma rznými body A, B. Sami si ti takové stedy a píslušné kružnice narýsujte. Úloha 10: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané pímky p v daném bod T Úloha 11: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané kružnice l(o;r) v daném bod T. Úloha 12: Naleznte množinu sted všech kružnic, které mají s kružnicí k(s;r) vnitní dotyk v daném bod T, který leží na kružnici k vnjší dotyk v daném bod T, který leží na kružnici k Úloha 13: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dvou rznobžek p, q. Úloha 14: Je dána kružnice k(s;r = 5,5 cm). Naleznte množinu sted všech kružnic o polomru 2 cm, které se dotýkají kružnice k.
Úloha 15: Urete množinu sted všech kružnic s polomrem 2,5 cm, které na dané pímce p vytínají ttivy délky 3 cm Úloha 16: Jsou dány dv soustedné kružnice k 1, k 2 se stedem S a polomry 4 cm a 6 cm. Najdte množinu všech sted kružnic, které se dotýkají souasn obou soustedných kružnic. Úloha 17: Zvolte si dva rzné body A, B, které jsou od sebe vzdálené 5 cm. Urete množinu všech bod, které mají od obou bod stejnou vzdálenost 3,5 cm Úloha 18: V rovin je dána úseka AB. Vyšetete množinu vrchol C všech trojúhelník, pro nž platí: = 45, má velikost nejmén 30. Úloha 19: Jsou dány rznobžné pímky a, b. Vyšetete množinu všech bod roviny, které mají od pímky a vzdálenost nejvýše 3 cm a zárove od pímky b vzdálenost nejvýše 2 cm. Výsledky úloh: Úloha 1: Úloha 2: množinou bod je vnitek kruhu (bez kružnice) množinou bod je vše krom vnitku kruhu (kružnice a její okolí) množinou bod je osa úseky AB množinou bod je osa pásu, který je rovnobžkami p, q vytvoen (vzdálenost osy od obou rovnobžek je 1,5 cm) množinou bod je osa úhlu AVB Úloha 3: množinou bod je mezikruží se stedem S a polomry 3 cm a 5 cm, piemž body na kružnicích do výsledné množiny nepatí množinou bod je celá oblast bez mezikruží (kružnice s polomry 3cm a 5 cm do dané množiny opt nepatí) Úloha 4: množinou bod je polorovina (je dána bodem B a osou úseky AB, která je její hraniní pímkou), piemž hraniní pímka díky neostré nerovnosti patí do výsledné množiny bod (viz ešený píklad 9) množinou bod je polorovina (dána osou úseky a bodem A), piemž z dvodu ostré nerovnosti osa úseky nepatí do výsledné množiny bod Úloha 5: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a poloviním polomrem 1,5 cm. Úloha 6: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a dvojnásobným polomrem 3 cm.
Úloha 7: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a dvojnásobným polomrem 3 cm (namaluj si nkolik takových bod) Úloha 8: ešením je jediný bod sted S kružnice opsané bodm A, B, C Úloha 9: Hledanou množinou sted je osa úseky AB Úloha 10: Hledanou množinou sted je pímka kolmá na pímku p, která prochází bodem T. Polomr každé kružnice je roven ST. Opt si narýsuj ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 11: Hledanou množinou bod je pímka p procházející body O, T. Bod T do výsledné množiny bod nepatí (Pro?). Polomr každé kružnice je roven ST. Narýsuj si ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 12: množinou bod je polopímka TS bez bodu T množinou bod je polopímka opaná k polopímce TS opt bez bodu T Úloha 13: Hledanou množinou sted jsou osy úhl, které rznobžky svírají. Prseík os do výsledné množiny nepatí. Pokud jsi rýsoval správn, mli by Ti vyjít ob osy navzájem kolmé. Narýsuj si ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 14: Hledanou množinou bod jsou soustedné kružnice se stedem S a polomry 7,5 cm a 3,5 cm Úloha 15: Hledanou množinou bod jsou rovnobžky q, q vzdálené od dané pímky p 2cm (viz ešený píklad 14) Úloha 16: Hledanými množinami jsou kružnice 1 1 l1 ( S; r ( r1 r2 ) 5cm a l2 ( S; r ( r2 r1 ) 1cm. Podívej se na obrázek: 2 2
Na obrázku jsou zadané kružnice k 1, k 2 znázornné barvou ernou, výsledné množiny sted kružnic l 1, l 2 barvou ervenou a píklady takových kružnic m, n barvou modrou. Polomry modrých kružnic jsou 1 cm a 5 cm (pokus se vysvtlit, pro) Úloha 17: Hledané body leží v prniku kružnic k1( A; r 3,5cm); k 2 ( B; r 3,5cm) Úloha 18: Nejmén 30 znamená, že úhel má bu 30 nebo více. Výsledná množina je znázornna na obrázku ervenou barvou (úhel spluje zadání má více než 30 ) Úloha 19: Výsledná množina je oznaena modrou barvou je to prnik dvou os pás