XXVI. ASR '00 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 6-7, 00 Paper 39 Reprezentace problému rozvrhování zaázové výroby disjuntivním grafem MAJER, Petr Ing., ÚAI FSI VUT, Technicá, 6669 Brno, majer@n.vutbr.cz Abstrat: Práce se zabývá problémem rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling). Problém rozvrhování je složitý ombinatoricý problém, jehož řešení se používají především heuristicé metody, onrétně simulované žíhání, tabu search a geneticé algoritmy. Při použití heuristicých metod je důležitá volba reprezentace dat. V tomto příspěvu je detailně popsána reprezentace dat pomocí disjuntivního grafu a její použití ve spojení s výše uvedenými metodami. Na záladě naměřených hodnot na vzorových příladech je porovnána reprezentace pomocí disjuntivního grafu s reprezentací pomocí preferenčního seznamu. Klíčová slova: rozvrhování zaázové výroby, disjuntivní graf, heuristicé metody, job shop scheduling Úvod Jednou z nezbytných podmíne zvyšování efetivnosti výroby je využívání matematicých modelů a metod pro podporu řízení, a to zvláště na operativní úrovni. Na této úrovni je důležitým problémem zejména tvorba výrobních rozvrhů. Problém rozvrhování je dán onečnou množinou výrobů, teré je potřeba vyrobit, a omezeným počtem výrobních strojů, teré jsou dispozici. Výroba aždého výrobu se sládá z operací a aždé operaci je přidělen určitý stroj. Pořadí provádění operací u aždého výrobu je dáno technologicým postupem a není možné jej měnit. Poud pořadí strojů smí být pro aždý výrobe různé, mluvíme o rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling). Ve speciálním případě, dy je pořadí strojů u všech výrobů stejné, mluvíme o rozvrhování proudové výroby (flow shop scheduling). Úolem je najít optimální rozvrh, to jest optimální pořadí výrobů na jednotlivých strojích. Jao riteria vality rozvrhu je možné použít celovou dobu trvání výroby, délu prostojů strojů, ztráty spojené s nesplněním prací v požadovaných termínech, stupeň rozpracovanosti apod. Obecně patří problémy rozvrhování mezi NP-složité problémy. To znamená, že lasicými exatními algoritmy je možné řešit pouze úlohy malého rozsahu a rozsáhlejší úlohy musejí být řešeny pomocí heuristicých metod. Často se používají stochasticé heuristicé metody založené na principech geneticých algoritmů (genetic algorithms), simulovaného žíhání (simulated annealing) a zaázaného prohledávání (tabu search). Obecně jsou tyto metody popsány napřílad ve [Kvasniča 997, Reeves 993] a na deterministicý problém rozvrhování výroby jsou apliovány např. ve [Krishna 995, Nowici 996, Yamada 995]. Rozvrhování zaázové výroby Nyní se zaměříme na problém rozvrhování zaázové výroby. V lasicé obecné podobě byl tento problém popsán ve [Blazewicz 996]. Máme dánu množinu prací (jobů) J = { J,..., J n } a množinu strojů (machines) M = { M,..., M m }. Je potřeba vyonat všech n jobů. Každý job se sládá z určitého, obecně nestejného, počtu operací. Doby trvání operací u různých dvou - -
jobů mohou být různě dlouhé a doba trvání něteré operace může být i nulová. Pořadí operací u aždého jobu je dáno technologicým postupem a nelze jej měnit. Množina všech operací všech jobů je O = { O,..., O o }. Doba trvání -té operace je p. Pro provedení aždé operace je zapotřebí jednoznačně přiřazený stroj z množiny M. Na jednom stroji lze současně provádět nejvýše jednu operaci jednoho jobu a provádění operace nelze přerušit. Vyonání aždého jobu tedy znamená provedení všech jeho operací v zadaném pořadí na daných strojích. Přiřazení jaýcholiv proveditelných pořadí π operacím na všech strojích z M se nazývá rozvrh (schedule). Uáza taového rozvrhu pro n = 3 joby a m = 3 stroje je na obrázu. Obráze Rozvrh pro pro n = 3 joby a m = 3 stroje Úolem rozvrhování je optimalizovat rozvrh π tj. nalézt nejvhodnější pořadí úloh na daných strojích. Jao riterium vality rozvrhu se nejčastěji volí čas doončení všech úloh (maespan). Označme symbolem r nejdříve možný termín začátu operace -té operace a c termín doončení -té operace. Platí: c r + p () Úolem je potom minimalizovat největší z těchto hodnot: Minimalizovat Cmax ( π ) = max{ c}. () o Často je pro aždý job zadán termín jejího doončení T i. V taovém případě je naším úolem nalezení rozvrhu, terý minimalizuje ztráty spojené s nedodržením termínů, teré mohou být vyjádřeny napřílad tato: n Minimalizovat [ zi 0, clast( i) Ti} ] i= max{, (3) de Last (i) je funce, terá vrací index poslední operace v i-tém jobu a z i je oeficient ztráty spojené s opožděným doončením i-tého jobu. V případě systému výroby JIT (just in time) nám vadí též případné předčasné doončení jobů, teré je napřílad spojeno se ztrátami spojenými s nutností sladování předčasně doončených výrobů: n Minimalizovat [ zi 0, clast( i) Ti} + si max{0, Ti clast( i) }] i= max{, (4) - -
de s i je oeficient ztráty spojené s předčasným doončením i-tého jobu. Pro optimalizaci se používají heuristicé metody ve spojitosti s vhodnou reprezentací dat. 3 Reprezentace problému rozvrhování Pod pojmem reprezentace dat rozumíme vytvoření určitého způsobu zápisu posloupnosti operací na strojích do určitého druhu seznamu, terý nám umožní provádění výpočtů na počítačích a optimalizaci řešení pomocí heuristicých metod. V průběhu posledních něolia let bylo navrženo něoli způsobů reprezentace problému rozvrhování zaázové výroby [Cheng 996, Šeda 999]. Nejpoužívanější jsou reprezentace pomocí disjuntivního grafu a reprezentace pomocí preferenčního seznamu. Preferenční seznam je seznam, terý se sládá z m řetězců. Každý řetězec přísluší jednomu stroji a obsahuje čísla operací, prováděná na tom stroji. Tyto řetězce nepopisují pořadí operací na strojích, ale jsou to pouze preference operací. Sutečný rozvrh je pa odvozen z preferenčního seznamu prostřednictvím simulace, terá analyzuje stavy operací čeajících ve frontách na své stroje. Poud je nutné rozhodnout o přednosti operací na něterém stroji, vybere se nejdříve ta operace, terá je v preferenčním seznamu první na řadě. Výhodnější než reprezentace preferenčním seznamem se vša z hledisa použití heuristicých metod jeví reprezentace pomocí disjuntivního grafu, proto zde bude popsána podrobněji. Disjuntivní graf G je definován množinou uzlů V, množinou onjuntivních hran C a množinou disjuntivních hran D, G = ( V, C D). Uzly reprezentují operace všech jobů. Množina uzlů V obsahuje navíc dva speciální uzly, počáteční 0 a oncový uzel *. Tyto speciální uzly jsou ohodnoceny nulami, ostatní uzly jsou ohodnoceny dobami trvání odpovídajících operací. Orientované onjuntivní hrany vyjadřují zadané pořadí operací v rámci jednotlivých jobů. Dále jsou zde hrany vycházející z počátečního uzlu 0 a směřující do uzlů příslušných prvým operacím jobů a hrany vycházející z posledních operací jobů a směřující do oncového uzlu *. Disjuntivní hrany vyjadřují vzájemné pořadí operací, teré musejí být provedeny na stejném stroji. Na začátu algoritmu jsou disjuntivní hrany neorientované. Množina disjuntivních hran tvoří m ompletních podgrafů, z nichž aždý přísluší jednomu stroji, de m je počet strojů. Přílad reprezentace problému se třemi joby a třemi stroji disjuntivním grafem představuje obráze. Obráze Disjuntivní graf Stanovit výrobní rozvrh znamená rozhodnout o pořadí operací na jednotlivých strojích, tedy stanovit orientaci disjuntivních hran. Množina S všech orientovaných disjuntivních hran se nazývá úplná selece. Úplná selece určuje přípustný rozvrh π pouze v případě, že výsledný graf G( π ) = ( V, C S) je acylicý. V tom případě se S nazývá acylicá úplná selece. Celová doba zpracování všech úloh je pa dána délou nejdelší cesty z počátečního uzlu do oncového uzlu grafu. Tuto cestu nazýváme riticou cestou u (π ). - 3 -
Máme-li vytvořen acylicý orientovaný graf, můžeme určit riticou cestu. Než tomu přistoupíme, můžeme ještě graf zjednodušit. Všimněme si, aždý uzel grafu G (π ), s výjimou uzlů 0 a *, má nejvýše dva bezprostřední následníy a nejvýše dva bezprostřední předchůdce. Důležité je, že libovolná operace má na stejném stroji nejvýše jednu bezprostředně předcházející operaci a nejvýše jednu bezprostředně následující operaci. Protože platí trojúhelníová nerovnost, můžeme z grafu vypustit ty disjuntivní hrany, teré nespojují bezprostředně po sobě následující operace (viz obráze 3). Obráze 3 Zjednodušený orientovaný disjuntivní graf Kostra algoritmu nalezení riticé cesty vypadá tato:. Položíme r = 0 0 a přečíslujeme všechny uzly v grafu ta, že poud existuje přímá cesta z uzlu i do uzlu j, pa i < j. Metoda pro přečíslování uzlů je popsána v [Klapa 996].. Uzly procházíme vzestupně podle indexů a počítáme nejdříve možné termíny začátů operací. Nejdříve možný termín začátu j-té operace je roven r = max{ r + p }, de - 4 - j P( j) P ( j) je množina uzlů, z nichž do uzlu j vstupují orientované hrany. 3. Déla riticé cesty C ( π ) je rovna termínu nejdříve možného začátu posledního uzlu max r *. Termín nejpozději možného once posledního uzlu je * r* d =, protože p = * 0. 4. Nyní procházíme uzly sestupně podle indexů a počítáme nejpozději možné termíny uončení operací. Nejpozději možný onec j-té operace je roven d = min { d p }, de j N ( j) N ( j) je množina uzlů, do terých z uzlu j vstupují orientované hrany. 5. Prodlevy na aždém uzlu vypočítáme w = d ( r + p ). Uzly, pro teré je w = 0, leží na riticé cestě. 4 Metody řešení založené na ódování disjuntivním grafem Množina všech operací O může být přirozeně rozdělena do m podmnožin O, m, de aždá z nich odpovídá množině operací prováděných na -tém stroji. Pořadí operací na -tém stroji může být definováno jao permutace π, terá se vytvoří pouze z operací příslušné množiny O. Výrobní rozvrh π je tedy definován taé jao množina permutací π = { π {,..., m}} operací na strojích,..., m, pro terou je disjuntivní graf acylicý. Problém rozvrhování zaázové výroby můžeme znovu formulovat jao hledání proveditelného výrobního rozvrhu π, terý minimalizuje účelovou funci. Obvyle se používá účelová funce (). Hodnota této funce se rovná délce riticé cesty v grafu G (π ). Víme, že riticá cesta u (π ) v grafu G (π ) je posloupnost riticých operací u ( π ) = ( u,..., uv ), de v je počet operací na riticé cestě. Kriticá cesta je rozdělena do podsevencí nazývaných riticé bloy B h. Kriticé bloy jsou maximální podsupiny operací riticé cesty, teré obsahují operace prováděné na stejném stroji. Kriticá cesta u(π ) je tedy posloupnost riticých bloů u( π ) = ( Bh h (,..., g)), de g je počet riticých
bloů na riticé cestě u (π ). Definice riticých bloů je důležitá, protože pomocí ní se lze definovat operátory heuristicých metod. Při nasazení heuristicých metod v problémech rozvrhování musíme řešit následující otázy:. ja nalézt počáteční proveditelný rozvrh,. ja definovat vztah sousedství, 3. ja nalézt proveditelný rozvrh s co nejlepším ohodnocením. První a druhý úol je společný pro mnoho heuristicých metod. Třetí úol závisí na algoritmu onrétní heuristicé metody. Pro počáteční rozvržení disjuntivních hran v grafu lze použít tento algoritmus: Delarace : Nechť Q 0 je množina všech již rozvržených operací. Nechť Q je množina všech rozvrhovaných operací. Nechť Q je množina všech nerozvržených operací. Množiny Q 0, Q a Q jsou disjuntní a jejich sjednocením zísáme množinu všech operací O. Účelem algoritmu je nalezení počátečních rozvržení posloupností operací π = { π,..., π m }. Inicializace : Posloupnosti π,...,π m jsou na počátu algoritmu prázdné. Množina Q 0 je prázdná. Množina Q obsahuje první operace všech jobů. Množina Q obsahuje všechny ostatní operace. Nejdříve možný termín zahájení je pro všechny operace r = 0, pro o. Doud Q ) není prázdné, opauj ( Q {. V množině Q najdeme operaci c = min{ c O Q c = r + p }. Nechť ' O ', jejíž termín doončení - 5 - c ' je nejmenší O' ' M je stroj, na terém je operace prováděna. Posloupnost z množiny π přiřazenou stroji M ' označme π '.. Zavedeme množinu K (onflitní množina). Nechť množina K obsahuje všechny operace z Q, teré se provádějí na stroji M ' a jejichž nejdříve možný termín zahájení je menší než nejdříve možný termín doončení operace O '. Konflitní množina K = { O stroj( O ) = M ' r < c'}. 3. Náhodně vybereme operaci O '' z množiny K a rozvrhneme ji. Rozvržení operace O' ' v tomto případě znamená přiřazení jejího indexu na onec posloupnosti operací π '. 4. Operaci O '' vypustíme z množiny Q a zařadíme ji do množiny Q 0. 5. Pro všechny operace z množin Q Q, teré jsou prováděny na stroji M ' přepočítáme nejdříve možné termíny zahájení r = c' '. 6. Do množiny Q přemístíme z Q následující operaci v rámci jobu právě rozvržené operace O ''. } Sousedství lze definovat jao množinu rozvrhů, teré lze zísat apliováním operátoru přechodu do jiného rozvrhu. Bylo popsáno mnoho způsobů [Blazewicz 996], ja měnit orientace disjuntivních hran v grafu, aby se co nejefetivněji prohledal prostor řešení. Pro metody, de se v aždém rou prohledává celé sousedství (metoda loálního hledání, tabu search), je výhodné použití sousedství S : vzájemná výměna blízo hranice bloů na jediné riticé cestě [Nowici 996]. Uvažujeme jedinou libovolně zvolenou riticou cestu
u (π ) v grafu G (π ), terá se sládá z riticých bloů B,..., Bg. Sousední rozvrhy zísáme, poud vyměníme první dvě (a poslední dvě) operace v aždém blou B,..., B g a to v aždém blou, terý se sládá nejméně ze dvou operací. V prvním blou vyměníme poslední dvě operace a analogicy v posledním blou vyměníme pouze první dvě. Pro metody, de se v aždém rou neprohledává celé sousedství atuálního řešení, je výhodné sousedství definovat šířeji než u předchozích metod. Důsledem toho je důladnější prohledání prostoru řešení. Pro metodu simulované žíhání a mutaci u geneticého algoritmu se osvědčil způsob volby sousedství S : posun náhodného riticého uzlu na riticé cestě na úplný začáte nebo onec v riticém blou [Blazewicz 996]. Pro tato definované operátory přechodu do jiného rozvrhu S, S bylo doázáno, že poud výchozí graf je acylicý, potom taé aždý vznilý graf je acylicý, tedy jemu odpovídající rozvrh je proveditelný. Při použití heuristicých metod (simulovaného žíhání, zaázaného prohledávání a geneticých algoritmů) je řešením, teré v tomto problému optimalizujeme (u GA chromozómem) samotný disjuntivní graf. Sousedství atuálního řešení může být definováno jedním ze způsobů uvedených výše a účelovou funcí (u GA fitness) je napřílad podle () déla riticé cesty v grafu. Vlastní principy použitelných heuristicých metod jsou shodné s metodami, teré se používají i pro jiné ombinatoricé problémy a jsou popsány např. v [Reeves 993]. 5 Výsledy experimentů Na záladě počítačového programu bylo provedeno srovnání reprezentací pomocí disjuntivního grafu (DG) a preferenčního seznamu (PS). Testy byly provedeny na vzorových příladech [Beasley 996] se známou minimální délou rozvrhu. V tabulce jsou zaznamenány průměrné a nejlepší dosažené hodnoty účelové funce () z 0-ti spuštění algoritmů při použití optimalizačních metod: SA - simulované žíhání, TS - tabu search, GA - geneticý algoritmus. Tabula : Srovnání ódování disjuntivním grafem (DG) a preferenčním seznamem (PS). přílad metoda ódování nejlepší Průměr Fischer a Thomson 6x6 SA PS 76 89 soubor: ft06.prb TS PS 59 59 rozsah: 6 jobů, 6 strojů SA DG 55 55 optimální hodnota: 55 TS DG 55 55 doba optimalizace: 60s GA DG 55 56 Lawrence 0x5 SA PS 99 967 soubor: la03.prb TS PS 769 796 rozsah: 0 jobů 5 strojů SA DG 630 645 optimální hodnota: 597 TS DG 597 607 doba optimalizace: 0s GA DG 64 646 Adams, Balas a Zawac 0x0 SA PS 930 049 soubor: abz5.prb TS PS 787 87 rozsah: 0 jobů 0 strojů SA DG 67 75 optimální hodnota: 34 TS DG 47 68 doba optimalizace: 300s GA DG 385 40-6 -
U heuristicých metod byly použity následující specifiace parametrů: SA: počáteční teplota = 0000, součinitel snižování teploty = 0.9, způsob volby sousedství: S. TS: déla zaázaného seznamu = 7, způsob volby sousedství: S, strategie prohledávání sousedství: výběr nejlepšího řešení z celého sousedství. GA: veliost populace = 50, způsob selece: binární turnajová selece, způsob řížení: více-roové řížení [Yamada 995]. Z porovnání účinnosti způsobů ódování mezi disjuntivním grafem a preferenčním seznamem je patrné, že metody používající ódování disjuntivním grafem jsou ve všech případech účinnější. Metody založené na ódování preferenčním seznamem jsou sice schopny pro svou jednoduchost za stejnou dobu vyonat řádově více svých roů, ale nejsou schopny dosáhnout optima i u poměrně jednoduchých příladů. I přes svou časovou náročnost lze metody ódované disjuntivním grafem upřednostnit před metodami používajícími ódování preferenčním seznamem. Vzhledem současnému přeotnému vývoji výpočetních systémů lze metody založené na ódování disjuntivním grafem doporučit i pro řešení rozsáhlejších problémů rozvrhování zaázové výroby. 6 Závěr Tento příspěve se zaměřuje na řešení problému rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling) pomocí moderních heuristicých metod: simulovaného žíhání, zaázaného prohledávání a geneticého algoritmu. Detailně je zde popsán problém rozvrhování zaázové výroby a reprezentace jeho dat disjuntivním grafem. Jsou zde též popsány související algoritmy potřebné pro implementaci problému na počítači (algoritmus nalezení riticé cesty, algoritmus vytvoření počátečního proveditelného rozvrhu). Z porovnání metod používajících ódování disjuntivním grafem a jinými lasicými způsoby (např. preferenčním seznamem) vyplývá, že jasně výonnější jsou metody používající ódování disjuntivním grafem. Tato práce je taé východisem pro naši budoucí práci, terá se zaměří na studium neurčitostí, teré se často vysytují v praticých apliacích problému rozvrhování zaázové výroby. Jsou to neurčitosti v délách trvání operací a neurčitosti v termínech doončení jobů. Tyto neurčitosti lze modelovat pomocí teorie fuzzy množin. Pro implementování neurčitých veličin do disjuntivního grafu bude zřejmě nutné použít fuzzifiovanou metodu hledání riticé cesty a onstruovat vhodné účelové funce pro apliaci heuristicých metod. Poděování. Problém je řešen v rámci vědeco-výzumného záměru CEZ: J/98: 600009 Netradiční metody studia omplexních a neurčitých systémů. 7 Literatura BEASLEY, J. E. OR library. Technical report, The Management School Imperial College, London, 996. http://www.mscmga.ms.ic.ac.u/pub/jobshop.txt. BLAZEWICZ, J. et al. Scheduling Computer and Manufacturing Processes. Springer-Verlag, Berlin, 996. 49 p. CHENG, R., GEN M. & TSUJIMURA, Y. A Tutorial Survey of Job-Shop Scheduling Problems Using Genetic Algorithms - I. Reprezentation. Computers ind. Engng Vol.30, No 4, pp. 983-997, 996. KLAPKA, J., DVOŘÁK, J. & POPELA, P. Metody operačního výzumu. VUT Brno, 996. KRISHNA, K., GANESHAN, K. & JANAKI R. D. Distributed Simulated Annealing Algorithms for Job Shop Scheduling. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 5. No. 7, 995. pp. 0-09. KVASNIČKA, V. a ol. Úvod do teórie neuronových sietí. Bratislava, IRIS 997. - 7 -
NOWICKI, E. & SMUTNICKI, C. A Fast Taboo Search Algorithm for the Job Shop Problem. Management Science, Vol. 4, No. 6, 996. pp. 797-83. REEVES, C.R. (ed.). Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. Blacwell Scientific Publication, Oxford, 993. ŠEDA, M., DVOŘÁK, J. & BURDA, J.: Scheduling Job Shops Using Genetic Algorithms and Local Search Framewor, In Proceedings of the 6th International Conference on Soft Computing MENDEL '999, Brno, Czech Republic, 999, pp. 3-38. YAMADA, T. & NAKANO, R. 995. A Genetic Algorithm with Multi-Step Crossover for Job Shop Scheduling Problems. In: Proceedings of the International Conference GALESIA '95, Sheffield, pp. 46-5. - 8 -