MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost, ε úhlové zrychlení a veličina je tzv. moment setrvačnosti tělesa vzhledem dané ose otáčení. Vyjadřuje míru setrvačnosti rotujícího tělesa, podobně jao hmotnost vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při posuvném pohybu. Pro tuhé těleso (tvořené soustavou hmotných bodů s neproměnnými vzdálenostmi) je dán vztahem: = i m i r i, () de m i je hmotnost i-tého hmotného bodu a r i je olmá vzdálenost tohoto bodu od osy otáčení. Jaý bude moment setrvačnosti tedy záleží ja na hmotnosti tělesa, ta na rozložení této hmoty olem osy otáčení. Můžeme vytvořit systém z tělesa a zrutné pružiny, terá bude svým druhým oncem vetnuta do nepohyblivé záladny. Po vložení mechanicé energie do systému bude těleso vyonávat mitavý rotační pohyb. Při zanedbatelném tření v ložisu a v pružině, bude amplituda mitů lesat velmi pomalu. Je-li závislost vratného momentu pružiny M na jejím zroucení α lineární (tj. M = α, de je onstanta pružiny), můžeme pro systém sestavit tuto jednoduchou diferenciální rovnicí: d α( t) + α( t) = 0. () dt Jejím řešením je funce: α ( t ) = α max cos( Ωt + ϕ), de Ω =. (4) Ze vztahu pro úhlovou frevenci Ω vychází pa perioda mitů: T = π (5) Měření Vztahu (5) lze užít měření momentu setrvačnosti neznámého tělesa nebo ověření vztahu (). Stačí rozmitat systém a změřit periodu mitů. Je třeba ovšem provést oreci na vlastní moment setrvačnosti spojovací hřídely nebo podložy. Příprave pro měření je na obr. 1. Sládá se z tuhého podstavce a ploché vinuté pružiny opatřené hřídelí v uličovém ložisu. Na hřídel pa lze nasadit rovnou různá tělesa nebo nosnou podložu pomocí tvarované spojy. 1
A. Moment setrvačnosti dvou hmotných bodů Jsou-li body ve stejné vzdálenosti od osy otáčení, je jejich moment setrvačnosti: = mr. Hmotné body představují v našem měření s dostatečnou přesností malé válečy upevněné na tené tyčce, terá je uprostřed spojena s osou rotace. Po vychýlení z rovnovážné polohy (asi o 90 ) necháme systém mitat a změříme dobu mitu T pomocí stope. Ze vztahu (5) pa plyne: Obr. T π = (6) Nicméně, tato zísaný moment setrvačnosti je složen z momentu setrvačnosti oněch dvou válečů a momentu setrvačnosti spojovací tyčy 0 : = mr + 0 (7) Použitím vztahu (6) v rovnici (7) dostaneme: odud: T T0 = mr +, (8) π Obr. 1 Příprave pro měření momentu setrvačnosti 8mπ T r + π = T0, (9) Zísali jsme vztah vyjadřující přímovou závislost mezi čtvercem periody mitů T a čtvercem vzdálenosti válečů r. Měření tedy provedeme nejprve bez válečů (tím zísáme T 0 ), pa pro něoli vzdáleností válečů a vyneseme do grafu (viz obr. ). V grafu ověříme přímovost závislosti a lineární regresí zjistíme Obr.
směrnici (8mπ /) této přímy. Z ní vypočteme onstantu pružiny. Při měření je vhodné si vyznačit na stole rovnovážnou polohu (např. umístěním tužy). Aby bylo měření přesnější, měříme dobu více (např. pěti) mitů. Stopy zapínáme dyž tyča s válečy prochází rovnovážnou polohou a vypínáme při obdobném průchodu po proběhnutí zvoleného počtu mitů. Pracovní úol 1) Proveďte pro aždou vzdálenost válečů čtyři měření, ze terých vezměte aritmeticý průměr. Použijte počáteční výchylu přibližně 90, vystřídejte obě strany. Vzdálenosti volte: 0, 5, 0, 15, 10, 5 cm a 0 cm (tj. bez válečů). Data uveďte do vhodné tabuly. ) Zvažte válečy na digitální váze. Nezapomeňte stanovit chybu. ) Sestrojte graficou závislost (viz. obr. ). Podlady uveďte rovněž do tabuly. 4) Pomocí lineární regrese zjistěte směrnici a její statisticou chybu (viz. str. 18 sript Fyziální pratium) 5) Vypočtěte onstantu pružiny a její chybu (pomocí věty o přenosu chyby na str. 17 sript). Nezapomeňte uvést její fyziální jednotu! B. Vliv tvaru tělesa na moment setrvačnosti Pro tělesa se spojitým rozložením hmoty musíme namísto sumy ve vztahu () použít integraci. Je-li hustota v celém objemu tělesa onstantní, dostaneme: m = r dv, (10) V de m je hmotnost tělesa, V je objem, r je vzdálenost objemového elementu dv od osy rotace. Nejjednodušším případem je dutý válec, s velmi tenou stěnou (zanedbatelnou vůči poloměru): DV = m.r. (11) V případě plného válce vede vztah (10) na výraz: R m PV = r πrhdr, de V = πr H (1) 0 Obr. 4
1 mr Vidíme, že moment setrvačnosti plného válce je o polovinu menší než moment stejně velého a těžého válce dutého, jeliož je jeho hmota rozprostřena od osy rotace až po vzdálenost R. Ještě menší hodnotu můžeme očeávat u oule: 4 K PV =. (1) R m 4πR = r πr R r dr, de V = (14) 0 mr 5 V tomto měření tedy ověříme, zda sutečně platí vztahy (11), (1) a (15). K dispozici máme ouli, dis (tený válec), plný válec a dutý válec. Dva posledně jmenované nelze nasadit na hřídelu přímo, je třeba použít nosné podložy, jejíž moment setrvačnosti musíme ale taé změřit a pa odečíst. Ověření vztahů lze provést např. ta, že do tabuly uvedeme podíl změřeného momentu setrvačnosti a součinu mr daného tělesa a porovnáme s oeficientem teoreticého vztahu (1 dutý válec, 1/ plný válec, /5 oule). K =. (15) Pracovní úol 1) Změřte moment setrvačnosti oule, disu, dutého a plného válce a nosné podložy. Měřte opět čtyřirát, dobu deseti mitů, výslede zprůměrujte. Pro výpočet použijte onstantu pružiny zísanou v měření A. ) Zvažte tělesa na digitální váze, změřte jejich průměry. ) Uveďte do tabuly hmotnosti, poloměry a naměřené doby mitů pro tělesa. 4) Do další tabuly uveďte vypočítané momenty setrvačnosti, změřené a teoreticé hodnoty podílů /mr pro měřená tělesa a porovnejte je. C. Steinerova věta Neprochází-li osa rotace tělesa jeho těžištěm, výpočet podle vztahu () a (10) se neúměrně ompliuje. Poud vša známe h moment setrvačnosti tělesa T ose, terá T prochází jeho těžištěm a je zároveň rovnoběžná s osou rotace, pa můžeme s výhodou použít Steinerovu větu: = T + mh, (16) osa rotace Obr. 5 Steinerova věta m osa těžišťová de h je vzdálenost obou os a m je hmotnost tělesa. V tomto úolu budeme měřit závislost momentu setrvačnosti plochého ruhového disu na vzdálenosti h osy rotace od osy symetrie (viz obr. 6). Dis je vybaven řadou otvorů, do nichž se šroubuje spoja nasazení na hřídel přípravu. Do grafu pa vyneseme závislost změřeného momentu setrvač-
Obr. 6 Uspořádání při měření Steinerovy věty nosti na vadrátu vzdálenosti os h. Závislost by měla být přímová, se směrnicí rovnou hmotnosti disu. Tím ověříme platnost vztahu (16). Pracovní úol 1) Změřte moment setrvačnosti disu pro hodnoty vyosení h = 0 až 16 cm s roem cm. Měřte opět čtyřirát, dobu pěti mitů, výslede zprůměrujte. Pro výpočet použijte onstantu pružiny zísanou v měření A. Naměřená data uveďte do vhodné tabuly. ) Zvažte dis (bez spojy) na digitální váze. ) Do další tabuly uveďte vadráty vzdálenosti h a příslušné změřené momenty setrvačnosti a sestrojte výše popsanou graficou závislost. 4) Pomocí lineární regrese zjistěte směrnici a porovnejte ji s hmotností disu. 5