Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Podobné dokumenty
Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

2. Definice pravděpodobnosti

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

Informační a znalostní systémy

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

Neparametrické metody

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Regresní a korelační analýza

KGG/STG Statistika pro geografy

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Pravděpodobnost a její vlastnosti

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VÝBĚR A JEHO REPREZENTATIVNOST

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

1. Klasická pravděpodobnost

Základy teorie pravděpodobnosti

Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2,

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

1. Klasická pravděpodobnost

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

p(x) = P (X = x), x R,

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

Hodnocení využití parku vozidel

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Teorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

Obr. 1: Vizualizace dat pacientů, kontrolních subjektů a testovacího subjektu.

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

4 Parametry jízdy kolejových vozidel

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Proces řízení rizik projektu

Tomáš Karel LS 2012/2013

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

Neřešené příklady k procvičení

Diskrétní náhodná veličina

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec

Tomáš Karel LS 2012/2013

22. Pravděpodobnost a statistika

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (

Rizikového inženýrství stavebních systémů

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodné chyby přímých měření

2 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ. RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Neříkej: Objevil jsem pravdu! ale raději: Objevil jsem jednu z pravd! Chalil Gibran

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo

Téma 22. Ondřej Nývlt

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

Statistika (KMI/PSTAT)

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Metody matematické statistiky (NMAI 061)

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Transkript:

Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze je tedy popsat přblžně stejným modelem rozdělení pravděpodobnost. Typové modely takových rozdělení byly stanoveny teoretcky a jejch platnost pro různé náhodné velčny byla ověřena epermentálně. Mějme výběrový soubor z nějaké populace. Jsou to reálnáemprcká data. Snažíme se stanovt parametry výběrového souboru a nalézt teoretcké rozdělení tak, aby to co nejlépe odpovídalo emprckému rozdělení četností. Jným slovy: Vybíráme takový model rozdělení, který vysthuje povahu našch reálných- emprckých dat.

Rovnoměrné dskrétní rozdělení Náhodná velčna má rovnoměrné dskrétní rozdělení, jestlže k - hodnot, kterých může nabývat, se vyskytuje s pravděpodobností Rozdělení je modelem pokusů házení mncí (k) nebo házení hrací kostkou (k6) Střední hodnota je a rozptyl je var()e[-e()] E( ) -[E()] k k P...,,,, ) ( k k k P E ) ( ) ( ) var( k k k k

Příklad: Rovnoměrné dskrétní rozdělení Hod mncí. stranu označíme 3 E( ),5. stranu označíme var( ) 5 9 4 0,5 Hod kostkou E( ) 6 6 6 3,5 var( ) 6 6 6 6 9 6 36 9 6 36 44,9

Bnomcké rozdělení B (n; π) Toto rozdělení má náhodná velčna, která vznkne jako součet n nezávslých alternatvně*rozdělených náhodných velčn se stejným parametrem π(pravděpodobnost úspěchu). Dskrétní náhodná velčna má bnomcké rozdělení s parametry n, π, π Є (0, ), B ( n, π ) resp. B( n, π ) nabývá-l hodnoty 0,,,.., n s pravděpodobností n ) π π Střední hodnota: E ( ) n π Rozptyl: var ( ) n π ( π ) n ( ) *Alternatvně - mají jen možné výsledky: úspěch neúspěch

Bnomcké rozdělení B (n; π) Příklad: Hokejsté mají proměnt 5 trestných střílení. Jsou vybrán hráč, u nchž pravděpodobnost vstřelení branky je 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že vstřelí branku ze všech pět pokusů? Podle pravdla násobení pravděpodobností: p 0,8*0,8*0,8*0,8*0,8 Jaká by byla pravděpodobnost, že vstřelí branku jen ve třech stříleních? Z defnce bnomckého rozdělení: p počet možností * (0,8) 3 * (0,) n n ( ) ) π π 3) 5 3 0,8 3 ( ) 5 0,8 3 Bnomcké rozdělení je rozdělením nezávslých pokusů alternatvní velčny se stejnou pravděpodobností úspěchu.

Bnomcké rozdělení B (n; π) Máme alternatvní velčnu např. ndkující, že daná osoba trpí dabetem s pravděpodobností p π a osoba je zdravá s pravděpodobností p -π Předpoklady: všechny osoby mají stejnou pravděpodobnost výskytu onemocnění výskyt dabetes je u jednotlvých osob nezávslý (nejedná se o nakažlvou chorobu) Sledovaná populace: Ve výběru bude: n osob nemocných n ) π π n Pravděpodobnost, že ( )

Bnomcké rozdělení - grafcké znázornění náhodná velčna hodnota NV, které dosáhne (např. pro 30 měření 0,,,, 30) π pravděpodobnost, s jakou je jev pozorován -π pravděpodobnost, s jakou jev nenastane n π π n ) ( ) 0 0 0 30 π0,5 π0,0 π0, π0,95

Alternatvní (Bernoullho) rozdělení (, π ) je zvláštním případem Bnomckého rozdělení a nazývá se Alternatvní nebol Bernoullho rozdělení. B Alternatvní velčna ndkátor nemoc, symptomu,. NV může nabývat pouze hodnotu s pravděpodobností p nebo hodnotu 0 s pravděpodobností (-p) Střední hodnota E() p Rozptyl var() p(-p) PŘ: počet lvů př hodu mncí -buď padne lev nebo žádný, p 0,5 a PŘ: rzko onemocnění, pravděpodobnost výhry,... p a+ b Kde a počet poztvních odpovědí (nemocných, losů, které vyhrávají). b počet negatvních odpovědí (počet zdravých, losů bez výhry)

Possonovo rozdělení U předchozího bnomckého rozdělení jsme sledoval soubor konečného, často malého rozsahu. Ale ve skutečnost se stává, že sledovaná populace je velm rozsáhlá nebo dokonce nekonečná, např. sledujeme počet onemocnění klíšťovou encefaltdou v populac ČR v každém týdnu aktuálního roku. Parametr n v tomto případě neznáme a rozdělení velčny můžeme popsat vzorcem λ λ ) e, kde λ je jedným parametrem tohoto rozdělení a je to střední hodnota počtu výskytu jevu za časovou jednotku. Rozdělení se nazývá Possonovo rozdělení.!

Possonovo rozdělení Po(λ) Dskrétní náhodná velčna má Possonovo rozdělení s parametrem λ>0, nabývá-l hodnot 0,,, Bortkewcz počet úmrtí po úrazu kopnutí koněm u vojenských jednotek s pravděpodobností Základní charakterstky střední hodnota a rozptyl: λ λ ) e! E( ) var ( ) λ Dstrbuční funkce (kumulatvní pravděpodobnost): F ( ) t < e λ t λ t! OPossonovu rozdělení se říká, že jerozdělením řídkých jevů.

Possonovo rozdělení Po(λ) Spolu s Bnomckým rozdělením se používá nejčastěj pro pops velčn, které vyjadřují počet nalezených objektů našeho zájmu: Bortkewcz počet úmrtí po úrazu kopnutí koněm u vojenských jednotek - počet hovorů za jednotku času v telefonní ústředně - počet vadných výrobků - počet kazů na látce - počet návštěvníků (nakupujících) za jednotku času - počet částc v jednotce objemu Pro velká n a malá p lze Bnomcké rozdělení apromovat Possonovým rozdělením Po (λ np) Vztah platí opačně Possonovo rozdělení můžeme apromovat Bnomckým, když zvolíme dostatečně velké n (řádově00 000 větší než λ) a pvypočteme jako p λ/n

Possonovo rozdělení Př. Sledujeme počet nfekcí horních dýchacích cest dětí během prvních tří let jejch věku ve velm rozsáhlé populac a z těchto sledování stanovíme pravděpodobnost tohoto onemocnění a označíme j λ. Pravděpodobnost, že ve výběru bude nemocných, vypočteme pomocí Possonova rozdělení za předpokladů: λ λ ) e! všechny dět mají stejnou pravděpodobnost onemocnění výskyt onemocnění je u jednotlvých osob nezávslý

Possonovo rozdělení - příklad Německý statstk Borkewcz sledoval po dobu 0 let ve 0-t německých armádních sborech zabtí vojenských osob úderem koňského kopyta Očekávaná hodnota λ(lambda) byla podle propočtů počet mrtvých/ počet sledování /00 0,6 Počet úmrtí λ λ ) e! Vypočtený počet vojenských sborů 0 0,543 08,7 0,33 66,3 0,0 0, 3 0,005 4, 4 0,003 0,6 5 0,00038 0,

Possonovo rozdělení - příklad Německý statstk Borkewcz sledoval po dobu 0 let ve 0-t německých armádních sborech zabtí vojenských osob úderem koňského kopyta Očekávaná hodnota λ(lambda) byla podle propočtů počet mrtvých/ počet sledování /00 0,6 Počet úmrtí λ λ ) e! Vypočtený počet vojenských sborů Porovnání se skutečným sledováním 0 0,543 08,7 09 0,33 66,3 65 0,0 0, 3 0,005 4, 3 4 0,003 0,6 5 0,00038 0, 0

Possonovo rozložení - smrt po úderu koňským kopytem 0 00 λ λ ) e! 80 60 40 0 Bortkewcz počet úmrtí po úrazu kopnutí koněm u vojenských jednotek MODŘE - skutečnost ŠEDĚ propočet 0 0 3 4

0,7 Frekvenční funkce Possonova rozložení v závslost na λ 0,6 0,5 λ λ ) e! 0,4 0,3 0, 0, λ0,5 λ λ λ4 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 λ0

Possonovo rozdělení - příklad λ λ ) e! Příklad: Do Bortkewcz podnkové telefonní ústředny přchází v průměru 0 hovorů za hodnu. počet Vypočtěte, úmrtí jaká po je úrazu pravděpodobnost: kopnutí koněm a) u že vojenských za půl mnuty jednotek nepřjde hovor b) že za půl mnuty přjdou méně než tř hovory Řešení: 0 hovorů za hodnu znamená hovor za půl mnuty: λ Jedná se o řídký náhodný jev, proto ho můžeme modelovat Possonovým rozdělením. Pro hledaný časový nterval půl mnuty, tj, λ se vzorec zjednoduší na ) e Pro 0 je 0) 0,368!! e 0! e e Pro je ) 0,368! e e Pro je ) 0,84! e e a) 0) 0,368 b) <3) 0,368+0,368+0,84 0,9

Multnomcké rozdělení Příklad: sledujeme nomnální velčnu rodnný stav matky svobodná, vdaná, rozvedená, vdova Pravděpodobnost, že zn matek budeprávě k svobodných, k vdaných, k 3 rozvedených a k 4 vdov vyjadřuje vzorec: n! k p p p3 p4! k! k3! k4! k, k, 3 k 3, 4 k 4 ) k k k3 4 k

Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Mějme: N předmětů, z toho M předmětů jednoho druhu N -M předmětů druhého druhu Vylosujeme n předmětů bez vracení, kde je -předmětů prvního druhu, např. 0 znamená, že. druh nebyl tažen. Sledujeme počet úspěchů v n- závslých pokusech Ne všechny stuace jsou možné, musíme stanovt podmínky. Příklad : Z osudí, ve kterém je N kulček, z toho M bílých, vybíráme náhodně n jednotek a ptáme se, kolk je mez nm bílých kulček. (Losovat můžeme postupně, ale důležté je, že kulčky zpět nevracíme). Příklad : Losování sportky Předměty prvního druhu jsou označeny veřejným losováním ve hře sportka. Výběrem čísel na tketu jsme losoval právě tyto předměty prvního druhu.

Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Dskrétní náhodná velčna má hypergeometrcké rozdělení s parametry M, N, n, kde M, N, n jsou přrozená čísla a n Є (0, M), nabývá-l hodnoty 0,,,.., n s pravděpodobností M N M n P ( ) N Základní charakterstky: n Střední hodnota: Rozptyl: E ( ) nm N N n nm var ( ) N N M N

Hypergeometrcké rozdělení H(M,N,n) Je-l rozsah výběru noprot počtu jednotek v osudí N malý (provedeme-l třeba jen 0%-ní výběr), pak se hodnota výrazu N n nm M ze vzorce pro rozptyl var ( ) blíží. N N N M označíme jako p N a hypergeometrcké rozdělení lze apromovat Bnomckým rozdělením M B n, s rozptylem N var ( ) n N n N p ( p)