a) prchází bdem C, b) patrí danému smeru s, c) je rvnbežná s dvema danými rvinami, d) je klmá na danu rvinu, e)je k bema mimbežkám ~lmá (sa mimbežek). 6 Danu prímku prlžte rvinu klmu na danu rvinu. 7 Urcete splecnu prícku prímek a, b, c, d, jestliže a) a, b jsu rvnbežné, c, d s nimi i navzájem mimbežné, b) a, bjsu ruznbežné, c, d s nimi i navzájem mimbežné, c) a, b jsu rvnbežné, c, d jsu též rvnbežné, ale všechny navzájem rvnbežné nejsu. Zpakujte si, jak urcujeme vzdálenst 'bdu d prímky neb d rviny, vzdálenst dvu rvnbežných prímek, vzdálenst dvu rvnbežných rvin apd. Rešte príklady: 8 Bdem A prlžte rvinu stejne vzdálenu d trí daných bdu P,Q,R. 9 Urcete bd M, který je stejne vzdálen d dvu daných bdu A, B a leží ve dvu daných rvinách. 10 Na prímce a najdete bd stejne vzdálený d dvu daných rvin. [30) [31) II Pravúhlé prmítání na jednu prumetnu 1 Ppis zbrazvací metdy. Zbrazení bdu Jednu z rvin trjrzmernéh prstru si zvlme za prumetnú n. Rvina n rzdelí prstr na dva plprstry. Jeden pvažujeme za kladný, druhý za záprný. V technické praxi vlíme za prume~nu n rvinu vdrvnu neb svislu. Pri rýsvání d sešitu, který leží na vdrvné desce stlu, je prnmetna ttžná se sešitem - tedy rvina vdrvná. Pri rýsvání na šklní tabuli je prumetna n v plze svislé. Na základe úmluvy budeme plprstr nad rvinu sešitu neb pred tabulí pvažvat za kladný. Uvažujme rvnbežné prmi~, jehž smer s je klmý na pru. metnu n. Tt prmítání senazývá pravúhlé aneb klmé (rtgnální) prmítání na jednu prnmetnu. +z Každým bdem B prstru pr- SB IOZlmeprmltac v;, ípnm v, ku sb kimu na prumetnu n. Prmítací prímka B SB prtne prumetnu v bde Bl' Nazveme jej pravúhlý aneb kl mý prumet hdu B (br. 22). Je tedy BBl.1 n. T platí i tehdy, le Ží libd B v rvine n. ~ak Bl == B (prvnej se základní vetu 1). Prtže bdem B prchází jedi. ná prmítací prímka klmá na n, Obr. 22
která prtíná prumetnu v jediném bde, je prirazení B - BI jednznacné. Jestliže však zvlíme v prumetne 'Jt bd BI a pvažujeme jej za prumet nejakéh bdu B, pak existuje neknecne mnh bdu, které mají prumet v bde Br Všechny tyt bdy jsu na klmici SB k prumetne 'Jt prlžené prumetem Br Technická praxe však žádá, aby nás deskriptivní gemetrie naucila nejen predmet zbrazit, ale také napak pdle brazu predmet vyknstruvat. Pak je treba, aby prirazení BI - B byl též jednznacné. Abychm th dsáhli, prvedeme následující úmluvu: K prumetu bdu budeme pripisvat urcité reálné císl, které nazýváme kóta bdu. Kóta má tyt vlastnsti: a) abslutní hdnta kóty je rvna vzdálensti bdu B d prumetny; b) vnitrní bdy kladnéh plprstru mají kótu kladnu, vnitrní bdy záprnéh plprstru kótu záprnu. Z první vlastnsti vyplývá, že bdy ležící v prumetne 'Jt mají kótu rvnu nule. Kótu pripisujeme k pravúhlému prumetu bdu d kulaté závrky. Napr. AI( +4), B1(-2), PI(O). Tím jsme dsáhli th, že k prumetu bdu BI patrenému kótu prísluší na prmítací prímce sb jen jediný bd B. Pravúhlý prumet bdu patrený kótu nazýváme kótvaným prumetem bdu. Takt urcené pravúhlé prmítání se nazývá též kótvané prmítáni. Pr praktické úcely bude ptrebné zavést další úmluvu. Prumety AI' BI, vyplnují celu prumetnu 'Jt. Jestliže chceme, aby nám napríklad vycházely výsledky knstrukcí v sešite shdne pr všechny ve tríde, je treba v rvine 'Jt zavést sustavu suradnic. V praxi užíváme následujícíh zpusbu: v rvine zvlíme dve navzájem klmé prímky x, y. Prímky x, y rientujeme, tj. zvlíme na nich kladný smysl. V deskriptivní gemetrii rientujeme su y pacne než v matematice, tzn. rientvaná sa y se zttžní s kladným smerem sy x ptcením úhel pravý prti smeru phybu hdinvých rucicek (viz br. 22 a 23). Orientvané prímky x, y nazýváme sy suradnic; prtínají se v bde O. Je t známý pcátek pravúhlé sustavy suradnic. Známým zpusbem, kteréh jsme užívali v matematice pri grafickém znázrnvání, vyneseme prumety bdu pmcí su- [32) P1(O) c/i.~.~~--------"1 I O. I " 3 2-1 2' 3 O -I.. - - 1 I, I 1 I : I I b..------.----------c-- Z 1 DiO) Obr. 23 CVICENí 3 -------1 A/S) + ---------18/-2) +Y radnic. K tmu je všem treba zvlit jedntky na sách suradnic, prtže jen z prumetu bychm neumeli psudit velikst zbraz- +x vanéh útvaru. Jestliže bd B má prumet BI (XB; YB) a kótu ZB' píšeme B (XB; YB; ZB) (br. 22). Císla XB' YB' ZB nazýváme suradnicemi bdu B. Naší úlhu je nakreslit na rýsvací paplr nejen prumety bdu, ale i prumety slžitejších útvaru. Prt zttžníme rvinu rýsvacíh papíru s prumetnu 'Jt a hvríme ptm nákre8ne. Bd AI se nazývá braz bdu A. Jestliže uvedenu úmluvu prijmeme, zbrazme napr. bdy: A (2; 3; 5), B (2;4; -2), C (-1; -1; 5), D (-4; 2; O), P (3;-2; O)(br. 23). Jakmile sestrjíme kótvané brazy bdu, naucme se je zárven mdelvat v prstru tak, jak je t prveden na názrném brázku (br. 22). Tt mdelvání je velmi duležité, prtže nám usnadní pchpit další výklad. Prt urcení brazu bdu danéh suradnicemi a jeh mdelvání v prstru budeme pkládat za základní knstrukci.. 1 Zbrazte bdy: A (-2; 1; 3), B (O;-1; -5), C (4; 4; O),D (-3; O;2), M (-4; 3; 2), N (-1; -2; -5). 2 Zbrazte bd, který leží na klmici vedené z bdu A (O; 2; 5) na prumetnu a má d prumetny a d bdu A stejnu vzdálenst. 3 Krychle má stenu ABCD danu úhlprícku v prumetne 'Jt, A (O; O; O), C (4; 4; O). Zbrazte zbývající vrchly a stredy sten krychle. 4 Pravidelný ctyfsten má trjúhelníkvu stenu ABC v 'Jt; pritm je A (O; O; O), B (4; O; O). Zbrazte zbývající dva vrchly.
2 Zbrazení prímky a úsecky Základem kótvanéh prmítání je rvnbežné prmítání, pri kterém smer prmítacích paprsku je klmý na prumetnu. I pri nem prt zustávají v platnsti všechny vety týkající se rvnbežnéh prmítání. Pravúhlým prumetem prímky a, která není klmá na prnmetnu.11:, je tedy prímka al; jestliže je a klmá na 11:, pak jejím prumetem je bd. Oznacíme jej také 11t. Na pravúhlém prumetu 11t prímky a jsu Ohr.24 prumety AI' BI... hdu A, B.. ležících na prímce a. Prmítací prímky bdu incidentních s prímku a vytvrí prmítací rvinu xa. Prmítací rvina dané prímky je klmá na prumetnu 11: (prc?). Jestliže prímka a není rvnbežná s 11:, prtíná prumetnu v bde P. Kóta tht stpník prímky (br. 24). bdu je zp = O, a prt PI = P. Tent bd se jmenuje Prumet prímky a == AB je urcen 'prumety bdu'a, B. Z jejich urcení mužeme sudit, jaku plhu má prímka vzhledem k prumetne 11:. a) Jestliže AI ~ BI a ZA =1= ZB' pak prímka a má becnu plhu vzhledem k prumetne, tj. není k ní klmá ani s ní rvnbežná. b) Jestliže AI ~ BI a ZA = ZB' pak prímka a je rvnbežná s prumetnu; všechny bdy prímky a mají stejné kóty. c) Jestliže AJ = BI a ZA =1= ZB' pak prímka a je klmá k prumetne 11:. Plhu prímky vzhledem k prumetne lze urcit též pdle veliksti úhlu, který svírá prímka a s prumetnu. Ze steremetrie víme, že velikst úhlu prímky a s rvinu 11: je velikst stréh aneb pravéh úhlu, který svírá prímka a se svým pravúhlým prumetem 11t d rviny 11:. Je tedy OJ = -1: al1t. Jestliže je 0 < OJ < 90, pak prímka je v becné plze vzhledem k prumetne. Pri OJ = 0 je prímka rvnbežná s prumetnu aneb v ní leží a pri OJ = 90 je prímka k pru- [35] metne klmá. Císl OJ se nazývá dchylka prímky d prumetny. V praxi se cast setkáváme s úlhu urcit délku úsecky AB, která je dána kótvaným brazem. Jestliže za = ZB' pak AB je rvnbežná s prumetnu. Ptm platí AIBI =AB (pdle které základní vety?). Jestliže ZA =1=ZB' urcíme délku AB základní knstruktivní metdu, které ríkáme sklpení prmítací rviny d prumetny. Pdstatu tét metdy si vysvetlíme: Víme, že jen brazec ležící v prumetne 11: aneb v rvine rvnbežné s Pl'umetnu se prmítá ve skutecném tvaru a veliksti. Jestliže brazec leží v rvine (!, která není s prumetnu rvnbežná, a chceme urcit jeh tvar a velikst, musíme rvinu (! premístit tak, aby bud splynula s 11:, aneb byla s prumetnu rvnbežná. Jestliže je (! = xa, pak je (! rvinu prmítací. Je treba ji sklpit d 11:, tj. tcit úhel 90 kl splecné prusecnice (}. 11:. Vratme se ted k úlze, ze které jsme vyšli: urcit délku úsecky AB na prímce a, jsu-li dány bdy AI' BI s príslušnými kótami ZA' zb; pak je 11t == AIBI' Prímka a a její prúmet 11t leží v rvine xa Délku AB urcíme sklpením rviny xa klem prímky 11t d prumetny 11: (br. 24). Bd A se pri sklpení d plhy (A) tcí úhel 90 p ctvrtkružnici se stredem AI a plmerem AI(A) = I ZA I. Pritm AI (A).ll1t. Prtže i AAI byl na 11t klmé, dráha bdu A pri sklápení je v rvine xa, klmé na prímku 11t. Rvina ~.1 al se nazývá rvina tácení bdu A a prímka Ilt je su tácení; kružnice ka, p které se phybuje bd A, se nazývá kružnice tácení bdu A a její plmer,.a je plmer tácení bdu A. Pri sklápení rviny xa se nemení plha bdu ležících v prumetne, zustávají pevné. Prt i stpník prímky P1 = (P) je pevný bd; jím musí prcházet i sklpená prímka (a). Sklpením rviny xa dstaneme sklpenu prímku (a) a na ní sklpené bdy (A), (B). Jejich vzdálenst je rvna vzdálensti AR. V kótvaném prmítání se sklpení rviny xa a tím i prímky a d prumetny 11: prvede velmi jednduše. Stací sklpit užitím daných kót dva bdy A, B tét prímky; pritm AI (A).ll1t, BI (B).1 al a sucasne A1(A) = IZAI, B1(B) = IZBI. Ptm již (a) = (A)(B). Jsu-li kóty ZA' zb téhž znaménka, pak úsecky A1(A), B1(B) sestrjujeme v téže
plrvine vytaté prímku llt, pri pacných znaménkách jsu -6.secky Ai(A), BI (B) v pacných plrvinách vytatých prímku llt Správnst psledníh tvrzení vyplývá z tét úvahy: predpkládejme, že za a ZB mají pacná znaménka. Pak urcite na úsecce AB leží nejaký hd P, jehž Zp = O. Pri sklápení nemení tent hd svu plhu, leží prt mezi sklpenými hdy (A), (B). Prt leží tyt hdy (A), (B) v pacných plrvinách vytatých prímku al. Ohrácene platí: jsu-li bdy (A), (B) v ruzných plrvinách vytatých prímku llt, pak mají ZA' ZB ruzná znaménka. PRíKLAD 1. Je dána prímka a == AB [A (3; 5; 4), B (-2; 2; 1)]. Zhrazte prímku a = AB a urcete velikst úsecky AB, stpník P prímky a a její dchylku w d prumetny (hr. 25). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Sklpímeprmítací rvinu,,0 d n; tím dstaneme útvar shdný se skutecným útvarem. PROVEDENí: Prtže kóty -2.-1 1. 2 í 3 Obr. 25 ZA = 4, ZB = 1 hdu A, B mají stejná znaménka, hudu sklpené hdy (A), (B) v téže plrvine vytaté prímku llt; prt AI (A) = 4, BI (B) = 1 nanášíme ve smeru klmých prímek k llt a d téže plrviny. Ptm a) (A) (B) je hledaná velikst úsecky AB; h) P1 = llt. (a) je hraz stpníku prímky a; c) velikst úhlu w = -1: llt(a) je dchylka prímky a d prumetny n. V technické praxi se s rešením tét úlhy setkáváme velmi cast. Napr. na mape s urcitým merítkem jsu dána dve místa AI' BI s nadmrskými výškami ZA' ZB' Tat dve místa se mají spjit prímu cestu, vdvdním ptruhím neh elektrickým vedením atd. Jak hude dluhé a jaký hude mít úhel stupání? Rešení tét úlhy ukážeme v dalším príklade. /Iv.. I,(;" t361 x (A) -p... "-; (... (a') - --L-.:. ';1' '-ó-... (B'),., B,(S1,6) " Obr. 26.....'. '.,'''. x, A/50, ) (A')~.,... PRíKLAD 2. Na plánu s merítkem M = 1: 1000jsu dána dve místa A (3; 5), B (-5; -1). Jejich nadmrské výšky jsu ZA = 500m, ZB =516 m. Urcete délku a stupání jejich príméh spjeni (hr.26). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Jedntka (napr. cm) na mape znacuje 10m ve skutecnsti, prt suradnice hdu A, B jsu A (3; 5; 50), B (-5; -1; 51,6). Abychm urcili jejich vzdálenst a dchylku prímky a = AB, sklpíme rvinu,,0. Pri sklpení d prumetny hy délky AI (A) = 50, BI (B) = 51,6 hyly príliš' dluhé, takže hychm tut knstrukci nemhli na našem nácrtu prvést. Není však nutné sklápet rvinu,,0 d prumetny n (O). Stací, sklpíme-li ji d rviny n' (50), tj. d rviny rvnhežné s prumetnu, ale ve výšce 50; rvina n' je rvina hlavní a je v ní zachván tvar a velikst hrazce. Sklpené útvary d n' (50) hudeme znacit cárkvane. PROVEDENí: Sklpení d n' (50)je dán: AI (A') = O, BI (B') = = 1,6. Ptm (A') (B') je hledaná vzdálenst, pricemž jedntku je 10 m. Odchylka w = -1:a'(a'). Uvedenu úpravu lze vylžit i takt: Prtže kóty hdu A, B jsu tak veliké, že sklpený útvar hy se neumístil na našem rýsvacím papíre, prvedeme psunuti prumetny n d plhy n' (50). Ríkáme, že jsme prvedli transfrmaci prumetny neh že jsme zavedli nvu prumelnu. Tét transfrmace hudeme v deskriptivní gemetrii cast pužívat. Vyrešme si ješte jeden další príklad. PRíKLAD 3. Na prímce P = AB [A (-4; 5; -1), B (3; 3; 4)] urcete hd N, jehž ZN = 2,5 (hr. 27a, h). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Gemetrické míst hdu, které mají d PI vzdálenst ZN> O a leží v prmítací rvine "P, je prímka n II PI V kladné plrvine vytaté prímku PI' mající d PI predepsanu vzdálenst rvnající se kóte zn.
Obr.27a Pl:3ei / (Cp) Obr.27b O /\ / (8)/1. l--~- (N),~--- \! --~ \: (n).-:;- I.. \I --- I I.. '\ I : /. 1 /. A (-1y:".1~/ /fá) :..--. \ " PROVEDENí: Sklpíme rvinu "P d 1/:. Sklpený braz (N) hledanéh bdu N je v prusecíku (p). (n). Prumet NI je ptm v pate klmice spuštené z (N) na prímku Pr Zrejme je ptm (N)NI = IZNI, pricemž (n) vedeme v kladné plrvine rviny "P vytaté prímku PI' Uvedenu knstrukcí bychm umeli vyrešit i slžitejší úlhu: na prímce AB urcit bdy, jejichž kótami jsu celá císla. Jestliže tut knstrukci prvedeme, ríkáme, že jsme danu prímku stupnváli. I tat úlha se v praxi velmi cast reší. CVICENí: 1 Zbrazte stpník a urcete dchylku prímky P = AB d prumetny [A (-3; 5; 4), B (2,5; 1; 3)]. 2 Zbrazte prímku AB a bdy C, D, E, které na ní leží. Urcete jejich zbývající suradnice [A (-3; 2; 4,5), B (1,5; 4,5; 1), \ C (- 2'?'?),.,., D (?-". 3'?), E (?.,.,? -1)]. 3 Sestrjte skutecnu velikst trjúhelníku ABC z jeh stran [A (-3; -2; 1,5), B (4; 4,5; 3), C (0,5; 3,5; -2)]. 4 Urcete veliksti vnitrních úhlu trjúhelníku ARC [A (-5; 1; 2), B (-2; 6; 4), C (3; 6; 6)]. 5 Stupnujte prímku P = MN [M (-3; 3,5; 7), N (2; 1; 1,3)]. [39] 6 Zbrazte prímku a, která prchází bdem A (O; 4; 2), jejíž braz je rvnbežný s su x a jejíž dchylka d prumetny je w = 30. 7 Na prímku P = AP naneste d bdu A na be strany délku d = 3,5 cm [A (-3; 2; 3), P (2; 3; O)].Zbrazte. 8 Urcete brazy a kóty bdu pulících strany trjúhelníku ABC [A (-4; 1; -1), B (-2; 5; 3,5), C (3; 2; 2,5)]. 9 Urcete braz bdu M a jeh suradnice, když M delí úsecku AR v pmeru 2 : 3 [A (-2; 5, 1), R (3; 1; 4)]. 3 Zbrazení rviny Nejdríve se budeme zabývat rvinami klmými k 1/:. Pri užití prmítacích rvin prímek jsme se s nimi už seznámili. Vyrešili jsme již úlhu, v níž se mela sestrjit velikst úsecky ležící v rvine ", a t metdu sklpení rviny" d 1/:. Vyrešme ješte neklik ualších príkladu. PRíKLAD 4. V rvine "P -.L 1/: je dána prímka P = MN [M (-1; O;5), N (4; 2; 1)] a bd A (3;?; 6). Zbrazte rvnstranný trjúhelník ARC, leží-li strana RC na prímce P (br. 28). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: ABC leží v rvine "P; abychm jej sestrjili, musíme rvinu "P sklpit d 1/:. -MiS) / ~ J ;C1 '/ " -I /" / I',/.;/ (B)'/ j.--- / (C)._._.tj'/(N).,--"'"""'\ " " J ->-,-1(, / ' " \,'/ I ", " -'-'(M)', \ i! <\fi '1[ (A) Obr. 28 x PROVEDENí: Prumet PI dané prímky P je sucasne prumetem "l rviny "p. Obraz AI musí tedy ležet na "1 == PI' Sklpíme-li rvinu "P, dstáváme (p) a (A). Dvedeme sestrjit sklpený rvnstranný trjúhelník vrchlu (A), jestliže jeh prtilehlá strana leží na (p). Urcíme tím sklpené bdy (R), (C), ze kterých dvdíme RI, CI známým zpusbem.
PRíKLAD 5. Prímky p == AB [A (-5; 3; 3,5), B (O; 1; 1)] a q = MN [M (-13;?;1), N (3;?; 4)] mají tutéž prmítací rvinu up == uq Urcete braz a kótu jejich prusecíku (br. 29) ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Prímky pa q leží P1=q1 v jedné rvine; jsu tedy bud ruznbežné neb rvnbežné. Jestliže, ~ /\/ 81(1y/ t I y A/3,s)\t'1(1)\ /(8), -'_.l.-._.~._._._. Ohr.29,, x.-..:...~._ \,\ (M)/ /(R) (q) (N) \\ /' '\ /" / /1~) /(p) jsu ruznbežné, pak se prtínají v bde R. Abychm jej zjistili, musíme pet rvinu up == uq sklpit d prumetny. PROVEDENí: Prtže be prímky mají splecnu prmítací rvinu, je uf = PI = ul = ql' Z tét pdmínky urcíme brazy Ml' NI' Sklpíme prímky p a q; v prusecíku (p). (q) = (R) dstaneme jejich sklpený splecný bd. K nemu snadn najdeme braz RI a jeh kótu. Vidíme, že všechny knstruktivní úlhy v rvinách klmých k prumetne rešíme sklápením techt rvin d :n;. Tím se celý prblém redukuje na planimetrické knstrukce prvádené v prumetne. Uvažujme dále rviny, které nejsu v prumetne :n; klmé. Ze základní vety 3 vyplývá, že pravúhlým prumetem takvých rvin je prumetna. Mezi nimi jsu však také rviny hlavní, které mají tu vlastnst, že prumety brazcu v nich ležících jsu shdné s brazci v rvine. Rviny hlavní nazýváme též rvinami vrstevními. K urcení hlavní rviny stací znát kótvaný braz jednh jejíh bdu. (Prc?) Není-li rvina e hlavní, pak prtíná prumetnu :n; a každu hlavní rvinu v prímkách navzájem rvnbežných (prc?). Tyt prusec1uce se jmenují hlavní prímky rviny. Jsu t prímky rviny e rvnbežné s prumetnu :n;. Budeme je znacit hq Obycejne sestrjujeme hlavní prímky v rvine celistvých kótách. Také prusecnice rviny e s prumetnu je hlavní prímka kóte O, tj. bsahuje bdy rviny, které mají nulvé kóty. Nazýváme ji stpu rviny a znacíme pq. prumetech hlavních prímek téže rviny platí veta: Hlavní prímky rviny, která není rvnbežná s prumetnu, jsu navzájem rvnbežné. Jejich prumety jsu prímky rvnbežné s prumetem stpy rviny (br. 30). DUKAZ: Hlavní rviny jsu navzájem rvnbežnc", Libvlná rvina je prt prtiná v prusecnicich vzájemne rvnbežných. Pdle základni vety 4a prume- Ohr. 30 tech rvnbežných prímek budu i jejich prumety prímky vzájemne rvnbežné. Prtže pq == p~, jsu prumety Wavníchprímek rvnbežné B prumetem stpy rviny. Uvedeme nekteré vlastnsti hlavních prímek. Každá hlavní prímka h rviny je s prumetnu :n; rvnbežná; její bdy mají stejnu kótu; prumety úsecek ležících na hlavní prímce jsu s temit úseckami shdné. Prtže každým bdem rviny prchází jediná hlavní rvina, prchází jím také jediná hlavní prímka. Kóta bdu je kótu hlavní prímky. Tut vlastnst zapisujeme takt: napríklad bdem A kóte 5 prchází v e hlavní prímka hq (5) apd. Obrácene, na hlavní prímce hq (4) leží všechny bdy rviny e, které mají kótu 4. Na stpe rviny pq = hq (O) leží tedy všechny bdy rviny e kóte O. Rvina (!, která není s prumetnu rvnbežná ani k ní klmá, je becne plžená rvina vzhledem k :n;, krátce becná rvina. Ze steremetrie známe vetu urcensti rviny. Zpakujte si ji na tmt znacení: e = ABC, pricemž C není incidentní s prímku AB; e == ab (a, b ruznbežné); e = ab, a II b, ale a ~ b; (! = Ab, pricemž A není incidentní s prímku b. Je-li rvina dána kótvanými brazy urcujících prvku, je v deskriptivní gemetrii velmi užitecné sestrjit v tét rvine brazy hlavních prímek celých kót. Nekdy sestrjujeme i braz stpy rviny. Vyrešme PRíKLAD 6. Rvina je dána ruznbcžkami a == AC, b = BC. Zbrazte její stpu a hlavní prímky [A (5; 5; 3), B (O;-I; 5), C (-3; 3; -2)] (br. 31),
\,,>t.j [42] I /.,' I ",O 1\ / II ; I " I I \~1(5) \ I :., : X [43] AD leží celá v rvine, prtže její dva bdy A, D leží v rvine. Leží prt v rvine i bd M == AD. BC. Prtže bd M leží na prímce AD, známe kóty dvu bdu A, M; z její sklpené plhy dvedeme urcit hledanu kótu bdu D. PROVEDENí: Urcíme Ml = AIDl. BICl' Sklpíme prímku BC; úsecka Ml(M) je rvna IZM I. Sklpíme-li AM, urcí úsecka Dl(D) hledanu kótu bdu D. Obr. 31 Obr. 32 ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Urcíme stpníky prímek a, b. Prímka spjující stpníky je už stpa rviny. (Prc?) Prímky spjující bdy stejných kót na AC, BC jsu hlavními prímkami rviny. PROVEDENí: Sklpením prmítacích rvin ')(,", ')(,b urcíme stpníky prímek a, b a bdy celých kótách. Prímka p~ == P~ P~ je brazem stpy rviny; prímky spjující bdy shdných kót jsu již brazy hlavních prímek. PRíKLAD 7. Zbrazte hlavní prímky rviny I} == ABC [A (5; 5; 3), B (O;-1; 5), C (-3; 3; 2)] (br. 31). REŠENí: Stací znacit a = AC, b = BC a tím prevést rešení na predcházející príklad. PRíKLAD 8. Je dána rvina I} = ABC [A (-3; 1; 3),B (:-1; 6; O),C (5; 2; 5)] a bd D (O;3,5;?), který leží v rvine. Urcete jeh zbývající kótu (br. 32). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Leží-li bd D v rvine I}, musí ležet na nejaké prímce rviny. Napríklad prímka (C) CVICENí 1 Je dána rvina I} = PQR [P (2; 5; O),Q (-3; 1; 1), R (5; 2; 6)]. Zbrazte rv:inu,její stpu a hlavní prímky kótách 1, 2, 3, 4, 5. 2 Urcete suradnice težište trjúhelníku ABC [A (3; 1; 5), B (O; 1; 3), C (-4; 6; 1)].. 3 Rvina I} je zbrazena hlavními prímkami ~ (3) II ~ (6). Zvlte si bd Ml' který neleží na žádné z nich. Tent bd je brazem bdu MEl}. Urcete jeh kótu. 4 Je dán rvnbežník ABCD [A (-1; 3; 5), B (2; 0,5; 1), C (3,5; 2; 3)]; urcete jeh braz a kótu vrchlu D. Obr. 33 14 Další úlhy rvine Chceme-li rešit radu dalších úlh rvine, musíme si nejdríve vyslvit duležitu vetu prumetu pravéh úhlu. Základní veta 8. Jestliže prímky a, b jsu vzájemne klmé, ale žádná z nich není klmá k prumetne n, ptm jejich prumetyal, bl jsu prímky k sbe klmé tehdy, je-li alespn jedna z prímek a, b rvnbežná s prumetnu. Platí i veta brácená (br. 33):