Vysoká škola báňská Tehniká univerzia Osrava MODULOVANÉ SIGNÁLY učební ex Zdeněk Maháček, Pavel Nevřiva Osrava
Reenze: Ing. Jiří Kozian, Ph.D. RNDr. Miroslav Liška, CS. Název: Modulované signály Auor: Zdeněk Maháček, Pavel Nevřiva Vydání: první, Poče sran: 67 Náklad: Sudijní maeriály pro sudijní obory Měřií a řídií ehnika, Elekronika, Elekroenergeika, Biomediínské inženýrsví akuly elekroehniky a inormaiky Jazyková korekura: nebyla provedena. Určeno pro projek: Operační program Vzděláváním pro konkureneshopnos Název: Personalizae výuky prosřednivím e-learningu Číslo: CZ..7/../7.339 Realizae: VŠB Tehniká univerzia Osrava Projek je spoluinanován z prosředků ESF a sáního rozpoču ČR Zdeněk Maháček, Pavel Nevřiva VŠB Tehniká univerzia Osrava ISBN 978-8-48-6-4
OBSAH. PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU... 7.. Základy problemaiky pásmového signálu a šíření pásmového signálu... 7.. Maemaiký popis pásmového signálu....3. Filrae pásmového signálu a přenos pásmového signálu komunikačním kanálem... 6.4. Vzorkování pásmového signálu... 3.5. Auokorelační unke, rekvenční spekrum výkonu a výkon pásmového signálu... 4. ANALOGOVÉ MODULACE PÁSMOVÉHO SIGNÁLU... 48.. Základní rozbor analogovýh modulaí pásmového signálu... 48.. Ampliudová modulae AM... 5.3. Ampliudová dvousranná modulae s polačenou nosnou DSB-SC... 6.4. Ampliudová jednosranná modulae s polačenou nosnou SSB-SC... 69.5. Úhlová ázová modulae PM... 8.6. Úhlová rekvenční modulae FM... 87.7. Kvadraurní modulae QM... 96 3. DIGITÁLNÍ MODULACE SIGNÁLU V ZÁKLADNÍM FREKVENČNÍM PÁSMU... 3.. Základní rozbor digiálníh modulaí signálu v základním rekvenčním pásmu... 3.. Impulsní ampliudová modulae PAM... 4 3.3. Impulsní kódová modulae PCM... 5 3.4. Osaní digiální modulae... 4 4. DIGITÁLNÍ MODULACE PÁSMOVÉHO SIGNÁLU...3 4.. Základní rozbor digiálníh modulaí pásmového signálu... 3 4.. ON-OFF klíčování OOK... 36 4.3. Ampliudové klíčování ASK... 4 4.4. Fázové klíčování PSK... 48 4.5. Frekvenční klíčování FSK... 55 4.6. Kvadraurní ampliudové klíčování QAM, APSK... 6 4.7. Orogonální rekvenční klíčování OFDM... 67 4.8. Využií přenosu digiálního signálu ve ormě modulovaného pásmového signálu... 73
5. SYSTÉMY PRO ZPRACOVÁNÍ PÁSMOVÉHO SIGNÁLU...77 5.. Základní rozbor sysémů pro zpraování pásmového signálu... 77 5.. Filry... 8 5.3. Zesilovač... 87 5.4. Omezovač... 96 5.5. Směšovač... 5.6. Násobič rekvene... 5 5.7. Muliplikaivní deekor... 5.8. Deekor obálky... 6 5.9. Deekor FM signálu... 3 5.. Fázový závěs... 35 5.. Vysílač... 38 5.. Přijímač... 4 Zkraky a popis yzikálníh veličin... 55 Další zdroje a použiá lieraura... 55 Klíč k řešení... 56
POKYNY KE STUDIU Modulované signály Pro předmě. semesru oborů Měřií a řídií ehnika, Elekronika, Biomediínské inženýrsví jse obdrželi sudijní balík obsahujíí inegrované skripum pro disanční sudium obsahujíí i pokyny ke sudiu CD-ROM s doplňkovými animaemi vybranýh čásí kapiol harmonogram průběhu semesru a rozvrh prezenční čási rozdělení sudenů do skupin k jednolivým uorům a konaky na uory konak na sudijní oddělení Prerekviziy Pro sudium ohoo předměu se předpokládá absolvování předměu Signály a sousavy. Cílem předměu je seznámení se základními prinipy přenosu inormae signálem, kerý má nenulovou spekrální husou, rekvenční spekrum, pouze v určiém ohraničeném rekvenčním inervalu, rekvenčním pásmu. Probíraná problemaika se věnuje modulaím signálu pro přenos inormae a její převod mezi analogovým a digiálním signálem. Dále se předmě zabývá sysémy, keré zpraovávají a upravují přenášený signál. Po prosudování modulu by měl suden bý shopen navrhnou a analyzova maemaiky komunikační sysémy, pásmové signály, modulované signály, digiální modulované signály v základním spekru i pro pásmové signály, sysémy pro zpraování pásmovýh signálů. Pro koho je předmě určen Modul je zařazen do magiserského sudia oborů Měřií a řídií ehnika, Elekronika, Elekroenergeika, Biomediínské inženýrsví sudijního programu Elekroehnika, ale může jej sudova i zájeme z keréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekviziy. Skripum se dělí na čási, kapioly, keré odpovídají logikému dělení sudované láky, ale nejsou sejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke sudiu kapioly se může výrazně liši, proo jsou velké kapioly děleny dále na číslované podkapioly a ěm odpovídá níže popsaná srukura. Při sudiu každé kapioly doporučujeme následujíí posup: Čas ke sudiu: xx hodin Na úvod kapioly je uveden čas pořebný k prosudování láky. Čas je orienační a může vám slouži jako hrubé vodíko pro rozvržení sudia elého předměu či kapioly. Někomu se čas může zdá příliš dlouhý, někomu naopak. Jsou sudeni, keří se s ouo problemaikou ješě nikdy nesekali a naopak akoví, keří již v omo oboru mají bohaé zkušenosi.
Cíl: Po prosudování ohoo odsave budee umě popsa... deinova... vyřeši... Ihned poom jsou uvedeny íle, kerýh máe dosáhnou po prosudování éo kapioly konkréní dovednosi, znalosi. VÝKLAD Následuje vlasní výklad sudované láky, zavedení novýh pojmů, jejih vysvělení, vše doprovázeno obrázky, abulkami, řešenými příklady, odkazy na animae. Shrnuí pojmů.. Na závěr kapioly jsou zopakovány hlavní pojmy, keré si v ní máe osvoji. Pokud někerému z nih ješě nerozumíe, vraťe se k nim ješě jednou. Oázky.. Pro ověření, že jse dobře a úplně láku kapioly zvládli, máe k dispozii několik eoreikýh oázek. Úlohy k řešení.. Proože věšina eoreikýh pojmů ohoo předměu má bezprosřední význam a využií v daabázové praxi, jsou Vám nakone předkládány i prakiké úlohy k řešení. V nih je hlavní význam předměu a shopnos aplikova čersvě nabyé znalosi při řešení reálnýh siuaí hlavním ílem předměu. KLÍČ K ŘEŠENÍ Výsledky zadanýh příkladů i eoreikýh oázek výše jsou uvedeny v závěru učebnie v Klíči k řešení. Používeje je až po vlasním vyřešení úloh, jen ak si samokonrolou ověříe, že jse obsah kapioly skuečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné sudium s ouo učebnií Vám přejí auoři výukového maeriálu Zdeněk Maháček, Pavel Nevřiva
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU. PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU.. Základy problemaiky pásmového signálu a šíření pásmového signálu Čas ke sudiu:,5 hodin Cíl Po prosudování ohoo odsave budee umě deinova pásmový signál a modulovaný signál popsa komunikační sysém a přenos inormae popsa ypy komunikačníh kanálů Výklad Bezdráový přenos vysokorekvenčního signálu mezi vysílačem a přijímačem je realizován elekromagneikými vlnami. Elekromagneiké vlnění má vlasnosi vlnové (odraz,ohyb, inererene, polarizae) a kvanové (ooelekriký jev). Bezdráový přenos elekromagneikého záření je realizován změnami elekromagneikého pole, edy časovými a prosorovými změnami elekromagneikého pole. Elekromagneiký signál má dvě navzájem neoddělielné složky navzájem kolmé se souhlasnou ází, vekor inenziy elekrikého pole E a vekor magneiké induke B. 8 Elekromagneiký signál se šíří vakuem ryhlosí v = 3 m s. Vzah mezi rekvení kmiání, vlnovou délkou λ a ryhlosí šíření v elekromagneikého signálu. v = λ (..) Elekromagneiké pole ve vodiči indukuje sřídavý elekriký proud a opačně, čehož se využívá v anénáh. Problemaika šíření signálů odlišnýh rekvení je zela rozdílná a edy vyžaduje rozdílný přísup k jednolivým rekvenčním pásmům. Signál přenášejíí inormae komunikačním sysémem, kerý má rekvenční spekrum nenulové pouze v proházejíí pásmovým komunikačním kanálem. v určiém pásmu, se nazývá pásmový signál ( ) Účelem komunikačního sysému je přenáše inormai od zdroje signálu k příjemi inormae. Původní inormační signál m () generovaný zdrojem signálu je dále modulaemi upravován a jako modulovaný signál přenášen komunikačním sysémem. V základníh úloháh je generováný pásmový signál v () vybranou modulaí shodný s modulovaným signálem, kerý je dále například bezdráově přenášen komunikačním kanálem. Příjeme inormae přijímá a demoduluje narušenou zprávu, narušený signál m ~ (). Inormační signál m ( ) může bý signál analogový nebo čísliový, o závisí na konkréním případu. Může o bý audiosignál, videosignál, signál z počíače, nebo nějaký jiný yp signálu, kerý může obsahova užiečnou inormai. V sysémeh praujííh s mnohonásobným sdíleným přenosem da, muliplexem, se může inormační signál m ( ) skláda z mnoha dílčíh různorodýh zdrojů inormačníh signálů, na sraně příjeme se poom výsupní signál m ~ () opě k mnoha odpovídajíím dílčím příjemům signálů rozkládá. Převod nízkorekvenčního analogového a 7
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU digiálního signálu m () lze provádě digiálními modulaemi v základním rekvenčním pásmu zpraovávajíí signály dle níže popisovaného maemaikého aparáu. vsup inormae šum n ( ) výsup inormae m() úprava signálu VF obvody v ( ) r ( ) přenosové médium (kanál) VF obvody úprava signálu m ~ () vysílač přijímač Obr... Základní blokové shéma komunikačního sysému m ~ jsou konenrována m ~ se naházejí v základním rekvenčním pásmu. Signály v základním rekvenčním pásmu lze dnes označi i impulsní signály o rekveníh řádově až Mb/s, keré se pro přenos na věší vzdálenos modulují a u nihž se na sraně přijímače rekonsruuje jejih binární var. Podsaou dále aplikovaného maemaikého popisu je, že spekra m ( ) a () kolem nulové rekvene =. Předpokládá se edy a prezenuje ak, že signály m () a ( ) Blok pro úpravu signálu ve vysílači slouží pro předzpraování a zpraování signálu m () pro jeho o nejeekivnější přenos. Je-li m () signál čísliový, může se v omo bloku ze signálu odsrani nežádouí redundani (daa paking), nebo k daům lze přida konrolní údaje pro deeki a koreki hyb, keré by mohl při přenosu způsobi šum v kanálu a hyba v přijímači. V analogovýh sysémeh je v bloku pro úpravu signálu ve vysílači dominanním prvkem zpraovávajíím signál adapivní dolnopropusný analogový ilr. Používá se již sále méně, proože se v eleonníh ehnologiíh přehází na hybridní sysémy, kde je ilr realizovaný věšinou čísliovými obvody. V hybridníh sysémeh je obvykle analogový vsup vzorkován, vzorky jsou digializovány a výsledkem je slovo digiálního signálu v základnímrekevnčním spekru. Vysokorekvenční obvody VF, keré jsou součásí vysílače, převádějí a modulují upravený signál v základním rekvenčním pásmu do rekvenčního pásma, keré je vhodné pro přenos inormae přenosovým médiem - kanálem. Komunikační kanál může bý realizován od krouené eleonní v je v pásmu 3-37Hz až pro kabel s dvoulinky, kde rekvenční spekrum pásmového signálu ( ) opikýh vláken, kde rekvenční pásmového signálu ( ) v je v pásmu rekvení 3 7 GHz. Pokud kanálem prohází signál v základním pásmu, vysílač modulační obvody neobsahuje a signál s je přímo výsupním signálem z bloku pro úpravu signálu ve vysílači. () Modulační obvody jsou nuné pouze ehdy, když kanálem mohou proháze signály s rekvenčním pásmem v blízkosi rekvene, kde >> je odvozen z anglikého "arrier", rekveni je nazývána nosnou rekvení. V akovémo případě se signál s ( ) nazývá pásmový signál, proože je vyvořen ak, aby měl rekvenční spekrum umísěno ve rekvenčním pásmu kolem a lze akový signál označi aké proměnnou v (). Například, komerční radiový vysílač vysílajíí ampliudově modulovaný signál AM na rekveni 85 khz prauje s nosnou rekvení modulaí nazývá záznam, mapování, inormae, nesené v signálu ( ) 8 = 85 khz. Obeně se v. U m do pásmového signálu ( )
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU komerčního radiového vysílače je signálem v základním rekvenčním pásmu, m (), například analogový řečový signál. Modulae (modulaion) je proes, při kerém se inormae, obsažená ve zdrojovém modulačním signálu m () převádí na pásmový signál - modulovaný signál v ( ). Komunikační kanály lze rozděli do dvou základníh kaegorií: Umělé Přírodní Mezi umělé kanály paří například krouená eleonní dvoulinka, koaxiální kabel, vlnovod, opiký kabel. Mezi přírodní kanály lze zařadi například vzduh, vakuum, mořská voda. Základní prinipy modulae čísliovýh a analogovýh signálů jsou společné pro všehny ypu kanálů, harakerisiky jednolivýh kanálů mají však vždy různá ehnologiká a yzikální omezení, kerá upřednosňují určiá konkréní ehniká řešení. Obeně komunikační kanál lumí vždy signál v om smyslu, že šum přičený k signálu v kanálu a šum přičený k signálu v nedokonalém přijímači vždy způsobují, že inormační narušený signál m ~ () je oproi vsupnímu inormačnímu signálu m () zhoršený. Šum v kanálu může mí svůj původ v přírodníh rušivýh zdrojíh, například v blesku, v bouře, amoseriké změny počasí. Dále může bý generováno v umělýh rušivýh zdrojíh, jako je vedení vysokého napěí, jiskření zapalovaíh moorů, může o bý éž elekromagneiké rušení od vedle sojíího počíače. Kanál může obsahova akivní zesilovače, například opakovače v dálkové eleonní síi nebo ranspondery (rádiové odpovídače) v saeliní komunikační síi. Tao zařízení jsou nuná k omu, aby se signál udržel nad úrovní šumu. Naví, kanál může používa, kvůli bezpečnosi, nebo, u přírodníh kanálů kvůli nezbynosi, mezi svým vsupem a výsupem víe paralelníh es. Každá z ěho es může mí jiné dopravní zpoždění a jiný, v čase se měníí úlum. Důkazem je vlasní zkušenos například s poslehem nějaké vzdálené krákovlnné analogově vysílané sanie, s jejím kolísavým příjmem, měníím se s amosérikými podmínkami. Přijímač získává, přijímá, narušený pásmový signál na výsupu komunikačního kanálu a převádí ho ve VF obvodeh v přijímači, v obvodeh nosné v přijímači, v demoduláoru, na signál v základním rekvenčním pásmu, kerý může již bý zpraován obvody pro úpravu signálu v základním rekvenčním pásmu přijímače. V ěho obvodeh je signál na základě apriorní inormae o signálu m () nebo na základě saisikého vyhodnoení průběhu dosud přijaého signálu vhodně "očišěn", m ~, kerý by měl bý je o nejvěrnějším odhadem vsupního například ilrován, a upraven na signál ( ) inormačního signálu m ( ), edy přenášené užiečné inormae. Úkolem inženýra je navrhnou komunikační sysém ak, aby přenášel inormai od zdroje k příjemi s jejím o nejmenším zkreslením, přiom je řeba, nuno respekova omezení, kerá se vyskyují při každém akovémo projeku, jako jsou například přípusná velikos přenášené energie, přípusná šířka rekvenčního pásma pásmového signálu, ena komunikačního sysému. Návrh komunikačního sysému ovlivňuje aké dosupnos komunikačního vybavení, komunikační normy a dohody. U digiálníh, sysémů se zkreslení signálu obvykle měří pravděpodobnosí, že dojde při přenosu k hybě biu, srovnávají-li se signály m () a m ~ ( ). U analogovýh sysémů se zkreslení signálu obvykle měří poměrem výkonu signálu a výkonu šumu na výsupu z přijímače (signal-o-noise raio). Působení šumu n () na pásmový signál v ( ) je deinována vzahem r ( ) = v( ) + n( ). Šum se edy skládá se signálem adiivně. Byly by možné i jiné deinie, keré by v někerýh případeh mohly vés k jednodušším maemaikým posupům. 9
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Ve vybrané lierauře, zejména anglosaské, je pojem modulae (modulaion) používán jak pro označení modulačního proesu, ak pro označení signálu, modulujíího nosnou. V ěho skripeh je použiý pro označení modulačního proesu. Hisorie přenosu inormaí sahá do dávné minulosi, kdy komunikačními prosředky byly využívány amamy, kouřové signály, ručkové elegray ad. Základy modulaí a bezdráového přenosu signálu byly objeveny již v roe 8 výzkumem jevu, kdy v blízkosi vodiče, jímž proéká elekriký proud, se sřelka kompasu vyhyluje. První pokus bezdráového přenosu inormae byl proveden M. Loomisem roku 865 pomoí kovové kosry, elegrau a galvanomeru. Maxwelovy rovnie (865) vyvořily eoreiký základ pro vynalezení prvního osiláoru, ož aplikoval v roe 887 Heinrih Herz, kerý byl shopen vybudi elekromagneiké vlny a měři jejih vlnovou délku a ryhlos. V roe 879 D. E. Hughes vygeneroval a zahyil signály přenesené pomoí radiovýh vln.roku 895 vynalezl ialský věde Guglielmo Maroni první rádiový sysém přenášejíí signál na vzdálenos km umožněné zdokonalením koherenního deekoru elekromagneikýh vln. Dále vynalezl, že rádiové vlny se šíří pomoí odrazů a přenosové podmínky jsou někdy příznivější v noi než ve dne. V roe 9 byl uskuečněn. ransalaniký bezdráový přenos. Z počáku bezdráová komunikae přenášela nejprve inormae za pomoí Morseovy abeedy. Již v roe 94 byl uskuečněn bezdráový přenos hlasu. V roe 93 byl objeven první anodový moduláor pro ampliudovou modulai. V roe 9 zahájeno v Pisburgu v USA první veřejné rozhlasové vysílání. V roe 93 bylo zahájeno pravidelné vysílání Československého rozhlasu. V roe 934 byl bezdráově přenášen signál pomoí rekvenční modulae (FM). Třiáá léa. soleí - rozvoj analogového rozhlasu. Před první svěovou válkou v USA - několik se radioamaérskýh sani. První mezinárodní pošovní spojení na krákýh vlnáh mezi Prahou a Londýnem je od roku 99, mezi ČSR a USA od roku 93. V roe 938 komerční elevizní vysílání (BBC). V roe 947 - eoreiké návrhy moderníh buňkovýh rádiovýh sysémů - ypu GSM síí. V roe 954 bylo zahájeno vysílání barevné elevize (NTSC) v USA. V 6.leeh soleí byl zahájen provoz družiové rádiové komunikae.v roe 96 byl esován.analogový buňkový radioeleonní sysém. Kone osmdesáýh le. soleí - digiální radioeleonní sysémy - v Evropě sysém GSM. Kone. soleí - násup digiálníh sysémů. Shrnuí pojmů.. Pásmový signál je vysokorekvenční signál, kerý má nenulové rekvenční spekrum pouze v omezeném rekvenčním inervalu v okolí nosné rekvene Komunikační sysém je základní shémaiké znázornění popisujíí přenos inormai od zdroje signálu k příjemi inormae. m na pásmový signál - modulovaný signál. Šum v kanálu může mí svůj původ v přírodníh rušivýh zdrojíh i v umělýh rušivýh zdrojíh. Modulae je proes převádějíí inormai obsaženou ve zdrojovém modulačním signálu ( ) Oázky... Co je pásmový signál a modulovaný signál?. Co znamenají následujíí pojmy: inormační signál, narušený signál, šum, komunikační kanál? 3. Z čeho se skládá komunikační sysém a jaká je unke jednolivýh bloků?
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Odměna a odpočinek Na počáku sudia jse se dozvěděli důvody a moivai proč sudova jednolivé modulae, sysémy pro zpraování pásmovýh signálů a jejih paramery. Nyní je edy možné začí podrobné sudium předměu Modulované signály... Maemaiký popis pásmového signálu Čas ke sudiu: hodin Cíl Po prosudování ohoo odsave budee umě Výklad deinova obený maemaiký model signálu popsa přenos inormae signálem popsa pásmový signál deinova komplexní obálku, ampliudovou a ázovou modulační složku popsa souázovou a kvadraurní modulační složku Základní deinie pásmového signálu Signál přenášejíí inormae, kerý má nenulovou spekrální husou pouze v určiém rekvenčním pásmu v blízkosi rekvene, kde >>. se nazývá pásmový signál. Obený maemaiký model signálu a popisu přenosu inormae signálem je podrobně popsán v následujíím exu. Frekvenční inerval, kerý přísluší k pásmovému signálu, se názývá pásmo pásmového signálu (passband, pásmo propusnosi). Obený pásmový signál se označuje symbolem v ( ). V jednolivýh případeh může bý pásmový signál v () sejný jako: modulovaný signál šum n (), edy v ( ) = n( ) souče signálu a šumu r () na výsupu z komunikačního kanálu, edy v () = r() osaní signály. Všehny pásmové signály, bez ohledu na o, jesli vznikly v důsledku modulae, inererene, nebo předsavují-li šum, lze popsa shodnou ormulaí a maemaikým modelem, kerý je deinován níže v exu.
Maemaiký rozbor pásmového signálu Každý pásmový signál v ( ) lze vyjádři ve varu v () Re g() PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU jω { e }, kde Re {. } označuje reálnou čás z {. }, ( ) = (..) g je zv. komplexní obálka signálu v () a je odpovídajíí rekvene nosné, ω = π. Dva další, ekvivalenní, popisy pásmového signálu jsou následujíí: popis v polárním varu v( ) R( ) [ ω + θ ( ) ] = os (..) = os sin (..3) popis v karézském varu v( ) x( ) ω y( ) ω Signály x () a y () jsou deinovány jako signály v základním pásmu, popisují je reálné unke reálné proměnné. Lze je generova, modulova, vysíla, přenáše, přijíma a měři. Funke g () se nazývá komplexní obálka (omplex envelope) signálu v ( ) Funke x () je souázová modulační složka (in-phase modulaion, I-modulaion) signálu v () Funke y () je kvadraurní modulační složka (quadraure modulaion, Q-modulaion) signálu v ( ) Signály R () a θ () jsou deinovány jako signály v základním pásmu, popisují je reálné unke reálné proměnné. Lze je generova, modulova, vysíla, přenáše, přijíma a měři. Funke R () se nazývá ampliudová modulační složka, zv. reálná obálka (ampliude modulaion, AM, real envelope), signálu v () Funke θ () je ázová, nebo aké úhlová, modulační složka (phase modulaion, PM) signálu v ( ) Signály g (), x (), y (), R () a θ () jsou signály v základním pásmu, s výjimkou g () obeně komplexní, je jejih popis dán reálnou unkí času. ( ), kerý je R je nezáporná unke času. Vzahy (.. ) až (..9 ) ak vyjadřují ransormai signálu v základním pásmu na pásmový signál v pásmu pásmovém signálu s rekvení nosné. Komplexní obálku lze vyjádři v karézskýh souřadniíh a rozloži na reálnou a imaginární čás: g x j g ( ) jθ ( ) () = x( ) + jy( ) = g( ) e R( ) e () Re{ g() } R( ) osθ ( ) (..4) = (..5)
y () Im{ g() } R( ) sinθ ( ) PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU = (..6) Komplexní obálku lze aké rozloži v polárníh souřadniíh čási deinované jako modul R () a áze θ () : j g () jθ ( ) g() = g( ) e R() e (..7) R () g( ) x () + y ( ) = (..8) ( ) () y θ () = g() an (..9) x Maemaiký zápis převodu od deinované varu (.. ) ke varu (..3 ) je rozepsán následujíím způsobem: v { } jω () = Re g() e = Re{ [ x() + j y() ][ osω + j sinω] } = Re{ x() osω + x() j sinω + j y() osω + j y() j sinω} = Re{ x() osω + j x() sinω + j y() osω y() sinω} = x() osω y() sinω (..) Fourierovou ransormaí maemaikého vzahu pro výpoče pásmového signálu j ω v = Re g e, kerý se rozloží na jednolivé komplexně sdružené komplexní obálky signálu () () { } v () = Re g() jω { jω j } () ω e = g e + g *() e je edy řešená Fourierova ransormae každé komplexní obálky V ( ) F{ v( ) } = F g() jω { j e } + ω F{ g () e } = * (..) (..) Z čehož lze získa vyjádření pásmového signálu ve rekvenční oblasi V ( ) = G( ) + G ( ( + )) = G( ) + G ( ) (..3) Libovolný yzikální signál, nemusí bý periodiký, lze na časovém inervalu T vyjádři pomoí komplexní Fourierovy řady v n = = n n= jnω () e, ω = π T (..4) Proože pro koeiieny Fourierova spekra každého reálného signálu plaí, že Re. =. +. předhozí výraz upravi na následujíí využiím vzahu { } { } { } 3, lze s n = n
v () = + Re n e n= PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU jnω (..5) Rozšíří-li se výše popsaný výraz beze změny o paramer, kerý má význam rekvene nosné, pak se získá následujíí vzah, kde je pro pásmový signál rovna v = n n= n= jω j( nω ω ) jω j( nω ω ) jω () Re e + e e = Re e e (..6) Vyjádřením čási srukury se získá vzah (..) n g jω j( nω ω ) j( nω ω ) () = e + e = e n= n n= n (..7) Proože je v () pásmový signál, má nenulové spekrem pouze pro rekvene v blízkosi. Z oho vyplývá, že Fourierovy koeiieny n pásmového signálu mají nenulové hodnoy pouze pro n kde ± n leží v okolí, v rozsahu ± n (..8) Z rovnie (..7) je proo ihned zřejmé, že rekvenční spekrum signálu g ( ) je sousředěno kolem rekvene =, signál g () je signál v základním rekvenčním pásmu. Proože je g () komplexní obálka komplexní unke reálné proměnné, určuje její yzikální inerpreai vzah v() Re g() jω { e } =. Dále uvidíme, že podle oho, jak se inormae nesená okamžiou hodnoou signálu m ( ) zapisuje do pásmového signálu, exisují dva následujíí krajní případy úhlové modulae: θ, j. odhylka, rozdíl, počáeční áze signálu () m. Tao modulae se nazývá ázová modulae (phase modulaion, P-modulaion). přímo úměrně okamžié hodnoě m ( ) se nasavuje ( ) v oproi počáeční ázi nosné v ( ) je přímo úměrná ( ) dθ, j. odhylka, rozdíl, kmioču d signálu v () oproi kmioču nosné v ( ) je přímo úměrná m ( ). Tao modulae se nazývá rekvenční modulae (requeny modulaion, F-modulaion). přímo úměrně okamžié hodnoě m ( ) se nasavuje ( ) Uvedený maemaiký model pásmového signálu má významné použií. V moderníh komunikačníh sysémeh se časo pásmový signál v () pro přenos rozkládá do dvou komunikačníh kanálů: komunikační kanál pro přenos složky x ( ) (I-kanál, in-phase hannel). komunikační kanál pro přenos složky y ( ) (Q-kanál, quadraure-phase hannel). 4
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Shrnuí pojmů.. Pásmový signál je vysokorekvenční signál, kerý má nenulové rekvenční spekrum pouze v omezeném rekvenčním inervalu v okolí nosné rekvene Komplexní obálka maemaiky deinovánuje modulai signálu v základním rekvenčním pásmu Souázová modulační složka x (), kvadraurní modulační složka y ( ) složka R (), ázová, nebo aké úhlová, modulační složka ( ), ampliudová modulační θ jsou unke deinujíí modulai inormačního signálu v základním rekvenčním spekrum a jsou součásí komplexní obálky. Oázky... Co je pásmový signál a jakým způsobem lze eno signál popsa?. Jaký je základní rozdíl mezi kmiočovým spekrem pásmového signálu versus kmiočové spekrum signálu v základním pásmu? 3. Jaký je maemaiký popis komplexní obálky pásmového signálu? Odměna a odpočinek Nyní již znáe základní maemaiký popis a paramery pásmového signálu. Tuo kapiolu je pořeba velmi pečlivě prosudova jelikož je základem osanímu probíranému učivu. Z ohoo důvodu si kapiolu ješě jednou pečlivě přečěe. 5
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU.3. Filrae pásmového signálu a přenos pásmového signálu komunikačním kanálem Čas ke sudiu: hodin Cíl Po prosudování ohoo odsave budee umě Výklad deinova pásmový ílr popsa ilrai pásmového signálu deinova ekvivalenní ílr popsa nezkreslujíí sousavu a nezkreslujíí přenos kanálem Filrae pásmového signálu Filrae (signal ilering) je obeně varování průběhu signálu jeho průhodem yzikální sousavou. Filrování signálu se v mnoha aplikaíh zoožňuje s úlohou odsrani ze signálu rušení, šum. Pro zjednodušení a prezenai základníh pojmů se předpokládá lineární ilrae pásmového signálu. Jde edy o průhod pásmového signálu lineární sousavou. Shodně jako pásmový signál, může bý i pásmový ilr popsán pomoí komplexní obálky, kerá je unkí v základním pásmu a převeden ak elý problém na analýzu úlohy v základním pásmu. Návrh ilru lze provádě shodně jako pro signál v základním pásmu. Jelikož se předpokládá, že ilr je lineární, ak vsupním a výsupním signálem ilru je pásmový signál s nosnou o éže rekveni. Pásmový ilr je znázorněn ve shémau Obr..3.. pásmový ilr jω { e } h() = Re k( ) () { () } j ω = g e v H ( ) = K( ) + K ( ) () = Re g () v Re V [ ] ( ) = G ( ) + G ( ) V { } j ω e [ ] ( ) = G ( ) + G ( ) Obr..3.. Shéma pásmového ilru v () je pásmový signál na vsupu pásmového ilru () g je komplexní obálka signálu () u () je pásmový signál na výsupu pásmového ilru g () je komplexní obálka signálu ( ) v v 6
h () je impulsová harakerisika pásmového ilru k () je komplexní obálka impulsové harakerisiky signálu h ( ) h () pásmového ilru je pásmový signál. PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU, kde impulsová harakerisika Ampliudová rekvenční harakerisika zvoleného pásmového ilru je znázorněna na Obr..3.. Charakerisika prezenuje pásmovou propus. H ( ), kerá je vázána s h () dvousrannou Fourierovou ransormaí. K *( ) H ( ) K ( ) Obr..3.. Ampliudová rekvenční harakerisika pásmového ilru V případě známého kmioču obálkou. Vsupní signál () komplexní obálkou ( ) ω nosné je podle vzahu (.3.) pásmový signál určen svojí komplexní g. Výsupní signál v () je určen v je určen komplexní obálkou ( ) g. Hledaný ilr edy ransormuje g ( ) na ( ). Komplexní obálky jsou komplexní signály v základním pásmu, hledaný ilr bude edy ilr v základním pásmu. Teno ilr má komplexní přenos K( ) a je prezenován na Obr..3.3. Komplexní obálky vsupního signálu v (), výsupního signálu v ( ) a impulsové harakerisiky h () pásmového ilru jsou vzájemně vázány následujíím vzahem, kde () g = (.3.) h. () g () k() k je komplexní obálka impulsové harakerisiky pásmového ilru ( ) g Fourierovou ransormaí konvolue se získá ihned odpovídajíí výraz ve rekvenční oblasi: G ( ) = G ( ) K( ) (.3.) 7
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU 8 Při použií lineární ilrae je edy možno s pásmovými signály praova jako se signály v základním pásmu, posačí navrhnou ilr pro komplexní obálku pásmového signálu. Vzahy (.3.), (.3.) nejsou však snadné a je pořeba je odvodi. Posačí odvodi jeden z ěho vzahů. Pomoí vlasnosí lineárníh sousav lze dokáza vzah (.3.). Kanál, sousava, je lineární. Maemaiký vzah pro výpoče rekvenčního spekra výsupního signálu ilru je deinován pro lineární komunikační kanál resp. sousavu ( ) ( ) ( ) H V V = (.3.3) Proože jsou () v, ( ) v, () h pásmové signály, lze jejih rekvenční spekra vyjádři pomoí rekvenčníh speker jejih komplexníh obálek. (.3.4) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] K G K G K G K G K K G G G G V + + + = + + = + = 4 Ve výrazu pro ( ) V je ale ( ) ( ) = K G, proože ( ) G má v oblasi rekvení v okolí, kde je ( ) K nenulové, nulovou hodnou. Jinak řečeno, spekra ( ) G a ( ) K se nepřekrývají, proože ( ) G a ( ) K mají nenulovou hodnou pouze v blízkosi rekvene =. Jsou o signály v základním pásmu. Obdobně plaí, že ( ) ( ) * = K G. Po vypušění nulovýh členů z výše uvedené rovnie lze upravi výraz na následujíí var (.3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = K G K G G G V * Z čehož vyplývá odvozený důkaz následujíího maemaikého vzahu ( ) ( ) ( ) K G G = (.3.6) Inverzní Fourierovou ransormaí obou sran vzahu (.3.6) lze dokáza vzah (.3.). Filr v základním pásmu, ilrujíí komplexní obálku pásmového signálu nebo její reálné složky se nazývá ekvivalenní ilr. Ekvivalenní ilr ukazuje Obr..3.3. Ampliudovou rekvenční harakerisiku ekvivalenního ilru ukazuje Obr..3.4. Je zobrazena ekvivalenní dolní propus odpovídajíí pásmové propusi na Obr..3..
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU g () G ( ) k Ekvivalení ilr () K( ) g () G ( ) Obr..3.3. Shéma ekvivalenního ilru K( ) Obr..3.4. Ampliudová rekvenční harakerisika ekvivalenního ilru Maemaiké vzahy (.3.) a (.3.) ukazují, že pásmový signál, proházejíí pásmovým ilrem lze vyšeřova posupy známými pro analýzu signálů a ilrů v základním pásmu. Výpočení vzahy a posupy pro signál v základním pásmu jsou obvykle podsaně jednodušší, než přímé výpočení vzahy a posupy pro pásmový signál. Výše uvedené vyjádření pásmového signálu pomoí komplexní obálky a pásmového ilru pomoí ekvivalenního ilru je éž podsaou věšiny CAD programů v oblasi výpoču a návrhu pásmovýh regulačníh a komunikačníh sysémů. Ekvivalenní dolnopropusný ilr je aké vhodným výhodiskem pro odvození Shannonova - Nyquisova vzorkovaího eorému pro pásmový signál. Řešení pásmového ilru jako lineární sousavy je významné zjednodušení problému. Lineární ilr může změni ampliudu a ázi vsupního harmonikého signálu, nemůže však změni jeho rekveni. Skuečnos, že pro analýzu ilrae pásmového signálu lze využí pouze model siuae v základním pásmu, není neočekávaná, jelikož inormai nese modulační signál, kerý se v základním pásmu nahází. Nosná vlna inormai nenese a při její znalosi ji lze z pásmového signálu vždy odděli. Impulsová harakerisika h () popisuje lineární sousavu. Komplexní obálky () g jsou g a () proo vázány lineárním vzahem. Komplexní obálka g ( ) vznikla lineární ilraí komplexní obálky 9
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU g (). Komplexní obálka g () je lineární unkí g ( ) složky o ale neplaí. Fázová modulační složka ( ) = g ( ) R () = g () komplexní obálky g ( ) vznikly nelineární ilraí g ( ) θ (), ak R () jsou nelineárními unkemi ( ) lineární unkí θ () = g(). Ampliudová modulační složka ( ) unkí () g () R =.. Pro jejih ázové a ampliudové modulační θ a ampliudová modulační složka. Je omu ak, proože jak g. Fázová modulační složka θ () proo obeně není R proo obeně není lineární U lineárního pásmového ilru mohou změnám reálné obálky R ( ) vsupního signálu v ( ) odpovída změny ázové modulační složky θ ( ) výsupního signálu ( ). Teno jev a ao unkční závislos se nazývá AM-PM konverze (AM-o-PM onversion). Analogiky, u lineárního pásmového ilru mohou změnám ázové modulační složky θ ( ) vsupního signálu v ( ) odpovída změny reálné obálky R () výsupního signálu v (). Teno jev a ao unkční závislos se nazývá PM-AM konverze (PM-o-AM onversion). v Analýza nelineárního zkreslení je obeně složiá úloha. I když bylo v odborné lierauře uvedeno mnoho praí, zabývajííh se ouo problemaikou, nebyla dosud publikována práe, kerá by přinesla uspokojivou obenou meodiku řešení pro elou problemaiku. Na druhé sraně, je-li určiá konkréní úloha již yzikálně a maemaiky popsána, lze její parikulární řešení možno zjisi numeriky pomoí moderní výpočení ehniky. Nezkreslujíí přenos kanálem V komunikační ehnie je důležiým pojmem nezkreslujíí kanál. Obeně je nezkreslujíí kanál akový, jehož výsupní signál y () je přímo úměrný posunuému vsupnímu signálu x (). y () Ax( ) = (.3.7) T d, kde A je zesílení, keré může bý věší nebo menší než jedna, a T d je časové ázové zpoždění. Po ransormování obou sran rovnie Fourierovou ransormaí lze získa výraz Y j πtd ( ) AX ( ) e = (.3.8) Frekvenční přenos nezkreslujíího kanálu edy je Y ( ) ( ) jπt H = = Ae d (.3.9) X ( ) Odud vyplývá, že k omu, aby lineární sousava nezkreslovala vsupní signál, musí splňova následujíí dva požadavky: musí mí konsanní ampliudovou rekvenční harakerisiku ( ) = Re { H ( )} + Im { H ( )} = kons. A H = (.3.)
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU její ázová rekvenční harakerisika musí bý lineární unkí rekvene { H ( )} { H ( )} Im H ( ) = arg = πt d (.3.) Re Taková sousava se nazývá nezkreslujíí lineární sousava. Druhý z výše uvedenýh požadavků se T d sousavy. Fázové zpoždění (phase delay) časo deinuje pomoí požadavku na ázové zpoždění ( ) T d ( ) sousavy je deinováno vzahem T d = (.3.) π π ( ) H ( ) = θ ( ) Podle vzahu (.3.9) je řeba, aby pro nezkreslujíí sousavu, pro nezkreslujíí kanál, pro nezkreslujíí přenos, bylo Kmiočové harakerisiky a rekvenční průběh ( ) sousavy prezenuje Obr..3.5. T d ( ) = kons (.3.3) T d ideální nerealizovaelné nezkreslujíí Výše uvedené podmínky jsou příliš silné, sousava splňujíí výše uvedené požadavky na všeh rekveníh je ehniky nerealizovaelná. V základním pásmu se sousava aproximuje například náročnými sejnosměrnými lineárními zesilovači. U pásmovýh signálů, kde je inormae zakódována do jejih komplexníh obálek, však není pořeba předa sousavou nezkresleně elý signál, je řeba předa nezkresleně komplexní obálku. Teno požadavek je požadavkem na nezkreslený přenos komplexní obálky, kerý se naví uskuečňuje v určiém známém inervalu rekvení, pásmu pásmového signálu. V omo případě edy není nuné sudova nezkreslujíí přenos signálu pro všehny rekvene, ale pouze v pásmu rekvení, ve kerém se nahází pásmový signál. Celkově jsou proo podmínky pro nezkreslujíí pásmový kanál nižší a realizovaelnější. Pro nezkreslený přenos pásmového signálu komunikačním kanálem musí přenosová unke, přenos, j H ( ) jθ ( ) Im H ( ) = H ( ) e = H ( ) e, ( ) { H ( )} θ = arg, kanálu splňova v pásmu Re{ H ( )} pásmového signálu následujíí dva požadavky: musí mí konsanní ampliudovou rekvenční harakerisiku, kde A je kladná reálná konsana ( ) = kons. A H = (.3.4) derivae jeho ázové rekvenční harakerisiky musí bý konsanní, kde konsana T g se nazývá zpoždění komplexní obálky nebo skupinové zpoždění (group delay, inormaion delay) dθ π d ( ) = T g (.3.5)
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU H ( ) ( ) = πtd H T d ( ) H ( ) = π Obr..3.5. Kmiočové harakerisiky a rekvenční průběh ( ) nezkreslujíí sousavy T d ideální nerealizovaelné První z podmínek je shodná s podmínkou (.3.) pro obenou nezkreslujíí sousavu, druhá z podmínek je méně omezujíí. Při splnění podmínky (.3.4) je podmínka (.3.) vždy splněna, při splnění podmínky (.3.5), pak podmínka (.3.) nemusí bý splněna. Inegruje-li se výraz pro T g, získá se maemaiký vzah ( ) πt θ θ + (.3.6) = g
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU, kde θ je konsanní ázový posun. Siuai pro nezkreslujíí pásmový kanál ukazuje Obr..3.6. Je-li θ nenulové, nesplňují podmínky pro nezkreslujíí pásmový kanál podmínky pro obenou nezkreslujíí sousavu. H ( ) šířka pásma signálu A θ θ ( ) Obr..3.6. Frekvenční harakerisiky nezkreslujíího pásmového kanálu Podmínky (.3.4) a (.3.5) jsou skuečně posačujíí pro nezkreslujíí přenos pásmovýh signálů. Ze vzahů (.3.4) a (.3.5) vyplývá, že přenos akového kanálu, nebo ilru, je ve rekvenčním pásmu pásmového signálu roven H ( ) ( πtg + θ ) jθ jπtg ( ) j = Ae = Ae e (.3.7) 3 Vyjádření vsupního signálu do pásmového kanálu ve varu v () = x ( ) osω y( ) sinω (.3.8) Z výše uvedeného vzahu pro přenos nezkreslujíího kanálu, s využiím znalosi, že A způsobuje jθ zesílení signálu, e j πt způsobuje ázové zpoždění signálu a e g způsobuje dopravní zpoždění v čase o T g, se získá výraz pro výsupní signál kanálu v () = Ax ( T ) os[ ( Tg) + θ ] Ay ( T ) ω ( Tg) [ θ ] g ω g sin + (.3.9)
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Pomoí (.3.6) lze maemaiký vzah upravi do varu v () = Ax ( Tg ) os[ ω + θ ( )] Ay( Tg ) sin[ ω + θ ( )] (.3.) Vzah (.3.) se upraví ak, aby v něm míso θ ( ) vysupovalo ázové zpoždění T d na rekveni nosné, ázové zpoždění je deinované vzahem (.3.), jen edy θ ( ) = π Td (eprve nyní bude zřejmé, proč se pro oo zpoždění používá název ázové zpoždění. Tím se výraz pro výsupní signál nezkreslujíího pásmového kanálu, sousavy, ilru, zjednoduší do varu () = Ax ( T ) [ ω ( + T )] Ay ( T ) sin ω ( T ) os d [ ] v g g + (.3.) kde T d je ázové zpoždění kanálu a T g je skupinové zpoždění kanálu. Rovnie (.3.) ukazuje, že složky x ( ) a y ( ) komplexní obálky ( ) d g vsupního signálu jsou zpožděny o skupinové zpoždění T g a harmoniká nosná je zpožděná o ázové zpoždění = x + je při přenosu pouze násobena konsanou A a zpožděna o čas T g. Výsledkem je nezkreslený přenos, proože komplexní obálka vsupního signálu () () jy ( ) g T d. Shrnuí pojmů.3. Filrae varuje průběh signálu průhodem yzikální sousavou. Filrování signálu se v mnoha aplikaíh zoožňuje s úlohou odsrani ze signálu rušení, šum. Pásmový ilr zpraovává pásmový signál proházejíí sousavou a je popsán pomoí přenosu nebo impulsní harakerisiky. Ekvivalenní ilr převádí problemaiku ilrae pásmové signálu na analýzu úlohy v základním rekvenčním pásmu. Vyhází z prinipu, že pásmový signál je popsán přenosem obsahujíím komplexní obálku. Nezkreslujíí kanál (sousava) je deinován komunikační prosor, kde výsupní signál y () je přímo úměrný posunuému vsupnímu signálu x ( ). S ohledem na deinované podmínky nelze realizova. Nezkreslený přenos pásmového signálu komunikačním kanálem musí přenosová unke, přenos kanálu splňova deinované podmínky pouze v ohraničeném rekvenčním pásmu pásmového signálu Oázky.3.. Jaký průběh mají základní rekvenční harakerisiky nezkreslujíího pásmového kanálu?. Jaký průběh mají základní rekvenční harakerisiky nezkreslujíí sousavy? 3. Co znamenají základní pojmy nezkreslujíí sousava, ázové a skupinové zpoždění? 4. Jaká je unke, využií a souvislosi mezi ekvivalenním a pásmovým ilrem? 4
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Úlohy k řešení.3.. Vypočěe a znázorněe níže popsané úkoly, je-li zadán inormační signál v základním pásmu π m () =,75 os π +, nosná rekvene je C = 4Hz. Modulae použiá pro 4 generování a přenos pásmového signálu je AM. Modulovaný signál je doplněn o rušivé harmoniké signály na rekveníh r = 9Hz, r = 4Hz, r3 = 54Hz. Výsledný vysokorekvenční signál je přiveden na vsup ilru deinovaného kmiočovým přenosem 3 j ω H ( ω) =. Filr je deinován jako pásmový ilr, kerý 7 3 ( j ω) 5 + j ω + 3 propouší rekvenční pásmo přenášejíí modulovaný signál obsahujíí inormační signál a osaní rušivé signály ulumuje. Výpoče proveďe pomoí maemaikého programu Malab. Časový průběh inormačního signálu m ( ) v základním pásmu. Časový průběh vysokorekvenčního vsupního signálu v in ( ) složeného z modulovaného pásmového signálu v () doplněného o rušivé harmoniké signály v r ( ). Ampliudové, ázové a výkonové rekvenční spekrum vsupního vysokorekvenčního modulovaného signálu v in (). Ampliudovou a ázovou rekvenční harakerisiku pásmového ilru. Časový průběh vysokorekvenčního výsupního ilrovaného signálu v ou () propoušějíího modulovaný pásmový signál v () a lumíí rušivé harmoniké signály v r (). Ampliudové, ázové a výkonové rekvenční spekrum výsupního vysokorekvenčního modulovaného signálu v ou (). Vsupní modulaní signál m() m() -..4.6.8...4.6.8. [s] Vsupní AM modulovaný signál v()+rusivé signály v r () na rekveníh +5Hz, +Hz, +5Hz 5 v() -5..4.6.8...4.6.8. [s] 5
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Ampliudové rekvenni spekrum AM modulovaneho signalu v()+v r () FR Wm.5-8 -6-4 - 4 6 8 [Hz] ZOOM Ampliudové rekvenni spekrum AM modulovaneho signalu v()+v r () FR Wm.8.6.4. 38 385 39 395 4 45 4 45 4 [Hz] Fazove rekvenni spekrum AM modulovaneho signalu v()+v r () Θ m - -8-6 -4-4 6 8 [Hz] ZOOM ( ) () Fazove rekvenni spekrum AM modulovaneho signalu v()+v r () Θ m.5 -.5-38 385 39 395 4 45 4 45 [Hz] Vykonove rekvenni spekrum AM modulovaneho signalu v()+v r ().4 FR Pm. -8-6 -4-4 6 8 [Hz] 6
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Ampliudova rekvenni harakerisika log H() [db] - - -3-4 3 4 [Hz] Fazova rekvenni harakerisika arg Im(H()/Re(H(w) 5-5 - 3 4 [Hz] 4 Výsupní ilrovaný modulovaný signál v ou () s polaením rusivýh signálu v r () v ou () - -4..4.6.8...4.6.8. [s] 7
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU.8 Ampliudové rekvenni spekrum ilrovaného modulovaneho signalu v ou ().6 FR Wm.4. -8-6 -4-4 6 8 [Hz] ZOOM Ampliudové rekvenni spekrum ilrovaného modulovaneho signalu v ou ().6 FR Wm.4. 385 39 395 4 45 4 45 4 [Hz] Fazove rekvenni spekrum ilrovaného modulovaneho signalu v ou () Θ m - - -8-6 -4-4 6 8 [Hz] ZOOM Fazove rekvenni spekrum ilrovaného modulovaneho signalu v ou () Θ m - 38 385 39 395 4 45 4 45 4 [Hz] 8
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU.4 Vykonove rekvenni spekrum ilrovaného modulovaneho signalu v ou ().3 FR Pm.. -8-6 -4-4 6 8 [Hz] ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Vypočěe a znázorněe níže popsané úkoly, je-li zadán ekvivalenní RC ilr, kerý je popsán 3 j ω kmiočovým přenosem H ( ω) =, kde časový paramer je 7 3 j ω 5 + j ω + ( ) 3 RC = 6. Pásmový signál vsupujíí do ilru má nosnou rekveni = a šířku rekvenčního pásma B =. Výpoče proveďe pomoí maemaikého programu Malab. T C Frekvenční průběh skupinového zpoždění T g ( ) navženého ekvivalenního ilru s vyznačením rekvenčního pásma zpraovávaného signálu. Frekvenční průběh ázového zpoždění T d ( ) navženého ekvivalenního ilru s vyznačením rekvenčního pásma zpraovávaného signálu. Ampliudovou a ázovou rekvenční harakerisiku ekvivalenního ilru s vyznačením rekvenčního pásma zpraovávaného signálu. x -6 Zavislos skupinoveho zpozdeni na rekveni 8 T g [s] 6 4 3 4 5 6 7 8 9 [Hz] x 4 9
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU x -6 Zavislos azoveho zpozdeni na rekveni T d [s] 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 [Hz] x 4 Ampliudova rekvenni harakerisika ekvivalenního ilru -5 log H() [db] - -5-3 4 5 [Hz] Fazova rekvenni harakerisika ekvivalenního ilru arg Im(H()/Re(H(w) - -4-6 -8-3 4 5 [Hz] CD-ROM Řešená úloha č. je realizována a popsána v ukázkovém programu vyvořeném v programovém maemaikém prosředí Malab pojmenovaném: malab7_ilrae.m Řešená úloha č. je realizována a popsána v ukázkovém programu vyvořeném v programovém maemaikém prosředí Malab pojmenovaném: malab8_nezkr_prenos.m Výuková animae je realizována v ukázkovém programu vyvořeném v programovém maemaikém prosředí Flash pojmenovaném: Filrae pásmového signálu.exe Výuková animae je realizována ve vyvořeném v programovém maemaikém prosředí Flash pojmenovaném: Nezkresl_sousava.exe Výukový program s uživaelským rozhraním je realizován v ukázkovém programu vyvořeném v programovém prosředí C-Sharp pojmenovaném: Filrovani.exe 3
.4. Vzorkování pásmového signálu PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Čas ke sudiu: hodin Cíl Po prosudování ohoo odsave budee umě Výklad popsa možnosi a prinip vzorkování pásmového signálu vyřeši vzorkování pásmového signálu s minimálním vzorkováním popsa vzorkovaí eorémy pro zpraování signálu bez zráy inormae Základní popis vzorkování pásmového signálu Ve věšině moderníh řídííh, inormačníh a komunikačníh sysémeh se používá výpočení ehnika. Počíače, mikroproesory, digiální signálové proesory se mohou využíva jednak pro analýzu a synézu ěho sysémů, jednak pro vlasní realizai obvodů a jejih unkí používanýh v komunikačníh ehnologiíh. V siuai, kdy se má například na počíači modelova unke obvodu zpraovávajíího inormai nesenou pásmovým signálem, o vyžaduje, aby byl pásmový signál aké vzorkován, jelikož na počíači jsou prováděny insruke nespojiě. Po ěho úpraváh bude možné změřená daa zpraováva na počíači. Pokud by bylo vzorkování prováděno s rekvení odpovídajíí Shanon- Koelnikova eorému, s > B, kde B je nejvyšší rekvene vyskyujíí se ve spekru pásmového signálu, vyházela by vzorkovaí rekvene plus rekvene modulačního signálu, pro vysoké hodnoy pro akuální výpočení ehniku nerealizovaelně vysoká, pro hodnoy odpovídajíí např. radiovému vysílání na dlouhýh nebo sředníh vlnáh by bylo možné dnes již úlohu poměrně snadno realizova, bylo by o ale pro účely modelování unke obvodu zpraovávajíího inormai nesenou pásmovým signálem zbyečné. Pro eleonní signály v družiovém komunikačním pásmu, kde jsou praovní hodnoy GHz, pak přímou aplikaí Nyquisovu eorému by byla nuná rekvene vzorkování s 9 s. Převodník by musel provés 3 9 převodů a zpraování da za sekundu. I z ohoo důvodu eno posup není vhodný, proože ako měřená daa jsou redundanní, zbyečně a zahlují výpočení ehniku. Je nunosí pro korekní zpraování signálu se zabýva oázkou měření inormační složky signálu a u nese komplexní obálka, kerá se nahází v základním pásmu. Popisované paramery vzorkování jsou využielné v případě měření inormae nesené pásmovým signálem. V prinipu jiná úloha je například úloha přímého čísliového generování pásmového signálu. V akovém případě je nuné nosnou rekveni aproximova z jejih numeriky generovanýh hodno a vzorkování se musí provádě s vysokými rekvenemi dle Shanon-Koelnikova eorému. U pásmového signálu je inormae nesena složkami jeho komplexní obálky, kerá leží v základním pásmu. Nosnou rekveni příjeme zná, nebo ji zjisí jinými ehnikami. Minimální rekvene vzorkování proo nezávisí na rekveni nosného signálu, ale na šíře pásma komplexní obálky, kerá je unkí šířky pásma modulačního signálu. Využívání ěho základníh prinipů lze analyzova například u komerčního radiového vysílání, kdy posluhač dokáže naladi sanii bez znalosi o ampliudě a ázi nosného signálu, jelikož inormai posluhači dává vysílaný signál v základním pásmu (například řečový signál), samoný nosný signál inormai neobsahuje.
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Na uvedeném časové průběhu je modulovaný signál pomoí AM modulae o nosné rekveni π C = Hz, kerý přenáší inormační harmoniký signál m () =,75 os π +. 4 AM modulovaný signál v() v() - -..4.6.8...4.6.8. [s] Obr..4.. Časový průběh spojiého AM modulovaného signálu AM modulovaný signál v () je navzorkován dle Shanon-Koelnikova eorému, edy vzorkovaí rekvene s > B je alespoň x vyšší než je maximální harmoniká rekvene obsažená ve vzorkovaném signálu v ( ). SHANNON-KOTELNIKUV TEOREM - Vzorkovaný AM modulovaný signál v vz () v vz () - -..4.6.8...4.6.8. [s] Obr..4.. Časový průběh vzorkovaného AM modulovaného signálu dle Shannon-Koelnikova eorému Apliudové a ázové rekvenční spekrum navzorkovaného AM modulovaného signálu ( ) v VZ dle Shanon-Koelnikova eorému je shodné s eoreikými předpoklady a se spekry spojiého AM v, dle popisu v kapiole zabývajíí se AM modulaemi. modulovaného signálu ( ).8 SHANNON-KOTELNIKUV TEOREM - Ampliudové rekvenni spekrum vzorkovaného AM modulovaneho signalu v vz ().6 FR Wm.4. - -5 - -5 5 5 [Hz] SHANNON-KOTELNIKUV TEOREM - Fazove rekvenni spekrum vzorkovaného AM modulovaneho signalu v vz ().5 Θ m -.5 - - -5 - -5 5 5 [Hz] Obr..4.3. Kmiočové spekrum ampliudy a áze vzorkovaného AM modulovaného signálu dle Shannon-Koelnikova eorému 3
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Vzorkovaí eorémy pro pásmové signály Nyquisův eorém pro pásmový signál I (Bandpass Sampling Theorem): Nehť reálný pásmový signál v () má nenulové spekrum pouze ve rekvenčním inervalu (, ). Šířka rekvenčního pásma B T (ransmission bandwidh) ohoo signálu edy je B T =. Za ohoo předpokladu lze pásmový signál v () obnovi, je-li vzorkován se vzorkovaí rekvení s > B T (.4.) Jesliže se navzorkuje AM modulovaný signál v VZ ( ) dle Nyquisova eorému pro pásmový signál I, edy vzorkovaí rekvene > B je alespoň dvojnásobkem šířky přenášeného rekvenčního pásma, s T pak je dle níže uvedeného časového průběhu parné snížení nuného množsví vzorků v porovnání se v VZ dle Shanon-Koelnikova eorému. navzorkovaním AM modulovaného signálu ( ) NYQUISTUV TEOREM PRO PÁSMOVÉ SIGNÁLY - Vzorkovaný AM modulovaný signál v vz ().5 v vz ().5..4.6.8...4.6.8 [s] Obr..4.4. Časový průběh vzorkovaného AM modulovaného signálu dle Nyquisova eorému pro pásmový signál I v VZ dle Nyquisova eorému pro pásmový signál I je shodné s eoreikými předpoklady a se spekry spojiého přenášeného inormačního signálu m () v základní rekvenční oblasi doplněného o konsanní složku rovnu, ož aké vyplývá z popisu v kapiole zabývajíí se AM modulaemi. Apliudové a ázové rekvenční spekrum navzorkovaného AM modulovaného signálu ( ).5 NYQUISTUV TEOREM PRO PÁSMOVÉ SIGNÁLY - Ampliudové rekvenni spekrum vzorkovaného AM modulovaneho signalu v vz () FR Wm.5 - -5 - -5 5 5 [Hz] NYQUISTUV TEOREM PRO PÁSMOVÉ SIGNÁLY - Fazove rekvenni spekrum vzorkovaného AM modulovaneho signalu v vz ().5 Θ m -.5 - - -5 - -5 5 5 [Hz] Obr..4.5. Kmiočové spekrum ampliudy a áze vzorkovaného AM modulovaného signálu dle Nyquisova eorému pro pásmový signál I 33
PÁSMOVÝ SIGNÁL A PŘENOS PÁSMOVÉHO SIGNÁLU Povrzení koreknosi eorému je provedeno odvození a rozbor výše uvedeného vzahu o vzorkování pásmového signálu. Pásmový signál v () se zapíše ve varu v () x( ) osω y( ) sinω = (.4.) Sřed rekvenčního pásma pásmového signálu je označeno, = ( )/. Ze vzahu (.4.) je zřejmé, že jak x (), ak y () jsou signály v základním pásmu, šířka B jejih pásma je omezena na B = B T /. Nyquisův eorém pro vzorkování ěho signálů ležíí v základním pásmu říká, že je nuno je vzorkova s rekvení vzorkování > B = B. Rovnie (.4.) má poom var v () = x n n b T { π b[ ( n b )]} [ ( n )] n sin os ω y sinω (.4.3) b π b = b b n n V obeném případě, kdy se získají vzorky x a y nezávisle, je řeba pro každou hodnou b b n získa dva reálné vzorky signálu v (), je edy s = b > BT. To odpovídá vzahu (.4.) a je dosaečné pro věšinu aplikaí kde >> B. V akovém případě lze vzorky x () a y () získa vzorkováním () okamžiku vzorkování ( ) Výsledkem je, že vzorkováním signálu ( ) T v v čase ( n b ) x byl os ω = a v okamžiku vzorkování () když byl os ω =, j. když byl sin = když byl sin ω =, j. když byl os =, s ím že se okamžik vzorkování mírně posune ak, aby v v se obdrží přímo v čase n s ω signál v ( n b ) = x( n b ) ω signál v ( n ) = y( n ) b b y byl sin ω =. dosaečně vysoká, aby bylo možno získáva vzorky x ( ) a y ( ) přímo ze vzorků ( ) x a () x a ( ) Není-li v, oddělí se složky () y ze signálu například pomoí hardwarového kvadraurního součinového IQ deekoru. Demodulované signály za deekorem ( ) y jsou signály v základním pásmu, keré lze vzorkova, jsou dva, s elkovou rekvení vzorkování = > B. Při provádění výpoču bylo provedeno několik zjednodušení, kdy vzore (.4.3) ukazuje reproduki signálu v () z dvoji vzorků x () a y (), snímanýh současně. Signál v ( ) se proo podle vzahu (.4.3) mění s rekvení b = s. Pásmový signál v () je edy vzorkován v prinipu neekvidisanně (nonuniorm sampling), edy ne periodiky, jak by o vyžadoval vzah (.4.3). Pro sřídavé periodiké vzorkování složek x ( ) a () > B. Dá se ukáza, že pro neekvidisanní vzorkování y plaí výše uvedený vzah s T pásmového signálu mohou bý poměry horší, v krajním případě může bý minimální požadovaná rekvene vzorkování s, neekvidis an ní pásmového signálu rovna až s, neekvidis anní = 4BT. s b T 34