Vlny jsou podélné elementy ve a proti směru šíření rozruchu (tlaková vlna v plynovém či vodovodním potrubí)

Transkript

1 Vlnění Mehaniké vlnění Je formo ohyb lákového rosředí Elemeny láky se ři růhod vlny vyhyljí ze svýh rovnovážnýh oloh a ohybjí se (kmiají) kolem nih věšino nearně Změna deformae a naěí (mehaniký rozrh) osje od jednoho elemen k drhém osné vlnění ako se řenáší energie, hybnos, Kromě mehanikýh vln (elasiké na ržině, íhové na ovrh kaaliny, říčné na vlákně) eisjí i jiné (nemehaniké) elekromagneiké, graviační, (vnikají ohybem zdrojů ěho olí) Vlny jso odélné elemeny ve a roi směr šíření rozrh (laková vlna v lynovém či vodovodním orbí) říčné elemeny kmiají kolmo na směr šíření rozrh (deformae mehanikýh vln se řenášejí smykovými silami mezi elemeny, v ekináh edy neeisjí)

2 Odraz na rozhraní Základní ojmy: Výhylka elemen r - dává směr a velikos osní elemen rosředí z rovnovážné olohy ři růhod vlny r r f (, y, z, ) Pokd r je kolmé na směr šíření vlny (říčná vlna) a r leží v neměnné rovině, nazýváme vln lineárně olarizovano

3 Jednorozměrný říad odélné vlny snímek v čase Ryhlos v r elemen r r v Pro odélno i říčně lineárně olarizovano vln leží r a jedné říme v r 3 Ryhlos r vlnění ryhlos, se kero osje rozrh Závisí na servačnýh vlasnoseh láky (hsoě) a na siláh, kerými na sebe navzájem ůsobí sosední elemeny ři lokální deformai rosředí 4 Čelo vlny - geomeriké míso bodů ohraničjííh vln (oddělje vln od čásí rosor, do nihž vlna ješě neronikla) 3

4 5 Vlnoloha: zavádí se ehdy, když zdroj vlnění kmiá eriodiky Je o loha, jejíž všehny body kmiají se sejno fází 6 Parsek je křivka, odél keré se šíří ve vlně energie V izoroním rosředí jso arsky kolmé na vlnolohy Prini serozie vlnění (eerimenální fak) Nehť (v ržném rosředí) bdí zdroj Z vln (, y, z, ) r Z vln (, y, z, ) Poom oba zdroje sočasně bdí vln r r r ( y, z, ) (, y, z, ) + (, y, z, ), r a zdroj Pozn: Prini serozie vlnění laí ro libovolný oče zdrojů Prini serozie vlnění laí v rosředí, keré slňje Hookův zákon (j nař ro malé výhylky) Důsledek rini serozie vlnění: r r r Oblas C (řekryv) : +, r r r r r r Oblas A ( 0 ) : + 0,!!! r r r r r r Oblas B ( 0 ) : 0 +,!!! Tedy vlnění se růhodem oblasí řekryv neovlivní 4

5 5

6 Maemaiké vyjádření osné vlny Z eerimenální zkšenosi lyne, že vlny se ve věšině říadů šíří rosředím (rosorem) éměř beze změny (zela beze změny se šíří oze v rosředíh bez vniřního ření, j úlm) Teno fak vyžijeme ři maemaikém vyjádření osné vlny Vzah ro výhylk v jednorozměrné vlně rčíme ro dvě možné siae: Známe var vlny v rčiém okamžik, nař v čase 0, j (, 0) f ( ) Známe závislos výhylky na čase v rčiém bodě, nař 0, j ( 0, ) ( ) Ad : a) vlna osje ve směr kladné osy O: V okamžik >0 je vlna znázorněna křivko K vzniklo z křivky K osním o úsek d ve směr osy O Výhylka je nyní f ( ξ ), kde ξ je nová sořadnie Plaí: d + ξ + ξ ξ Tedy vlna šíříí se ve směr kladné osy O je f ( ) b) vlna osje ve směr záorné osy O: V okamžik >0 je vlna znázorněna křivko K3 vzniklo z křivky K osním o úsek d ve směr záorné osy O Výhylka je nyní f ( η), kde η je nová sořadnie Plaí: η d + + 6

7 Tedy vlna šíříí se ve směr záorné osy O je Ad : ( ) f + a) vlna osje ve směr kladné osy : Do bod P(), > 0 dorazí vlna v čase τ Od ohoo okamžik se začne bod P ohybova ak, jak se ohyboval dříve bod 0 Pohyb P bde vůči ohyb 0 zožděn o τ Tedy jeho výhylka je : P b) vlna osje ve směr záorné osy : Vlna dosihne bod Q o sořadnii < 0 v okamžik výhylka bde + Q τ, j jeho Pozn: Je-li zdroj vlny mísěn mimo bod O, j Z( 0 ), je: P 0 7

8 Harmoniké vlny Vznikají ehdy, když jejih zdroj kmiá harmoniky Každý bod ve vlně koná rovněž harmoniké kmiy sejné frekvene jako zdroj Význam harmonikýh vln: Každo vln obeného var lze vyjádři jako soče harmonikýh vln o vhodnýh amlidáh a fázíh orierova analýza Maemaiké vyjádření: Nehť zdroj Z je v očák soř sos, j z 0, ryhlos šíření vlny je Kmiy zdroje: ( 0, ) Asin( ω + α) Podle ředhozího výklad (ad) je: vlna ve směr kladné osy : vlna ve směr záorné osy :, ) Asin ω + α (,, ) Asin ω + + α ( Pro harmoniko vln zavádíme vlnovo délk λ Definie: Vlnová délka je vzdálenos, kero razí (ryhlosí ) vlna za jedn eriod T kmiů (zdroje) λ T 8

9 Inerferene vlnění Je o skládání harmonikýh vln sejné frekvene ω (jde edy o seiální říad rini serozie) Výsledná vlna je aké harmoniká, j všehny body rosředí kmiají harmoniky s frekvení ω a obeně různými fázemi, Amlida kmiů je v různýh míseh rosor různá A) Inerferene dvo harmonikýh vln (odélnýh či říčnýh olarizovanýh v jedné rovině) s frekvení ω, keré se šíří s ryhlosí r ve sejném směr (se sejno orienaí): A sin ω, A sin ω + ϕ Inerferení ěho vln vznikne oě osná harmoniká vlna kde Asin ω + α, A sinϕ α arg, A + A osϕ + A A A A A + osϕ 9

10 Je-li ϕ 0, ± π, ± 4π, Kvlny jso ve fázi (maima a minima jso nad sebo) a A A + A Je-li ϕ ± π, ± 3π, Kvlny jso vzájemně osny o λ / a A A A Je-li v omo říadě A A, je A 0 - jde o zv desrkivní inerfereni B) Inerferene dvo harmonikýh vln (odélnýh či říčnýh olarizovanýh v jedné rovině) s frekvení ω, keré se šíří s ryhlosí r a r ve sejném směr (šíří se roi sobě): Pro jednodhos ředokládejme, že A A A a ϕ 0 Výočem zjisíme, že Asinω, Asin ω + + Aos π sin π λ T Výsledno vln nazýváme vlno sojao Vlasnosi sojaého vlnění Vln lze zasa ve var kde A v sin π, T A π v Aos λ Tedy elemen rosředí, ve kerém eisje sojaá vlna, koná A v harmoniké kmiy o amlidě ( ) 0

11 Uzly - elemeny v ěho bodeh jso rvale v klid (v našem říadě, kdy A A A) λ 3 5 A v ( ) min nasává v bodeh ±, ± λ, ± λ, K Poloha kmien: ( ) ma λ A v nasává v bodeh 0, ±, ± λ, K - oloha zlů - oloha kmien Všehny elemeny mezi sosedními zly kmiají se sejno fází, elemeny, mezi nimiž je jeden zel, kmiají s oačno fází Energie se rvale řesová z kmien do sosedníh zlů a zě, neřenáší se jedním směrem jako vlny osné Hygensův-resnelův rini Každý elemen rosředí, v němž se šíří vlna, kmiá a ůsobí řiom na sosední elemeny hová se jako sekndární zdroj, z něhož se šíří sekndární elemenární vlny, keré jso v homogenním a izoroním rosředí klové Tyo sekndární vlny ze všeh elemenů rosředí se skládají a vyvářejí výsledno vln Je-li Č čelo vlny v okamžik, ak čelo vlny Č v čase +D je dáno

12 obálko elemenárníh vln, vyšlýh v čase z bodů čela Č (Hygens) Problém: Vlna by se šířila am i zě, ož je v rozor se skečnosí resnel roo zavedl zv fakor sklon K ( θ ),kerý zeslabje velikos výhylky v sekndární elemenární vlně s rosoí úhlovo odhylko θ od směr šíření výsledné vlny

13 K( θ) θ π Tedy: Z Hygensova resnelova rini lze vysvěli difraki (ohyb) vlnění, j šíření vlnění za nerosné řekážky: Vlnění se šíří za řekážko i do oblasí geomerikého sín 3

14 Z Hygensova resnelova rini lze vysvěli odraz i lom vlnění na rovinném rozhraní dvo různýh rosředí: 4

15 5 Vlnová rovnie D říad: Obená vlna osjíí ve směr kladné osy ( ), () Označme a rovnii () zderivjme dvakrá odle a dvakrá odle : () (3) Z () a (3) vlnová rovnie 3D říad z y + + neboli