Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 8. října 206 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72
Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání, porovnávání čísel 2 Celá čísla, odčítání, násobení 3 Čísla 2 0 9 4 Dělení 5 Zlomky 6 Desetinná čísla 7 Mocniny 8 Odmocniny 9 Logaritmy, absolutní hodnota 0 Závorky Množiny 2 Úpravy zlomků 3 Indexy, čtení x y 4 Logické spojky 5 Úpravy rovnic a nerovnic 6 Popis řešení rovnic a nerovnic Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 2 / 72
Prezentace si můžete stáhnout na adrese http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~partlond/ V několika prvních týdnech bude místo fyziky matematika. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 3 / 72
Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... nula... jedna 2... dvě 3... tři 4... čtyři 5... pět 6... šest 7... sedm 8... osm 9... devět 0... deset... jedenáct 2... dvanáct 3... třináct 4... čtrnáct 5... patnáct 6... šestnáct 7... sedmnáct 8... osmnáct 9... devatenáct 20... dvacet Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 4 / 72
Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 3, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, 5. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 5 / 72
Rovná se, nerovná se =... rovná se... nerovná se =... jedna se rovná jedna 2... jedna se nerovná dvě x y... x se nerovná y a = b... a se rovná b 5 = 5, 4 7, =, 3 9, 8 2, a b, x = z, 0 20, 6 = 6. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 6 / 72
Větší než, menší než >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno 3 > 2... tři je větší než dvě 2 < 7... dvanáct je menší než sedmnáct 4... čtrnáct je větší nebo rovno jedenáct 5 5... pět je menší nebo rovno pět 0 0, 6 <, 9 > 3, 6 20, 4 < 6, x z, w u. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 7 / 72
Příklady >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno =... rovná se... nerovná se 5 = 5, 7 < 2, 20 0, 9 9, 6 > 3, 7 7,, 8 4, 6 6, 2 20, x < y, 0 = 0, 5 > 0, 3, 0 <,, 6 8, 2 0, 8 < 5, 20 3, 4 5, 7 > a, 8 = 8, 5 0, 3 9, 7 0, 2 < 4, c b. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 8 / 72
Sčítání ( + = 2) +... plus 3 + 5 = 8... tři plus pět se rovná osm 0 + 7 2... nula plus sedm se nerovná dvě x + y = z... x plus y se rovná z a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek 6 + 3 = 9... šest plus tři se rovná devět První sčítanec je šest. Druhý sčítanec je tři. Součet je devět. Výsledek je devět. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 9 / 72
Sčítání ( + = 2) a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek + 9 = 0, 4 + 3 = 7, 8 + 2 = 20, + 5 = 6, 0 + 2 = 2, 4 + 6 = 20, 3 + 5 = 8, 9 + 8 = 7, 4 + = 5, 6 + 3 = 9, 7 + = 8, 9 + 2 =, 6 + 0 = 6, 2 + 3 = 5, u + v = s. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 0 / 72
Desítky N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... deset 20... dvacet 30... třicet 40... čtyřicet 50... padesát 60... šedesát 70... sedmdesát 80... osmdesát 90... devadesát 00... sto 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 00, 70 7, 0 + 20 = 30, 50 + 40 = 90, 80, 60 > 8, 0 + 00 00, 7 + 3 = 30, a + 5 40. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72
Je rovno, není rovno jedna plus dvě se rovná tři, + 2 = 3... jedna plus dvě je rovno tři, jedna plus dvě je tři. tři plus čtyři se nerovná pět, 3 + 4 5... tři plus čtyři není rovno pět, tři plus čtyři není pět. 5 + 7 = 2, 4 + 6, 7 + 3 = 30, 30 + 60 = 90, 8 + 0 20, c + 00 = g, k + s h, 5 + 4 = 9, 3 + 8 =, 4 + w 80 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 2 / 72
Celá čísla Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}... celá čísla... mínus 00... mínus sto x... mínus x 8,, 5, x,, 40, 5, 2, 70, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 60, 00, 80, 7, o, r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 3 / 72
Odčítání (3 2 = )... mínus 5 3 = 2... pět mínus tři se rovná dvě 0 7 2... nula mínus sedm se nerovná dvě x y = z... x mínus y se rovná z 9 = 0... mínus jedna mínus devět se rovná mínus deset a b = c menšenec mínus menšitel rovná se rozdíl, výsledek (not used) (not used) 9 = 8, 4 5 =, 8 2 = 6, 5 = 6, 0 2 = 2, 0 30 = 20, 40 + 50 = 90, 9 3 = 6, 4 = 3, h r = 80, 20 80 = 00, 9 e = i, 7 4 0, o w j, 70 + 60 = 0, 90 h > 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 4 / 72
Násobení (2 3 = 6)... krát 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest x y = z... x krát y se rovná z xy = z... x krát y se rovná z 3x = 9... tři x se rovná devět a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest První činitel je dvě. Druhý činitel je tři. Součin je šest. Výsledek je šest. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 5 / 72
Násobení (2 3 = 6) a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 9 = 8, 4 5 = 20, 7 0 = 70, 2 5 = 60, 0 00 = 0, 0 0 = 00, x y = 90, p 3 = 40, q = 3, 30 4 0, 5 3 = 5, 3 ( 6) = 8, 40 h <, o ( e) j, 7 + 3 = 3 0, 6 k 9 8 3 4 50, 5 ( 8) 2 9, 0 2 0, 4 0 < 90 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 6 / 72
2, 22, 23,..., 99 2 (20 + )... dvacet jedna 62 (60 + 2)... šedesát dva (dvě) 34 (30 + 4)... třicet čtyři 97 (90 + 7)... devadesát sedm 85, 49, 52, 3, 63, 77, 26, 94, 38, 82, 34, 43, 27, 69, 7, 56, 99, 3, 25, 5, 50, 55, 33, 44, 66,, 87, 22, 00, 74, 0, 29, h, e, 48 < 93, 6 50, k + m 42, 9 7 = 63, 2 36 = 72, 3 3 = 39, 89 64 = 25, 0 54, 6 ( 4) = 84 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 7 / 72
Stovky 00... sto 200... dvě stě 300... tři sta 400... čtyři sta 500... pět set 600... šest set 700... sedm set 800... osm set 900... devět set 000... tisíc 400, 00, 600, 900, 200, 000, 300, 800, 500, 700, 600, 200, 000, 800, 400, 500, 900, 700, 00, 600, 300, 700, 500, 300, 900, 000, 00, 200, 20, 39, 75, 400, 0 60 = 600, 25 20 = 500, 5 20 900, 2 200 800 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 8 / 72
0, 02, 03,..., 999 0 (00 + )... sto jedna 2 (00 + 2)... sto dvanáct 632 (600 + 32)... šest set třicet dva (dvě) 350 (300 + 50)... tři sta padesát 999 (900 + 99)... devět set devadesát devět 852, 497, 52, 38, 643, 777, 265, 942, 382, 824,, 569, 333, 57, 290, 444, 600, 55, 708, 80, 000, 906, 74, 3, 25, 555, 280, 37 < 692, 45 + 74 = 589, 222, 555, 8 6 = 288, 364 80 = 437, 973h = 000 g Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 9 / 72
Opakování 23, 456, 789, 0, 000, 98, 76, 543, 2, 2, 875, x, h + p 358, 33 + 44 777, q 905 = 26, 666 290 = 956, 82 + ( 529) = 347, 405, 30 < 7, 224 y z, 000, 88, 766 r, 444 333, 97 578 = 339, s 6 = l, 5w = i, 45 6 = 270, 3 22 = 682, 98 379 = 539, 6 7 5 = 560, 674 78 3 + 35 ( 330) = 25, x y f j + c g 7 = u Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 20 / 72
Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., 999 000) 000... tisíc 2 000... dva tisíce 3 000... tři tisíce 4 000... čtyři tisíce 5 000... pět tisíc. 32 000... třicet }{{ dva } tisíc 32. 999 000... devět } set devadesát {{ devět } tisíc 999 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 2 / 72
Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., 999 000) 23 000, 3 000, 789 000, 0 000, 000, 980 000, 2 000, 543 000, 400 000, 4 000, 26 000, 666 000, 7 000, 327 000, 5 000, 3 000, 33 000, 303 000, 330 000, 300, 33, 333 000, 444 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 22 / 72
00, 002,..., 999 999 23 456 (23 000 + 456)... sto dvacet tři tisíc čtyři sta padesát šest 789 302 (789 000 + 302)... sedm set osmdesát devět tisíc tři sta dva 444 444, 333 333,, 809 002, 65 780, 57 62, 666 666 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 23 / 72
000 000, 000 00,..., 000 000 000 000 000... milion 2 000 000... dva (dvě) miliony 3 000 000... tři miliony 4 000 000... čtyři miliony 5 000 000... pět milionů. 999 000 000... devět set devadesát devět milionů 000 000 000... miliarda 23 456 789 (23 000 000 + 456 789)... sto dvacet tři milionů čtyři sta padesát šest tisíc sedm set osmdesát devět 4 05 672, 902 503 2, 009 795, 549 009 806, 3 980 0, 234 567 890 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 24 / 72
000 000 000, 000 000 00,..., 000 000 000 000 000 000 000... miliarda 2 000 000 000... dvě (dva) miliardy 3 000 000 000... tři miliardy 4 000 000 000... čtyři miliardy 5 000 000 000... pět miliard. 999 000 000 000... devět set devadesát devět miliard 000 000 000 000... bilion 23 456 789 000 (23 000 000 000 + 456 789 000)... sto dvacet tři miliard čtyři sta padesát šest milionů sedm set osmdesát devět tisíc 3 490 05 672, 2 853 05 040, 4 003 09 75, 549 80 00 93, 476 059 000, 2 030 000 23, 87 439 000 006, 000 000 000 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 25 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2)... děleno /... děleno, lomeno x 0... x děleno nulou x... x děleno jednou x 2... x děleno dvěma x 3... x děleno třemi x 4... x děleno čtyřmi x 5... x děleno pěti x 9... x děleno devíti x 0... x děleno deseti. x 20... x děleno dvaceti x 2... x děleno dvaceti jednou.. x 8... x děleno osmi x 99... x děleno devadesáti devíti Při dělení čísly 0,,..., 99 všechna slova deklinujeme. 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 78, 4, 50, 95, 3, 23, 49, 84,, 66, 8, 52, 0, 80, 77,, 23 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 26 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) x 00... x děleno (jedním) stem x 200... x děleno dvěma sty x 000... x děleno (jedním) tisícem x 2 000... x děleno dvěma tisíci Ale: x 2 000... x děleno dvaceti jedním tisícem (jednou tisíci) x 000 000... x děleno (jedním) milionem x 2 000 000... x děleno dvěma miliony Ale: x 2 000 000... x děleno dvaceti jedním milionem (jednou miliony) x 000 000 000... x děleno miliardou x 2 000 000 000... x děleno dvěma miliardami Ale: x 2 000 000 000... x děleno dvaceti jednou miliardou Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 27 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 800, 000, 000 000, 00, 7 000, 9 000 000 000, /7 000, 66 000 000, ( 000 000), 8 000 000, 300, ( 4 000 000 000), /45, /900, /6 000 000 000, 0 000, 500, 5 000, 2 000 000, 9 000, 9 000 000, /9 000 000 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 28 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) Při dělení čísly 00, 0, 02,... máme dvě možnosti. Deklinujeme všechna slova. 987 654 32... děleno devíti sty osmdesáti sedmi miliony šesti sty padesáti čtyřmi tisíci třemi sty dvaceti jednou 23 40 000... děleno (jedním) stem dvaceti třemi miliony čtyřmi sty jedním tisícem 2 Nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice. 987 654 32... děleno devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jednou 202... děleno dvě stě dvěma 23 405 000... děleno sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 29 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 6/3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 7 x = a... sedm děleno x se rovná a a b = c dělenec děleno dělitel rovná se podíl, výsledek 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě Dělenec je šestka. Dělitel je trojka. Podíl je dvě. Výsledek je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 30 / 72
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 276 890 95 08 493, 385 3 42 662 007, 56 ( 000), 209 000 002 7 420 500, 97 22 370 343 434 343 434, q 37, 305 996 723 52 8 37 4, k l m = o, w/800 60 03 = g 276/5, 23 59 220 9 876 = 2 345, 700 00 009 0 000 202, b 5 93 25, 402 46 030 009 620 00, 97 382 5/72 0 = 2 74, u j s/t = r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 3 / 72
Zlomky ( 2, 7,...) x y... zlomek 2 3 4 5... (jedna) polovina... (jedna) třetina... (jedna) čtvrtina... (jedna) pětina 6 7 8 9... (jedna) šestina... (jedna) sedmina... (jedna) osmina... (jedna) devítina 0,,..., 20 30, 40,..., 90... (jedna) desetina, jedenáctina,..., dvacetina... (jedna) třicetina, čtyřicetina,..., devadesátina 8, 2, 4, 50, 3, 0, 4, 7, 70, 90, 6, 3, 5, 9, 20,, 7,, 3, 4, 30, 9, 60, 2, 80, 2, 5, 4, 0, 9, 6 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 32 / 72
Zlomky ( 2, 77,..., ) 99 2 22... (jedna) jedena }{{}} dvacetina {{} 20... (jedna) dvaa }{{}} dvacetina {{} 2 20 58, 7 23. 29... (jedna) třiadvacetina... (jedna) devětadvacetina... (jedna) osmapadesátina, (jedna) jedenasedmdesátina 63, 49, 9, 72, 55, 27, 68, 3, 84, 99, 26, 62, 5, 2, 5, 90, 47, 4, 30, 85,, 29, 34, 44, 33, 5, 27, 9 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 33 / 72
Zlomky ( 00, 000,...)... (jedna) setina 00... (jedna) tisícina 000... (jedna) desetitisícina 0 000... (jedna) stotisícina 00 000... (jedna) miliontina 000 000... (jedna) miliardtina 000 000 000 00 000, 00, 00 000 000, 000, 000 000 000, 0 000, 0, 00 = 000 000, ( )/5 = 5 00 000 = 000, 0 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 34 / 72
Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 0... nula pětin 5... (jedna) pětina 5 2... dvě pětiny 5 3... tři pětiny 5 4... čtyři pětiny 5 5... pět pětin 5. 20 5... dvacet pětin Zlomky x 5 pro x > 20 a x písmeno Pokud x končí na jednu z číslovek, 2, 3, 4, čteme 2 5... dvacet jedna pětina 73 5... sedmdesát tři pětiny 42 5... čtyřicet dvě pětiny 54 5... sto padesát čtyři pětiny Jinak čteme 25 5... dvacet pět pětin x 5... x pětin Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 35 / 72
Zlomky ( 2 5, 5 8,...) x Zlomky y pro x > 20 Pokud x končí na jednu z číslovek, 2, 3, 4, čteme 2 00 73 99... dvacet jedna setina... sedmdesát tři devětadevadesátiny Jinak čteme 42 000... čtyřicet dvě tisíciny 54 35... sto padesát čtyři pětatřicetiny x 5... x patnáctin 77 2... sedmdesát sedm polovin 2 63, 2, 3 9, 76 72, 84 55, 4 27, 59 3, 60 3, 84, 37 99, 2 26, 99 62, 0 5, j 4, 386 7, 2 7, 3 2, 5 5, 32 8, 3 2, 5 97, w 4, 54 000, 582 00, 8 399 0 000, 2 5, 30 7, 3 000 000, 93 00 000, a 45, 23 2, 0 3, 33 66, 43 43, 9 00, 6 74, 20 9, 3 88, 4 28 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 36 / 72
Zlomky ( 2 03, 835 2 345,...) Zlomky x y pro y > 00 a zlomky s písmeny (s výjimkou dříve uvedených) nebo se složitějšími výrazy čteme jako podíl. 2 02... dvacet jedna lomeno jedním stem dvěma... sedmdesát tři lomeno devadesáti devíti tisíci osmi sty sedmdesáti 73 99 870 x y... x lomeno y 3 x 5... tři lomeno x mínus pět 2 čitatel zlomková čára jmenovatel V čitateli zlomku je jednička. Čitatel zlomku je jedna. Ve jmenovateli zlomku je dvojka. Jmenovatel zlomku je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 37 / 72
Zlomky ( 23 876, s t 8,...) Složitější zlomky čteme takto: x+y z s+r... Zlomek. V čitateli x plus y mínus z, ve jmenovateli s plus r. 2x 37 q... Zlomek. V čitateli dvě x mínus třicet sedm, ve jmenovateli jedenáct krát q. 7x 67, 45 2, a b x +, 53 00, 2, 2 3, q 00 000, 4/72 4, c 72/c, 5 99, 4 9, 2 + 8 7 963, 000 000, 2 000 000, k l 67, 2 98, 5 52, 0 000, 83 39, g f, 3 2, ( 22 000 000, 23r 000 000 000, 54 55, 23 456, 3 049 93 87, 4 82 ) = 82 4 6 = 4 8 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 38 / 72
Desetinná čísla (0,, 6,037,...),3... celá část,... desetinná čárka 3... desetinná část 0,23456... desetiny 2... setiny 3... tisíciny,2... jedna celá dvě (desetiny) 2,2... dvě celé dvě (desetiny) 3,2... tři celé dvě (desetiny) 4,2... čtyři celé dvě (desetiny) 4... desetitisíciny 5... stotisíciny 6... miliontiny 5,2... pět celých dvě (desetiny). 20,2... dvacet celých dvě (desetiny) 2,2... dvacet jedna celá dvě (desetiny) 93,2... devadesát tři celé dvě (desetiny) 45,2... sto čtyřicet pět celých dvě (desetiny) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 39 / 72
Desetinná čísla (0,, 6,037,...) Při čtení desetinné části (,23) máme následující dvě možnosti: Desetinnou část čteme jako zlomek.,23 ( = + 00) 23... jedna celá dvacet tři (setiny),023 ( = + 023 000)... jedna celá dvacet tři tisíciny,0705 ( = + 705 0 000)... jedna celá sedm set pět desetitisícin 2 Desetinnou část čteme jako posloupnost číslovek.,23456... jedna celá dvě, tři, čtyři, pět, šest,0705... jedna celá nula, sedm, nula, pět 0,09... žádná/nula celá devět setin, žádná/nula celá nula, devět 93,0020... devadesát tři celé dvě stě jedna stotisícina, devadesát tři celé nula, nula, dva, nula, jedna 05,0... sto pět celých nula (desetin) 0,68, 3,907, 003,0, 0,432, 2,090807, 3,630, 0,4443, 2,052, 4,27 +,000 = 5,270, 4 782,50039, 23,057, 5,92674, 0,5, 0,25 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 40 / 72
Desetinná čísla (0,, 6,037,...) 3 733,357/3809 = 0,9803, 25 + 0,76 = 0,80, 23,456789, 22,64, 6 98246,092 8472,249 = 89773,9843, 4 782,50039, 2,7, 0,0909, 8,07, 6,300, 0,25, 0,00003, 002,056, 0,23 0,987 = 0,240, 7,04003, 0,72, 0,06002, 2 098 004,05, 8,56, 64,9070, 3,98/5 = 0,2654 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 4 / 72
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7... x na nultou... x na prvou... x na druhou... x na třetí... x na čtvrtou... x na pátou... x na šestou... x na sedmou x 8 x 9 x 0 x x 9 x 20... x na osmou... x na devátou... x na desátou... x na jedenáctou.... x na devatenáctou... x na dvacátou g, k 9, c 4, p 7, f 7, j 0, o 4, k 6, h 3, w 2, a 5, r 3, y 2, e 9, x, w 20, m 8, z 8, q 5, v 6, h 4, s 0, u 2, f 20, n 0, w 9, d 3, g 7, t, i 0, y 2, x 9, g 3, p 0, n 4, u 0, e, c 2, j 5, k 2, l 3, a 9 x 9, s 4, z 7 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 42 / 72
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 0 x 20 x 30 x 40 x 50... x na desátou... x na dvacátou... x na třicátou... x na čtyřicátou... x na padesátou x 60 x 70 x 80 x 90 x 00... x na šedesátou... x na sedmdesátou... x na osmdesátou... x na devadesátou... x na stou x 27 ( = x 20+7)... x na dvacátou sedmou x 83 ( = x 80+3)... x na osmdesátou třetí j 92, y 63, c 00, p 7, f 47, z 23, o 78, k 60, x 39, u 2, a 55, r 84, j 96, e 33, m 85, z 4, q 69, v 0, h 22, s 27, u 46, f 9, n 43, w 99, d 3, g 77, t, y 00, x 3, g 5, p 74, n, u 6, e 6, c 83, j 26, k 68, l 2, a 9 x 98 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 43 / 72
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 2 exponent základ (mocniny) 3 2... Základ mocniny je číslo tři. Exponent je číslo dvě. Při čtení mocnin s různými základy základ nedeklinujeme. 2 2... dvě na druhou 7 5... sedmnáct na patnáctou ( 6 4)... jedna čtvrtina na šestou 0,047 4... žádná celá čtyřicet sedm tisícin na čtvrtou ( ) 0... mínus jedna na nultou 0,257 5, ( ) 5, 4 ( ) 3 ( 4, 29 ) 9, 5 432 28, 2 456,987 654 7, w 87, 4 0, 0, 2, 7 2 ( ) 53 ( ) 7 ( ) 4 7 2 2 43, 4 444 49, 333 333, d 73, 0,,, s 3 5 34 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 44 / 72
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... Při čtení mocnin s písmenem latinské abecedy v exponentu čteme: 2 x... dvě na x-tou 2 n... dvě na n-tou Pokud je exponent mocniny složitější, deklinovat nemusíte. 4 2,57... čtyři na dvě celé padesát sedm 7 x2 +2x+4... sedm na x na druhou plus dvě x plus čtyři x 2 3... x na dvě třetiny a 2 b 2 ( ) 27 a + b = a b, 5 8 6 3 + 25c+23r, x,, r s 456 3, ( 0,23) 789, 0 0, 4 a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2) ( ) n 32, 7,0509 3,4, e x, 2 4,, 4 2, 6 ) 0x 3 5x 2 y+y 4, a b (8 423/209 730) 29 4, ( 2,783) 9,2000x, ( ) n n, ( 20 2 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 45 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... x... první odmocnina z x x... (druhá) odmocnina z x 3 x... třetí odmocnina z x 4 x... čtvrtá odmocnina z x 5 x... pátá odmocnina z x 6 x... šestá odmocnina z x 7 x... sedmá odmocnina z x 8 x... osmá odmocnina z x 9 x... devátá odmocnina z x 0 x... desátá odmocnina z x x... jedenáctá odmocnina z x 2 x... dvanáctá odmocnina z x. 9 x... devatenáctá odmocnina z x 20 x... dvacátá odmocnina z x j, 9 x, 4 c, 7 p, 7 f, x, 4 o, 20 k, 3 z, 3 r, 5 a, 0 w, 2 q, 9 e, y, 8 m, 8 p, 5 q, 6 v, 4 a, 9 s, 2 u, 0 n, 3 3 w, d, 7 g, 7 4 t, i, b, 2 y, 9 x, 3 g, 0 p, 6 n, c, 5 e, 2 s, 5 7 3 j, k, l, 9 a 9 y, 4 t, 6 z, 20 y, 6 k Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 46 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 0 x... desátá odmocnina z x 20 x... dvacátá odmocnina z x 30 x... třicátá odmocnina z x 40 x... čtyřicátá odmocnina z x 50 x... padesátá odmocnina z x 27 x (= 20+7 x)... dvacátá sedmá odmocnina z x 83 x (= 80+3 x)... osmdesátá třetí odmocnina z x 60 x... šedesátá odmocnina z x 70 x... sedmdesátá odmocnina z x 80 x... osmdesátá odmocnina z x 90 x... devadesátá odmocnina z x 00 x... stá odmocnina z x 2 j, 99 x, 54 c, 73 p, 65 f, x, 7 o, 83 k, 52 z, 27 r, 55 a, 49 w, 2 q, 00 e, y, 8 m, 38 p, 74 q, 47 v, 4 a, 84 s, 2 u, 95 n, 36 w, 34 d, 28 g, t, 6 i, 95 b, 3 y, 47 x, 30 g, p, 6 n, 64 c, 5 e, 58 s, 33 j, 7 k, 22 l Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 47 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 0... odmocnina z nuly 9... odmocnina z devíti... odmocnina z jedné 2... odmocnina ze dvou 3... odmocnina ze tří 4... odmocnina ze čtyř 5... odmocnina z pěti. 8... odmocnina z osmi 0... odmocnina z deseti. 20... odmocnina z dvaceti 2... odmocnina z dvaceti jedné 22... odmocnina z dvaceti dvou. 99... odmocnina z devadesáti devíti 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 8, 4, 6 50, 95, 3, 6, 23, 0 49, 84,, 66, 3 8, 52, 0, 80, 7 77,, 92, 3, 64, 29, 9 53, 42, 7, 3 0,, 2, 4 76, 2, 0 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 48 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Při odmocňování čísel 00, 0, 02,... můžeme postupovat tak, že nedeklinujeme a řekneme z čísla nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice. 987 654 32... odmocnina z devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jedné 202... odmocnina z dvě stě dvou 23 405 000... odmocnina z čísla sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc 32, 769, 2 208 653, 43 987, 55, 092, 8 080, 3 6, 7 3, 5 0, 20 343, 2, 8 9, 7 3 23, 20, 8 3, 5 2, 0 7, 4, 3 9 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 49 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 3 x odmocnitel základ (odmocniny), číslo pod odmocninou 3 2... Pod odmocninou je číslo dvě. 3 2... Základ odmocniny je číslo dvě. Odmocnitel je číslo tři. Pokud je odmocnitel písmeno latinské abecedy, čteme ho následovně: n 5... n-tá odmocnina z pěti x 3... x-tá odmocnina ze tří Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 50 / 72
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Pokud je výraz pod odmocninou složitější, deklinovat ho nemusíme. 2,5... odmocnina z čísla dvacet jedna celých pět desetin 0 4... odmocnina z (výrazu/čísla) deset mínus jedenáct čtvrtin n 2 + 2n + 4... odmocnina z (výrazu/čísla) n na druhou plus dvě n plus čtyři Pokud je odmocnitel složitejší, čtěte odmocninu následujícím způsobem: 2n 2... Odmocnina. Odmocnitel je 2n, pod odmocninou je číslo dvě. x2 + 3w + 4... Odmocnina. Odmocnitel je x 2 +, pod odmocninou je číslo/výraz tři w plus čtyři. 27 000 5... Odmocnina. Odmocnitel je sto dvacet sedm tisíc, pod odmocninou je číslo pět. 3 2 3 + x0, n nn, 9 + 2, t 2 x8 3y 2, q+s k/2 23/456, 2 g+h, j 0, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 5 / 72 y e x
Logaritmy (log 0 2, ln x,...) log a x... logaritmus x při/o základu a, logaritmus x log x ( = log 0 x)... logaritmus x ln x ( = log e x)... přirozený logaritmus x, logaritmus x e... Eulerovo číslo, e = 2,78... log a b argument logaritmu základ logaritmu Argument logaritmu čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). ln 257... přirozený logaritmus dvě stě padesáti sedmi log 4 3 00... logaritmus tři tisíce jedné při základu čtyři log 2 2... logaritmus odmocniny ze dvou při základu dvě log a x + log a y = log a (xy), log a x log a y = log a ( x y ), c log a x = log a x c, ln 23, log 85 987 654 32, log a x = log a b log b x, log2 2 32 =? Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 52 / 72
Absolutní hodnota ( x, 0,...)... absolutní hodnota x číslo v absolutní hodnotě absolutní hodnota Číslo v absolutní hodnotě čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). x... absolutní hodnota x... absolutní hodnota mínus jedné x 2 + 2... absolutní hodnota výrazu/čísla x na druhou plus dvě 3 2... absolutní hodnota třetí odmocniny z mínus dvou ln 4... absolutní hodnota přirozeného logaritmu čtyř ln 4... přirozený logaritmus absolutní hodnoty mínus čtyř 200, 35, q, x2 + 4x + 4 =?, 74 9, 2x, x2 = x, e s = e s,, 7 3 872 log 3 8 =?, x + y x + y, x y = xy Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 53 / 72
Závorky ((), [], {}, ) (... kulatá závorka [... hranatá závorka {... složená závorka... špičatá/ostrá závorka ()... kulaté závorky []... hranaté závorky {}... složené závorky... špičaté/ostré závorky (... levá závorka )... pravá závorka (x), [x], {x}, x... x v závorce (x + ), [x + ], {x + }, x +... x plus jedna (to celé) v závorce (x + ) 3... x plus jedna to celé/v závorce krát tři ln(4x + 3)... logaritmus výrazu/čísla čtyři x plus tři ( + x) n... jedna plus x to celé na n-tou 6/(2 + 4)... šest děleno závorka dvě plus čtyři konec závorky (4/(x + y) + ) 5... čtyři děleno závorka x plus y konec závorky plus jedna to celé (v závorce) krát pět Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 54 / 72
Závorky ((), [], {}, ) (a + b) (a b) = a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, 5(4r + 3h), [ ( 3 42 27 5 2 2 ln )] e 3 =?, (m + n) l + m + n = (m + n) (l + ), ( ) { p/2 345 log 4 254 786 + r } [ ] 90 45, + e 2(3s g) 5 q 67 24 3, 20 7 720 5 6 723 905 = 3, (x + a) w (log y 37 6u) 8 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 55 / 72
Množiny (R, x 0,, A B) {, a, +}... množina, která obsahuje prvky jedna, a, plus A = {, a, +}... Množina A obsahuje prvky jedna, a, plus. x A... x patří/náleží do množiny A (2. pád), x je v A,5 / A... (číslo) jedna celá pět desetin nepatří/nenáleží do množiny A (2. pád), (číslo) jedna celá pět desetin není v A A B... Množina A je podmnožinou množiny B (2. pád). A je v B. A B... Množina B je nadmnožinou množiny A (2. pád). A B... Množina A není podmnožinou množiny B (2. pád). A není v B. A B... průnik množin A a B, A průnik B A B... sjednocení množin A a B, A sjednoceno s B A \B... rozdíl množin A a B, A mínus B x A B... x patří do průniku množin A a B, x je v průniku množin A a B, x je v A a i v B Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 56 / 72
Množiny (R, x 0,, A B) Intervaly (0, )... otevřený interval od nuly do jedné 0,, [0, ]... uzavřený interval od nuly do jedné (a, b)... otevřený interval od a do b Číslo 0 je dolní mez intervalu a číslo je horní mez intervalu. Meze intervalu čteme jako číslo pod odmocninou (2. pád). (0,... zleva otevřený zprava uzavřený interval od nuly do jedné 0, )... zleva uzavřený zprava otevřený interval od nuly do jedné x (3,4)... x patří/náleží do otevřeného intervalu (2. pád) od tří do čtyř, x není v otevřeném intervalu (6. pád) od tří do čtyř Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 57 / 72
Množiny (R, x 0,, A B) x (2,3), q / [ 7, ], ( 3, 7) ( 2, 9), (c,d) {c, d} = c,d, {8, 5, 7} 4, 0), 0, 6 3, 5 =?, (8, 7 (7, 8) =?, (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 58 / 72
Množiny (R, x 0,, A B) Důležité množiny N... množina všech přirozených čísel (x N... x je přirozené) Z... množina všech celých čísel (x Z... x je celé) Q... množina všech racionálních čísel (x Q... x je racionální) R... množina všech reálných čísel (x R... x je reálné) R +... množina všech kladných reálných čísel (x R +... x je kladné) R... množina všech záporných reálných čísel (x R... x je záporné) R + 0... množina všech kladných reálných čísel a nuly R... rozšíření množiny všech reálných čísel (R = R {+, }) +... plus nekonečno,... mínus nekonečno C... množina všech komplexních čísel (x C... x je komplexní) C... rozšíření množiny všech komplexních čísel (C = C { })... nekonečno... prázdná množina Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 59 / 72
( ) Úpravy zlomků 2 = 4 2 2, 3 7 + 2 5 = 29 35,... Krácení a rozšiřování zlomků (krátit zlomek, rozšířit zlomek) Číslo, kterým krátíme/rozšiřujeme, čteme jako při dělení (7. pád). 2... Zlomek dvě čtvrtiny zkrátíme dvěma (na tvar jedna polovina). 4 2 x3x x2 7 3 3 3... Zlomek x na třetí lomeno x na druhou zkrátíme x na druhou.... Zlomek tři sedminy rozšíříme třemi. Jak můžeme zkrátit zlomek 30 3 6. 60 5? Například dvěma na tvar 30 nebo deseti na tvar Převod zlomků na společného jmenovatele (převést zlomky na společného jmenovatele) 3 7 + 2 5 = 29 35... Zlomky tři sedminy a dvě pětiny převedeme na společného jmenovatele (třicet pět) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 60 / 72
Čtení indexů ( a, x n, x (3),... ) Čtení indexů x... x jedna, x s dolním indexem jedna... dolní index x 2, x (2)... x dvě, x s horním indexem dvě 2, (2)... horní index x,2... x jedna dvě x n... x n Další způsob čtení výrazu x y x 0... x je různé od nuly (čteme v 2. pádě, jako číslo pod odmocninou) x y... x je různé od y Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 6 / 72
Logické spojky (,,, ) Čtení logických spojek a = b = 2... a se rovná jedna a (zároveň) b se rovná dvě platí a se rovná jedna a zároveň platí b se rovná dvě a = a = 2... a se rovná jedna nebo a se rovná dvě platí a se rovná jedna nebo platí a se rovná dvě a 2 = 0 a = 0... a na druhou se rovná nula, a proto a se rovná nula platí a na druhou se rovná nula, a proto platí a se rovná nula z a na druhou se rovná nula plyne a se rovná nula a 2 = 0 a = 0... a na druhou se rovná nula (platí) právě tehdy, když (platí) a se rovná nula Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 62 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) x 2 + 2x 3 = 0... rovnice (s neznámou x), x 2 = 2x + p... rovnice (s neznámou x a parametrem p), x 2 2x + p... nerovnice (s neznámou x a parametrem p) x 2 = 2x + p levá strana rovnice rovnítko, znak rovnosti pravá strana rovnice x je neznámá. p je parametr. Na levé straně rovnice je (výraz/číslo) x 2. Na pravé straně rovnice je (výraz/číslo) 2x + p. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 63 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x 2 = 2x 0 = x 2 2x Převedeme (výraz/číslo) x 2 z levé strany (rovnice) na pravou (převést). x 2 = 2x x 2 + 2x = 0 Převedeme (výraz/číslo) 2x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). 2x 2 = 2x x = Vydělíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem 2x (vydělit). 2x = = 2x Vynásobíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem 2x (vynásobit). x 2 + 4x = 4 x 2 + 4x+y = 4+y K levé a/i pravé straně (rovnice) přičteme číslo y (přičíst). x 2 + 4x + 4 = 0 x 2 + 4x + 4 y = 0 y Od levé a/i pravé strany (rovnice) odečteme číslo y (odečíst). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 64 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x + = 0 x + = 0 Levou a/i pravou stranu (rovnice) umocníme na druhou (umocnit). (x + ) 2 = 0 x + = 0 Levou a/i pravou stranu (rovnice) odmocníme (odmocnit). 2 x = log 2 2 x = log 2 Levou a/i pravou stranu (rovnice) logaritmujeme (logaritmovat). log 2 2 x = log 2 2 x = Levou a/i pravou stranu (rovnice) odlogaritmujeme (odlogaritmovat). x 2 + 2x + = 0 (x + ) (x + ) = 0 Levou stranu rovnice převedeme na součin (převést). Levou stranu rovnice vyjádříme jako součin (vyjádřit). Levou stranu rovnice převedeme na tvar (x + ) (x + ). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 65 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic log 2 2 x 2 = x =... Levou stranu (rovnice) zjednodušíme (na (tvar) x ). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). ln 2 ln x=a x + 3ln x + 2 = 0 = a 2 + 3a + 2 = 0 Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). a 2 + 3a + 2 a= = 2 + 3 + 2 Za a dosadíme číslo jedna. (dosadit). x 3 + 3x 2 + 2x = x ( x 2 + 3x + 2 ) Z výrazu vytkneme číslo x. (vytknout). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 66 / 72
Seznam frází Převedeme (výraz/číslo) x z levé strany (rovnice) na pravou (převést). Převedeme (výraz/číslo) x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). Vydělíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem x (vydělit). Vynásobíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem x (vynásobit). K levé a/i pravé straně (rovnice) přičteme číslo x (přičíst). Od levé a/i pravé strany (rovnice) odečteme číslo x (odečíst). Levou a/i pravou stranu (rovnice) umocníme na druhou (umocnit). Levou a/i pravou stranu (rovnice) odmocníme (odmocnit). Levou a/i pravou stranu (rovnice) (od)logaritmujeme ((od)logaritmovat). Levou stranu rovnice vyjádříme/napíšeme jako součin/podíl/mocninu/logaritmus (vyjádřit/napsat). Levou stranu rovnice převedeme na tvar... (převést). Levou stranu (rovnice) zjednodušíme (na (tvar)...) (zjednodušit). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). Za x dosadíme číslo jedna (dosadit). Z výrazu vytkneme číslo x (vytknout). Řešením rovnice je číslo x =. Řešením nerovnice jsou všechna čísla x z otevřeného intervalu od nuly do jedné. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 67 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice 3x 2 = 6 3x (s neznámou x R) Máme řešit rovnici 3x 2 = 6 3x. 2 3 x 2 = 6 2 3 x... Levou i pravou stranu rovnice vydělíme třemi. 3 x 2 = 2 x x 2 +x 2 = 0... Výraz dvě mínus x převedeme z pravé strany na levou. Převedeme všechno/vše na levou stranu. 4 x 2 + x 2 = 0 (x + 2) (x ) = 0... Levou stranu převedeme na součin x plus dva krát x mínus jedna. 5 x = 2 nebo x =... Řešením rovnice jsou čísla mínus dvě a jedna. Rovnici řeší čísla mínus dvě a jedna. Rovnice má dvě řešení, čísla mínus dvě a jedna. x = 2, x 2 =... Řešením rovnice jsou čísla x jedna a x dvě, kde x jedna se rovná mínus dvě a x dvě se rovná jedna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 68 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 2 (x 2)2 < 6 (s neznámou x R). Řešíme nerovnici 2 (x 2)2 < 6. 2 2 (x 2)2 < 6 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6... Levou a pravou stranu rovnice logaritmujeme (logaritmem při základu dvě). 3 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6 (x 2) 2 < 4... Levou i pravou stranu rovnice zjednodušíme. Obě strany rovnice zjednodušíme. 4 (x 2) 2 < 4 x 2 < 2... Levou a pravou stranu rovnice odmocníme. 5 x > 0 a zároveň x < 4... Řešením rovnice jsou všechna čísla x (, která jsou) větší než nula a zároveň menší než čtyři. Řešením rovnice jsou všechna x z otevřeného intervalu od nuly do čtyř (všechna x (0, 4)). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 69 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 4x 3 7+x Máme řešit nerovnici 4x 3 7+x > 0. 2 > 0 (s neznámou x R). 4x 3 7+x > 0 7 + x 0 x 7 Určíme, pro která x má zlomek smysl. Určíme, za jakých podmínek má zlomek smysl. Zlomek má smysl pro (všechna) x různá od mínus sedmi. 3 4x 3 = 0 nebo 7 + x = 0 x = 3 4 nebo x = 7... Určíme/nalezneme nulové body čitatele a jmenovatele. x = 3 4... nulový bod 4 x < 7 4x 3 7+x > 0, x ( 7, 3 4 ) 4x 3 7+x < 0, x > 3 4 4x 3 7+x > 0 Určíme, znaménka zlomku v intervalech (, 7), ( 7, 3 4 ) a ( 3 4, + ). Určíme, kdy je zlomek kladý a kdy (je) záporný. 5 x (, 7) ( 3 4, + )... Řešením rovnice jsou všechna čísla x ze sjednocení otevřeného intervalu od mínus nekonečna do mínus sedmi s otevřeným intervalem od tří čtvrtin do plus nekonečna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 70 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice x 2 = 2 x (s neznámou x R) Řešíme rovnici x 2 = 2 x. 2 a)... x 2 0, b)... x 2 > 0... Rozdělíme řešení na dva případy. 3 a) x 2 0 x 2 = (x 2) = 2 x... Za a. Pokud je výraz x mínus dvě menší nebo roven nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar dvě mínus x. 4 b) x 2 > 0 x 2 =x 2 Za b. Pokud je výraz x mínus dvě větší než nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar x mínus dvě. Za b. Pro x mínus dva větší než nula se absolutní hodnota z x 2 rovná x mínus dvě. 5 x 2... Řešením rovnice jsou všechna čísla x menší nebo rovna dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 7 / 72
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice xp = 0 s neznámou x R a parametrem p R Řešíme rovnici xp = 0 s parametrem p R. 2 a)... p = 0, b)... p 0 V závislosti na hodnotě parametru p rozdělíme řešení na případy a a b (rozdělit). Rozlišíme následující dva případy: p je nula a p není nula. Rozdělíme řešení na případ, kdy p je nula, a případ, kdy p je různé od nuly. 3 a) p = 0 0 x = 0 x R Za a. Pokud je p nula, dostáváme rovnici nula x se rovná nula, takže řešením jsou všechna reálná x. 4 b) p 0 x p = 0 x = 0 Za b. Pro p různé od nuly vydělíme levou i pravou stranu rovnice (číslem) p, takže dostáváme, že x je nula. 5 Pro p 0 (různé od nuly) má rovnice řešení x = 0 (x se rovná nula) a pro p = 0 (p se rovná nula) rovnici řeší všechna x R (reálná x). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 72 / 72