6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení stupně Přehled rovnic: Řád rovnice Tvar Název způsob řešení (vzorec) a + b = 0 lineární b a 0, = a a + b + c = 0 kvadratická ± a 0,, = a a + b + c + d = 0 kubická Cardanovy vzorce a + b + c + d + e = 0 Cardanovy vzorce 5 4 a + b + c + d + e + f = 0 neeistuje 4 4 5 a vyšší b b 4ac Cardanovy vzorce jsou velice složité, proto je nebudeme pro rovnice třetího a vyšších řádů používat a zkusíme jiné metody Numerická metoda separace kořenů S počítačem jednoduché, s kalkulačkou snesitelné, s papírem smrt, ale jde u všech algebraických rovnic Výsledek je pouze přibližný (ale snadno ho zjistíme na libovolný počet desetinných míst) Hledáme řešení rovnice + 5 = 0 Hodnoty levé strany nám přiblíží funkce y = + 5 Jak vypadá? Pro velká záporná čísla jsou hodnoty záporné (kvůli zápornému výsledku třetí mocniny ) Pro velká kladná čísla jsou hodnoty kladné (kvůli kladnému výsledku třetí mocniny ) Graf funkce musí projít přes osu Hodnota, kde k tomu dojde, je řešením rovnice Hledáme toto místo dosazováním: Dosadíme 0: 0 0 + 5 = 5 kořen je záporné číslo Dosadíme : ( ) ( ) + 5 = 6 kořen je v intervalu ( ;0) Dosadíme : ( ) ( ) + 5 = kořen je v intervalu ( ; ) Dosadíme,5: (,5) (,5) + 5 = 5, 65 kořen je v intervalu (,5; ) Dosadíme,: (,) (,) + 5 = 0, 06 kořen je v intervalu (,;, 0) A tak bychom dosazovali dál, dokud bychom nezjistili kořen s dostatečnou přesností Pedagogická poznámka: Při výkladu mám na tabuli nakreslenou soustavu souřadnic a postupně do ní dokresluji křížky s aktuálně spočítanou hodnotou Tak je nejlépe
vidět, ve kterém intervalu se kořen rovnice nachází Už od dosazování diskutujeme se studenty, které číslo je nejvýhodnější vyzkoušet Př : Urči kořen rovnice + 5 = 0 s přesností na tři desetinná místa Pokračujeme v dosazování z předchozího postupu: Dosadíme,09 (, 09) (, 09) 5 0, 0508 (,;, 09) Dosadíme,095 (, 095) (, 095) 5 0, 005 (, 095;,090) Dosadíme,094 (, 094) (, 094) 5 0, 006 (, 095;,094) určili jsme kořen s přesností na tři desetinná čísla + = kořen je v intervalu + = kořen je v intervalu + = kořen je v intervalu Pedagogická poznámka: Můžete vyhlásit soutěž o odhalení kořenu na minimální počet dosazení Při kontrole pak dávám pozor nejen na pochopení základního algoritmu, ale i na logickou volbu čísel na dosazování Správná hodnota na 8 desetinných míst je K = {, 0945548} Graf funkce y = + 5 je na obrázku
Př : Najdi pomocí metody separace kořenů, alespoň jeden kořen rovnice 9 4 + 60 = 0 s přesností na jedno desetinné místo Rovnice má určitě alespoň jeden kořen (funkce y = 9 4 + 60 je pro velká kladná kladná pro velká záporná záporná musí projít přes nulu) Spočítáme hodnoty pro několik jednoduchých čísel: = 0 0 9 0 4 0 60 60 0; není žádný kořen nebo jsou dva kořeny + = v intervalu = ( ) ( ) ( ) + = v intervalu ( ;0) 9 4 60 = ( ) ( ) ( ) + = v intervalu ( ; ) 9 4 60 6 =,5 je alespoň jeden kořen je alespoň jeden kořen ( ) ( ) ( ) + = v intervalu ( ;,5),5 9,5 4,5 60,5 kořen =,6 ( ) ( ) ( ) + = v intervalu ( ;,6),6 9,6 4,6 60 0,408 kořen =,65 je alespoň jeden je alespoň jeden ( ) ( ) ( ) + = kořen je v intervalu (,65;,6), 65 9, 65 4, 65 60, zaokrouhleno na jedno desetinné místo má hledaný kořen hodnotu =,6 = v intervalu ( 0; ) - přesná hodnota,5, v intervalu ( ; ) - přibližná hodnota 4,6 9 4 + 60 = 9 rovnice má ještě dva kořeny: S přesností na deset desetinných míst můžeme napsat K =, 605555;,5; 4, 605555 { } Metoda snížení stupně uhádnutím kořene (kořenů) U kvadratických rovnic: Když rozložíme rovnici na součin, najdeme kořeny: 4 = 0 ( 4)( + ) = 0 = 4, = Opačně, když najdeme kořeny, můžeme trojčlen rozložit na součin Máme rovnici: 6 + 6 = 0 Zkusíme uhádnout dosazováním jeden z kořenů a využít ho na rozklad druhá část rozkladu bude už pouze kvadratická a půjde řešit vzorcem Hledáme kořen: zkoušíme čísla, která se snadno dosazují - 0,,-,,- atd (většinou nemá smysl zkoušet za a ) Snadno uhádneme, že jeden z kořenů je : 6 + 6 = 0 Musí platit: 6 + 6 = ( )( + p + q) = ( )( + p + q)
Problém: Neznáme druhý člen v rozkladu Jak určit čísla p a q? a) vydělením 6 + 6 = ( )( + p + q) / : Upravíme rovnost: Vydělíme: + = + p + q 6 6 : ( 6 + 6) : ( ) = 5 + 6 5 + 6 ( 5 + 5 ) 6 6 (6 6) 0 (když nevyjde zbytek 0, pak jsme špatně dělili nebo hádali kořen) 6 + 6 = ( )( 5 + 6) = 0 = K = {,,} ( )( )( ) 0 b) zpětným násobení 6 + 6 = 0 ( )( + p + q) = 0 Jde o dvě shodné rovnice, když součin v druhé rovnici roznásobíme, musí se rovnat ( )( + p + q) = + p + q p q = + ( p ) + ( q p) q = 0 Teď napíšeme rovnice pod sebe a srovnáme je: 6 + 6 = 0 + ( p ) + ( q p) q = 0 Aby byly rovnice stejné musí být před stejnými mocninami stejná čísla: = q p 6 = p 6 = q = q ( 5) 5 = p 6 = q 6 = q Máme rovnice pro neznámé poslední rovnice je kontrola správnosti předchozích kroků, musí nám vyjít 6 + 6 = ( )( 5 + 6) = 0 = K = {,,} ( )( )( ) 0 Pedagogická poznámka: Při řešení následujících příkladů náhodně střídám obě metody Po studentech chci, aby si obě alespoň jednou samostatně vyzkoušeli a pak mohou používat tu, která jim více vyhovuje Př : Vyřeš rovnici + + = 0 = + + = + + = 8 + = 0 Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni: + + = + + p + q = + p + q + + p + q 4
+ + = 0 ( p ) ( q + p) + + + + q = 0 = p + = p = q + p = q + = q + + = + + Určíme kořeny rovnice + = 0 : = q = q b ± b ac ± 4 ± 4 5, = = = a ± 5 ± 5 = = 5 5 K ; ; + = Pedagogická poznámka: Při řešení následujících příkladů se snažím, aby se studenti samostatně snažili vyrovnat s problémy, které přinášejí (6 před v příkladu 4 a 4 v dalších příkladech) Jde o cvičení adaptace na částečně se měnící podmínky Př 4: Vyřeš rovnici 6 + = 0 = 6 + = 6 + = 6 = 0 Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů: 6 + : = 6 ( 6 6 ) + ( ) + ( ) 0 ( 6 ) ( )( 6 ) = Určíme kořeny rovnice 6 0 = : b ± b 4ac ± 4 6 ± 49 ±, = = = = a + = = = = K = ; ; 5
Poznámka: Pokud bychom zjišťovali rozklad zpětným násobením, musíme dát pozor: 6 + = 6 + p + q = 6 + p + q 6 p q a dál jako předtím Před v hledaném kvadratickém trojčlenu musí být 6, abychom po zpětném násobení získali 6 Pedagogická poznámka: Někteří studenti sami (a to je třeba ocenit) zjistí, že 6 před může způsobit problémy a rovnici vydělí šesti Tím vyřeší problém se šestkou, ale v rovnici se objeví zlomky, které komplikují výpočty Řešíme potom, který ze způsobů řešení je z hlediska snadnosti výpočtu nejvýhodnější 4 Př 5: Vyřeš rovnici 6 + 8 + 6 9 = 0 = 4 4 6 + 8 + 6 9 = 6 + 8 + 6 9 = 6 + 8 + 6 9 = 0 Musíme uhádnout ještě jeden kořen, abychom stupeň rovnice snížili o dva = 4 4 6 + 8 + 6 9 = 6 + 8 + 6 9 = + 6 + 8 6 9 = 0 Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni: 4 6 + 8 + 6 9 = + + p + q = + p + q = + + 4 p q p q 4 + 6 + 8 6 9 = 0 ( q ) 4 + p + 6 = p p q = 0 8 = q 9 = q 6 = p 6 = p 4 6 + 8 + 6 9 = + 6 + 9 = 0 Určíme kořeny rovnice K = { ; ;} 9 = q 9 = q 6 + 9 = 0 : 6 + 9 = ( ) = = 4 Pedagogická poznámka: Příklad je možné řešit také ve dvou krocích vždy o jeden stupeň V takovém případě budeme při roznásobování hledat kubický čtyřčlen + p + q + r Př 6: Vyřeš rovnici + = 4 4 0 = 4 4 4 + = 4 + = 4 + = 0 Musíme uhádnout ještě jeden kořen, abychom stupeň rovnice snížili o dva = + = + = = Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni: 4 4 4 4 4 0 6
4 4 + = + p + q = + + p + q = + p + q p q + + p + q = 4 6 4 = + p + q p + + q + p + q 4 6 4 4 4 + = 0 ( p 6) ( q p 4) ( q + p) + + + + + q = 4 0 4 = p 6 = p = q p + 4 = q + 4 = q + = + 4 4 Určíme kořeny rovnice + = : 0 = q + p = + = = q = q b ± b 4ac ± 4 ± ± ±,4 = = = = = a 4 4 + = 4 = K ; + ;; = 4 Př : Vyřeš rovnici 5 5 + 5 = 0 = + = + = = Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů: 4 5 5 + 5 : = 8 + 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 4 ( ) 5 5 ( ) + 8 5 ( 8 8) ( ) 0 4 5 5 5 8 = Řešíme rovnici: 8 + = 0 = 8 + = 8 + = + 8 + = 0 Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů:
( ) 8 + : + = 5 + + 5 8 ( 5 5) + ( ) + 0 ( 8 + = 0) = ( + )( 5 + ) Určíme kořeny rovnice 5 + = 0 : b ± b 4ac 5 ± 65 4 5 ± 89 5 ±,4 = = = = a 4 4 4 5 + 5 = = 4 = = 4 4 4 K = ; ; ; 4 Shrnutí: Rovnice třetího nebo vyššího řádu už neřešíme pomocí vzorců 8