GRAVITAČNÍ POLE I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í 1. Newtonů aitační zákon (1687 Newton díle Mateatické pincipy příodní filozofie) aždá dě hotná tělesa na sebe nazáje působí stejně elkýi, opačně oientoanýi silai. Velikost těchto sil je přío úěná jejich hotnoste a nepřío úěná duhé ocnině jejich zdálenosti. 1 F F F 1 F 1 = κ κ... Newtonoa aitační konstanta (stanoená Caendishe později) elikost zájeného aitačního působení κ = 6.67 1-11 - N k 1. Jaká aitační síla působí ezi Zeí a Měsíce?. Gaitační síla ezi děa tělesy je 1-5 N. Jaká bude síla ezi tělesy: a) když se jejich zdálenost zdojnásobí b) když bude hotnost těles dojnásobná typy aitačních polí centální hooenní (stejnoodé) Diskutujte o pobléech jednotliých typů. Centální (adiální) pole je aitační. Gaitační síla F působící na těleso ůzných ístech tohoto pole je ůzná. Hooenní pole okolí Zeě nazýáe tíhoé. Tíhoá síla F G přitahující těleso k Zei je e šech ístech tohoto pole stejná (poč?). - 1 - GRAVITAČNÍ POLE
Ve šech ístech aitačního pole Zeě sěřuje aitační síla F (a i ) do středu Zeě. Takoé pole se nazýá centální aitační pole. Gaitační síla F působící na těleso ůzných ístech tohoto pole je ůzná. Centální aitační pole je okolí každého stejnoodého tělesa, kteé á ta koule (i okolí hotného bodu). Centální aitační pole je postooě neohaničené. Sledujee-li účinky aitační síly alých oblastech aitačního pole Zeě (např. při pochu Zeě ozezí několik set etů), zjistíe, že se jednotliých bodech aitační síly F (a i ) odlišují jen nepatně, a to co do elikosti, tak i co do sěu. Takoé pole pak nazýáe hooenní aitační pole. Pohyby těles obykle ztahujee k zeskéu pochu, kteý poažujee za ineciální ztažnou soustau. Ve skutečnosti šak poch Zeě toří s ohlede na otaci Zeě kole sé osy π neineciální ztažnou soustau (se stálou úhloou ychlostí ω =, kde T je doba jednoho otočení T Zeě). V této neineciální ztažné soustaě působí na šechna tělesa při pochu Zeě, kteá neleží na ose otáčení, koě aitační síly F, sěřující do aitačního středu, ještě setačná odstřediá síla F s, sěřující kolo od osy otáčení. Výslednice obou sil je tíhoá síla F G. Tíhoá síla je ektooý součte aitační síly F a setačné odstředié síly F s. Tedy G = F + Fs F tíhoé pole.. Posto při pochu Zeě, něž se pojeují účinky tíhoé síly, nazýáe. Intenzita aitačního pole (, ) je ektooá eličina, kteou použíáe k popisu aitačního pole. je definoána onicí = F 1 a á jednotku [ ] = N k elikost intenzity : F = M M = κ = κ sě intenzity - tečna k siločaá aitačního pole - sonejte s ýše uedenýi odely polí - - GRAVITAČNÍ POLE
3. Gaitační zychlení ( a, a ) Můžee poonat definoanou onici s. Newtonoý zákone: F = F = a F = = F a Z toho yplýá onost = a, tedy elikost aitačního zychlení udělené tělesu dané hotnosti dané bodě aitačního pole je ono elikosti intenzity aitačního pole téže bodě. Nyní zkontolujee jednotky. Jednotkou intenzity je N k -1, ale jednotka zychlení je s -. 1 N k s N k = = = s to znaená, že jednotky jsou si ony k k Jak elké je zychlení na pochu Zeě a jaké při ětší zdálenosti od Zeě? (elikost ) (elikost) a M Z = κ 9, 83 s R a Z na pochu Zeě h M Z = κ po bod, zdálený h etů od pochu Zeě ( R + h) Z Gaitační zychlení a použíáe centální aitační poli, jeho hodnota je záislá na ístě, e kteé ho učujee. Tíhoé zychlení je ektooý součet aitačního a odstřediého zychlení a souisí s tíhoou silou F G =. Má ůznou hodnotu po ůzná ísta na Zei (iz dynaika), dohodou bylo zaedeno noální tíhoé zychlení n = 9,8665 s -, kteou často zaokouhlujee na 1 s -. 4. Gaitační potenciál ϕ je další eličina, kteou použíáe k popisu aitačního pole, je to skalá ϕ = W Ep = ϕ... aitační potenciál dané ístě aitačního pole... hotnost tělesa uístěného aitační poli W... páce, kteou potřebujee k posunutí tělesa z daného ísta na nuloou hladinu aitačního potenciálu E... potenciální eneie dané ístě p 1 [ ϕ ] = J k ekipotenciální hladiny jsou ísta se stejný potenciále (oiny a kuloé plochy, ) - 3 - GRAVITAČNÍ POLE
jsou ždy kolé k siločaá aitačního pole nakesli typy polí se siločaai, ekipotenciálníi hladinai a ektoy intenzity aitačního pole adiální pole hooenní pole Slunce: hotnost= 1 3 k, zdálenost středů: Slunce Zeě: 1 AU =15 1 6 k Zeě: hotnost = 6 1 4 k, poloě = 6 378 k Měsíc: hotnost = 7,4 1 k, poloě =1 7 k, zdálenost středů: Měsíc Zeě = 3,8 1 8 3. Na astonauta o hotnosti 75 k působí těžišti síla16 N. Vypočítejte hodnotu intenzity na pochu Měsíce. 4. Hodnota na zeské pochu je kole 1 N k -1. Stanote hodnotu intenzity e ýšce h nad poche Zeě, jestliže platí a) h = R Z b) h = 3R Z 5. Učete aitační zychlení, působící na Měsíci lie působení Zeě. 6. Vypočítejte hodnotu zychlení na pochu Měsíce. L/17,19,-1, 3-4 5. Pohyby hooenní tíhoé poli Zeě a) olný pád (opakoání) e... tíhoé poli, blízko pochu ZEMĚ a = = 9,81 s - = 1 s - z... ( =) t = t s Dáha olně padajícího tělesa: 1 s = s + t + at = 1 t Rychlost padajícího tělesa: + at = = t - 4 - GRAVITAČNÍ POLE
b) hy = olný pád (sě ) + onoěný příočaý pohyb (sě ) e akuu a = s počáteční ychlostí i) sislý h sislý pohyb zhůu je onoěně zpoalený pohyb, pohyb sěe dolů je olný pád t = t (libo.čas při pohybu zhůu) t = t h (těleso se zastaí ax. ýšce) t h = = t t h = doba, za kteou dosáhne ax. ýšky 1 s = t t h = axiální ýška h = 7. Těleso se pohybuje sisle nahou ychlostí 4 s -1. Vypočítejte ychlost a zdálenost čase sekundy od začátku pohybu. Učete axiální ýšku a dobu ýstupu. Vypočítejte ychlost dopadu a zdálenost, do kteé dopadne na ze. Naýsujte afy záislosti ychlosti na čase a okažité ychlosti na čase, najděte ozdíly a diskutujte o nich. - 5 - GRAVITAČNÍ POLE
L/31-6, X37 ii) odooný h skládá se ze dou typů pohybu: onoěný pohyb e sěu počáteční ychlosti a olný pád t = t t d t h y x d t (liboolný čas pohybu) t d (čas dopadu) 1 s = h t y = h = t h 1 = t d t d = h x = + (t) t tanα = d = t d = h = + ( td ) t tan α = d 8. Výobci autoobilů testují odolnost aut teste na pincipu odooného hu. Auto, jedoucí po odooné oině e ýšce 15 ychlostí s -1, spadne z oiny na betonoý poch. Učete úhel dopadu, ychlost dopadu a zdálenost na betonoé pochu, ka dopadne. 9. Těleso je yhozeno z helikoptéy e ýšce 55 od pochu Zeě. a) Jakou dobu bude padat a jakou ychlostí dopadne, je-li helikoptéa okažiku yhození tělesa klidu? - 6 - GRAVITAČNÍ POLE
b) Jakou dobu bude padat a jakou ychlostí dopadne, klesá-li helikoptéa okažiku yhození tělesa ychlostí 1 s -1? Dosazujte = 9,81 s -. Výsledek ueďte s přesností na dě desetinná ísta. 1. Těleso je ypuštěno z letadla letícího odooně stálou ychlostí 15 s -1 e ýšce 8. Neuažujte odpo zduchu a bete = 1 s -. Zjistěte: a) za jak dlouho těleso dopadne na ze b) odoonou zdálenost, kteou uazí těleso od opuštění letadla do dopadu na ze 11. Šíp o hotnosti 1 byl ystřelen odooně z ěže ysoké 8 ychlostí 5 s -1. a) Do jaké zdálenosti od paty ěže dopadne na pochu Zeě a jak dlouho bude padat? b) Jaká bude jeho kinetická a potenciální eneie na začátku pohybu? c) Jaká bude celkoá echanická eneie běhe pohybu? L/38-4 iii) šiký h t = t t d y x 1. Fotbalista kopl íč pod úhle 45. Balón dopadne na ze e zdálenosti 4 od ísta ýkopu. Jak elkou ychlost fotbalista udělil íči? - 7 - GRAVITAČNÍ POLE
6. Pohyby těles centální aitační poli Zeě uělé dužice kuhoá tajektoie onoěný pohyb po kužnici dostřediá síla = aitační síla F d = F k M = κ Z k MZ MZ = κ = κ h k R + h Z 13. Vypočítejte kuhoou ychlost po ýšku h RZ (např. k) (1. kosická ychlost,. kosická ychlost je po opuštění aitačního pole Zeě těleso se stane oběžnicí kole Slunce, je to k ). tajektoie a ychlost 1 3 4 1. kčást elipsy. = k kuh 3. k k elipsa 4. = c hypebola 5. c paabola těleso zůstáá aitační poli Slunce 14. Vypočítejte ýšku eostacionání dužice. L/46-5, 54, 56-7 - 8 - GRAVITAČNÍ POLE
7. Pohyb těles aitační poli Slunce epleoy zákony (1473-1543) 1. Všechny planety se pohybují po elipsách, jejichž společné ohnisku je Slunce (Tajektoie jsou álo odlišné od kužnic). Obsahy ploch opsaných půodiče planety za jednotku času jsou konstantní. ( blíže - ychleji) 3. Poě duhých ocnin oběžných dob dou planet se oná poěu třetích ocnin délek hlaních poloos jejich tajektoií. oběžná doba a hlaní poloosa např. Mekuu 1 3 1 3 T T = to stejné např. po Venuši (Zei, Jupite, ) epleoy zákony platí po da liboolné objekty jedno centální aitační poli. Dokažte 3. epleů zákon poocí Newtonoa aitačního zákona. - 9 - GRAVITAČNÍ POLE
Doplňte následující tabulku s použití ůzných zdojů: planeta zdálenost peioda s T 3 Meku Venuše Zeě Mas Jupite Satun Uan Neptun 8. Sluneční soustaa stáří zhuba...iliad let Slunce předstauje... % hotnosti Sluneční soustay, to je asi... hotností Zeě teplota na pochu teplota e středu stuktua Vnitřní planety Meku Venuše Zeě - 1 - GRAVITAČNÍ POLE
Mas Páso asteoidů Vnější planety Jupite Satun Uan Neptun oety jádo koa ohon Odpoědi: 1. 1 N. a) 5 1-6 N b) 8 1-5 N 3. 1,68 N k -1 4. a),5 N k -1 b),65 N k -1 5.,7 1-3 s - 6. 1,7.s - 7. a) s -1, 6 b) 8, 4 s, 8 s 8. 41, 6,46 s -1, 34,64 9. a) 3,35 s; 3,85 s -1 b) 3,5 s; 3,86 s -1 1. a) 1,65 s b) 1897 11. a) 4 s, 1 b) 3,1 J; 7,9 J c) 11 J 1. s -1 13. 7,9 k s -1 14. 36 k - 11 - GRAVITAČNÍ POLE