Vlnní pržného prostedí Vznik vlnní a jeho popis V minlýh kapitoláh jsme dosti podrobn probrali rzné drhy kmit jako speiální pohyb hmotného bod. Ve svt kolem nás však vtšino nekmitají jednotlivé hmotné body (a ani vlastn neeistjí), ale kmitavé stavy pozorjeme elýh velkýh makroskopikýh tles pevnýh, kapalnýh i plynnýh. a pi popis thto pohybovýh stav pak požíváme pojem vlnní. Všehna reálná tlesa jeví vždy rito mír pržnosti - asto se požívá termín pržné hmotné prostedí. Poznámka: O pržnosti pevnýh látek nás pesvdje Hookev zákon : σ E e To je vztah pímé úmry mezi normálovým naptím (tlakem) a relativní deformaí tlesa, tj. : F S l E l Protože deformae je vlastn výhylka njakého hmotného bod tlesa (viz obrázek - levý konový bod tlesa) z rovnovážné polohy, znamená tato rovnie základní vztah pro pržno síl (skalárn, bez znaménka mins) : F E S l l konst. l Fyzikálním modelem každého tlesa je sostava hmotnýh bod a speiáln modelem pržného hmotného prostedí bde sostava pržn vázanýh hmotnýh bod, ve které mezi každými dvma sosedními body psobí pržná vazbová síla, která je úmrná jejih vzdálenosti (jakoby mezi tmito body byla natažena pomyslná pržina).
To ovšem znamená, že na každý hmotný bod psobí njaká výslednie pržnýh sil, jde tedy o sostav pržn vázanýh (lineárníh harmonikýh) osilátor. V rovnovážném, klidovém stav je jist soet všeh pržnýh sil na libovolný hmotný bod roven nle. Když ovšem vyhýlíme tento bod z rovnovážné polohy (a on pak vlastn zane kmitat), poršíme rovnováh sil nejen vyhýleného bod, ale i bod sosedníh ty se tedy zano také pohybovat a tak vyvolávají pohyb dalšíh svýh sosed... poátení výhylka (kmity, rozrh) se tak šíí na všehny strany. až po njakém ase bdo kmitat všehny body sostavy. Pojem vlnní oznaje kmitání elé sostavy pržn vázanýh hmotnýh bod. Fyzikální popis vlnní tedy msí obsahovat matematiký vztah pro kmity každého bod sostavy. Uvažme pedevším, že výhylka konkrétního hmotného bod z jeho rovnovážné polohy mže mít oben v prostor zela libovolný smr oznaíme ji tedy jako vektor a bde jist záviset na poloze hmotného bod a bde se také mnit s asem : ( r,t) (, y,z,t) obená rovnie vlnní Obené vlnní v prostor tedy msí být popsáno vektorovo fnkí ty promnnýh. Ve speiálním, jednodšším pípad mže ovšem eistovat dvorozmrné vlnní (na ploše) : (, y,t) A matematiky nejjednodšší tvar bde jist mít vlnní bodové ady (viz obrázek, ktero lze dobe realizovat jako strn, ty, vzdhový slope ) : (,t) Tento zápis lze ješt dále zjednodšit v pípad lineárn polarizovaného vlnní, kdy jso výhylky všeh hmotnýh bod navzájem rovnobžné. Vektory výhylek tedy leží stále v jedné rovin (tzv. rovina
polarizae), mají v prostor stále stejný smr, a jestliže známe tento smr, mžeme pak rovat jen velikost výhylky, tj. skalár : (,t) lineárn polarizovaného vlnní (nejjednodšší tvar rovnie vlnní) Ze stední školy ž vlastn znáte dva drhy lineárn polarizovaného vlnní : - píné vlnní (kmity jso kolmé k bodové ad) - podélné vlnní (kmity jso rovnobžné s bodovo ado) Sestavme nyní rovnii vlnní pro tento nejjednodšší pípad lineárn polarizovaného a harmonikého vlnní bodové ady: Poznámka: Pi zela eaktním pístp by ml sestavení rovnie vlnní pedházet teoretiký rozbor lineární sostavy osilátor, kde by bylo matematiky nalezen tvar kmit každého osilátor viz další kapitola Lineární etze osilátor. Bodovo ad ztotožníme s oso a bdeme pedpokládat, že výše zmínný poátení rozrh nastane v bod 0 této osy jako dsledek psobení njakého zdroje kmit. Pedpokládejme dále, že tento zdroj bde pohybovat s bodem 0 nejjednodššími harmonikými kmity : 0 A sinω t kmity zdroje 3
Pržnými vazbami (mezi jednotlivými hmotnými body) se postpn vádjí do pohyb (rozkmitávají se) sosední body - íkáme, že rozrh (harmoniké kmity) se šíí (postpje) od zdroje po ose njako ryhlostí. vzniká tak postpné vlnní v bodové ad. Sledjme jeho šíení v kladném smr osy a položme si otázk, jaká bde výhylka libovolného hmotného bod m v míst o soadnii : Tento bod ovšem nezane kmitat soasn se zapntím zdroje, ale s asovým zpoždním až po plyntí rité doby, za ktero se kmity (rozrh) dostano do daného místa. K rení této doby msíme znát již zmínno ryhlost šíení rozrh je to ryhlost šíení rité výhylky, která je dána rito velikostí fáze kmit mžeme ji tedy oznait jako ryhlost postp místa stejné fáze tzv. fázová ryhlost vlnní. Potom bde asové zpoždní kmit v míst dáno probhnto draho (délky ) a konstantní fázovo ryhlostí podle vztah (pro rovnomrný pohyb) : t asové zpoždní kmit Až po plyntí této doby nastane v míst stejná výhylka jako v poátk, ale ve zpoždném (posntém) ase : (,t) A sin ( t t ) ω Po dosazení za asové zpoždní vznikne základní matematiký zápis postpného harmonikého lineárn polarizovaného vlnní v bodové ad (postpjíího v kladném smr osy ) : ω (,t) A sin t A po roznásobení dostaneme další požívaný tvar : (,t) A sin ω t ω Proveme podrobnjší rozbor rovnie vlnní jako fnke dvo promnnýh : ) Pro konst. tato rovnie vyjadje harmoniké kmity hmotného bod v míst tak byla rovnie vlnní vlastn vytvoena. Pro toto zadané místo je elý drhý len v závore konstantní a vytváí vlastn fázovo konstant kmit : ω 0 (,t) A sin ω t A sin( ω t + ϕ ) ( t) 4
Vidíme, že fázová konstanta je záporná : ϕ 0 ω To nám jasn potvrzje, že kmity v míst jso skten zpoždné oproti kmitm zdroje v poátk osy (viz obr.) : Z obrázk je vidt, že poátek sinsovky je posntý (opoždný) o as t, pro který platí (je to nlový bod fnke sins) : ω ω t 0 Vypoítáme-li z rovnie tento as, mžeme spokojen konstatovat, že je práv roven asovém zpoždní kmit v míst - ož byl také náš výhozí pedpoklad pi sestavení rovnie kmit : t ϕ 0 ω Rovnie vlnní tedy popisje výhylk hmotnýh bod v libovolném míst jso to (harmoniké) kmity stejné frekvene a amplitdy jako kmity v poátk osy, ale fázov zpoždné v dsledk asového zpoždní pi postp vlnní (fázovo ryhlostí ). Není vlastn ani prinipiáln dležité, aby v poátk osy (v bod 0 ) byl zdroj kmit mže být kdekoliv jinde (vlevo na ose ), dležitý je smr postp vlnní zleva doprava, (v kladném smr osy ) který vytváí ono fázové zpoždní kmit v míst oproti bod 0 (obenji oproti bod vzdáleném o ). Pak je také zejmé, že v pípad opaného postp vlnní (se zdrojem nkde daleko v pravé ásti osy ) bdo kmity v míst naopak pedbíhat kmity v bod 0 drhý len v argment sin msí proto zmnit znaménko : 5
(,t) A sin t + ω ω vlnní postpjíí v záporném smr osy ) Pro t konst. bde rovnie vlnní kazovat výhylky všeh hmotnýh bod v jednom daném ase, bde to tedy jakási fotografie vlnní v tomto ase, která nám káže prostorové rozložení našeho vlnní. Pro daný as t je nyní v závore konstantní první len (oznaíme ho jiným písmenem, nebo to není standardní fázová konstanta asovýh kmit) : ω ω (,t ) A sinω t A sinα ( ) Bd dofat, že laskavý tená správn matematiky zhodnotí tento výraz a konstatje, že jde opt o obeno sinsovk, ale nyní s promnno. Period této sinsovky oznaíme (bde to vzdálenost mezi místy stejné fáze vlnní, tzv. vlnová délka) a stanovíme ji z obené definie periody fnke jako (nejmenšího) interval promnné, po kterém se vždy opakje hodnota (prbh) fnke : ( ) ( + λ) Máme tedy : ω A sinα ( λ) ω A sin α + Hodnoty fnke sins se opakjí s periodo, tj. rozdíl obo argment (v závorkáh) se msí rovnat této period : ( λ) ω ω α α + π Po úprav : ω λ π A s vyžitím znalostí o úhlové frekveni mžeme stanovit vztahy pro vlnovo délk : π π λ T vlnová délka ω π f f 6
Vlnová délka je perioda prostorové ásti rovnie vlnní, je to vzdálenost míst stejné fáze kmit. Z posledního výraz pak mžeme vidt další fyzikální smysl této veliiny je to dráha (vzdálenost), ktero probhne vlnní za dob periody T (za ktero se sktení práv jeden elý kmit a na probhnté dráze se tedy rozloží práv jedna kompletní vlna). Nkdy se také požívá veliina : σ λ vlnoet jako podíl jednotkové délky a délky jedné vlny mžeme ji tedy také hápat jako poet vln na jednotkové vzdálenosti. Vrame se nyní k posledním tvar naší rovnie vlnní : (,t) A sin ω t ω A provedeme poslední formální úprav podíl úhlové frekvene a fázové ryhlosti oznaíme jako novo konstant : ω π f π π σ λ k úhlový vlnoet Název této veliiny vyplývá z její velikosti, rovné -násobk obyejného vlnot. Vznikl tak nejznámjší, formáln nejjednodšší tvar rovnie postpného harmonikého vlnní v bodové ad : 7
(,t) A sin( ω t k ) Na závr tohoto odstave mžeme posodit rzné varianty rovnie vlnní, nap. jak by se zmnila v pípad, že by kmity zdroje obsahovaly njako nenlovo fázovo konstant : 0 A sin t ( ω + ϕ ) 0 Pak by se zejm tato konstanta beze zmny penesla do kmit v dalšíh místeh bodové ady : (,t) A sin( ω t k + ϕ ) 0 Nezapomete také na úvahy pi rozbor rovnie vlnní, že v pípad opaného postp vlnní (v záporném smr osy ) nastane zmna znaménka prostorové ásti argment : (,t) A sin( ω t + k ) Protože rovnie vlnní je v podstat rovnií kmit, lze pro ni psát analogiký komplení zápis jako pro kmity : û ± i ( ) ( ω t ± k + ϕ,t A e 0 ) komplení tvar vlnní Poslední úvaha o variantáh rovnie vlnní by se týkala možnosti, že kmity zdroje by nebyly harmoniké, ale mly by zela obený prbh (i neperiodiký), popsaný njako libovolno fnkí as : 0 f ( t) Pak by samozejm v bodové ad vzniklo také neharmoniké postpné vlnní, které by popisovala stejná fnke f s argmentem, který by vyjadoval asové zpožování nebo pedbíhání kmit v míst oproti míst 0 : (,t) f t ± neharmoniké postpné vlnní Vlnní v prostor Umístíme-li zdroj kmit v njakém míst 3-rozmrného pržného hmotného prostedí, pak se ovšem vzniklý rozrh šíí pomoí pržnýh vazeb ásti na všehny sosední body, tj. do všeh smr v prostor, do všeh bod tohoto prostedí. 8
Místa, do nihž se vlnní rozšíí v rznýh smreh za ttéž dob, leží jist na njaké spojité ploše tzv. vlnoploha. Výhylky (kmity) všeh bod na vlnoploše jso stejn asov (tedy i fázov) zpoždné oproti míst zdroje, mají tedy stejno velikost i stejno fázi. Vlnoploha je geometriké místo kmit stejné fáze Poznámka: Vlnoplohy eistjí v každém ase, je jih tedy nekonen mnoho, zakresljeme však jen nkteré, nap. takové, které jso od sebe vzdáleny o vlnovo délk. Pi popis vlnní také žíváme pojem paprsek rozmíme tím pímk, která leží ve smr postp vlnní v daném míst. Paprsky jso kolmé k vlnoplohám, jso to vlastn jednodhé bodové ady. Vlnoplohy mají oben libovolný tvar. Je-li však hmotné prostedí izotropní tj. vlnní se šíí ve všeh smreh (od zdroje) stejno fázovo ryhlostí pak vznikají klové vlnoplohy a vlny (vlnní) také nazýváme klové - jde vlastn o nejastjší tvar vlnoploh v pírod. Uvažme dále, že ve velké vzdálenosti od zdroje mají klové vlnoplohy velký polomr v menší objemové ásti prostedí je tedy lze považovat za rovinné vlnoplohy. To platí tím pesnji, ím menší ást objem sledjeme a v limit pro nekonen malo (difereniální) ást prostor mžeme vlastn jakékoliv vlnoplohy považovat za rovinné. Rovinné vlnní (vlny) se tak stává teoretiky nejdležitjším drhem vlnní. Odvodíme proto rovnii tohoto vlnní. Pedstavme si nejjednodšší sitai, že rovinné vlnní postpje ve smr osy. Tato osa je tedy jedním z jeho paprsk a rovinné vlnoplohy jso k ní kolmé. Do obrázk zakreslíme poze dv vlnoplohy jedn jdoí poátkem 0 (je to vlastn roviny yz) a drho ve vzdálenosti od poátk : Víme, že na vlnoploháh mají všehny body stejno výhylk, kmitají se stejno fází. Na první vlnoploše jdoí poátkem 0 mají tedy všehny hmotné body stejno fázi jako v bod 0 a všehny body na drhé vlnoploše mají stejno fázi jako bod na ose, tj. stejné fázové zpoždní jako tento bod. Sitae na elé této vlnoploše je tedy stejná jako v míst na bodové ad (na ose, i na jakémkoliv paprsk). Potom rovnie vlnní v bodové ad, která popisje kmity v libovolnýh místeh osy, je také soasn rovnií pro vlnoplohy jdoí tmito místy a je tedy nejjednodšší rovnií prostorového vlnní, rovnií postpného rovinného vlnní (lineárn polarizovaného), jdoího ve smr osy : 9
(, y,z,t) (,t) A sin( t k ) ω rovinná vlna ve smr osy Poznámka : Rovinno postpno vln také samozejm popisjí všehny obenjší tvary, které jsme doplnili bodové ady tj. s pídavno fázovo konstanto, zmna znaménka pi opaném postp vlnní, komplení tvar, neharmoniké vlnní. Vlnová rovnie Rovnie jakéhokoliv vlnní je prinipiáln vždy rovnií popisjíí pohyb hmotnýh bod (dané látky, sostavy) a je ji tedy možno nalézt ešením Newtonovýh pohybovýh rovni. Sestavení thto rovni však jist není jednodhá záležitost. Pržné hmotné prostedí, které je pedpokladem pro eisteni vlnní, je speiální sostavo hmotnýh bod, která se pohybje nestandardním zpsobem vlnní jist nelze vyjádit pomoí translae a rotae a požít implzovýh vt, protože tyto vty neobsahjí vnitní vazební síly, které jso pro vznik a eisteni vlnní zásadn dležité. Eaktní stanovení pržnýh vazbovýh sil je pak velmi komplikované, nebo tyto síly závisejí na strkte látky a vlastnosteh jejíh ásti. Je proto velmi výhodné, že se podailo nalézt ekvivalentní pohybovo rovnii, která neobsahje materiálové a strktrní parametry pržného prostedí tzv. vlnovo rovnii. Provedeme odvození této rovnie pro základní drh vlnní - rovinné vlny postpjíí ve smr osy : (,t) A sin( ω t k ) Proveme nejprve dvakrát derivai (pariální) podle as : t t Aω os Aω ( ω t k ) sin ( ω t k ) A potom dvakrát derivai podle soadnie : A A ( k) os( ω t k ) ( k) sin( ω t k ) Ze drhé asové derivae vyjádíme fnki sins : sin ( ω t k ) Aω a dosadíme do posledního vztah pro drho prostorovo derivai : 0 t
( ) t k t A k A ω ω Jestliže požijeme defininí vztah pro úhlový vlnoet : k ω dostaneme po vykráení : t vlnová rovnie (nejjednodšší tvar) Tato rovnie je skten ekvivalentní k pohybové rovnii, nebo na její jedné (pravé) stran vystpje drhá derivae výhylky podle as, tj. zryhlení kmitajíí ástie (element) hmoty, psobíí síly se však podailo vyjádit drho pariální derivaí podle soadnie a fázovo ryhlostí vlnní (ta jediná závisí na vlastnosteh prostedí). Rovnie vlnní je pak ešením vlnové rovnie. Je velmi pozorhodné, že vlnovo rovnii splje i postpné neharmoniké vlnní libovolného tvar (zkste sami dosazení) : ± t f Bez odvozování si vedeme, že vlnová rovnie ješt mže být dále zobenna pro lineárn polarizované postpné vlnní v libovolném smr pak se na levé stran objeví další pariální derivae podle y a z : t z y + + Levo stran je možno formáln zjednodšit vyžitím Laplaeova operátor : z y + + Pak dostaneme : t A v nejobenjším pípad nepolarizovaného vlnní, kdy výhylky hmotnýh bod je ntno vyjádit jako vektory, se vlnová rovnie stane rovnií vektorovo :
vlnová rovnie (obený tvar) t Matematiky jde o pariální difereniální rovnii.ád. Zásadn dležité pak je, že i když byla tato rovnie odvozena pro rovinné vlny, platí pro jakékoliv vlnní, nebo jako každá rovnie s difereniály platí jen pro difereniální nekonen malo ást prostor, pro dané (praktiky bodové) místo, kdy lze jakokoliv vlnoploh považovat za rovinno. Skládání (interferene) vlnní Protože vlnní je ve své podstat kmitání hmotnýh bod, nemže nás pekvapit, že eistje jev skládání (nkolika) vlnní od rznýh zdroj, který neznamená ni jiného než skládání nkolika rznýh kmit (výhylek) v ritém (libovolném) míst. Podle prinip sperpozie mehanikýh pohyb se napíklad dv okamžité výhylky hmotného bod v daném míst od dvo vlnní (tyto výhylky jso reny rovniemi vlnní) seto v nejobenjším pípad vektorov do výsledné výhylky hmotného bod a vznikne rovnie výsledného vlnní : (, y,z,t) (, y,z,t) + (, y,z,t) Nejjednodšší bde ovšem interferene dvo stejn lineárn polarizovanýh rovinnýh vln stejné vlnové délky postpjíí ve stejném smr osy. Pak totiž sítáme poze skaláry, a protože rovinné vlny se popisjí stejnými rovniemi jako bodové ady, mžeme tento problém pevést na interfereni vlnní v bodové ad : Pedpokládejme tedy, že v bodové ad eistjí na dvo místeh (O a O ) dva zdroje vlnní, které kmitají se stejno periodo, mají stejný smr kmitání a stejné fáze (nebo alespo konstantní fázový rozdíl) to jso tzv. koherentní zdroje : ( O ) A sinω t ( O ) A sinω t nebo A sin( ω t + ϕ ) 0 V kladném smr osy se potom šíí dv stejn lineárn polarizovaná vlnní stejné vlnové délky. Fázová zpoždní obo vlnní v libovolném bod m daná probhntými drahami obo vlnní (, ) pak rjí rovnie obo vlnní, tj. okamžité výhylky v tomto bod :
(,t) A sin( ω t k ) (,t) A sin( ω t k ) Výsledná výhylka bod m je pak jejih skalárním sotem : (,t) (,t) + (,t) A sin( ω t k ) + A sin( ω t k ) Ve sledovaném bod m, tj. pro zadané hodnoty a tato rovnie znamená obyejné skládání dvo rovnobžnýh kmit stejné frekvene s rznými amplitdami (A, A ) a s rznými fázovými konstantami : ϕ ϕ k k A mžeme tak v plné míe aplikovat naše dívjší poznatky o skládání rovnobžnýh kmit : Výsledné kmity (vlnní) jso opt harmoniké, stejné frekvene (vlnové délky) s výsledno amplitdo a fázovo konstanto, které se rí nap. grafiko metodo pomoí kompleníh amplitd. Velmi asto zajímají fyziky i tehniky, stejn jako pi skládání kmit, etrémní výsledky : a) Víme, že pro maimm interferene platí podmínka na fázový rozdíl kmit : ϕ ϕ ± n π, n 0,,... Jestliže dosadíme za fázové konstanty a úhlový vlnoet : k k ( k ) ( ) ± π λ ± n π n π ( ) ± n π Pak po vynásobení vlnovo délko (a vykráení) dostaneme : nebo : ± n λ λ n λ n podmínka maima interferene Výraz na levé stran je rozdíl vykonanýh drah dráhový rozdíl vlnní a pro dosažení maimální výhylky (rovné sot obo amplitd) msí být roven eloíselném násobk vlnové délky (sdém násobk poloviny vlnové délky). 3
b) Pro interferenní minimm pak z obené podmínky na fázový rozdíl kmit platí : ϕ ( n + ) π, n 0,,... ϕ ± Dostaneme analogiky : π λ ( ) ± ( n + ) π a nakone : λ ( n + ) Dráhový rozdíl vlnní se tedy msí rovnat lihém násobk poloviny vlnové délky. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (kone kapitoly) K. Rsák, verze 0/005 4