MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina se vytváří intuitivně na základě příkladů a interpretací. V tomto smyslu je množina souhrn konečného nebo nekonečného počtu konkrétních nebo abstraktních objektů, které se nazývají její prvky. Množina je svými prvky jednoznačně určena. V technických aplikacích se jako prvky množin vyskytují například čísla, funkce, vektory, matice apod. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se S. Přitom se vylučuje případ množiny, která by obsahovala jako prvek samu sebe a případ množiny všech množin. K označování množin se zpravidla používají velká písmena latinské abecedy,, M apod. a k označování jejich prvků malá písmena a, b, x apod. Je-li x prvkem množiny M, zapisuje se x M; říká se též, že x patří do množiny M. V opačném případě, kdy x nepatří do množiny M, se zapisuje x M. Symbol se nazývá incidence (příslušnost) prvku k množině. Množinu můžeme zadat nejčastěji dvěma různými způsoby - výčtem prvků a charakteristickou vlastností (tj. takovou vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané množiny). Zápis M = {a, b, c, } vyjadřuje, že do množiny M patří prvky uvedené ve složené závorce. Výčet prvků je buď ukončený (v případě konečného počtu prvků) nebo neukončený (v případě nekonečného počtu prvků, přičemž musí být zcela zřejmé, jak ve výčtu prvků pokračovat). Zápis M = {x; V(x)}, vyjadřuje, že do množiny M patří všechny prvky x, pro něž platí výrok V (neboli splňující vlastnost V ). V případě, že výrok V je složený obsahující konjunkci, píše se namísto "a" též čárka. M = {1, 3, 5, 7}, P = {x; x je liché, 1 x 7}; množiny M a P zřejmě obsahují tytéž prvky. 1
Množina je konečná, patří-li do ní konečný počet prvků; v opačném případě je nekonečná. Existuje právě jedna množina do níž nepatří žádný prvek, značí se, a nazývá se prázdná množina. M = {x; x je bod dané přímky}, P = { p; p je notebook vyrobený v 17. století}; = {a; a je automobil značky Škoda Favorit}; množiny M je nekonečná, P je prázdná a je konečná. K interpretaci (grafickému znázornění) množin se užívá tzv. Vennových diagramů. Množina se tímto způsobem znázorňuje jako část roviny ohraničená uzavřenou "křivkou" (tzv. Jordanovou křivkou). Prvky množiny jsou všechny body ležící "uvnitř" a na této křivce; pokud body ležící na křivce do množiny nepatří, je křivka vyznačena čárkovaně. Na obr. 2.1 je znázorněna množina, x, y. y x Obrázek 2.1 Vennův diagram množiny Množina je podmnožinou množiny, jestliže platí x x, tj, je-li každý prvek množiny též prvkem množiny ; značí se, symbol je (neostrá) inkluze. Množiny, jsou si rovny, jestliže platí a ; značí se =, v opačném případě. Množina je vlastní podmnožinou množiny, jestliže platí a ; značí se (viz obr.2.2). Symbol je tzv. ostrá inkluze. (a) = {a; a je rovnoramenný trojúhelník}, = {b; b je trojúhelník, který má dva vnitřní úhly shodné}. Platí a ; tedy =. (b) = {a; a je čtverec}, = {b; b je rovnoběžník}. Platí a, tedy. Pro každou množinu platí, že, tj. prázdná množina je její podmnožinou. Tvoří-li množinu n prvků, pak počet všech jejích podmnožin se rovná 2 n. 2
Obrázek 2.2 je vlastní podmnožina Některé základní vlastnosti rovnosti a inkluze množin: Pro libovolné množiny,, C platí: 1. =, (reflexivnost). 2. ( = = C) = C, ( C) C (tranzitivnost). 3.. OPERCE S MNOŽINMI K tradičním operacím s množinami patří sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Z praktických důvodů je rozumné provádět úvahy v rámci množiny, tzv. univerzální množiny U, pro níž jsou všechny uvažované množiny jejími podmnožinami (obr. 2.3). Studujeme-li množiny sportovců, je praktické volit za univerzální množinu U, například, množinu všech sportovců, případně všech lidí (nepraktické je asi volit, například, množinu všech objektů ve vesmíru). U C D Obrázek 2.3 Univerzální množina U Sjednocení množin, je množina C = {c; c nebo c }, tj. množina prvků, které patří alespoň do jedné z množin, ; značí se C = (obr. 2.4). 3
Průnik množin, je množina D = {d; d a d }, tj. množina prvků, které patří současně do obou množin, ; značí se D = (obr. 2.5). Množiny, jsou disjunktní, jestliže platí =, Obrázek 2.4 Sjednocení množin, (šrafováno svisle) Obrázek 2.5 Průnik množin, (šrafováno vodorovně) Rozdíl množin, je množina E = {e; e a e }, tj. množina prvků, které patří do množiny a současně nepatří do množiny ; značí se E = - (obr. 2.6). Doplněk množiny je množina U, kde U je univerzální množina; značí se (obr. 2.7). Pro množiny = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a univerzální množinu U = {1, 2, 3, } (množina všech přirozených čísel) je = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, = {3, 4, 5, 6}, - = {1, 2}, - = {7, 8, 9, 10}, = {7, 8, 9, 10, }, = {1, 2} {11, 12, 13, }. Obrázek 2.6 Rozdíl množin, (šrafován vodorovně) 4
U U- Obrázek 2.7 Doplněk množiny (šrafován svisle) Základní vlastnosti operací s množinami: Pro libovolné množiny,, C platí: 1. = ; = ; =. 2. = ; = ; =. 3. = ; = (komutativita). 4. ( ) C= ( C); ( ) C= ( C) (asociativita). 5. ( C) = ( ) ( C); ( C) = ( ) ( C) (distributivita). 6. ( ) = ; ( ) = (de Morganovy zákony). Další důležitou operací s množinami je kartézský součin založený na pojmu uspořádané dvojice. Uspořádaná dvojice prvků a, b je výraz (a, b), ve kterém záleží na pořadí prvků a, b; jinými slovy, pro a b jsou (a, b), (b, a) různé uspořádané dvojice. Kartézský součin množin, je množina = {(a, b); a, b }, tj. množina všech uspořádaných dvojic, z nichž první člen dvojice patří do a druhý do. V geometrické interpretaci dvojic jako bodů roviny se v dalším užívá označení [a, b]. Pro = {a, b, c}, = {1, 2} je = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}. 5
FUNKCE V běžném životě se setkáváme se vztahem závislosti. Například cena zboží závisí na jeho množství, objem kvádru závisí na velikosti jeho hran, průměrná teplota závisí na ročním období apod. Existuje řada typů závislostí, z nichž nejvýznamnější je závislost funkční. Matematickým modelem funkční závislosti je pojem funkce. Funkce (též zobrazení ) f množiny X do množiny Y je předpis, který každému prvku x X přiřazuje jediný prvek y Y; zapisuje se y = f (x), případně souhrnně f: X Y nebo f: X do Y. Předpis f lze zadat různým způsobem, například slovní formulací, vzorcem, tabulkou apod. Množina X je definiční obor funkce f a značí se D(f ), množina {y; y Y a existuje x X tak, že y = f (x)} je obor hodnot funkce f a značí se H(f ). Není-li D(f ) zadán, pak se za něj považuje množina takových x, pro něž má předpis f smysl. (a) Předpis, který výrobku přiřazuje jeho výrobce, je funkce; jde o funkční vztah mezi množinou všech výrobků a množinou všech výrobců. (b) Předpis, který výšce člověka přiřazuje hmotnost, není funkce (neboť osobám o téže výšce mohou být přiřazeny různé hmotnosti), jde o tzv. závislost statistickou. (c) Předpis y = f (x) = 3x, kde x, y jsou reálná čísla, je funkce; D(f ) = H(f ) je množina reálných čísel. Jde o případ reálné funkce jedné reálné proměnné. (d) Předpis V = f (x, y, z) = xyz, kde x, y, z jsou kladná reálná čísla, je funkce. Může vyjadřovat například objem kvádru, kde x, y, z jsou velikosti jeho hran. Jde o příklad tzv. reálné funkce tří reálných proměnných. (e) Předpis, který každému reálnému číslu x přiřazuje reálné číslo y splňující rovnici y 2 x 2 = 1 není funkce (neboť například x = 0 jsou přiřazeny dvě hodnoty y, 1 a 1). Cílové znalosti 1. Rozhodnout, které prvky patří či nepatří do množiny. 2. Rozhodnout o konečnosti, případně nekonečnosti množiny. 3. Rozhodnout, zda daná množina je podmnožinou jiné. 4. Najít sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. 5. Rozeznat, zda daný předpis je funkce či nikoliv. 6
II. Množiny a funkce_cvičení 1. Rozhodněte zda uvedeným popisem je dána množina. a) Soubor všech řešení rovnice x + y = 1. b) Soubor všech občanů starších než 30 roků. c) Soubor všech slušných lidí. d) Soubor všech reálných čísel menších než 10. 2. Rozhodněte, zda zadané prvky patří do příslušné množiny. a) = {a; a je souhláska české abecedy}, prvky...a, m, e, z. b) = {a; a < 1 nebo a > 3}, prvky...-1, 2, 3, 4. c) M = {(x, y); x + y = 0}, prvky... (0, 0), (2, 1), (-1, 1). d) = {2, 4, 6,...}, prvky... 0, -3, 8, 9, 20. 3. Rozhodněte zda je daná množina konečná, případně nekonečná, případně prázdná. a) X = {x; x 2 = 4}. b) X = {x; x je kladné a x je záporné}. c) = {(x, y); x + y 1 = 0}. d) 1 1 = 1,,,. 2 3 4. Nechť M = {r, s, t}. Rozhodněte, který ze zápisů je správný. a) r M, b) r M, c) {} r M, d) { r} M, e) { r s} M,. 5. Rozhodněte o rovnosti, případně inkluzi množin. a) D = {d; d je dělitel čísla 20}, E = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. 7
b) X = {x; x 2 x 2 = 0}, Y = { 1, 2, 3}. c) = { a ; a < 1}, = { b ; b < 2}. d) = {a; a je číslice v čísle 21 235}, = {1, 3, 5, 6}. 6. Najděte všechny podmnožiny množiny = {x, y, z}. 7. Pro zadaný Vennův diagram rozhodněte o platnosti následujících tvrzení. a), b), c) C D, d) C, e) D, f) C D. C D 8. Interpretujte pomocí Vennova diagramu platnost ( C) C. 9. Pro zadaný Vennův diagram rozhodněte o platnosti následujících tvrzení. a) C U, b) E F, c) D U, U d) ', e) F E C, D C f) D C = D, g) D E F C, h) C = D, F E i) C ( ) '. 10. Pro množiny U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (univerzální množina), = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6} najděte: a) ', b) ', c) ( C)', 8
d) ( )', e) ( C)'. 11. Vyšrafujte množinu bodů roviny: a) = {[ x, y] ; x 0, y 0}, b) = {[ x, y] ; x 0, x 2, y 0, y 3}, c) = {[ x y] ; x 0, y 0, y 1 x} d) [ x y],, {, ; 0 y 1 x } 2 2 2 { x, y ; x + 4} =, = y. e) [ ] 12. Najděte kartézský součin, pro = {1, 3}, = {a, b, c}. Jaký je vztah mezi a? 13. Najděte kartézský součin, pro = {+, -}, = {, @}. 14. Podle statistického výzkumu u náhodně vybraných 1000 rodin bylo zjištěno, že 350 vlastní video, 200 automobil a 100 vlastní obojí současně. Určete: a) Kolik rodin nevlastní ani video ani automobil? b) Kolik rodin vlastní pouze video? c) Kolik rodin vlastní pouze automobil? 15. nketa mezi 400 podnikateli ukázala, že 180 sleduje deník Hospodářské noviny, 170 časopis Ekonom, 110 časopis Finance, 70 Hospodářské noviny a Ekonom, 30 Hospodářské noviny a Finance, 40 Ekonom a Finance, 10 sleduje všechny tři. Určete: a) Kolik podnikatelů sleduje pouze Ekonom? b) Kolik podnikatelů sleduje Hospodářské noviny a Ekonom, ale nikoliv Finance? c) Kolik podnikatelů sleduje Ekonom a Finance, ale nikoliv Hospodářské noviny? d) Kolik podnikatelů sleduje pouze Finance? e) Kolik podnikatelů nesleduje žádný z nich? 16. Rozhodněte, zda zadaný předpis f je funkce. Když ano, určete D (f ), H (f ). a) Předpis, který muži přiřazuje manželku. b) Předpis, který automobilu přiřazuje poznávací značku. 9
c) Předpis, který přiřazuje hodnotám proměnné x hodnoty proměnné y, zadaný tabulkou: d) y = f (x) = 3x - 1. e) z = f (x, y) = ln (x + y). x 0 1 1 2 3 4 4 y 2 3-1 0 1 2 1 10