Polcká ekonome 49:, sr. 58-73, VŠE Praha,. ISSN 3-333 Rukops ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI Josef ARL, Šěpán RADKOVSKÝ, Vsoká škola ekonomcká, Praha, Česká národní banka, Praha. ÚVOD Jednou ze základních oázek vznkajících př analýze ransmsního mechansmu je zjšťování zpoždění, s jakým se průběh jsé časové řad odráží v průběhu jných časových řad. Esují dva způsob získání éo důležé nformace. Jejím zdrojem může bý na jedné sraně věcný ekonomcký rozbor dané problemak, kerý je založen na ekonomcké eor a logce ekonomcké úvah. Neméně důležým zdrojem éo nformace je však aké emprcká analýza spočívající v ekonomerckém posouzení vzahů časových řad. Předkládaná sude se zabývá problemakou zjšťování časového zpoždění na základě ekonomerckého modelu zachcujícího charaker vzahu mez časovým řadam. Skládá se ze ří základních čásí. První čás se zabývá oázkou sřední hodno zpoždění, rozplu zpoždění a medánu zpoždění v rámc modelu rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění. Obsahem druhé čás je problemaka ransformace časových řad vsupujících do ekonomerckého modelu. ao čás bezprosředně navazuje na čás první, neboť odhad základních charakersk zpoždění v modelu závsí na formě ransformace časových řad. řeí čás je prakcká, obsahuje analýzu vzahu a časového zpoždění mez časovým řadam úrokové sazb na nové úvěr a úrokové sazb R PRIBOR v České republce.. ZPOŽDĚNÍ V MODELU pckou vlasnosí sacké regrese ekonomckých saconárních a nesaconárních časových řad je auokorelace nessemacké složk. eno problém lze řeš ak, že se sacká regrese dnamzuje, j. do modelu se na pravou sranu vloží vsvělované a vsvělující časové řad v různých zpožděních. ako konsruované jednorovncové model se označují jako model rozdělených zpoždění "Dsrbued Lags Models", pokud jsou na pravé sraně pouze zpožděné vsvělující časové řad a jako model auoregresních rozdělených zpoždění "Auoregressve Dsrbued Lags Models", jsou-l na pravé sraně jak zpožděné vsvělující časové řad, ak časová řada vsvělovaná v různých zpožděních. Právě model ohoo pu lze vuží pro získání odpověd na oázku s jakým zpožděním se změn v průběhu jedné časové řad projevují v průběhu druhé časové řad.. Model rozdělených zpoždění Obecný model rozdělených zpoždění lze vjádř ve varu c w a,
kde w jsou neznámé konsan, je slabě eogenní proměnná, a je nessemacká složka pu IIN,σ a. Časo se předpokládá, že w,,,,. Předpokládejme, že podmíněná sřední hodnoa je konečná, j. Budeme-l defnova w ω, kde ω je konečné. w w,,,,, ω poom bude pla w, w,,,,. Koefcen w,,,,, se označují jako koefcen zpoždění a řada w {w,,,, } se označuje jako srukura zpoždění. Koefcen w,,,, se nazývají normalzované koefcen zpoždění a řada w {w,,,,, w } je poom normalzovaná srukura zpoždění. formu Model je možné vjádř aké pomocí normalzovaných koefcenů zpoždění, má c ω w a. Defnujme nní dskréní náhodnou velčnu Z ak, ab plalo PZ w,,,,. Náhodnou velčnou jsou ed zpoždění modelu a normalzovaná srukura zpoždění se ak sává množnou pravděpodobnosí. uo srukuru lze vjádř pomocí pravděpodobnosní funkce obsahující jeden nebo více paramerů. Nní je vhodné zavés zv. operáor zpoždění B [blžší nformace vz Dhrmes 985], pro kerý lze psá BX X - a obecně B p X X -p. Model je s pomocí operáoru zpoždění možné vjádř ve varu c ω WB a, kde WB w B Lze zjs, že k. dervace funkce WB v bodě B má formu W k [... k] w E[ZZ-Z- Z-k], 3 k kde E. je sřední hodnoa. Je-l k, poom ze vzahu 3 získáme sřední hodnou velčn Z, j. EZ W Je-l k, poom ze vzahu 3 dosaneme vzah W w w. 4 E[ZZ-] EZ - EZ EZ - W.
Vzhledem k defnc rozplu jej lze vjádř jako DZ EZ [EZ] DZ W W - [W ]. 5 Medánem zpoždění MZ je nejmenší m, pro keré plaí relace m m w w. 6 Uvažujme nní model rozdělených zpoždění s l vsvělujícím proměnným. eno model lze pomocí operáoru zpoždění vjádř ve formě kde ω j j c ω W B ω W B ω l W l B l a, w, WjB w pro j,,, l. Za předpokladu, že wj, j,,, l, j B,,, sřední hodno zpoždění jednolvých vsvělujících proměnných mají var EZ j W j w j pro j,,, l 7 a rozpl zpoždění jednolvých vsvělujících proměnných lze vjádř jako DZ j W j W j - [W j ] pro j,,, l. 8 Medán zpoždění MZ j jsou nejmenší m j, j,,, l, pro kerá plaí relace m j m w j j w j pro j,,, l. 9. Auoregresní model rozdělených zpoždění Uvažujme model c φ - φ - φ m -m - n -n a. eno model se označuje jako auoregresní model rozdělených zpoždění řádu m a n [ADLm,n]. Lze jej vjádř aké ve formě kde Poom plaí φ m B c n B a, φ m B - φ B - φ B - - φ m B m, n B B B n B n. Model je možné zapsa jako c [φ m B] - n B u, kde c [φ m B] - c, u [φ m B] - a. [φ m B] - n B W B w w B w B. Koefcen w, w, w lze vjádř pomocí koefcenů modelu : w, w φ, w φ φ φ ad. 3
Model lze ed zapsa ve formě modelu rozdělených zpoždění c W B u c w u, Leží-l kořen polnomální rovnce φ m B vně jednokového kruhu, poom koefcen w,,,,, polnomu W B konvergují a zároveň plaí w ω. V modelu předpokládáme, že w,,,,. Řada normalzovaných koefcenů zpoždění se konsruuje jako w w,,,,. ω Na jejch základě se poom ze vzahů 4, 5 a 6 určí sřední hodnoa, medán a rozpl zpoždění vsvělující časové řad. Lze uvažova rovněž model auoregresních rozdělených zpoždění s l vsvělujícím proměnným φ m B c,n B,n B l,nb l a, kde φ m B - φ B - φ B - - φ m B m, j,n B j j B j B jn B n pro j,,, l. eno model je možné vjádř jako kde c [φ m B] -,n B [φ m B] -,n B [φ m B] - l,n B l u, V souladu s jej lze zapsa jako kde c [φ m B] - c, u [φ m B] - a. c W B W B W l B l u, j B W j B w pro j,,, l. Leží-l kořen polnomální rovnce φ m B vně jednokového kruhu, poom paramer polnomu W j B, j,,, l, konvergují a zároveň plaí w ωj, j,,, l. V modelu předpokládáme, že w j, j,,, l,,,,. Řada normalzovaných koefcenů zpoždění se vpočíá jako w j w ω j j, j,,, l,,,,. Na jejch základě se poom ze vzahů 7, 8 a 9 určí sřední hodno, medán a rozpl zpoždění vsvělujících časových řad. j Jsou-l řad a konegrované, poom kořen polnomální rovnce φ m B leží vně jednokového kruhu, akže paramer polnomu W B konvergují. 4
3. FUNKČNÍ FORMA EKONOMERICKÉHO MODELU A JEJÍ VOLBA Př konsrukc ekonomerckého modelu esuje několk možnosí ransformace ekonomckých časových řad. Nejčasěj se v pra můžeme seka se dvěm z nch. Buď jsou do modelu vkládán neransformované časové řad, nebo logarmck ransformované. Časým argumenem pro logarmckou ransformac je relavní jednoduchos nerpreace paramerů ekonomerckého modelu jsou nerpreován jako elasc vsvělované časové řad vzhledem k vsvělující časové řadě. eno argumen je zajímavý především př konsrukc modelů ve formě sacké regrese, kd model neobsahuje žádné zpožděné proměnné. V případě dnamcké regrese se zpožděným proměnným je nerpreace paramerů modelu složější problém. Přrozenější argumen pro volbu určé ransformace časových řad vsupujících do ekonomerckého modelu vplývá z analýz charakeru ěcho časových řad. Prmárním cílem ekonomercké analýz je hledání nejvhodnějšího lneárního modelu vjadřujícího vzah časových řad. Ab bl splněn podmínk pro konsrukc akového modelu, je řeba časových řad s jsým vlasnosm. Proože mnoho časových řad o vlasnos nemá, což způsobuje, že jejch vzah není možné považova za lneární, je řeba provés ransformac. Pro eno argumen svědčí skuečnos, že model s odlšně ransformovaným časovým řadam časo vedou nejen ke zcela rozdílným hodnoám odhadnuých paramerů, ale aké k rozdílným závěrům esů paramerů. ao skuečnos se samozřejmě musí projev př výpoču průměrného zpoždění, medánu zpoždění a rozplu zpoždění. 3. Obecná funkční forma formě Uvažujme auoregresní model rozdělených zpoždění bez nessemacké složk ve c φ - -. 3 Model s mocnnnou ransformací všech proměnných lze zapsa jako eno model je možné ransformova následujícím způsobem c φ - -. 4 - d - φ - -, kde d c φ. Dělení éo rovnce konsanou vede k rovnc d φ. 5 Proože lma pro všech proměnných v modelu 5 je pu /, podle l Hospalova pravdla plaí, že model d lm lm φ lm lm lm Pro jednoduchos a názornos volíme model auoregresních rozdělených zpoždění. Závěr jsou oožné jak pro model ve formě sacké regrese regrese bez zpoždění, ak pro obecný model auoregresních rozdělených zpoždění. 5
lze vjádř ve formě ln ln d φ ln - ln ln -. 6 Jeslže ed, poom model 4 je dencký s modelem 3. V případě, že, model 4 konverguje k modelu 6. Jeslže, je model 4 defnován jako logarmcký. 3. Odhad parameru Problemakou odhadu parameru se zabývá Zarembka 968 a Spzer 98. Uvažujme model 5 s nessemackou složkou, j. φ d e, kde e ~ IIN,σ e. eno model vnásobíme číslem, kde je geomercký průměr časové řad & &,,,,, j.. / ln ep & Nní má model formu φ / d & & & & e, 7 kde, e & /, e e & ~ IIN,σ. Lze jej zjednodušeně vjádř následujícím způsobem, 8 e d φ kde φ,,. φ & & & Věrohodnosní funkce pro odhad paramerů ohoo modelu pro původní časovou řadu ransformovanou geomerckým průměrem má formu, ep,,,,, / J d d L σ φ σ π σ φ kde J je Jakobán ransformace závsle proměnné, j. J. d d Velm časým argumenem pro použí logarmckého modelu je nerpreace elasc vsvělované časové řad vzhledem k vsvělujícím časovým řadám. V případě modelu 4 je elasca řad vzhledem k dána vzahem η.. Jeslže, elasca je dána paramerem regresního modelu, j. η. 6
Logarmus věrohodnosní funkce ln L d, φ,,, σ, lnπ lnσ je mamalzován pro paramer d,φ,,,σ funkce bez konsan má var Vzhledem k omu, že plaí Funkc 9 lze ed zapsa jako ma σ e ln za předpokladu. Mamalzovaná lnσˆ ln. 9 ln ln - ln & ln - ln, ln ln ln. ma lnσˆ. Je zřejmé, že k mamalzac vede mnmalzace σ ˆ. Odhad parameru mamalzující funkc lze získa ak, že se pomocí meod nejmenších čverců odhadnou paramer modelu 8 pro různé hodno pro jsou v modelu všechn proměnné logarmck ransformované a volí se aková hodnoa, kerá vede k mnmálnímu rezduálnímu souču čverců -4σ ˆ. Funkc je možné vjádř pro různé hodno rovněž grafck a podle mama éo funkce se najde ˆ. Na základě ohoo grafu lze získa rovněž apromac 95% nervalu spolehlvos pro paramer. Vchází se přom ze vzahu ma ˆ - ma < χ, 5,9. 4. PRAKICKÁ APLIKACE V éo čás budeme zkouma zpoždění ve vzahu úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR. V éo souvslos nás bude zajíma nejen oázka vývoje základních charakersk zpoždění v průběhu opmalzace modelu, ale aké výsledk rekurzvní analýz, keré nám podají velm zajímavé nformace o vývoj zpoždění v konkréním časovém úseku. 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR Máme k dspozc měsíční časové řad dvou úrokových sazeb od ledna roku 993 do března roku. Úroková sazba na nově čerpané klenské úvěr celkem RNUC bla vpočena jako vážený armecký průměr sazeb z nově posknuých úvěrů, úroková sazba 7
R PRIBOR RR bla vpočena jako prosý armecký průměr denních hodno. Průběh ěcho časových řad je zachcen na obr.. Pro analýzu bl z časových řad vnechán hodno z kvěna, června a července roku 997, ed z období měnových urbulencí. Obrázek Úroková sazba na nově čerpané klenské úvěr, úroková sazba R PRIBOR % 3 9 7 5 3 9 7 5 /93 4/93 7/93 RR RNUC /93 /94 4/94 7/94 /94 /95 4/95 7/95 /95 /96 4/96 7/96 Př konsrukc modelu charakerzujícího vzah ěcho časových řad je účelné vcháze z defnce ransmsního mechansmu české ekonomk vz Arl, Guba, Maalík, Sller, Srováka, 998, ze kerého vplývá, že kauzální závslos jde od úrokové sazb R PRIBOR směrem k úrokové sazbě na nové úvěr. Vzhledem ke konsrukc analzovaných časových řad průměrné měsíční hodno lze předpokláda kauzální závslos v různých zpožděních včeně zv. okamžé kauzální závslos, př keré jsou příčna a následek zkoumán ve sejném čase. Budeme ed uvažova jednorovncový model, kde závsle proměnnou je úroková sazba na nové úvěr a nezávsle proměnnou je sazba R PRIBOR. Analýza rezduí vcházejících ze sacké regrese pu RNUC c RR ε a další ověřovací posup nás přvedl k auoregresnímu modelu rozdělených zpoždění řádu, s umělým proměnným D obsahuje hodnou jedna v srpnu 997, jnak nul a D do srpna 997 nul, od srpna 997 včeně jednčk, kerý se označuje jako ADL,. eno model má var /96 /97 RNUC c b D b D φ RNUC - RR a. Důležým předpokladem, ze kerého př vorbě modelu vcházíme, je slabá eogena sazb R PRIBOR vzhledem k paramerům podmíněného modelu. Pro výpoče základních charakersk zpoždění je řeba nají vhodnou ransformac časových řad. Budeme přom vcháze z modelu pu 7, kerý má v omo případě formu RNUC / RNUC d / RNUC RNUC RR b D b D φ RNUC RNUC e, kde RNUC je geomercký průměr časové řad RNUC. ab. obsahuje hodno logarmu věrohodnosní funkce, rezduální směrodané odchlk, odhadu paramerů modelu, průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a medánu zpoždění pro hodno od -,4 do,4. učně jsou zde vjádřen hodno pro, j. pro logarmckou ransformac, pro, j. pro žádnou ransformac a,5, j. pro ransformac druhou odmocnnou, kerá mamalzuje věrohodnosní funkc. 4/97 7/97 /97 /98 4/98 7/98 /98 /99 4/99 7/99 /99 / 8
abulka Logarmus věrohodnosní funkce, odhad paramerů, průměr, rozpl a medán zpoždění pro dané ma σ ˆ φˆ ˆ d ˆ bˆ bˆ z S ~ z z -.4 79.745.3578.764.7.3.5 -.33 3.3 3.68 -. 8.4968.35464.759.76.3.54 -.33 3.45 3.38 8.59.354.754.8.3.57 -.34 3.6.43. 8.357.355.749.87.3.6 -.34.98.864.4 8.4875.3548.744.9.3.65 -.34.95.344.5 8.49.3547.74.94.3.67 -.34.869..6 8.458.3563.739.96.3.69 -.34.835.87.8 8.53.3546.735..3.73 -.34.77.449 8.954.359.73.4.3.78 -.34.73.73. 8.475.35497.77.8.3.8 -.34.66 9.743.4 79.7977.3576.73..3.87 -.34.66 9.457 Z uvedené abulk vplývá, že pro výpoče průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a medánu zpoždění je řeba časové řad ransformova na řad druhých odmocnn. Podíváme-l se však na hodno odhadů jednolvých paramerů modelu pro,,5, vdíme, že se od sebe výrazně nelší. V případě modelu s ransformací druhou odmocnnou, j. z našeho pohledu "opmálního" modelu, je hodnoa průměrného zpoždění,9 měsíce, v případě modelu bez ransformace je průměrné zpoždění,7 měsíce a v modelu s logarmckou ransformací je průměrné zpoždění 3, měsíce. Průměrné zpoždění se ed u jednolvých modelů přílš nelší. Medán zpoždění je ve všech případech pouze měsíce. Rozpor mez průměrným zpožděním ve všech řech případech přblžně 3 měsíce a medánem zpoždění je dán charakerem normalzovaných koefcenů zpoždění, keré jsou obsažen v ab.. abulka Normalzované koefcen zpoždění 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 w.58.9.4.5.78.58.43.3.4.8.3..7.5.4.3 Normalzované koefcen zpočáku klesají poměrně výrazně, zaímco pozdější pokles je pomalý, což znamená, že do výpoču průměrného zpoždění jsou zahrnua aké zpoždění, kerá bchom mohl označ jako erémně vsoká. Z éo úvah vplývá, že 3 měsíce je řeba považova za horní mez sřední hodno zpoždění, se kerým působí úroková sazba R PRIBOR na úrokovou sazbu na nové úvěr. V éo souvslos je rovněž zajímavé, že hodnoa rozplu zpoždění pro,5 je přblžně,, což je erémně vsoké číslo. Z éo nformace lze zpěně usuzova na přesnos odhadu sřední hodno zpoždění prosředncvím průměru zpoždění. Lze konsaova, že eno odhad je značně nepřesný. Vznká oázka, co způsobuje uo nepřesnos. Jsou odpověď může dá rekurzvní analýza zpoždění. ab. 3 obsahuje odhad opmální hodno parameru modelu, dále pak odhad paramerů, odhad jejch směrodaných chb, průměrné zpoždění, medán zpoždění a rozpl zpoždění pro časové řad začínající lednem 993 a končící lednem 996, dubnem 996,, únorem, březnem. 9
abulka 3 Rekurzvní odhad paramerů, směrodaných chb, průměr, rozpl a medán zpoždění ma σ ˆ φˆ ˆ ˆ d bˆ bˆ z S z /96.8 6.8.35.7.5.34.37.58 4/96.8 37.9.38.37.43.33.44.638 7/96.9 49.6.38.38.38.3.488.77 /96.9 6.8.97.38.39.3.489.77 /97.9 73.9.88.37.39.3.486.7 4/97.9 86..79.37.39.3.486.73 /97. 97.6.75.333.44.7.79.43.5.749 /98. 8.6.74.37.49.4.8.37.443.639 4/98..9.67.35.49..79.4.459.67 7/98.3 33.7.59.38.54.8.79.4.446.643 /98.4 45.5.56.3.6.8.87.3.474.7 /99.3 4.5.38.54.67..4 -.5.57.76 4/99.9 48.7.33.63.46.5.59 -..587 4.93 7/99.7 56..344.669.3.7.7 -.8.3 6.6 /99. 64.9.35.79.4.9.73 -.3.436 8.373 /99. 68..35.73..3.7 -.3.483 8.656 /99.8 7.5.35.73.5.3.69 -.33.67 9.43 /.7 74.8.35.73..3.69 -.33.73.4 /.6 78..35.743.95.3.69 -.34.886.49 3/.5 8.5.35.74.94.3.67 -.34.869.47 ~ z Rekurzvní analýza ukazuje velm zajímavý vývoj mamalzujícího funkc. Až do lsopadu 998 se jeho hodnoa pohbovala okolo, což znamená žádnou ransformac. Od prosnce 998 došlo nejprve k značnému růsu a posléze k posupnému poklesu éo hodno až na číslo,5 v březnu roku, což znamená ransformac druhou odmocnnou. Vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění ukazují obr.a,b. Od prosnce roku 998 se výrazně měnl hodno paramerů modelu a ím došlo ke změnám průměrného zpoždění a rozplu zpoždění. Do éo dob se průměrné zpoždění pohbovalo pod hrancí hodno,5. Rovněž rozpl zpoždění bl poměrně nízký, pohboval se okolo hodno,7. Od prosnce 998 se však průměrné zpoždění výrazně zvšovalo, značně se zvšoval aké rozpl zpoždění. Od července 998 docházelo k posupnému snžování REPO sazb, keré se promílo do poklesu sazb R PRIBOR. Ne vžd ovšem panovalo jednoznačné přesvědčení o dalším snžování klíčové úrokové sazb, což se projevlo zvýšenou nejsoou ohledně dalšího vývoje a zřejmě zpomalením reakce komerčních bank. Obrázek a Obrázek b Rekurzvní průměr zpoždění Rekurzvní rozpl zpoždění z 3.5 S z 3..5..5..5 8 6 4. /96 6/96 /96 4/97 /97 5/98 /98 3/99 8/99 / /96 6/96 /96 4/97 /97 5/98 /98 3/99 8/99 /
Na závěr éo čás ješě posoudíme, zda mez analzovaným časovým řadam esuje dlouhodobý vzah. Pro zjednodušení budeme vcháze z modelu, j. modelu s neransformovaným proměnným, ve zblých dvou případech logarmcká ransformace, ransformace druhou odmocnnou lze získa obdobný výsledek. Model je možné ransformova do varu modelu korekce chb RNUC c b D b D RR φ -RNUC - - φ RR - a. 3 Z ab. 4, kde jsou uveden odhad paramerů modelu vplývá, že v modelu 3 je příomen člen korekce chb, neboť odhad zaížení paramer φ - je poměrně vsoký. Časové řad úrokových sazeb lze ed považova za konegrované. abulka 4 Model RNUC c b D b D φ RNUC - RR a Závsle proměnná: RNUC Proměnná Odhad. Směrodaná Hladna -es parameru chba významnos c.495.3587 3.497. RNUC-.7367.59 4.355. RR.437.376 5.57. D.654.4644 4.87985. D -.4344.5-3.9486. R.9687 Průměr závsle proměnné.997 Upravený R.96644 Směrodaná odchlka Směrodaná odchlka rezduí.4498 závsle proměnné.4557 Rezduální souče čverců 5.785 F-es 59.3 h saska -.4 Hladna významnos F. 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR -analýza zkrácených časových řad Charaker závslos úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR je v období od ledna 993 do září 994 odlšný od vzahu časových řad v následujícím období. ao skuečnos je dána ím, že zpočáku nebla úroková sazba na nově čerpané klenské úvěr přílš ěsně navázána na hladnu úrokových sazeb na mezbankovním rhu. Po zkrácení časových řad o oo období leden 993 až září 994 má závslos analzovaných časových řad jný charaker. Zkrácené časové řad obsahuje obr. 3. Obrázek 3 Úroková sazba na nově čerpané klenské úvěr, úroková sazba R PRIBOR - zkrácené časové řad 3 9 RR RNUC 7 5 % 3 9 7 5 /94 /95 4/95 7/95 /95 /96 4/96 7/96 /96 /97 4/97 7/97 /97 /98 4/98 7/98 /98 /99 4/99 7/99 /99 /
Pro zachcení vzahu mez časovým řadam použjeme opě model ADL, s umělým nula-jednokovým proměnným D a D ve varu. Př hledání vhodné ransformace vcházíme z modelu. ab. 5 obsahuje hodno logarmu věrohodnosní funkce, rezduální směrodané odchlk, odhadu paramerů modelu, průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a medánu zpoždění pro hodno od -,4 do,4. učně jsou zde vjádřen hodno pro, j. pro logarmckou ransformac a pro, j. žádnou ransformac, kerá mamalzuje věrohodnosní funkc. abulka 5 Logarmus věrohodnosní funkce, odhad paramerů, průměr, rozpl a medán zpoždění pro dané ma σ ˆ φˆ ˆ d ˆ bˆ bˆ z S ~ z z -.4 3.9337.585.593.3.56.9 -.35.455 3.57 -. 33.65.459.59.37.57.3 -.37.453 3.564 35.893.3955.59.33.57.8 -.38.45 3.559. 36.55.356.59.39.58.33 -.39.45 3.558.4 37.57.383.59.334.58.38 -.4.45 3.559.6 37.789.95.59.339.59.44 -.4.453 3.563.8 38.7.8.593.343.59.5 -.43.454 3.569 38.3.76.593.347.59.56 -.44.457 3.578. 38.8.796.593.35.59.6 -.45.46 3.59.4 37.895.93.594.354.6.68 -.46.463 3.63 Z uvedené abulk vplývá, že pro výpoče průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a medánu zpoždění není řeba provádě žádnou ransformac časových řad. Z éo abulk je rovněž parné, že př logarmcké ransformac se opro žádné ransformac výrazně nemění odhad paramerů modelu. S lneárně rosoucím se průměrné zpoždění a rozpl zpoždění mění velm málo. V případě modelu s neransformovaným časovým řadam, j. "opmálního" modelu, je průměrné zpoždění přblžně,5 měsíce a medán zpoždění měsíc, v modelu s logarmck ransformovaným časovým řadam, jsou průměrné zpoždění a medán prakck sejné jako v předchozím modelu. Je zřejmé, že zkrácení časových řad vedlo ke snížení průměrného zpoždění a medánu a ke zmenšení jejch rozdílu. Normalzované koefcen zpoždění modelu s neransformovaným časovým řadam jsou obsažen v ab. 6. abulka 6 Normalzované koefcen zpoždění 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 w.47.4.43.85.5.3.8..6.4...... Z abulk je vdě, že normalzované váh klesají daleko rchlej než v případě modelů dlouhých časových řad. Právě oo vede ke sblížení průměrného zpoždění a medánu zpoždění. aké rozpl zpoždění se výrazně snížl, jeho hodnoa je v případě obou pů modelů přblžně 3,6.
abulka 7 Rekurzvní odhad paramerů, směrodaných chb, průměr, rozpl a medán zpoždění ma σ ˆ φˆ ˆ ˆ d bˆ bˆ z S z /96 -.5 65.3.69.37.7.43.3.46 4/96 -.5 78..65.34.4.4.56.78 7/96 6. 9.7.55.379.53.55.69.98 /96.8 6.7.4.443.948.7.794.44 /97.3.9.33.433.9.69.764.347 4/97. 35.3.7.447.96.7.87.459 /97 3. 47.4.3.49.34.37.6.4.7.4 /98 -.4 55.6.49.345.95.3.69.35.58.86 4/98 -.3 68.4.49.35.96.9.69.38.54.836 7/98 -.7 8..45.36.4.7.7.36.484.78 /98. 94.6.45.367.7.5.87.6.58.99 /99.8 9.3.6.5.39.46.35 -.3.6.8 4/99.4.9.6.53.386.5.36 -.36.5.6 7/99.6.6.7.553.376.53.5 -.4.35.76 /99.4.7.3.58.36.55.56 -.43.385 3.35 /99.3 4.3.3.577.36.56.55 -.43.365 3.7 /99. 7.9.4.58.358.57.55 -.44.38 3.87 /. 3.5.5.584.354.58.54 -.44.45 3.377 /. 34.6.7.596.348.58.58 -.44.474 3.646 3/. 38.3.8.593.347.59.56 -.44.457 3.578 ~ z Rekurzvní analýza je obsažena v ab. 7, kerá obsahuje odhad opmální hodno parameru modelu, dále pak odhad paramerů, odhad jejch směrodaných chb, průměrné zpoždění, medán zpoždění a rozpl zpoždění pro časové řad začínající lednem 993 a končící lednem 996, dubnem 996,, únorem, březnem. Vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění ukazují obr. 4a,b. Obrázek 4a Obrázek 4b Rekurzvní průměr zpoždění Rekurzvní rozpl zpoždění z.6.4...8.6.4 S z 4. 3.5 3..5..5...5.. /96 6/96 /96 4/97 /97 5/98 /98 3/99 8/99 / /96 6/96 /96 4/97 /97 5/98 /98 3/99 8/99 / Rekurzvní analýza ukazuje, že vzhledem k charakeru měnlvos parameru lze zkoumané období rozděl na ř čás. Rok 996 a 997 jsou charakerscké značnou varablou jeho hodno, k jsé sablzac došlo v roce 998 a v roce 999. V ěcho leech se však hodno lší svojí úrovní. Zaímco převážnou čás roku 998 kolísají kolem hodno -, v roce 999 se pohbují okolo hodno,5. Značná měnlvos je aké u odhadů všech paramerů modelu. V leech 996 a 997 se varabla projevla u všech paramerů modelu. K výraznému skoku došlo především v období následujícím vnechané erémně vsoké 3
hodno časových řad, j. od srpna 997. Nejvíce se měnl odhad parameru, kerý vjadřuje sílu závslos analzovaných časových řad. Změna hodno paramerů se v omo období u zkrácených časových řad projevla daleko výrazněj, než u dlouhých časových řad. V důsledku změn odhadů paramerů se měnl průměr a rozpl zpoždění. K dalšímu zlomu ve vzahu analzovaných časových řad došlo v prosnc roku 998. Posupná změna hodno odhadů paramerů u parameru φ náhlý růs a po následném poklesu posupný růs, kerá od ohoo měsíce probíhala vedla pochopelně ke změnám průměrného zpoždění a rozplu zpoždění. Od října 997 do lsopadu 998 se průměrné zpoždění pohbovalo mírně nad hodnoou,5. Rovněž rozpl zpoždění bl v omo období poměrně nízký, okolo hodno,8. Od prosnce 998 se však průměrné zpoždění zvšovalo, zvšoval se aké rozpl zpoždění. Sejně jako u dlouhých časových řad se v omo období projevovala zvýšená míra nejso na rhu, ao skuečnos způsobovala zpomalení poklesu sazb na nově čerpané klenské úvěr ve srovnání se sazbou R PRIBOR. Sejně jako v mnulé čás posoudíme ješě, zda mez analzovaným časovým řadam esuje dlouhodobý vzah. Model korekce chb má obdobně jako v případě nezkrácených časových řad var RNUC c b D b D RR φ -RNUC - - φ RR - a. 4 Z ab. 8, kde jsou uveden odhad paramerů modelu pro zkrácené časové řad vplývá, že v modelu 4 je příomen člen korekce chb, neboť odhad zaížení paramer φ - je poměrně vsoký. aké zkrácené časové řad úrokových sazeb lze ed považova za konegrované. abulka 8 Model RNUC c b D b D φ RNUC - RR a Závsle proměnná: RNUC Proměnná Odhad. Směrodaná Hladna -es parameru chba významnos c.4693.5583 5.7434. RNUC-.5993.4868.797. RR.3478.3988 8.7549. D.935.9864 6.4336. D -.54473.7875-6.9736. R.98978 Průměr závsle proměnné.6674 Upravený R.9896 Směrodaná odchlka Směrodaná odchlka rezduí.896 závsle proměnné.686 Rezduální souče čverců 4.4995 F-es 379.5 h saska -.544 Hladna významnos F. 5. ZÁVĚR Zjšťování délk zpoždění, s jakým se měnlvos v jedné ekonomcké časové řadě odráží v měnlvos řad druhé je velm důležou prakckou úlohou. Model rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění umožňují konsrukc sřední hodno, rozplu a medánu zpoždění. Odhad paramerů modelů rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění vedou k odhadům ěcho základních charakersk zpoždění. Je zřejmé, že hodno odhadů závsí na ransformac časových řad vsupujících do modelu. Volbu vhodné ransformace umožňuje opmalzace provedená pomocí věrohodnosní funkce. 4
Meodologe zjšťování zpoždění bla lusrována na příkladu analýz vzahu časových řad úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR. Z defnce ransmsního mechansmu ČR vplývá, že závsle proměnnou je časová řada úrokové sazb na nově čerpané klenské úvěr. Důkladnou analýzou vzahu daných časových řad blo zjšěno několk změn charakeru závslos ve sledovaném období, což vedlo jednak ke změnám ransformace časových řad vsupujících do modelu a rovněž ke změnám odhadů základních charakersk zpoždění. Velm cenné nformace o zlomech ve vzahu analzovaných časových řad a o jeho sablě poskla rekurzvní analýza. Poznak z eorecké a prakcké čás provedené sude lze shrnou do následujících obecných závěrů: a pro zjšťování zpoždění ve vzahu dvou č více ekonomckých časových řad je řeba vcháze z dnamckého varu modelu, j. modelu rozdělených zpoždění č auoregresních rozdělených zpoždění. Odhad paramerů ěcho modelů umožňují odhadnou sřední hodnou, rozpl a medán zpoždění. b důležou podmínkou pro získání relavně přesných odhadů je ověření emprcké vhodnos zvoleného modelu. o zahrnuje nejen esování slabé eogen vsvělujících časových řad vzhledem k paramerům modelu a esování auokorelace č heeroskedasc nessemacké složk modelu, ale aké řešení problému volb vhodné ransformace časových řad vsupujících do modelu. c př prakcké analýze zpoždění českých ekonomckých časových řad není možné očekáva konsanní charakersk zpoždění za celé analzované období 9. le. Lze předpokláda, že se charaker vzahu časových řad v omo období mění, jedna čás se může vznačova lneárním vzahem, jná vzahem nelneárním. Analzované období je charakerscké aké proměnlvou mírou nejso na rhu, což se ukazuje především v přesnos odhadů paramerů a charakersk zpoždění. d ekonomerckou analýzou získané nformace o vzahu časových řad a zpoždění je nezbné konfronova s ekonomckou logkou dané problemak, neboť znalos ekonomcké podsa může výrazně pomoc nejen př volbě vhodného modelu a jeho ověřování, ale aké př nerpreac emprckých výsledků a elmnac subjekvního přísupu př měření délk zpoždění. 5
Leraura: Arl, J.: Moderní meod modelování ekonomckých časových řad. Praha, Grada 999. Arl, J., Guba, M., Maalík, I., Sller, V., Srováka, J.: Defnce měnového ransmsního mechansmu v ČR a analýza základních vbraných vazeb. Praha, ČNB 998 nerní maerál. Bo, G. E. P., Co, D. R.: An Analss of ransformaons. Journal of he Roal Sascal Soce, 964, č., s. -43. Dhrmes, P. J.: Dsrbued Lags. Amserdam, Norh-Holland 985. Hendr, D. F.: Dnamc Economercs. Oford, Oford Unvers Press 995. Spzer, J.: A Prmer on Bo-Co Esmaon. Revew of Economcs and Sascs, 98, č. 64, s. 37-33. Zarembka, P.: Funconal Form n he Demand for Mone. Journal of he Amercan Sascal Assocaon, 968, č. 63, s. 5-5. HE LAG ANALYSIS IN MODELLING OF RELAIONSHIP OF ECONOMIC IME SERIES Josef ARL, Šěpán RADKOVSKÝ, Unvers of Economcs, Prague, Czech Naonal Bank, Prague Absrac: he dsrbued lags models enable he consrucon of he lag mean, medan and varance. he esmaors of parameers of he dsrbued lags models and he auoregressve dsrbued lags models enable o creae he esmaors of hese basc characerscs. I s obvous ha he values of esmaors depend on he form of he me seres ransformaon. he mehodolog of selecon of suable ransformaon of me seres s based on he prncple of mamzaon of he lkelhood funcon. he compuaon of basc characerscs of he lags n he economerc model s llusraed on he eample of he analss of relaonshp beween he neres raes on new graned creds and R PRIBOR. hs analss revealed some changes n characer of dependenc of me seres and changes of values of esmaors of basc lag characerscs n he perod snce 993. In hs connecon he recursve analss gave valuable nformaon. Kewords: economerc model, dsrbued lags, lag mean, me seres ransformaon, recursve analss, neres raes JEL Classfcaon: C, C, E49 6