PŘÍKLADY Z ALGEBRY. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz

PŘÍKLADY Z ALGEBRY DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Motto: Není jiné rozumné výchovy než příkladem; když to nejde jinak, tak aspoň odstrašujícím. Albert Einstein Toto je pracovní verze sbírky příkladů k základní přednášce z obecné algebry. Sbírka pokrývá základní témata, která se vyskytují ve všech variantách kurzu: základy strukturní teorie grup a okruhů, dělitelnost v obecných oborech integrity, úvod do teorie těles. Dále jsou zařazeny různé doplňující partie: především jde o první kapitolu věnovanou obecným algebrám(hlavně pologrupám) a uspořádaným množinám, a dále různé aplikace(teorie čísel, Burnsideova věta, konstrukce pravítkem a kružítkem atd.). Jednotlivé kapitoly jsou na sobě nezávislé, lze je cvičit v libovolném pořadí. Některé sekce v rámci jednotlivých kapitolnasebenavazují.pořadíúlohneníideální,napříkladúlohyuvedenévsekcích Příkladyazákladnívlastnosti je lepší řešit až po procvičení pojmů na konkrétních příkladech. V dalších verzích sbírky to snad napravím. Každá sekce shrnuje teoretické poznatky z obecné algebry používané ve cvičeních. Většina úloh je víceméně elementárních, nicméně některé typy úloh(lineární grupy, maticové okruhy, rozšíření těles atd.) vyžadují znalosti z lineírní algebry na úrovni prvního ročníku. Hvězdičky označují vyšší obtížnost úlohy. Jednohvězdičková cvičení zpravidla vyžadují nějaký nápad nebo větší množství výpočtů, dobrý student by je však měl v dostatečném čase zvládnout. Dvojhvězdičkové úlohy pak mohou být pro dobré studenty výzvou k otestování svých znalostí. Použití návodu zpravidla úlohu o hvězdičku zjednoduší. Heslo[Ř]značí,žekúlozejenakoncisbírkyuvedenořešení.Heslo[N]značí,žekúlozejenakoncisbírkyuveden návod.heslo[?]značí,žejsemúlohuještěneřešil,atudížjemožnávadná. Opakuji,žesejednáopracovníverziařadasekcínenívideálnímstavu.Textsnejvětšípravděpodobností obsahuje chyby, nepřesnosti, neřešitelné úlohy, nefungující návody a špatná řešení:-) Jakékoliv opravy, návody, řešení i zajímavá zadání úloh velice uvítám na uvedeném emailu. Date: 30. září 2013. 1

Obsah I. Uspořádání 3 II. Dělitelnost v oborech integrity 5 1. Elementární teorie čísel 5 2. Základní vlastnosti oborů integrity 7 3. Oborypolynomů 9 4. Číselnéobory 13 III. Grupy 15 1. Příklady a základní vlastnosti 15 2. Cyklické a abelovské grupy 19 3. Permutačnígrupy 21 4. Maticové a geometrické grupy 25 5. Působení grupy na množině 26 6. Rozklady, normální podgrupy a faktorgrupy 29 7. Centrum,centralizátor 32 IV. Okruhy 34 1. Příklady a základní vlastnosti 34 2. Podokruhy a ideály 36 3. Homomorfismy 38 4. Faktorokruhy 39 V. Další třídy algeber 42 1. Obecnéalgebry 42 2. Svazy 48 VI. Teorie těles 52 1. Příklady a základní vlastnosti 52 2. Rozšíření konečného stupně 53 3. Kořenová a rozkladová nadtělesa, algebraický uzávěr 56 4. Galoisovateorie 57 Návody 58 Řešení 60 2

I. Uspořádání Relaci na množině X nazýváme částečné uspořádání, pokud je (1) reflexivní,tj. x xprovšechna x, (2) tranzitivní,tj. x yay zimplikuje x z, (3) aantisymetrická,tj. x yay ximplikuje x=y. Alternativně říkáme, že(x, ) je uspořádaná množina. Uspořádání se nazývá lineární, pokud navíc pro každé x, y nastane x ynebo y x.pokud x yax y,píšeme x < y. Řekneme,žeprvek a Xjev(X, ) největší,pokudprokaždé b Xplatí b a; nejmenší,pokudprokaždé b Xplatí b a; maximální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b > a; minimální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b < a. Nechť Y X.Řekneme,žeprvek a Xje hornímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; supremummnožiny Y,pokudtojenejmenšíhornímez Y;značíse a=supy. dolnímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; infimummnožiny Y,pokudtojenejvětšídolnímez Y;značíse a=infy. Jinýmislovy,supremummnožiny Y jenejmenšíprvekmnožiny X,kterýjevětšínežvšechnyprvky Y.Podobně, infimummnožiny Y jenejvětšíprvekmnožiny X,kterýjemenšínežvšechnyprvky Y. Uspořádaná množina se nazývá svazově uspořádaná, pokud v ní existují suprema a infima všech dvouprvkových podmnožin(pak také zřejmě existují suprema a infima všech neprázdných konečných podmnožin). Nazývá se úplně svazově uspořádaná, pokud v ní existují suprema a infima všech podmnožin. Často se používá značení a b=sup{a,b} a a b=inf{a,b}. Příklad. Lineárníuspořádáníjsousvazová, a b=max(a,b), a b=min(a,b). (R, )jesvazověuspořádaná,aleneúplně,protožeinfrneexistuje. (R {± }, )jeúplnésvazovéuspořádání. Malou uspořádanou množinu(x, ) je možné zakreslit pomocí tzv. Hasseova diagramu. Jde o graf, jehož vrcholy tvořímnožina X,přičemžporovnatelnéprvkyjsounakreslenétak,žemenšíjeníže,ahranamezidvěmavrcholy a,b jenakreslenaprávětehdy,když a < baneexistuježádné csplňující a < c < b. 1. Zjistěte, zda existuje a jaký nejmenší počet prvků může mít uspořádaná množina taková, že (a) má alespoň dva maximální a alespoň jeden minimální prvek; (b) má alespoň dva maximální a alespoň jeden nejmenší prvek; (c) má alespoň dva největší, ale žádný nejmenší prvek; (d) má alespoň jeden maximální, ale žádný nejmenší prvek; (e) má alespoň jeden maximální, ale žádný minimální prvek; (f) má právě jeden maximální, ale žádný největší prvek; (g) každá podmnožina supremum, ale nejaká podmnožina nemá infimum; (h) jako(f), ale navíc je svazově uspořádaná; (k) každá její podmnožina má dolní i horní mez, ale přitom není svazově uspořádaná. Uveďte příklady![ř] 2. Rozhodněte, zda jsou následující uspořádané množiny svazově uspořádané.[ř] 3

3.Najdětenějakélineárníuspořádánínamnožině N Nanamnožině C. Lemma. Následující podmínky jsou ekvivalentní pro uspořádanou množinu(x, ). (1) (X, ) je úplně svazově uspořádaná. (2) V(X, ) existují infima všech množin a obsahuje největší prvek. (3) V(X, ) existují suprema všech množin a obsahuje nejmenší prvek. 4.* Dokažte předešlé lemma.[ř] 5. Buď X neprázdná množina a označme P(X) množinu všech podmnožin množiny X. Dokažte, žejep(x)=(p(x), )úplněsvazověuspořádanámnožina.[n] 6. Buď X neprázdná množina a označme Eq(X) množinu všech ekvivalencí na množině X. Dokažte, že je Eq(X) =(Eq(X), ) úplně svazově uspořádaná množina.[n] 7.NakresleteHasseůvdiagramsvazůP({0,1,2})aEq({0,1,2}). 8.Označme P fin (N)množinuvšechkonečnýchpodmnožinmnožiny N.Rozhodněte,zdajeuspořádanámnožina(P fin (N), )a)svazově,b)úplněsvazověuspořádaná.[ř] 9. Rozhodněte,zdajsouuspořádanémnožiny(N, )a(n {0}, )a)svazově,b)úplněsvazově uspořádané.relací rozumímerelacidělitelnosti(tj. a jemenšínež b,pokud adělí b);uvědomte si,že0jedělitelnájakýmkolivpřirozenýmčíslem.cojsousupainf,pokudexistují?[ř] 10.Označme F množinuvšechfunkcí R R.Pro f,g F definujme f g,pokud f(x) g(x) provšechna x R.Jeuspořádanámnožina(F, )a)svazově,b)úplněsvazověuspořádaná?jaká bybylaodpověď,kdybychomuvažovalifunkce 0,1 0,1?[Ř] 11.Definujmeuspořádánínamnožině R Rpředpisem(a 1,a 2 ) (b 1,b 2 ),pokud a 0 = b 0 a a 1 b 1. Je(R R, )uspořádanámnožina?prokterédvojicepárůexistujesupremumainfimum?[ř] 4

II. Dělitelnost v oborech integrity 1. Elementární teorie čísel Matematická indukce je technika pro dokazování vlastností přirozených čísel. Dokážeme-li, že (1) číslo1mávlastnost V, (2) prokaždé n,má-ličíslo nvlastnost V,pakmátutovlastnostičíslo n+1, pakmůžemededukovat,žekaždépřirozenéčíslo nmávlastnst V. 12.Dokažte,že7 n 7 n. 13.Dokažte,že9 4 n +6n 1. 14.Dokažte,že1+2+...+n= n(n+1) 2. 15.Dokažte,že1 2 +3 2 +5 2 +...+(2n 1) 2 = n(2n 1)(2n+1) 3. 16.*Sečtěteřadu1 2 +2 2 +...+n 2.[N] 17.*Sečtěteřadu1 3 +2 3 +...+n 3.[N] 18.Dokažte,že 1 2 2 2 2 + 3 2 3 4 2 4 +...+( 1) n+1 n 2 n = 1 9 (2+( 1)n+13n+2 2 n ). Věta(Bézoutova rovnost). Pro každou dvojici přirozených čísel a, b existují celá čísla u, v splňující NSD(a,b)=u a+v b. NSD i koeficienty u, v lze najít Eukleidovým algoritmem popsaným v následující sekci. 19. Spočtěte NSD(1023, 96) a NSD(168, 396). V obou případech najděte koeficienty z Bézoutovy rovnosti.[ř] Zavedeme značení a b (mod m) (čteme ajekongruentnísbmodulo m),pokud m a b,tj.pokud aabdávajístejnýzbytekpodělení m.relace býtikongruentnímodulo mjeekvivalencí,znaménkokongruencejetedymožnopoužívatpodobnějakorovnítko. Je-li a b(mod m)ac d(mod m),pak a±c b±d(mod m); a c b d(mod m); a k b k (mod m)prolibovolné k N. Pro krácení lze použít vlastnosti a b(mod m) ca cb(mod cm); jsou-li c,mnesoudělná,pak a b(mod m) ca cb(mod m). 20.Spočtěteposlednícifručísla99 9897.[Ř] 21.Dokažte,že13 16 20 +29 21 +42 22. 22.Najdětevšechna x Zsplňujícía)6x 9(mod21),b)10x 5(mod21),c)26 5 x 16 (mod11).[ř] Věta(Čínskávětaozbytcích).Nechť m 1,...,m njsoupodvounesoudělnápřirozenáčísla,označme M= m 1... m n. Pakprolibovolnáceláčísla a 1,...,a nexistujeprávějedno x {0,...,M 1},kteréřešísoustavukongruencí x a 1 (mod m 1),..., x a n 5 (mod m n).

První dvě úlohy se údajně vyskytují v některé ze staročínských a staroindických matematických knih. 23. Generál Chuan-wen poslal do bitvy tisíc vojáků. Po bitvě chtěl zjistit, kolik se jich vrátilo. Nechaljetedynastoupitdořadpopětiazjistil,žetřizbylistranou.Pakjenechalnastoupitdo řadpošesti,tozbylitakétři,apakještěposedmi,tozbylošest.nakonecjenechalnastoupitpo jedenácti a nezbyl žádný. Kolik vojáků přežilo bitvu?[ř] 24. Skupině třinácti pirátů se podařilo uloupit bednu zlatých mincí. Zkusili je rozdělit rovným dílemnatřinácthromádek,aledesetmincíjimzbylo.ozbylémincesestrhlarvačka,přiníž jednoho piráta propíchli. Přestali tedy bojovat a zkusili mezi sebe znovu rozdělit mince rovným dílem.tentokrátzbylytřimince,okteréopětzačalibojovat.vbojizahynuldalšípirátataksi ostatní opět zkusili mince spravedlivě rozdělit, tentokrát úspěšně. Kolik bylo nejméně mincí, které piráti ukradli?[ř] 25. Najděte všechna (celočíselná) řešení soustavy x 3(mod11), x 6(mod8), x 14 (mod15).[ř] 26.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 1(mod3),3x 2(mod5),3x 6(mod8).[Ř] 27.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 3(mod6),2x 1(mod5).[Ř] 28.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 4(mod6),2x 1(mod5).[Ř] 29.*Buď a 1,...,a k, n, bpřirozenáčísla,položme d=nsd(a 1,...,a k,n).dokažte,žekongruence a 1 x 1 +...+a k x k b(mod n)mářešeníprávětehdy,když d b. Zavedeme Eulerovu funkci předpisem ϕ(n)= početprvkůvintervalu1,...,n 1nesoudělnýchsn. Je-li n=p k 1 1 pk 2 2... pkm m prvočíselný rozklad čísla n, platí ϕ(n)=p k 1 1 1 p k 2 1 2... pm km 1 (p 1 1)(p 2 1)... (p m 1). 30.Najdětevšechnačísla ntaková,že ϕ(n)=18. 31.*Najdětevšechnačísla ntaková,že ϕ(n) n. 32.*Sečtěte k n ϕ(k). Věta(Eulerova). Jsou-li a,nnesoudělná,pak a ϕ(n) 1(mod n). Věta(maláFermatova). Je-li pprvočísloap a,pak a p 1 1(mod p). 33.Dokažte,že11 3 2000 +4 2002 +5 2001.[Ř] 34.Dokažte,že13 2 60 +7 30.[Ř] 35.Spočtěte121 121 mod18a127 217 mod129.[ř] 36.Spočtěte13 1313 +15 1515 mod17. 37.Spočtěte2 l mod13,kde ljesoučasnýletopočet. 38.Spočtěte2 34567 mod9.[ř] 39.Spočtěte3 33333 mod28.[ř] 40.Spočtěte3 57911 mod35.[ř] 41.Spočtěteposlednícifručísla2 32323.[Ř] 42.Spočtěteposlednídvěcifryčísla87 8583.[Ř] 43.Spočtěte a 101 mod125vzávislostina a Z.[Ř] 44.*Dokažte,žeprolibovolné nječíslo2 22n+1 +3složené.[N] 6

45.Dokažte,že5 n 9 +2n 7 +3n 3 +4nprokaždé n N.[Ř] 46.ŘeštevZrovnici x 6 +x+xy 1(mod7).[Ř] 47.**Nechťn=pq,kdep,qjsoulicháprvočísla.Dokažte,žeprokaždéanesoudělnésnmárovnice x 2 a(mod n)žádnéneboprávěčtyřiřešení.(jinýmislovy,existuje-linějakádruháodmocninaz amodulo n,pakjsoutytoodmocninyprávěčtyři.)[?] 48.Buď pprvočísloaa Z.Dokažte,žepokud a 2 1(mod p),pak a 1(mod p)nebo a 1 (mod p). 49.*Dokažte,žečíslo pjeprvočísloprávětehdy,když [Wilsonovo kritérium][n] (p 1)! 1 (mod p). 2. Základní vlastnosti oborů integrity Oboremintegrity rozumímekomutativníokruhsjednotkou,vekterémprokaždé a,b 0platí a b 0.(Tj. neexistují vlastní dělitelé nuly.) 50. Dokažte, že tělesa jsou obory integrity.[ř] 51.Dokažte,žeje-liRoborintegrity,paka)R[x],b)*R[[x]]takéoborintegrity.[N] 52.Prokterá njsou Z n oboryintegrity?[ř] 53.a)Zjistěte,zdajeokruh Z Zoboremintegrity.b)NechťR 1,...,R n jsouokruhy.zajakých podmínekjedirektnísoučinr 1 R n oboremintegrity?[ř] 54.Dokažte,ževoborechintegritylzekrátit,tj.pokud ab=acpronějaké a 0,pak b=c.[ř] 55. Dokažte, že konečné obory integrity jsou tělesa.[n] Řekneme,že adělí bvoborur(píšeme a b),pokudexistuje c Rtakové,že b=ac.alternativně,pokud br ar.řekneme,žeprvky aabjsouasociované(píšeme a b),pokud a bab a.alternativně,pokud ar=br. Prvek a se nazývá invertibilní, pokud a 1. Množina invertibilních prvků tvoří grupu s operací násobení, značí se R. Není těžké nahlédnout, že dva prvky a, b jsou asociované právě tehdy, když existuje invertibilní prvek q takový, že a=bq. Příklad. vtělesechjekaždýnenulovýprvekinvertibilní;tedy a bprokaždé a,b 0; vokruhu Zjsouinvertibilnípouzeprvky ±1;tedy a b a=±b; vokruhu Z[i]jsouinvertibilnípouzeprvky ±1a±i. vokruhur[x]jsouinvertibilníprávěpolynomystupně0,jejichžčlenjeinvertibilnívr;tj.r[x] =R. 56.Rozhodněte,zdajeprvek x+1invertibilnívoboru Z[[x]].[Ř] 57.*BuďTtěleso.Dokažte,žemocninnářada a i x i jevt[[x]]invertibilníprávětehdy,když a 0 0. Řekneme,že c=nsd(a,b)(největšíspolečnýdělitel),pokud c a, c baprokaždé dsvlastností d a, d b platí d c.řekneme,že c=nsn(a,b)(nejmenšíspolečnýnásobek),pokud c NSD(a,b)=a b.nsdansnnemusí existovat. Pokud existují, jsou určeny jednoznačně až na asociovanost. Neinvertibilní prvek a se nazývá ireducibilní,pokud a=bcimplikuje b 1nebo c 1; prvočinitel,pokud a bcimplikuje a bnebo a c. Prvočinitelé jsou ireducibilní, opak nemusí být pravdou. Příklad. v tělesech žádné ireducibilní prvky nejsou; voboru Zjsouireducibilníprávěprvky ±p, pprvočíslo; 7

v oboru C[x] jsou ireducibilní právě polynomy stupně 1; voboru R[x]jsouireducibilníprávěpolynomystupně1atypolynomystupně2,kterénemajíreálnýkořen; voboru Z[x],resp. Q[x],existujíireducibilnípolynomylibovolněvysokéhostupně,např.polynomy xp 1 x 1 pro libovolné prvočíslo p. voborech Z p[x](pprvočíslo)existujíireducibilnípolynomylibovolněvysokéhostupně. voboru Z[ 5]jeprvek2ireducibilní,alenenítoprvočinitel. [K procvičení NSD, NSN a ireducibility využijte úloh v následujících dvou sekcích.] 58.*SpočtěteNSD( i=0 ( 1)i i 2 (i 1)x i, i=0 3sin2 (πi/4)2 i+1 x i )a)voboru Q[[x]],b)voboru Z[[x]].[Ř] Obor integrity se nazývá Gaussovský, pokud každý nenulový neinvertibilní prvek lze jednoznačně rozložit na součin ireducibilních prvků. To je právě tehdy když existují NSD všech dvojic prvků a neexistuje nekonečná posloupnost vlastních dělitelů. V Gaussovských oborech jsou všechny ireducibilní prvky jsou prvočinitelé. Obor, v němž je každý ideál hlavní, nazýváme oborem integrity hlavních ideálů(zkráceně OIHI). OborintegritysenazýváEukleidovský,pokudnaněmexistujeEukleidovskánorma,tj.zobrazení ν: R N {0} splňující (0) ν(0)=0; (1) pokud a b 0,pak ν(a) ν(b); (2) prokaždé a,b 0existuje q,rtakové,že a=bq+raν(r) < ν(b). (Neformálně řečeno, v Eukleidovských oborech existuje dělení se zbytkem, ovšem podíl a zbytek nemusejí být jednoznačně určené.) Pro komutativní okruhy s jednotkou platí Eukleidovský obor = OIHI = Gaussův obor = obor integrity. V Gaussovských oborech existují NSD, v OIHI pro ně platí Bézoutova rovnost a v Eukleidovských oborech můžeme NSD i Bézoutovy koeficienty počítat pomocí Eukleidova algoritmu: VSTUP: a,b R, ν(a) ν(b). VÝSTUP:NSD(a,b)au,v RsplňujícíNSD(a,b)=ua+vb. a 0= a, u 0=1, v 0=0. a 1= b, u 1=0, v 1=1. a i+1= r, u i+1= u i 1 u iq, v i+1= v i 1 v iq,kde q,rzvolímetak,že Pokud a i+1=0,odpověz a i, u i, v i. a i 1= a iq+r a ν(r) ν(a i). (Bézoutovarovnostříkáprokaždé a,b Rexistují u,v R(Bézoutovykoeficienty)splňujícíNSD(a,b)=u a+v b.) Příklad. (1) Eukleidovské obory: libovolnétěleso,seukleidovskounormou ν(0)=0aν(a)=1prokaždé a 0; T[x]prolibovolnétělesoT,sEukleidovskounormou ν(p)=1+deg(p); Z,sEukleidovskounormou ν(a)= a ; Z[i]aněkterédalšíobory Z[ s]jsoueukleidovské,např.pro s= 1,±2,3(rozumíse 1=i),s normou ν(a+b s)= a 2 sb 2. (2) OIHI: Z[ 1+i 19 ] je OIHI, ale není Eukleidovský. 2 (3) Gaussovské obory: (Gaussovavěta)je-liRGaussovskýobor,pakR[x 1,...,x k ]jetakégaussovskýobor; Z[x]jeGaussovskýoboraneníOIHI; R[x 1,...,x k ]neníoihikdykoliv k 2. (4) Obory integrity: Je-liRoborintegrity,pakR[x 1,...,x k ]ir[[x 1,...,x k ]]jsoutakéoboryintegrity; libovolný podokruh(s jednotkou) tělesa C je obor integrity; např. Z[ 5], Z[i 3]jsouoboryintegrity,aleneGaussovské. 8

59.* Buď T těleso. Rozhodněte, zda je T[[x]] Gaussovský obor. Je Eukleidovský?[N][Ř] 60.** Najděte obor integrity, v kterém existují NSD všech prvků, ale přesto není Gaussovský.[N] 61.Najdětevoboru Z[x]ideál,kterýneníhlavní.[Ř] 62.BuďRoborintegrity.NajdětevoboruR[x,y]ideál,kterýneníhlavní.[Ř] 63. Buď T těleso. Dokažte, že T[x] je Eukleidovský obor. 64. Uvažujte obor Z[x]. Proč zobrazení f 1+deg f není Eukleidovská norma? Uveďte protipříklad na Bezoutovu rovnost.[ř] 65.BuďRoborintegrityaν: R N {0}zobrazenísplňující (1) ν(a)=0právětehdy,když a=0; (2)prokaždé a,b R,pokud ν(a) ν(b),pakbuď a b,neboexistují u,v Rtaková,že 0 < ν(au+bv) < ν(a). Dokažte,žeRjeOIHI. 66.**Dokažte,že Z[ 1+i 19 2 ] je OIHI. Použijte předchozí cvičení.(tento obor není eukleidovský, ale dokázat to je poměrně složité.) Poznamenejme, že sám Eukleides uvažoval problém nalezení NSD v geometrické formě, jako následující úlohu: Jsoudánydvěúsečky.Najdětenejhrubšíspolečnou měrnoujednotkutěchtoúseček.například,jsou-lidányúsečky délek 6 a 14, největší jednotkou je 2. Eukleidův algoritmus lze provést geometricky, bez jakéhokoliv použití čísel: kratšíúsečkunanesemedodelšítolikrát,kolikrátsetamvejdeavdalšímkrokuuvažujemekratšíúsečkuatocotam zbylo. Krok i: Krok i+1: 67. Nechť jsou dány dvě úsečky. Dokažte, že se Eukleidův algoritmus pro tyto úsečky zastaví právě tehdy, když je poměr jejich délek racionální. V tom případě je výsledkem jejich nejdelší společná měrnájednotka. 3. Obory polynomů 68.Zjistěte,zajakýchpodmínekvZ[x]platí x m 1 x n 1.[Ř] 69.Spočtětevoboru Z[x]zbytekpodělenípolynomů x n 1ax m 1.[Ř] 70.Spočtětevoboru Z[x]NSDpolynomů x n 1ax m 1.[Ř] 71. * Zjistěte, zda platí následující tvrzení pro libovolný obor integrity R a f R[x]: jestliže x 1 f(x n ),pak x n 1 f(x n ).[N][Ř] 72.*Dokažte,žeprožádnén >2neexistujínenulovépolynomyf,g,h Z[x]splňujícíf n +g n = h n. V řešení můžete využít Velkou Fermatovu větu, která říká, že neexistují žádná nenulová celá čísla s touto vlastností.[ř] Prvek asenazývákořenpolynomu f,pokud f(a)=0.ekvivalentně,pokud x a f. 73.Určetetakové a C,pronežmápolynom f=2x 6 x 5 11x 4 x 3 +ax 2 +2ax+8 C[x] kořen2.[ř] 74.NajdětepolynomvZ[x],mezijehožkořenyjsoučísla 1 2, ia2 i.[ř] 75.Najdětepolynom fv Z[x]stupně3splňující x 1 fa f(2)=f(3)=f(4).[ř] 76.[VOID] 77.NajdětekomutativníokruhRapolynom f R[x]stupně2svíceneždvěmakořenyvR.[Ř] 9

78. Uvažujte nekomutativní těleso kvaternionů H a najděte polynom f H[x] stupně 2, který má víceneždvakořeny.[ř] 79.*Spočtětedeterminantmatice A=(a ij ) n i,j=1,kde a ij= u j 1 i a u 1,...,u n R.Návod:uvažujte determinantjakopolynomnadproměnnými u 1,...,u n.[tzv.vandermondůvdeterminant][n][ř] Na zjišťování existence racionálního kořene celočíselného polynomu lze použít následující jednoduché kritérium. Tvrzení. Nechť f= n i=0 aixi Z[x], a n 0.Má-lipolynom f racionálníkořen r s čísla),pak r a 0a s a n. 80. Dokažte kritérium existence racionálního kořene.[n] 81. Najděte všechny racionální kořeny polynomů (a)2x 3 x 2 +3, (b)12x 6 +8x 5 85x 4 +15x 3 +55x 2 +x 6, (c)4x 7 16x 6 +x 5 +55x 4 35x 3 38x 2 +12x+8. [Ř] V oboru polynomů nad tělesem (1) polynomy stupně nula jsou invertibilní; (2) polynomy stupně 1 jsou vždy ireducibilní; (3) polynom stupně 2 nebo 3 je ireducibilní právě tehdy, když nemá kořen; (4) mohou existovat ireducibilní polynomy stupně 4 a více, které nemají kořen. (kde r,sjsounesoudělnácelá Polynomf= a ix i nazývámeprimitivní,pokudnsd(a 0,...,a n)=1.je-lif Z[x]primitivní,pakjeireducibilní v Z[x]právětehdy,kdyžjeireducibilnívQ[x]. Věta(Eisensteinovokritérium). Buď f= n i=0 aixi primitivnípolynomvz[x].pokudexistujeprvočíslo psplňující p a 0, p a 1,..., p a n 1a p 2 a 0,pakjepolynom fireducibilnívz[x]. 82.Jepolynom2x 3 +4ireducibilnívoborech C[x], R[x], Q[x], Z[x], Z 5 [x]?[ř] 83.Jsoupolynomy x 3 +3x 2,4x 2 1ax 7 +2ireducibilnívoboru Z[x]?[Ř] 84. Najděte všechny ireducibilní polynomy a) v C[x], b) v R[x].[Ř] 85.Najdětevšechnyireducibilnípolynomya)vZ 2 [x]stupně 5,b)vZ 3 [x]stupně 4. 86.*Buď pprvočíslo.dokažte,žeje-li agenerátorgrupy Z p,pakjepolynom x p x+aireducibilní v Z p [x].[?][n] 87.Zjistěte,zdaplatínásledujícítvrzeníprokaždé f Q[x]aa Q:jestliže fjeireducibilní,pak f(x+a)jeireducibilní.[ř] 88.*Dokažte,žeprokaždéprvočíslo pjepolynom xp 1 x 1 ireducibilnívz[x].[n] 89.* Dokažte Eisensteinovo kritérium.[n] 90.Rozložtepolynom x 4 x 2 2nasoučinireducibilníchprvkůvoborech C[x], R[x], Q[x], Z 5 [x], Z 3 [x].[ř] 91.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoboru Z[x]následujícípolynomy: x 4 +1, x 4 +x 2 +1, x 4 +x 3 +x 2 +x+1,2x 2 +9x+10.[Ř] 92.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoborech Z[x]aQ[x]následujícípolynomy:2x 3 + 4x 2 2x+4,2x 3 +3x 2 +2x+3.[Ř] 93.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůpolynom x 5 +3x 3 +x+3voboru Z 5 [x].[ř] 94. Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoboru Z 3 [x]následujícípolynomy: x 3 + x 2 +2, x 5 +x 2 x+1, x 6 +1.[Ř] 95.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůpolynom2x 5 +x 4 2x 3 x 2 4x 2voborech Z[x] a Z 5 [x].[ř] 10

96.*Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůa)polynom x 15 1voboru Z 2 [x],b)polynom x 8 1 v Z 3 [x].[ř] Připomeňme, že obory T[x], T těleso, jsou Eukleidovské, pro počítání NSD a koeficientů z Bézoutovy rovnosti tedy lze použít Eukleidův algoritmus. Druhá možnost je porovnat ireducibilní rozklady obou polynomů. Máme-li neeukleidovský obor R[x](jako např. Z[x]), můžeme použít následující rovnost: NSD R[x] (f,g)=nsd R (pc(f),pc(g)) NSD Q[x] (pp(f),pp(g)). ZdeQznačípodílovétělesooboruRapro h= n i=0 aixi serozumí pc(h)=nsd(a 0,...,a n)app(h)= n i=0 a i pc(h) xi. 97.SpočtěteNSD(x 4 +2x 3 +x 2 +2x,2x 5 +x 4 +x+2)akoeficientyzbézoutovyrovnostivoboru Z 3 [x].[ř] 98.Spočtětea)NSD(x 4 +3x 2 +4x,2x 2 2x 4),b)NSD(x 4 +1,x 3 1),c)NSD(x 4 3x 2 2x+ 4,x 3 x 2 x+1)voboru Q[x].[Ř] 99.SpočtěteNSD(2x 3 +1,x 4 x 3 +2x 2 x 1)voborech Q[x]aZ 3 [x].[ř] 100.Spočtětea)NSD(x 4 2x 3 +x 2 +1,x 3 x+2),b)nsd(x 5 +x 3 +x 2 2x+2,x 6 +x 5 +2x 4 + x 3 +2x 2 2x 1)voboru Z 5 [x].[ř] 101.SpočtěteNSD(x 6 x 4 x 2 +1,x 4 +3x 3 +3x 2 +3x+2)voborech Q[x]aZ 5 [x].[ř] Derivacípolynomu f= n i=0 aixi rozumímepolynom n 1 f = (i+1)a i+1x i. Pro k 0definujeme k-touderivaciindukcíjako f (0) = fa f (k) =(f (k 1) ). 102.BuďRkomutativníokruhsjednotkou, f,g R[x]an N.Dokažte (1)(f+g) = f +g ; (2)*(f g) = f g+g f; (3)(f n ) = n f n 1 f. i=0 103.*BuďRkomutativníokruhsjednotkou, f,g R[x]an N.Dokažte(f g) (n) = n i=0( n i) f (i) g (n i) [Leibnitzovaformule].[N] Prvek a se nazývá n-násobný kořen polynomu f, pokud (x a) n p a (x a) n+1 p. Věta. BuďRoborintegritycharakteristiky n, a R,0 f R[x]apředpokládejmedegf < nnebo n=0.pak aje n-násobnýmkořenempolynomu fprávětehdy,když f (k) (a)=0provšechna k=0,...,n 1,alenikolivpro k=n. 104.Zjistětenásobnostkořene 1polynomu x 5 ax 2 ax+1 Q[x]vzávislostinaparametru a Q.[Ř] 105.Najdětevšechna a,b Qtaková,žepolynom(x 1) 2 dělívq[x]polynom ax n+1 +bx n 1. [Ř] 106.Najdětevšechna a,b Qtaková,žepolynom x 5 +ax 3 +bmádvojnásobnýkořenvq.[ř] 107. Zjistěte násobnost (a)kořene1vpolynomu x 4 +2x 3 +x 2 +3x+3 Z 5 [x]; (b)kořene6vpolynomu x 4 +3x 3 x 2 +3x 1 Z 7 [x]; (c)kořene1vpolynomu x 4 +x 3 +2x+2 Z 3 [x]. 11

[Ř] 108.Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 6 +7x 5 +18x 4 +25x 3 +25x 2 +8x 12 v Q.[Ř] 109.Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 4 x 3 x 2 +x+1vc.[ř] 110.*Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 6 +6x 5 +15x 4 +20x 3 +12x 2 4v Q.[N] 111.Polynom x 4 +2ix 3 +x 2 +2ix+1 C[x]mávCdvojnásobnýkořen.Svyužitímtétovlastnosti jej rozložte na ireducibilní činitele.[?] Pomocí série cvičení si odvodíme tzv. Cardanovy vzorce na výpočet kořenů polynomů druhého, třetího a čtvrtého stupně. Všechny úlohy řešte v oboru komplexních čísel. 112.Odvoďtevzorecprokořenypolynomu ax 2 +bx+c.[n] 113.Buď f= a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Navrhnětesubstitucitak,abyvzniklpolynomsnulovým koeficientem u(n 1)-té mocniny.[ř] Tartagliůvpostupvýpočtukořenůpolynomu x 3 +px+q. 114. Všimněte si, že libovolná u, v splňují Dokažte, že řešením soustavy je dvojice (u v) 3 +3uv(u v)+(v 3 u 3 )=0. u= 3 3uv= p, v 3 u 3 = q q+ D q+ D, v= 3, 2 2 kde D=q 2 + 4 27 p3,adedukujte,že x=u vjekořenemdanéhopolynomu. 115.Ověřte,žedruhéřešenítétosoustavy,totiždvojice u= 3 q D 2, v= 3 q D 2,dávástejný kořen x. 116.Buď ω= e 2πi 3 = 1 2 + 3 2 ikomplexnítřetíodmocninazjedné.dokažte,že jsou právě všechny kořeny daného polynomu. x 0 = u v, x 1 = ωu ω 2 v, x 2 = ω 2 u ωv 117.Najdětekořenypolynomu x 3 6x 9.[Ř] 118.Najdětekořenypolynomu x 3 15x 4.[Ř] Ferrarihopostupvýpočtukořenůpolynomu x 4 +px 2 +qx+r. 119. Napište si rovnici ve tvaru x 4 +2ax 2 +a 2 = px 2 qx r+2ax 2 +a 2. Levástranajerovna(x 2 + a) 2.Najděte atakové,abyipravástranabylajakopolynomdruhou mocninou. Poté obě strany odmocněte a dedukujte vzorec. 120.Najdětekořenypolynomu x 4 +x 2 +4x 3.[Ř] 12

4. Číselné obory V této sekci bude s značit číslo, jež není dělitelné druhou mocninou prvočísla. Definujme zobrazení Prokaždé u,v Z[ s]platí (1) ν(u)=1 ujeinvertibilní; (2) ν(u v)=ν(u) ν(v). Tedypokud u v,pak ν(u) ν(v). 121. Dokažte obě předchozí tvrzení.[ř] ν: Z[ s] N {0}, a+b s a 2 sb 2. 122.Spočtěteprvkygrup Z[i], Z[i 2] arozložtetytogrupynasoučincyklickýchgrup.[ř] 123.Všimnětesi,žegrupa Z[ 2] jenekonečnáanajdětevníprveknekonečnéhořádu.[ř] 124.**Jegrupa Z[ 2] konečněgenerovaná?[?][n] 125.RozložtevZ[i]nasoučinireducibilníchprvkůnásledujícíčísla:4+2i,5i,1 5i,6,11.[Ř] 126.*Dokažte,žečíslo a+bi, a,b 0,jeireducibilnívoboru Z[i]právětehdy,kdyžje a 2 +b 2 prvočíslo.[n][ř] 127.Dokažte,žepokudje pprvočísloap 3(mod4),pakjeireducibilnívoboru Z[i].[Ř] 128.**Dokažte,žepokudje pprvočísloap 1(mod4),pakneníireducibilnívoboru Z[i].[N] 129.RozložtevZ[i 2]nasoučinireducibilníchprvkůnásledujícíčísla:1+3i 2,5,2+2i 2.[Ř] 130.Ověřte,žeprvky2, 5+1, 5 1jsouireducibilnívoboruintegrity Z[ 5]aže2 5±1. Protože4=2 2=( 5+1) ( 5 1),obor Z[ 5]neníGaussovský. 131.Svyužitímpředešléúlohynajdětevoboru Z[ 5]a)ireducibilníprvek,kterýneníprvočinitel, b)prvky a,b,proněžneexistujensd(a,b).[ř] 132.Dokažte,žeobor Z[i 3]neníGaussovský.[Ř] Proněkterá sjeuvedenézobrazení νeukleidovskounormounaoboru Z[ s].např.vz[i]lzenaléztprvky q,rz podmínky(2) takto: buď z= a b C přesnýpodílvcaoznačme qnejbližšíprvek Z[i]kprvku z(tj.takový,že z q jeminimální;je-lijichvíce,pak libovolnýznich)ar=a bq. 133.Dokažte,žeprávědefinovaná q,rsplňují a=bq+ raν(r) < ν(b).(tedyže νjeskutečně Eukleidovská norma na Z[i].)[Ř] 134. Dokažte,žeobory Z[i 2]aZ[ω]jsouEukleidovské.Zde ω=e 2πi/3 značíkomplexnítřetí odmocninu z jedné.[ř] 135.*Dokažte,žeobory Z[ 2]aZ[ 3]jsouEukleidovské.[N] 136.SpočtětevZ[i]NSDaNSNčísela)3+i,4+2i,b)3+6i,12 3i,c)5+3i,13+18id) 85,1+13i.[Ř] 137.Zjistěte,zdajemnožina {a Z[i]:3+6i aa12 3i a}a)ideál,b)hlavníideáloboru Z[i]. Pokud ano, najděte generátor.[ř] 138.Zjistěte,zdajemnožina {a Z[i]:4 ν(a)a7 3i a}a)ideál,b)hlavníideáloboru Z[i]. Pokud ano, najděte generátor.[n][ř] Některé diofantické rovnice(rovnice v oboru celých čísel) lze úspěšně řešit využitím teorie dělitelnosti v oborech Z[ s]. 13

139.*ŘeštevZrovnici x 2 +1=y 3.Návrhpostupu:rozložte x 2 +1=(x+i)(x i)auvažujte ireducibilní rozklad tohoto čísla v oboru Z[i].[N][Ř] 140.*ŘeštevZrovnicix 2 +2=y 3 (vizpředchozícvičení;ovšemrozložtex 2 +2=(x+ 2i)(x 2i) auvažujteireducibilnírozkladtohotočíslavoboru Z[i 2]).[Ř] 141.**ŘeštevZrovnici x 2 +4=y 3.[Ř] 142.**ŘeštevZrovnici x 2 +49=y 3. 14

III. Grupy 1. Příklady a základní vlastnosti GrupounazývámealgebruG=(G,,,e)typu(2,1,0)splňujícíprokaždé a,b,c G (1) a (b c)=(a b) c, (2) a e=e a=a, (3) a a = a a=e. Grupasenazýváabelovská,pokudjeoperace komutativní,tj. a b=b aprokaždé a,b G.Algebry(A, )splňující podmínku(1) se nazývají pologrupy, algebry(a,, e) splňující podmínky(1) a(2) se nazývají monoidy. Zobrazení L a,r a: G Gdefinovaná L a(x)=a x, R a(x)=x asenazývajílevá apravá translaceprvku avgrupě G.Jsoutopermutacena G.Naopak,pokudalgebra(G,,e)splňujepodmínky(1)a(2)avšechnyjejí translacejsoupermutace,pakexistuje(jednoznačněurčená)operace taková,žeg=(g,,,e)jegrupa. Příklad. (1) Abelovské grupy: (Aditivní)grupacelýchčísel Z=(Z,+,,0). Cyklickégrupy Z n=({0,1,...,n 1},+ mod n, mod n,0). Pro libovolné těleso T lze uvažovat aditivnígrupu(t,+,,0)a multiplikativnígruput =(T {0},, 1,1). (Připomeňmetělesa Q,R,Cakonečnátělesa Z p.) Obecněji,prolibovolnýkomutativníokruhRlzeuvažovatgrupuinvertibilníchprvkůR. Zvlášťzajímavýmpřípademjegrupa Z nsnosnoumnožinouvšechčísel k {1,...,n 1}nesoudělných s n,operacínásobenímodulo nasjednotkovýmprvkem1.zeulerovyvětyplyne,že a = a ϕ(n) 1 mod n. Grupakomplexníchjednotek({z C: z =1},, 1,1)ajejípodgrupy.Mezinimijmenujmenapř. grupy C nsestávajícízevšechkořenůpolynomu x n 1atzv.Prüferovu p-grupu C p = k=1 C p k sestávajícízevšechkomplexníchčísel zsplňujících z pn =1pronějaké n. (2) Neabelovské grupy: Symetrická grupa S X=({g: gjepermutacena X},, 1,id), kde značískládánípermutací, 1 invertovánípermutacíaididentitu.je-li X = {1,...,n},pak místos XpíšemeS n.mezijejímipodgrupamizmiňme alternujícígrupua nvšechsudýchpermutací; dihedrálnígrupud 2nvšechsymetriípravidelného n-úhelníka; nejrůznější grupy symetrií geometrických těles, automorfismů grafů a dalších struktur,... Obecná lineární grupa GL n(t)=({a:ajeregulárnímatice n nnadtělesemt},, 1,E), kde značímaticovénásobení, 1 invertování(regulárních)maticaejednotkovoumatici.mezijejími podgrupami zmiňme např. speciálnílineárnígrupusl n(t)všechmaticsdeterminantem1; ortogonálnígrupugo n(t)všechortogonálníchmatic,tj.takových Acosplňují AA T = E. (Nad tělesem R to odpovídá maticím, jejichž řádky, resp. sloupce, jsou ortonormální vektory vzhledem k standardnímu skalárnímu součinu.) KvaternionovágrupaQ={±1,±i,±j,±k}snásobenímdaným i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij= ji=k, ik= ki= j, jk= kj= i. 15

Symetrické a lineární grupy jsou v jistém smyslu charakteristické příklady, neboť každou grupu lze vnořit do nějaké symetrické grupy(cayleyova reprezentace) a každou konečnou grupu lze vnořit do nějaké obecné lineární grupy nad libovolným tělesem(lineární reprezentace). n grupysnprvky 1 Z 1 2 Z 2 3 Z 3 4 Z 4, Z 2 Z 2 5 Z 5 6 Z 6, S 3=D 6 7 Z 7 8 Z 8, Z 2 Z 4, Z 2 Z 2 Z 2, D 8, Q... p Z p p 2 Z p 2, Z p Z p 2p Z 2p, D 2p Tabulka obsahuje seznam všech malých grup a několik obecných výsledků; zde p značí libovolné prvočíslo. Každá grupasnprvkyjeizomorfníprávějednézgrupuvedenýchvpravémsloupci. 143. Rozhodněte, zda pro danou množinu A a danou operaci(označme ji zatím ) existují operace akonstanta etak,aby(a,,,e)bylagrupa.kteréztěchtogrupjsouabelovské? (1) A=Q,operace. (2) A=Q,operace. (3) A=Q,operace definovaná a b= a b. (4) A=Q{0},operace definovaná a b=a bpro a >0aa b= a b (5) A=Z,operace definovaná a b=a+( 1) a b. (6) A=M n (Q),operace+. (7) A=M n (Q),operace. (8) A=GL n (Z),operace. (9) A=P(X),operace. (10) A=P(X),operace. (11) A=P(X),operace definovaná U V =(U V) (V U). Zde P(X)značímnožinuvšechpodmnožindanémnožiny X.[Ř] pro a <0. 144.BuďG=(G,,,e)grupaaa G.DefinujmenovouoperacinaGpředpisem x y= x a y. Dokažte,žeexistujíoperace akonstanta utak,aby(g,,,u)bylagrupa.[ř] 145.BuďG=(G,,,e)grupaaa,b,c G.Spočtětevšechny x Gtakové,že c ((a 2 x) b )= c b 2.[Ř] 146.Dokažte,že Z njeskutečněgrupa.najdětea)prvek10 1 vgrupě Z 47,b)prvek20 1 vgrupě Z 97.[N][Ř] Řádem grupy G se rozumí velikost množiny G. Řádemprvku avgrupěgserozumínejmenší n >0takové,že a n = e,pokudtakové nexistuje;vopačném případějeřád.řádprvkuseznačí a.je-ligrupagkonečná,pakřádkaždéhojejíhoprvkudělí G. 147.Dokažte,ževkaždégrupěsudéhořáduexistujeprvekřádu2. 148.Dokažte,žekaždágrupa,vekterémajívšechnyprvkyřád1nebo2,jeabelovská. 149.*BuďG=(G,,,e)grupaaajejíprvekřádu mn,kde m,njsounesoudělné.pakexistuje b,c Gtakovéže a=b ca b dělí ma c dělí n.[n][ř] 16

150.BuďG=(G,,,e)grupaaa,bjejíprvkykonečnéhořádusplňující a b=b a.a)dokažte, že a bjekonečnéhořádua a b dělínsn( a, b ).b)*jsou-li a, b nesoudělné,dokažte,že a b = a b. PodalgebrygrupyG=(G,,,e)senazývajípodgrupy.Jinýmislovy,je-li H Gpodmnožinaobsahujícíprvek e asplňujícíprokaždé a,b Hpodmínky a Ha a b H,pakgrupuH=(H,,,e)nazývámepodgrupougrupy G(operacemi se rozumí restrikce původních operací na množinu H); též říkáme, že množina H tvoří podgrupu grupy G.PíšemeH G.PodgrupyGa{e}nazývámenevlastní. Věta(Lagrangeova). Je-li H podgrupa konečné grupy G, pak H dělí G. 151. Dokažte,žepodmnožina H GtvořípodgrupugrupyG=(G,,,e)právětehdy,když a b Hprokaždé a,b H.[Ř] 152.Dokažte,žekonečnápodmnožina H GtvořípodgrupugrupyG=(G,,,e)právětehdy, když a b Hprokaždé a,b H. 153. Je pravda, že prvky konečného řádu vždy tvoří podgrupu dané grupy?[ř] 154. Je pravda, že prvky konečného řádu vždy tvoří podgrupu dané abelovské grupy?[ř] 155.BuďG=(G,,,e)grupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,žea) A Btvořípodgrupu,b) A Btvořípodgrupuprávětehdy,když A Bnebo B A;c) AB= {a b:a A,b B}tvoří podgrupuprávětehdy,když AB= BA. 156.*BuďGkonečnágrupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,že A B = A B AB. 157.BuďGgrupavelikosti p k, pprvočíslo.dokažte,žegobsahujeprvekřádu p.[ř] NejmenšípodgrupagrupyG=(G,,,e)obsahujícídanoumnožinu X Gsenazývápodgrupagenerovaná množinou Xaznačíse X G.Platí Rozumíse x k = x... x } {{ } k 158. Dokažte předchozí tvrzení. X G = {x k 1 1 x k 2 2... x kn n : x 1,...,x n X, k 1,...,k n Z}. pro k >0, x k = x }... x {{ } pro k <0ax 0 = e. k 159.BuďG=(G,,,e)grupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,že A B ={a 1 b 1... a n b n : a 1,...,a n A, b 1,...,b n B}. 160. Dokažte, že řád prvku je roven řádu podgrupy, kterou generuje. 161. Dokažte, že podgrupy dané grupy tvoří úplný svaz. Musí být distributivní? Musí být modulární? Pokud ano, dokažte, pokud ne, uveďte protipříklad.[ř] 162. Dokažte, že normální podgrupy dané grupy tvoří úplný svaz. Musí být distributivní? Musí být modulární? Pokud ano, dokažte, pokud ne, uveďte protipříklad.[ř] BuďG=(G,,,e)aH=(H,, 1,1)grupy.Zobrazení ϕjehomomorfismusg H,pokudprokaždé a,b G platí ϕ(a b)=ϕ(a) ϕ(b). Pojmy monomorfismus(neboli vnoření), epimorfismus, izomorfismus, endomorfismus a automorfismus se používají stejně jako pro obecné algebry. Definujeme jádro homomorfismu ϕ předpisem obraz homomorfismu ϕ předpisem Ker(ϕ)={a G:ϕ(a)=1}; Im(ϕ)={b H: b=ϕ(a)pronějaké a G}. 17

Jádro tvoří(normální) podgrupu grupy G a obraz tvoří(ne nutně normální) podgrupu grupy H. Homomorfismus je prostý právě tehdy, když je jeho jádro triviální. 163.BuďG,G 1,...,G n abelovskégrupyaf i :G i G, i=1,...,n,homomorfismy.dokažte,že zobrazení je také homomorfismus. f:g 1... G n G, (a 1,...,a n ) f 1 (a 1 )... f n (a n ) 164.BuďG=(G,,,e)grupa.Dokažte,žezobrazení G G G,(x,y) x y,jehomomorfismus právě tehdy, když je G abelovská. 165.Dokažte,žezobrazení x x jeautomorfismusgrupyg=(g,,,e)právětehdy,kdyžjeg abelovská. 166.Dokažte,žezobrazení x x xjeendomorfismusgrupyg=(g,,,e)právětehdy,kdyžje G abelovská. 167.BuďG=(G,,,e)grupaaψ:G Gzobrazení.Dokažte,že ψ(x y)=ψ(y) ψ(x)pro každé x,y Gprávětehdy,kdyžexistujeendomorfismus ϕgrupygtakový,že ψ(x)=ϕ(x )pro všechna x G.[N] Izomorfismem rozumíme bijektivní homomorfismus. Řekneme, že grupy G a H jsou izomorfní, značíme G H, pokud existuje izomorfismus G H. Tvrzení. BuďG=(G,, 1,1)abelovskágrupa,A,Bjejípodgrupyapředpokládejme,že A B= {e}aab= G. PakG A B. 168. Dokažte předchozí tvrzení. 169.BuďAaBnormálnípodgrupygrupyG.Dokažte,že AB= {ab:a A,b B}tvořínormální podgrupugrupyg.dáledokažte,žepokud A B= {1}aAB= G,pakG G/A G/B.Návod: Uvažujtehomomorfismus x (xa,xb).obtížnéjedokázat,žejetotozobrazenína.ktomuse hodípozorování,žeprokaždé x Gexistuje b Btakové,že xa=baaanalogickypro xb. 170.Dokažte,žegrupa Z 2 k nenícyklickáprožádné k >2.[N] Chceme-li dokázat, že dané dvě grupy nejsou izomorfní, hodí se nalézt tzv. invariant(vlastnost zachovávaná izomorfismem), který v jedné grupě platí a v druhé nikoliv viz konec úvodní kapitoly sbírky. Jedním z nejužitečnějších invariantů je v případě grup existence a počet prvků daného řádu, viz následující cvičení. 171.Nechť ϕ:g Hjeizomorfismusgrup.Dokažte,žeprokaždé a Gplatí a = ϕ(a).[n] 172. Najděte dvě neizomorfní grupy, které mají stejný počet prvků všech řádů.[ř] 173.* Najděte dvě konečné neizomorfní grupy, které mají stejný počet prvků všech řádů.[?] 174. Dokažte, že grupy uvedené v tabulce malých grup jsou navzájem neizomorfní. 175. Dokažte, že neexistují jiné dvou, tří a čtyřprvkové grupy(až na izomorfismus).[n] 176.* Dokažte, že neexistují jiné šestiprvkové grupy(až na izomorfismus).[n] 177.** Dokažte, že neexistují jiné osmi a devítiprvkové grupy(až na izomorfismus). Prvky a,bgrupyg=(g,,,e)senazývajíkonjugované,pokudexistujeprvek c Gtakový,že a=c b c. 178.Dokažte,žerelacedefinovaná x y x,yjsoukonjugované,jeekvivalencenamnožině G. Jakvypadávpřípadě,žejeGabelovská?[Ř] 18

2. Cyklické a abelovské grupy 179.Spočtětea)řádprvku60vgrupě Z 64,b)řádprvku18vgrupě Z 37,c)řádprvku11vgrupě Z 122,d)řádprvku7vgrupě Z 17.[Ř] 180.Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya) Z 16,b) Z 16. 181.Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya) Z 24,b) Z 24. 182.Prokaždé n N { }najdětevgrupě C prvekřádu n.[ř] 183.*Dokažte,žepokud k n,pakgrupa Z n obsahujeprávě ϕ(k)prvkůřádu k,kde ϕjeeulerova funkce. 184.Sečtěte k n ϕ(k).[n][ř] 185.Rozhodněte,zdamnožina {z C: z =1}tvořípodgrupugrupya) C,b) C.[Ř] 186.Rozhodněte,zdairacionálníčíslatvořípodgrupugrupya) R,b) R.[Ř] 187. Dokažte, že libovolné dvě vlastní podgrupy grupy Q mají netriviální průnik. Platí toto tvrzení iprogrupu R?[Ř] 188.Dokažte,že Q= { 1 n : n N}.Existujenějakákonečnámnožinagenerátorůtétogrupy?[Ř] 189.Spočtěteprvkypodgrup 28,63 Z a 15,18,40 Z.[Ř] 190.Spočtěteprvkypodgrup 18,33,69 Q, 3 4 Q, 3 4,2 7 Qa 2 3,2 5 Q.[Ř] 191.Spočtěteprvkygrup i C, 1 2 + 3 2 i C a 2,i C.[Ř] 192.Dokažte,že Z n = a právětehdy,kdyžjsou a,nnesoudělné.[n] 193.*Užitímpředchozíhocvičenídokažte,žegrupa Z n obsahujeprávě ϕ(k)prvkůřádu k,pro každé k n. 194.Užitímpředchozíhocvičenísečtěteřadu k n ϕ(k).[ř] 195.* Spočtěte všechny podgrupy grupy Z. 196.Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 8, Z 12 a Z 54. 197.Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 5, Z 7 a Z 8. 198.Dokažte,žepodgrupa az n = {axmod n:x=0,...,n 1}grupy Z n jegenerovanáprvkem NSD(a,n).[N] 199.Užitímpředchozíhocvičenídokažte,žepodgrupygrupy Z n jsouprávě az n, a n. 200. Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy Z Z? x 3x; x x+3; x x 3 ; x 1; x 0 [Ř] 201.Kteráznásledujícíchzobrazeníjsouhomomorfismy C R? x 3 x ; x x +3; x x 3 ; x 1; x 1/ x [Ř] 202. Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy? Z 4 C, a i a ; Z 5 C, a i a ; Z C, a i a [Ř] 203. Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy? [Ř] Z 3 Z 5 Z 5, (a,b) b a ; Z 3 A 4, a (124) (132) a (142) 19

204.Rozhodněte,prokteráceláčísla njezobrazení z z n endomorfismusgrupy Q.Prokterá n jetotozobrazeníprostéaprokterájena?[ř] 205.Rozhodněte,zdajezobrazení ϕ:z Z Z Q,(x,y,z) 2 x 3 y 12 z homomorfismus.pokud ano, spočtěte jeho jádro a obraz.[ř] 206.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z Z,b) Z Z n,c) Z n Z.[Ř] 207.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z 15 Z 6,b) Z 6 Z 15 c)*z m Z n.[ř] 208.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z 2 Z 2 Z 4,b) Z 4 Z 2 Z 2. 209. Najděte a) všechny endomorfismy grupy Q, b) všechny spojité endomorfismy grupy R, c)* nějaký nespojitý endomorfismus grupy R.[N][Ř] 210.Existujeprostýhomomorfismus Z pprvoč. Z p?[ř] 211.Dokažte,že ϕ n : Z n C, k cos(2πk/n)+isin(2πk/n)jeprostýhomomorfismus.coje jeho obrazem?[ř] 212.Dokažte,že C R RaC R + S,kde R + značípodgrupu R sestávajícízkladných číselasznačípodgrupu C sestávajícízčíselsabsolutníhodnotou1.[ř] 213.Dokažte,žegrupy Z mn a Z m Z n jsouizomorfníprávětehdy,kdyžjsou m,nnesoudělné.[n] 214.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: Z, Z Z, Q.[Ř] 215.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: Q, Q, Q + (jakopodgrupa Q ).[Ř] 216.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: R, R, R + (jakopodgrupa R ).[Ř] 217.*Dokažte,žegrupy Q + a(z[x],+,,0)jsouizomorfní(zde Z[x]značímnožinuvšechceločíselných polynomů).[n][ř] 218.*BuďHpodgrupagrupy Rtaková,ževkaždémomezenémintervalureálnýchčíselsenachází pouzekonečnémnožstvíprvkůgrupyh.dokažte,žeh Z.[N][Ř] GrupaGsenazývácyklická,je-ligenerovanájednímprvkem a,tj.g= a.každácyklickágrupajeizomorfní buďgrupě Z(vpřípadě a = ),nebogrupě Z n(pokud n= a < ). 219.Dokažte,ženekonečnácyklickágrupajeizomorfnígrupě Zakonečná n-prvkovágrupě Z n. 220.Rozhodněte,zdajsougrupy Z 8, Z 14, Z 16 cyklické.pokudano,najdětenějakýgenerátor. 221. Dokažte, že grupa Q není cyklická, ale každá její konečně generovaná podgrupa je cyklická. 222.Rozhodněte,zdajekaždákonečnápodgrupagrupy C cyklická.[ř] 223.Dokažte,žegrupa Z m Z n jecyklickáprávětehdy,kdyžjsou m,nnesoudělné.[n] 224.* Dokažte, že každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.[n] 225.BuďGabelovskágrupataková,žekaždájejípodgrupajecyklická.MusíbýtGcyklická?[Ř] 226. Dokažte, že konečná n-prvková cyklická grupa má právě jednu podgrupu velikosti k pro každé k n. 227.BuďG=(G,,,e)konečná n-prvkovácyklickágrupaaa,b G.Dokažte,žepokud k a= k bpronějaké knesoudělnésn,pak a=b. 228.*BuďG=(G,,,e)= a konečná n-prvkovácyklickágrupa.dokažte,žeg= k a právě tehdy,kdyžje knesoudělnésn. 229.BuďG=(G,,,e)= a cyklickágrupa.dokažte,žea)endomorfismygrupygjsouprávě všechna zobrazení x k x, k Z; b) automorfismy grupy G jsou právě všechna zobrazení x k xtaková,žeg= k a. 20

Věta.BuďGalespoňdvouprvkovákonečnáabelovskágrupa.Existujíprvočísla p 1,...,p mapřirozenáčísla k 1,...,k m taková, že G Z p k 1 1 Z p k 2 2 Z p km m. Čísla p 1,...,p ma k 1,...,k mjsouurčenajednoznačněažnapořadí. 230. Dokažte Základní větu aritmetiky jako důsledek Klasifikace konečných abelovských grup. 231.BuďGkonečnáabelovskágrupaapprvočíslotakové,že p G.Dokažte,žegrupaGobsahuje prvek řádu p. 232.Rozložtenásledujícígrupynasoučincyklickýchgrup: Z 5, Z 12, Z 24, Z 25, Z 21, Z 33.[Ř] 233.Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 11 a Z 24. 234.Najděte m ntaková,že Z m Z n.[ř] 235.Existuje ntakové,že Z njeizomorfnía) Z 7,b) Z 8,c) Z 9?[?] 236.*Dokažte,žepro k >1je Z 2 k Z 2 k 2 Z 2.[N][?] 237.**Využijtevlastnost Z p Z p 1 adokažte,žeproprvočíslo p >2platí Z p k Z p k 1 Z p 1. [N][?] 3. Permutační grupy Permutací na množině X rozumíme bijekci(vzájemně jednoznačné zobrazení) X X. Pro permutace π, σ na X definujemeoperace, 1, idpředpisy π σ: x π(σ(x)), π 1 : x ten(jediný)prvek ysplňující π(y)=x, id:x x. Označíme-li S X množinuvšechpermutacínamnožině X,pakS X=(S X,, 1,id)jetzv.symetrickágrupana X. Zápisem π k rozumímepermutaci π } π π {{ }. k-krát Cyklusvpermutaci πjeposloupnost x 1,...,x k navzájemrůznýchprvkůmnožiny Xsplňující π(x 1)=x 2, π(x 2)= x 3,..., π(x k )=x 1.Rozklademnacyklyserozumízápis (x 11 x 12... x 1k1 )(x 21 x 22... x 2k2 )...(x m1 x m2... x mkm ), kde x i1,x i2,...,x iki jsounavzájemrůznécykly, i=1,...,m.cyklydélky1sezezápisuzpravidlavynechávají. Permutace se zapisují také v maticovém tvaru ( ) x1 x 2... x n, π(x 1) π(x 2)... π(x n) kde X= {x 1,...,x n}.napříkladpermutacinamnožině ( ) {1,2,3,4,5,6}definovanoupředpisem1 3,2 6,3 4, 1 2 3 4 5 6 4 1,5 5,6 2lzezapsat nebo(134)(26). 3 6 4 1 5 2 Transpozicí rozumíme permutaci tvaru(x y), kde x, y X, x y. Každá permutace na konečné množině je složením(konečně mnoha) transpozic. Permutace se nazývá sudá, pokud se skládá ze sudého počtu transpozic, lichá v opačném případě(dá se dokázat, že tato vlastnost nezáleží na zvoleném rozkladu). Znaménko sudé permutace je 1, liché permutace 1, značí se sgn(π). Platí sgn(π σ)=sgn(π) sgn(σ) a sgn(π 1 )=sgn(π). Znaménko permutace na n-prvkové množině X lze spočítat též takto: sgn(π)=( 1) n početcyklůvπ =( 1) početinverzívπ, kdeinverzívπserozumídvojice(i,j)taková,že i < ja π(i) > π(j)(předpokládámenějakélineárníuspořádánína X). 21

OznačmeS n=(s n,, 1,id)grupuvšechpermutacínamnožině {1,...,n},A njejípodgrupusudýchpermutacía D 2njejípodgrupupermutací,kterézachovávajípravidelný n-úhelníksvrcholy1,...,n(tj.d 2nsestáváznotočení a nosovýchsymetrií). ( ) 1 2 3 4 5 6 7 238. Rozložte na cykly permutace a(234) (125) (3617).[Ř] 4 3 2 7 1 6 5 239.ŘeštevS 5 rovnici(132) π (352)(14)=(24)(15).[Ř] 240.Najdětevšechnypermutace π S 7 takové,žea) π 2 =(123)(456),b) π 4 =(1234567), c) π 2 =(1234).[Ř] 241.*Charakterizujtevšechnypermutace π S n takové,žeexistuje σ S n tak,aby π= σ 2.[Ř] 242.Buď(a 1 a 2... a m )a(b 1 b 2... b n )dvacykly,kterémajíspolečnýprávějedenprvek.dokažte, že jejich složení je také cyklus. 243.Buď π=(a 1 a 2... a n ) S n.najdětevšechnypermutace σtakové,že π σ= σ π. 244.*Buď π=(a 1 a 2... a m ) S n,1 m n.dokažte,žepokud π σ= σ π,pak σ= π k τ pronějaké k Napermutaci τtakovou,že τ(a i )=a i provšechna i=1,...,m. 245. *Nechť π S 26.Dokažte,žeexistujípermutace ρ,σsestávajícíztřinácticyklůdélky2 splňující π=ρ σprávětehdy,když πmásudýpočetcyklůkaždédélky.[jdeotzv.rejewského větu, užitou při řešení Enigmy; číslo 26 zde zastupuje počet písmen německé abecedy.] ( ) 1 2... n 246.Označme π= a σ= n n 1... 1 současný letopočet.[ř] ( 1 2 3 4 5 2 5 4 3 1 ).Spočtěte π r a σ r,kde rje 247.Buď π S n libovolnápermutace.popište,cojenejmenší k >0takové,že π k jeidentita(tj. řád πvgrupěs n ).[Ř] 248.Obsahujea)grupaS 8 prvekřádu15?b)grupas 9 prvekřádu16?c)grupaa 7 prvekřádu 10?d)grupaA 8 prvekřádu6?pokudano,uveďtepříklad.[ř] 249.Jakýjenejvětšímožnýřádvgrupěa)S 4,b)S 7,c)S 10?Uveďtepříkladytakovýchpermutací! [Ř] 250.Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya)D 12,b)A 4,c)*D 2n.[N][Ř] 251.*ObsahujegrupaS n víceprvkůlichéhořádu,nebosudéhořádu?[?] 252.* Dokažte oba vzorce na výpočet znaménka permutace. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 253.Najděte a,btak,abypermutace byla lichá.[ř] 4 7 a 6 b 1 5 254.Uvažujtepermutaci π S n danouvzorcem π(i)=((i+1)mod n)+1.rozložtetutopermutaci na cykly a spočtěte její znaménko pomocí obou uvedených vzorců.[ř] 255. Spočtěte znaménko permutací ( 1 2 3 4 5 6... 3n 2 3n 1 3n a) 2 3 1 5 6 4... 3n 1 3n 3n 2 ( 1 2 3... n n+1 n+2... 2n b) 2 4 6... 2n 1 3... 2n 1 ). ), [Ř] 22

256. Buď ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 σ= 3 4 7 2 1 9 8 6 5 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 τ= 5 2 1 4 3 8 7 6 9 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 υ= 8 1 4 6 3 7 5 9 2 Spočtětepermutace(σ 120 τ 3 ) 17 υ 23 a(υ 23 σ) 134 τ 4 aspočtěteznaménkopermutace(σ 3 τ 17 ) 18 σ 10 (υ 9 τ) 2. 257.Rozhodněte,zdaexistujepermutace σ S 9 taková,že(σ (123)) 2 (σ (234)) 2 =(1234). [Ř] 258.Dokažte,žejekaždápermutaceřádu20vS 10 lichá. 259.*Charakterizujteřešitelnéaneřešitelnépozicehry 15(nápověda:znaménkopermutace). Permutace π,σjsoukonjugovanévgrupěs n(tj.existujepermutace ρ S ntaková,že π=ρ σ ρ 1 )právě tehdy, když mají stejný počet cyklů každé délky. 260.Označme π=(123)(4568)aσ=(82143)(75).spočtěte π σ π 1.[Ř] 261.Označme π=(874312)(56)aσ=(134)(2957)(86).spočtěte π 2 σ π 2.[Ř] 262.Jsoupermutace(123)a(124)konjugovanévgrupěS 4?Jsoukonjugovanétakévgrupě A 4?Pokudano,naleznětepříslušnoupermutaci,kterájekonjuguje.[Ř] 263.Jsoupermutace(13)(286)(47)a(128)(37)(54)konjugovanévgrupěS 8?Jsoukonjugované takévgrupěa 7?Pokudano,naleznětepříslušnoupermutaci,kterájekonjuguje.[Ř] ( ) 1 2 3 4 5 6 7 264. Napište permutaci jako složení transpozic.[ř] 2 5 1 7 3 4 6 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 265. Napište permutaci jako složení a) transpozice, b) trojcyklů. 2 1 5 7 3 4 6 266. Dokažte, že každou permutaci lze rozložit na transpozice.[ř] 267. Dokažte, že každou sudou permutaci lze rozložit na součin trojcyklů.[ř] Tvrzení, že každá permutace lze napsat jako složení transpozic a každá sudá jako složení trojcyklů, lze přeložit do řečialgebrytak,žegrupas njegenerovanámnožinouvšechtranspozicagrupaa nmnožinouvšechtrojcyklů. 268.Dokažte,žeS 4 = (12),(23),(34) as n = (12),...,(n 1 n). 269.Dokažte,žeS 4 = (12),(13),(14) as n = (12),...,(1 n). 270.Dokažte,žeS 4 = (12),(1234) as n = (12),(12... n). 271.Dokažte,žeS 4 (13),(1234). 272.Dokažte,žeS n = (12... n 1),(12... n). 273.*Buď T S n množina n 1transpozic.OznačmeG T grafsmnožinouvrcholů {1,...,n}, kdevrcholy i,jspojujehranaprávětehdy,když(i j) T.Dokažte,žeS n = T právětehdy,když G T jestrom. 274.Dokažte,žeA 4 = (123),(124) aa n = (123),(124),...,(12n). 275.Dokažte,žeA n = (123),(12... n) pro nlichéaa n = (123),(23... n) pro nsudé. 276.Dokažte,žeD 10 = (12345),(14)(23) ad 2n = (12... n),π,kdeπjelibovolnázosových symetrií.(uvažujted 2n jakogrupuautomorfismů n-úhelníkasvrcholyoznačenýmipostupně1,2,..., n.)[ř] 23 ), ), ).

277.*Buď G= (a 1 a 2... a m a m+1 ),(a 1 a 2... a m a m+2 ),...,(a 1 a 2... a m a n ) Sn, kde1 m < n 1.Dokažte,žeG=S n pro mlichéag=a n pro msudé. 278.Obsahujegrupaa)S 4,b)A 4 šestiprvkovoupodgrupu?[ř] 279.Rozhodněte,zdaa)všechnyosovésymetrie,b)všechnaotočenítvořípodgrupugrupyD 2n. [Ř] 280.NajdětevšechnypodgrupygrupS 3,A 4,D 8 akvaternionovégrupyq.[ř] 281.Dokažte,žesgnjehomomorfismusS n Z 3.(Uvažujte 1 2(mod3).) 282.Dokažte,želibovolnýautomorfismusgrupyS n zachováváznaménkopermutace. 283. BuďG=(G,,,e)grupa.Dokažte,že ϕ:g S G, a L a jevnoření(tj.prostýhomomorfismus).zde L a : x a xznačílevoutranslaciprvku a.[tzv.cayleyovareprezentace grup.] 284.*Nechť n=2 k m, k 0, mliché.najdětevnořenía)d n D 2 k D m,b)d 2 k D n,c) D m D n.[n][?] 285.**BuďGgrupaaa G.VnořteGdonějakégrupyHtak,abyvHexistovalprvek btakový, že b 2 jerovenobrazu a.[n] 286.Dokažte,žejepodgrupa (1234)(5678),(1537)(2846) S8 izomorfníkvaternionové grupěq.[n] AutomorfismydanéstrukturyX(algebry,grafu,uspořádanémnožiny,apod.)tvořípodgrupugrupyS X,značíse Aut(X). AutomorfismemgrafuG=(V,E)rozumímepermutaci ϕ S V takovou,že {x,y} E {ϕ(x),ϕ(y)} E. AutomorfismemuspořádanémnožinyX=(X, )rozumímepermutaci ϕ S Xtakovou,že x y ϕ(x) ϕ(y). 287.Dokažte,žemnožinavšechautomorfismůdanéalgebryAskutečnětvořípodgrupugrupyS A. Analogické tvrzení dokažte pro automorfismy grafů a uspořádaných množin. 288. Vypište prvky grup automorfismů tříprvkových grafů, domečku, prasátka,* Petersenova grafu. S kterými malými grupami jsou izomorfní? 289. Vypište prvky grup automorfismů čtverce, pětiúhelníka a obecně pravidelného n-úhelníka(tj. grupyd 8,D 10,resp.D 2n ). 290. Najděte graf na alespoň dvou vrcholech, který má triviální grupu automorfismů.[ř] 291.Vypišteprvkygrupa)Aut(N, ),b)aut(z, ).[Ř] 292.* Uvědomte si, že Aut(R, ) obsahuje právě všechny striktně rostoucí spojité reálné funkce. Spočtěte prvky grupy Aut(Q, ).[N][Ř] 293. Vypište prvky grupy všech symetrií čtyřstěnu, krychle,* osmistěnu a** dvanáctistěnu. 294.Dokažte,žegrupasymetriíčtyřstěnujeizomorfnísS 4,krychlesZ 2 S 4 a**dvanáctistěnu s Z 2 A 5. 295. Vypište prvky grupy všech otočení čtyřstěnu, krychle,* osmistěnu a** dvanáctistěnu. 296.Najdětevšechnyautomorfismygrupya) Z,b) Q,c) Z 2 Z 2,d) Z 4 Z 2,e)*S 3.Skterými známými grupami jsou izomorfní?[ř] 297.Dokažte,žeAut(Z n ) Z n.[ř] 24

298.Dokažte,žepokudjsoum,nnesoudělné,pakZ mn Z m Z n.(tototvrzenísedáinterpretovat jakoaut(z m Z n ) Aut(Z m ) Aut(Z n ).) 299.* Dokažte, že pokud jsou řády grup G, H nesoudělné, pak Aut(G H) Aut(G) Aut(H). 300.Dokažte,žeAut((Z p ) d ) GL(d,Z p ). 301.BuďG=(G,,,e)grupa, a Gaoznačme ψ a zobrazení G G, x a x a.dokažte,že je ψ a automorfismusgrupyg. Zobrazení ψ a, a G,zpředchozíhocvičenísenazývajívnitřníautomorfismy grupyg.tvořípodgrupugrupy Aut(G), značí se Inn(G). 302. Dokažte, že Inn(G) je skutečně podgrupa grupy Aut(G). 303.NajdětevšechnyautomorfismygrupyS 4.SekterouznámougrupoujeAut(S 4 )izomorfní? [?][Ř] 304.**Dokažte,žepro n 6jsouvšechnyautomorfismyS n vnitřní.návod:???[?] 305.**Dokažte,žeS 6 máautomorfismus,kterýnenívnitřní.návod:???[?] 306.* Buď G neabelovská grupa. Dokažte, že Inn(G) nemůže být konečná cyklická.[?] 307.*BuďGgrupa.Dokažte,žeAut(G)nemůžebýtcyklickálichéhořádu.[?][N] 4. Maticové a geometrické grupy Připoměňme,žeGL n(t)značímultiplikativnígrupuregulárníchmatic n nnadtělesemta SL n(t)jejípodgrupumaticsdeterminantem1; GO n(t)jejípodgrupuortogonálníchmatic; SO n(t)=sl n(t) GO n(t). 308.BuďTtěleso.Rozhodněte,zdaa)SL n (T) GL n (T),b)GO n (T) GL n (T),c)GO n (T) SL n (T).[Ř] 309.Dokažte,žeGL 2 (Z 2 )= ( 01 10 ),(01 11 ).Jetatogrupacyklická?[Ř] 310.Dokažte,žeGL n (Q)= T ij (a),e i (a): i,j=1,...,n, a Q,kdeT ij (a)jematicesjedičkami nadiagonále, anapozici ijanulamijinde,ae i (α)jematicesjedničkaminadiagonálesvyjímkou pozice ii,kdejeprvek aajindenuly. 311.*Dokažte,žeSL 2 (Z)= ( 0 1 1 0 ), ( 0 1 1 1 ). 312.*Dokažte,žeSL n (Z)= T ij : i,j=1,...,n,kde T ij jematicesjedičkaminadiagonálea napozici ijanulamijinde. 313. OznačmeGgrupuvšechregulárníchhorníchtrojúhelníkovýchmatic n nnad Qauvažujme zobrazení ϕ přiřazující matici A diagonální matici se stejnými prvky na diagonále. Je ϕ homomorfismusg GL n (Q)?[Ř] 314.BuďTtěleso.Dokažte,že ϕ:s n GL n (T), π ( δ i,σ(j) ) n i,j=1,kde δ u,v=1pokud u=va δ u,v =0vopačnémpřípadě,jeprostýhomomorfismus.Dokažte,žeobraztohotohomomorfismuje podgrupao n (T).[Tzv.lineárníreprezentacegrup.] 315.Najdětevnořenígrupy C dogl 2 (R).[Ř] 316.*NajdětevnořeníkvaternionovégrupyQa)doGL 2 (C),b)doGL 4 (R).Rozšiřtetatozobrazení na celou multiplikativní grupu nekomutativního tělesa kvaternionů.[n][ř] 317.Dokažte,žeGL 2 (Z 2 ) S 3. Izometrií Eukleidovskéhoprostoru R n rozumímezobrazení ϕtakové,že ϕ(x) = x.příkladyizometriíjsou otočení(rotace), posunutí(translace) a osové symetrie(reflexe). 25