Algebra II pro distanční studium

Algebra II pro distanční studium

(1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací............. 28 4. Homomorfismy grup........... 40 5. Vnoření pologrupy do grupy........ 48 6. Cyklické grupy.............. 55 7. Grupy řádu n < 8............. 63 8. Rozklad podle podgrupy.......... 69 9. Normální podgrupy............ 78 10. Kongruence............... 84 11. Faktorové grupy............. 88 12. Direktní součiny grup........... 98

II. Struktury se dvěma binárními operacemi..... 107 1. Od okruhu k tělesu............ 107 2. Okruh polynomů............. 121 3. Homomorfismy a ideály.......... 126 4. Faktorové okruhy............. 137 5. Prvoideály a maximální ideály....... 144 6. Dělitelnost v oboru integrity........ 152 7. Gaussovy okruhy............. 158 8. Okruhy hlavních ideálů.......... 162 9. Vnoření okruhů do těles.......... 168 Literatura................... 174.................... 176 (2)

(3) Předmluva Toto skriptum je určeno studentům matematických oborů na PřF OU, jako doplňkový text ke kurzu Algebra 2, respektive ke kurzu Algebraické struktury. Skriptum shrnuje základní poznatky z teorie algebraických struktur s jednou nebo se dvěma binárními operacemi. Ke čtení tohoto skripta je zapotřebí povrchní znalost lineární algebry. V části věnované algebraickým strukturám s jednou operací jsou představeny grupy včetně speciálních tříd grup permutací a cyklických grup. V této části se studují homomorfismy grup a jejich souvislost s faktorovou grupou. V jedné z kapitol je uveden výčet grup až do řádu 15. Poslední kapitola řeší otázku, kdy je grupa direktním součinem svých podgrup. Třetí část popisuje okruhy, tělesa a obory integrity. Podobně jako v kapitole o grupách je zde ukázána provázanost homomorfismů a faktorových okruhů. Dále je zde také popsána dělitelnost v oborech integrity

následovně speciální třídy okruhů Gaussovy okruhy, Eulerovy okruhy a okruhy hlavních ideálů. Závěr je věnován vnoření oboru integrity do tělesa. (4) Tato verze má datum 28. listopad 2006.

I.1 (5) I. Struktury s jednou binární operací 1. Základní vlastnosti grup Binární operací na množině G je libovolné zobrazení G G G. Každé uspořádané dvojici prvků z G (operandům) přiřazuje jeden prvek (výsledek) z téže množiny. Obvykle používáme pro binární operaci, která dvojici a, b přiřadí prvek c, multiplikativní zápis a b c, nebo zápis aditivní a b c, setkáme se ale také s jiným označením např.,, atp. 1.1. Definice. Mějme dánu neprázdnou množinu G a binární operaci na G, dvojici G, nazýváme grupoidem. Máme-li dán grupoid G, tak, že je z kontextu zřejmé jakou operaci máme na mysli, pak píšeme obvykle pouze G.

Operace v grupoidu G, může splňovat vlastnost I.1 (6) a b b a potom říkáme, že operace je komutativní respektive, že grupoid je komutativní, někdy se také používá pojem grupoid abelovský 1. 1.2. Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu s operací sčítání N, je komutativní grupoid. 2. Množina přirozených čísel spolu s odčítáním není grupoid, protože pro m, n N, m < n je rozdíl n m záporný a tedy odčítání není binární operací na množině N. 3. Množina lichých přirozených čísel spolu se sčítáním ( 2k 1 N, ) grupoidem není, nebot, součtem dvou lichých čísel je číslo sudé a tedy sčítání není binární operací na množině 2k 1 N. 4. Množina lichých přirozených čísel spolu s násobením ( 2k 1 N, ) je komutativním grupoidem. 5. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení matic tvoří nekomutativní grupoid. 1 Abel, Niels Henrik, 1802 1829, norský matematik.

V multiplikativních grupoidech budeme často v součinech vynechávat znaménko operace, tedy místo a b budeme psát jen ab. 1.3. Definice. Operace v grupoidu G, je asociativní, pokud pro všechna a, b, c G platí I.1 (7) a b c a b c. Grupoid G,, ve kterém je operace asociativní, nazýváme pologrupou. Jestliže pro tři prvky platí asociativní zákon říkáme tím, že součin těchto prvků, v daném pořadí, je určen jednoznačně. Indukcí lze asociativní zákon rozšířit na libovolnou n-tici prvků pologrupy G, tedy v pologrupě je součin libovolné uspořádané n-tice prvků určen jednoznačně. V dalším textu tedy můžeme v pologrupách vynechávat všechny závorky. 1.4. Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu se sčítáním N, je pologrupou. 2. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení je pologrupou. 3. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním vektorů je pologrupou. 4. Vektorový prostor R 3 spolu s operací vektorového násobení není pologrupa. Vektor u v w u w v v w u,

je lineární kombinace 2 vektorů v a u a obecně není shodný s vektorem I.1 (8) u v w v w u v u w w u v, lineární kombinací vektorů w a v. Neutrálním prvkem v grupoidu G, nazýváme prvek e G, který pro všechny a G splňuje vlastnost ea ae a. Neutrální prvek e je v grupoidu G jediný. Jestliže je také e další neutrální prvek grupoidu G, pak e ee e. Jestliže nemůže dojít k záměně s čísly 1 a 0, lze namísto obvyklého označení písmenem e v případě multiplikativního grupoidu značit neutrální prvek znakem 1 a v případě aditivního grupoidu znakem 0. 1.5. Definice. Pokud v pologrupě G, existuje neutrální prvek e říkáme trojici G,, e monoid. 1.6. Příklad. 1. Množina přirozených čísel s operací násobení je monoidem s neutrálním prvkem e 1. 2 Operace tady představuje skalární součin vektorů.

2. Množina čtvercových matic stupně 2 s operací násobení matic je monoidem s neutrálním prvkem E ( ) 1 0. 0 1 I.1 (9) 3. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním vektorů je monoid s neutrálním prvkem o 0, 0, 0. Mějme monoid G, s neutrálním prvkem e. Jestliže k prvku a G existuje prvek a 1 G s vlastností a a 1 a 1 a e, říkáme prvku a 1 inverzní prvek k prvku a. V monoidu G, je inverzní prvek k prvku a G, pokud existuje, určený jednoznačně. V případě, že existují k jednomu prvku a G dva různé inverzní prvky, a 1 1 G a a 1 2 G, potom a 1 1 a 1 1 e a 1 1 aa 1 2 ea 1 2 a 1 2. 1.7. Definice. Jestliže v pologrupě G, existuje neutrální prvek e a e e a a

a pro každý prvek a G existuje inverzní prvek a 1 I.1 (10) nazýváme tuto pologrupu grupou. a a 1 a 1 a e 1.8. Příklad. 1. Množina celých čísel spolu s operací sčítání Z, tvoří komutativní grupu, kde neutrálním prvkem je e 0 a inverzním prvkem k prvku a Z je a. 2. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním tvoří komutativní grupu. 3. Množina regulárních čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení tvoří nekomutativní grupu označovanou GL 2 R, kde neutrálním prvkem je ( ) 1 0 E. 0 1 Mějme regulární matici ( ) a b A, c d její determinant ad bc je nenulový, tedy existuje regulární matice ) A 1 ( d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc,

inverzní prvek k matici A. 4. Množina všech čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení netvoří grupu, protože singulární matice nemají inverzní prvky. I.1 (11) Pokud v grupě G dále zkoumáme vlastnost inverze prvku a G, dostáváme a ae a ( a 1 a 1 1) aa 1 a 1 1 e a 1 1 a 1 1. Pro součin dvou prvků a, b grupy G platí ab ab 1 e, pokud tuto rovnost pronásobíme zleva postupně inverzními prvky k a a b, obdržíme ab 1 b 1 a 1. Necht, pro prvky a, b 1, b 2 grupy G platí rovnost ab 1 ab 2. Obě strany rovnice můžeme zleva vynásobit inverzním prvkem a 1, tedy a 1 ab 1 a 1 ab 2 uplatníme-li asociativnost a vlastnost inverzí obdržíme eb 1 eb 2 a tedy b 1 b 2. Obdobně z rovnosti b 1 a b 2 a plyne rovnost b 1 b 2. Existence inverzních prvků v G,, tedy zajišt, uje, že ab 1 ab 2 implikuje b 1 b 2. Říkáme, že v grupě lze krátit zleva, podobně bychom zavedli pojem krácení zprava.

Prvku e p grupoidu G, s vlastností ae p a, pro všechna a G, říkáme pravý neutrální prvek. Obdobně prvku e l grupoidu G, s vlastností e l a a říkáme levý neutrální prvek. Mějme v grupoidu pravý neutrální prvek e p. Prvku a 1 p s vlastností aa 1 p e p říkáme pravý inverzní prvek k prvku a. Obdobně prvku a 1 l s vlastností a 1 l a e p říkáme levý inverzní prvek prvku a. Obdobně také s levým neutrálním prvkem. 1.9. Věta. Jestliže v pologrupě G, existuje pravý neutrální prvek e p a pro každý prvek a G existuje alespoň jeden pravý inverzní prvek a 1 p, pak je G, grupou. Důkaz. V grupě G pro každé a G platí e p aa 1 p e p e p e p aa 1 p. Pronásobíme-li obě strany rovnosti jedním z inverzních prvků k a 1 p dostaneme e p ae p ae p tedy e p a a a prvek e p je neutrálním prvkem pologrupy G. Dále jej tedy značme bez indexu, pouze e. a 1 p Mějme prvek a G a jeden jeho pravý inverzní prvek a 1 p. Platí a 1 p e a 1 p aa 1 p. Pokud pronásobíme obě strany této rovnosti, dostaneme rovnost e a 1 p ae a 1 p a a prvek a 1 p je inverzním prvkem k prvku a. Pologrupa G splňuje tedy obě vlastnosti grupy. jedním z inverzních prvků k a 1 p Předchozí větu můžeme vyslovit také pro levé neutrální a levé inverzní prvky. Věta 1.9 nám usnadňuje rozhodování, zda struktura je I.1 (12)

grupou. Nyní stačí ověřit jedinou z rovností ae a a ea a pro potenciální neutrální prvek e a všechna a G. Podobně stačí pro všechna a G ověřit jedinou z rovností aa 1 e, a 1 a e pro potenciální inverzní prvky. 1.10. Definice. Řádem grupy G nazýváme mohutnost množiny G. Pokud je G konečná množina říkáme, že grupa G je konečného řádu. Pokud je G nekonečná množina, říkáme že grupa G má nekonečný řád. Řád grupy značíme #. 1.11. Definice. Řádem prvku a v grupě G, rozumíme nejmenší přirozené číslo n pro které platí a } a {{ a } a n e. n-krát Jestliže žádná nenulová mocnina daného prvku a není rovna jednotkovému prvku e říkáme, že prvek je nekonečného řádu. 1.12. Příklad. Symetrií pravidelného n-úhelníku nazvěme takovou permutaci jeho vrcholů, která zachovává vzdálenosti (tedy shodné zobrazení, které permutuje vrcholy daného n-úhelníku). Mějme pevně daný čtverec A, B, C, D. Pokud vezmeme v úvahu, že středová souměrnost se středem S a rotace o 180 kolem téhož středu I.1 (13)

I.1 (14) B r 1 A o 1 r 2 S C r 3 o 2 o3 o 4 Obrázek 1. Symetrie čtverce. jsou stejné zobrazení, reprodukuje daný čtverec osm shodných zobrazení, identita, čtyři osové souměrnosti a tři rotace, viz obrázek 1. Tabulka 1 popisuje skládání těchto zobrazení. Takové tabulce, definující grupovou operaci v konečné grupě, říkáme Cayleyova 3 tabulka. Symetrie čtverce spolu se skládáním zobrazení tvoří grupu s identitou jako neutrálním prvkem. Inverzní prvky lze vyčíst v tabulce, osové souměrnosti a rotace o 180 jsou inverzní samy k sobě, r 1 je inverzní k r 2. Značme tuto grupu 4. 3 Cayley, Arthur, 1921 1895, anglický matematik (a advokát). D

id o 1 o 2 o 3 o 4 r 1 r 2 r 3 id id o 1 o 2 o 3 o 4 r 1 r 2 r 3 o 1 o 1 id r 1 r 2 r 3 o 2 o 3 o 4 o 2 o 2 r 3 id r 1 r 2 o 3 o 4 o 1 o 3 o 3 r 2 r 3 id r 1 o 4 o 1 o 2 o 4 o 4 r 1 r 2 r 3 id o 1 o 2 o 3 r 1 r 1 o 4 o 1 o 2 o 3 r 2 r 3 id r 2 r 2 o 3 o 4 o 1 o 2 r 3 id r 1 r 3 r 2 o 2 o 3 o 4 o 1 id r 1 r 2 Tabulka 1. Skládání v grupě symetrií čtverce. Grupa 4 je řádu 8. Rotace r 1, r 3 jsou prvky řádu 4. Rotace r 2 a osové souměrnosti jsou prvky řádu 2. Pro n-prvkovou množinu je možno sestrojit n 3 různých operací a tedy n 3 různých Cayleyových tabulek, většina z nich ale nepopisuje grupy. Jeden ze způsobů jak poznat grupu podle tabulky se opírá o následující úvahu. Mějme pevný prvek a konečného grupoidu s krácením G a uvažujme zobrazení f a : G G, x ax. Protože v G lze krátit, tedy ax ay implikuje x y je výše zmíněné zobrazení injektivní. Injekce konečné množiny do sebe je jistě bijekcí. Tedy každý řádek Cayleyovy tabulky grupoidu s krácením (podobně i každý sloupec) je permutací množiny G. Je zřejmé, že komutativní grupoid bude mít shodné sloupce I.1 (15)

a řádky pro shodné prvky tedy, že tabulka bude symetrická podle diagonály aa, a G. Z Cayleyovy tabulky je ovšem obtížné rozpoznat asociativitu. 1.13. Věta. Pologrupa G, je grupou právě, když pro a, b G mají rovnice a x b, y a b jednoznačně určené řešení x, y G. Důkaz. Jestliže je pologrupa G, grupou, potom pro každé a G existuje inverzní prvek, tedy x a 1 b a y ba 1 jsou prvky, které jsou řešením rovnic a x b, y a b Uvedené rovnice nemají žádné další řešení x 1, y 1, protože rovnosti ax ax 1, yb y 1 b lze v grupě krátit. Rovnice ax a má v G jediné řešení pro každé a, označme toto řešení e a. Mějme prvky a, b G, b a a y at, je řešení rovnice ya b. Potom be a ya e a y ae a ya b. Protože rovnice bx b má také jediné řešení e b, platí e a e b. Tedy v G existuje prvek e s vlastností ae a pro všechny a G, pravý neutrální prvek. Rovnice ax e je jednoznačně řešitelná a její řešení je pravý inverzní prvek prvku a. Podle věty 1.9 je pologrupa G, grupou. 1.14. Poznámka. Podle předchozí věty je lhostejné zda jako definici grupy přijmeme definici 1.7 nebo zda grupu definujeme jako pologrupu ve které mají rovnice ax b, ya b jednoznačně určené řešení. I.1 (16)

1.15. Příklad. Rozhodněte zda množina přirozených čísel N spolu s operací největší společný dělitel N, gcd tvoří grupu. Rovnice gcd 12, x 4 má dvě různé řešení x 1 8 a x 2 4, a podle věty 1.13 proto N, gcd není grupa. I.1 (17) 1.16. Věta. Pologrupa konečného řádu s krácením je grupou. Důkaz. Mějme pologrupu konečného řádu s krácením G,. Při úvahách o Cayleyho tabulkách, na str. 15 jsme dokázali, že krácení v konečném grupoidu je postačující podmínkou toho, že pro libovolné pevné a G je zobrazení f a : G G, x ax je bijektivní, tedy každá rovnice ax b má jediné řešení. Podobně zobrazení g a : G G, x xa je bijekce a rovnice xa b je rovněž jednoznačně řešitelná. Podle věty 1.13 je tedy G grupou. Cvičení k oddílu 1 1. Rozhodněte, který z následujících grupoidů je pologrupou, respektive monoidem respektive grupou N,, Z,, Q,, R,, C,, N,, Z \ {0},, Q \ {0},, Q,, R \ {0},, R,, C \ {0},. 2. Dokažte, že Z n, je grupa pro každé n N. 3. Je Z n, grupou? Pro jaká n N je Z n \ { 0}, grupou?

4. Dokažte, že množina Q \ { 1} spolu s operací definovanou a b a b ab, a, b Q, tvoří komutativní grupu. 5. Dokažte, že množina Q \ {1} spolu s operací definovanou a b a b ab, a, b Q, tvoří komutativní grupu. 6. Dokažte, že množina p-adických čísel Q p {m/p n ; m, n Z} tvoří multiplikativní grupu. 7. Dokažte, že GL n T, množina čtvercových regulárních matic stupně n nad tělesem T, spolu s násobením matic tvoří nekomutativní grupu. 8. Dokažte, že množina shodných zobrazení v rovině tvoří nekomutativní grupu. 9. Mějme A GL n T a B T n. Definujme afinní zobrazení jako zobrazení f A,C : T n T n f A,C X AX B. Dokažte, že množina afinních zobrazení afinního prostoru T n tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. 10. Dokažte, že potenční množina množiny M spolu s operací průnik, respektive sjednocení, tvoří komutativní monoid, ale ne grupu. 11. Rozhodněte zda potenční množina množiny M spolu s operací A B A B \ A B, A, B M, I.1 (18)

tvoří grupu. 12. Dokažte, že n, množina symetrií pravidelného n-úhelníku, spolu se skládání zobrazení tvoří nekomutativní grupu, řádu 2n. 13. Dokažte, že každý prvek grupy n lze zapsat jednoznačně jako o n r m, kde o je symetrie podle jedné pevné osy, n 0, 1, r je rotace převádějící každý bod na nejbližšího souseda vlevo, m 0, 1, 2,..., n 1. 14. Mějme grupy G a G. Na množině G G definujme operaci předpisem a, a b, b ab, a b, a, b G a a, b G. Dokažte, že G G, tvoří grupu. Tuto grupu nazýváme direktní součin grup G a G. 15. Určete tabulku čtyřprvkové grupy {e, a, b, ab}, kde a 2 e. Tato grupa se nazývá Kleinova 4 4-grupa. 16. Proč tabulka 2 neurčuje grupu? 17. Mějme množinu komplexních čísel a definujme operaci na C takto a b a 2 b, 4 Klein, Felix, 1849 1925, německý matematik. Roku 1872 ukázal význam teorie grup v geometrii, v přednášce dnes zvané Erlangenský program. I.1 (19)

e a b c d e e a b c d a a e c d b b b d e a c c c b d e a d d c a b e Tabulka 2. Pětiprvková kvazigrupa. kde a, b C a číslo a 2 b vzniklo běžným umocňováním a sčítáním komplexních čísel. Dokažte, že je na C nekomutativní a neasociativní. Jsou v C rovnice a x b, y a b? jednoznačně řešitelné? te (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 18. Mějme množinu R 3, operaci definujme takto u v u v /2 pro všechny u, w R 3. Dokažte, že operace je na R 3 komutativní, neasociativní s jednoznačně určeným řešením rovnic u x v, y u v. I.1 (20)

Existují zde neutrální a inverzní prvky? 19. Mějme množinu symetrií trojúhelníka 3. Vyberme jednu pevnou neidentickou symetrii u 3. Definujme operaci I.2 (21) a b a u b u kde a, b 3 a násobení je běžné skládání symetrií. Ukažte, že množina symetrií trojúhelníka s operací je nekomutativní, neasociativní. Jsou rovnice a x b, y a b, jednoznačně řešitelné? te (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 20. Dokažte, že v grupě řádu 2n prvky existují nejméně dva prvky, řádu 2, tedy aa e. 21. Dokažte, že pokud v grupě G platí aa e pro každé a G, potom je G komutativní. 22. Kolik je dvouprvkových grupoidů, kolik z toho je pologrup, monoidů, grup. Které z těchto struktur jsou komutativní.

2. Podgrupy I.2 (22) 2.1. Definice. Grupa H, je podgrupou grupy G,, když H G a pro všechna a, b H platí a b a b. Operace se pak nazývá zúžením operace na množinu H. Obvykle budeme značit operaci v grupě a všech jejích podgrupách stejným symbolem. Je zřejmé, že G, a e, jsou podgrupami G,. Těmto podgrupám se říká triviální podgrupy. Všechny podgrupy grupy G různé od těchto dvou nazýváme netriviální podgrupy. 2.2. Příklad. 1. Množina rotací (identita je rotace o 360 ) je podgrupou grupy symetrií čtverce. Viz příklad 1.12. 2. Celá čísla tvoří aditivní podgrupu grupy Q,. 3. Permutace ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 id, π 1, 2 1 3 4 2 1 3 4 ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 π 2, π 3 1 2 4 3 2 1 4 3

spolu se skládáním permutací tvoří komutativní podgrupu nekomutativní grupy S 4. I.2 (23) 2.3. Věta. Mějme grupu G,, Podmnožina H G tvoří podgrupu grupy G právě, když zároveň platí 1. e H, 2. pro každé a H je a 1 H, 3. pro všechny a, b H platí ab H. Důkaz. Je zřejmé, že struktura splňující podmínky naší věty je podgrupou grupy G. Pokud je struktura H, podgrupou grupy G, pak v H existuje jednotkový prvek e tak, že a e e a a, protože platí a a e a e musí být prvek e jednotkovým prvkem grupy G a e e H. Ostatní podmínky věty jsou splněny triviálně. Přestože věta 2.3 říká vše podstatné o struktuře podgrupy následující kritérium zjednodušuje rozhodování o tom zda daná struktura je či není podgrupou. 2.4. Věta. Mějme H G, H. Dvojice H, je podgrupou grupy G, právě, když pro všechny a, b H platí ab 1 H. Důkaz. Je zřejmé, že každá podgrupa H grupy G výše uvedenou vlastnost splňuje.

Naopak, necht, H, splňuje uvedenou vlastnost. Dokažme platnost podmínek věty 2.3. Necht, a H. Potom také e aa 1 H. Dále a 1 ea 1 H. Pokud také b H, platí také b 1 H a součin ab a b 1 1 leží v H. Mějme H, H podgrupy grupy G. Pokud dva prvky a, b patří do obou těchto podgrup současně, a, b H H, potom také součin ab 1 patří současně do H a H, tedy H H je podgrupou grupy G. Indukcí tuto vlastnost můžeme rozšířit, mějme H i, i {1, 2,..., n} systém podgrup grupy G. Potom n H je podgrupa grupy G. H i i 1 2.5. Definice. Mějme A G, množinu prvků grupy G. Podgrupu A grupy G s vlastností 1. A A, 2. pro všechny podgrupy H, s vlastností A H platí A H, nazveme podgrupou generovanou množinou A. Mějme A G. Podgrupa A grupy G, je rovna průniku všech podgrup grupy G obsahujících množinu A. Dá se také vytvořit jako součin všech možných kombinací prvků z A a jejich inverzí v G. I.2 (24)

Cvičení k oddílu 2 1. Ukažte, že pro n N je množina n-násobků celých čísel Z n {na; a Z} je podgrupa grupy Z,. 2. Ukažte, že R, je podgrupou grupy R \ {0},. 3. Ukažte, že {1, 1}, je podgrupou grupy R \ {0},. 4. Určete podgrupu GL 2 C generovanou maticemi ( ) ( ) 0 i 0 1 A, B. i 0 1 0 5. Najděte všechny podgrupy grupy {A, B}, z předchozí úlohy. 6. Dokažte, že množina symetrií krychle takových, že ponechávají na místě jeden vrchol je podgrupou množiny všech symetrií krychle. 7. Dokažte, že množina permutací n-prvkové množiny M takových, že ponechávají na místě všechny prvky množiny A M je podgrupou množiny všech permutací S n. 8. Najděte nejmenší podgrupu multiplikativní grupy C, která obsahuje komplexní jednotku i. 9. Mějme grupu G,. Množinu Z G {x G; xa ax, pro všechna a G} nazveme centrum grupy G. Dokažte, že centrum Z G je komutativní podgrupa grupy G. I.2 (25)

10. Mějme grupu G, a prvek a G. Množinu I.2 (26) N a {x G; xa ax} {x G; xax 1 a} nazveme normalizátor prvku a. Dokažte, že N a je podgrupa grupy G. 11. Dokažte, že množina prvků konečného řádu tvoří podgrupu v každé grupě G. Této podgrupě říkáme torzní podgrupa. 12. Mějme grupu G, dokažte, že množina {x G; x x } tvoří podgrupu grupy G. 13. Dokažte, že množina skalárních matic ( ) a 0, kde a R, 0 a je centrum grupy GL 2 R. 14. Dokažte, že množina matic {( ) } a b B ; a, b, c R 0 c je podgrupa GL 2 R. Dokažte, že B není obsažena v žádné netriviální podgrupě GL 2 R, různé od B. 15. Dokažte, že SL 2 R, množina matic jejichž determinant je roven 1, je podgrupa GL 2 R.

16. Dokažte, že centrum SL 2 R je množina {( ) ( )} 1 0 1 0, 0 1 0 1 17. Dokažte, že množina matic {( ) } a b B S 0 a 1 ; a, b R je podgrupa SL 2 R. Dokažte, že B S není obsažena v žádné netriviální podgrupě SL 2 R, různé od B S. 18. Ukažte, že GL 2 R je podgrupou grupy afinních zobrazení R n R n. 19. Nalezněte podgrupu grupy Z, generovanou dvěma prvky 4, 6. 20. Mějme grupu G,. Komutátorem prvků a, b G nazýváme prvek a, b aba 1 b 1. Podgrupu generovanou všemi komutátory K G { a, b ; a, b G} nazveme komutant grupy G. Dokažte, že komutant K G je podgrupa grupy G. Dokažte, že každý prvek z K G se dá vyjádřit jako součin komutátorů.. I.3 (27)

3. Grupy permutací Bijektivní zobrazení konečné množiny M {1, 2,..., n} na sebe se nazývá permutací množiny M. 3.1. Příklad. Pro pětiprvkovou množinu {1, 2, 3, 4, 5} můžeme permutaci τ zadanou předpisem τ 1 3, τ 2 2, τ 3 5, τ 4 1, τ 5 4, zkráceně zapisovat dvouřádkovým symbolem ( ) 1 2 3 4 5 τ. 3 2 5 1 4 Pro n prvkovou množinu M můžeme obraz prvku 1 vybrat n různými způsoby, obraz prvku 2 smíme vybrat ze všech prvků různých od π 1, tedy n 1 způsoby atd., takže dostáváme n n 1 n 2 2 1 n! permutací. Je zřejmé, že složení dvou permutací množiny M je opět permutace množiny M. 3.2. Příklad. Pro permutace τ a σ ( ) 1 2 3 4 5 τ 3 2 5 1 4 σ ( 1 2 3 4 ) 5 4 5 2 1 3 I.3 (28)

dostáváme permutaci τ σ, kde τ σ 1 σ ( τ 1 ) σ 3 2 atd. Což můžeme zapsat I.3 (29) 1 3 2, 2 2 5, 3 5 3, 4 1 4, 5 4 1, obdobně σ π, 1 4 1, 2 5 4, 3 2 2, 4 1 3, 5 3 5, tedy τ σ ( ) 1 2 3 4 5, σ τ 2 5 3 4 1 ( ) 1 2 3 4 5. 1 4 2 3 5 Kompozice libovolných zobrazení, a tedy i permutací, je asociativní a tedy množina permutací se skládáním tvoří pologrupu. Identickou permutace na M značme id. Je to neutrální prvek v pologrupě permutací. Protože permutace je bijektivní zobrazení, existuje pro každou permutaci π inverzní permutace π 1 tak, že π π 1 id. Tedy množina permutací tvoří grupu. Pro n prvkovou množinu M nazýváme tuto grupu symetrickou grupou a značíme S n. S výjimkou S 1 a S 2 jsou symetrické grupy nekomutativní.

r 0 r 1 I.3 (30) r k r k 1 r 2 Obrázek 3. Cyklická permutace. 3.3. Definice. Permutaci π nazveme cyklem, jestliže platí π r 0 r 1, π r 1 r 2,..., π r k 1 r k a konečně π r k r 0, kde r i r j, i, j {0, 1,..., k}, 1 k M, a pro všechny x r i, platí π x x. Číslo k nazýváme délka cyklu. Pro cyklické permutace používáme zkrácený zápis r 0, r 1,..., r k, 1 k M. Protože není podstatné, kterým prvkem cyklus začíná, je tento zápis ekvivalentní s libovolným zápisem ve tvaru r i, r i 1,..., r k, r 0,..., r i 1.

Inverzní permutací k cyklu r 0, r 1,..., r k je zřejmě cyklus obsahující tytéž prvky seřazené v opačném pořadí, I.3 (31) r 0, r 1,..., r k 1 r k, r k 1,..., r 1, r 0. 3.4. Příklad. Permutace τ je cyklická permutace, kde ( ) 1 2 3 4 5, 3 2 5 1 4 1 3 5 4 1, 2 2 a můžeme ji zkráceně zapsat 1, 3, 5, 4, popřípadě některým z následujících zápisů 3, 5, 4, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 5. Délka τ je 3. Inverzní permutace k permutaci τ je τ 1 4, 5, 3, 1 v dvouřádkovém zápise τ 1 ( ) 1 2 3 4 5. 4 2 1 5 3 Dva cykly na množině M, nazýváme disjunktní, jestliže nemají společný prvek, tj. cykly r 0, r 1,..., r k a s 0, s 1,..., s l, 1 k, l M jsou disjunktní, jestliže {r 0, r 1,..., r k } {s 0, s 1,..., s l }.

3.5. Věta. Každou neidentickou permutaci množiny M lze zapsat jako kompozici disjunktních cyklů. Až na pořadí je tento zápis jednoznačný. Důkaz. Je zřejmé, že disjunktní cykly komutují a tedy nezáleží na pořadí v jakém je součin disjunktních cyklů zapsán. Větu dokážeme indukcí přes n, počet prvků množiny M. Pro n 2 je podmínka splněna, neidentická permutace dvouprvkové množiny je cyklem délky jedna. Předpokládejme, že platí předložená věta pro n k a uvažujme permutace k 1 prvkové množiny. Pokud π k 1 k 1, pak jsme π obdrželi z permutace k prvkové množiny π, která se podle indukčního předpokladu skládá z disjunktních cyklů, přidáním jediného prvku, který není obsažen v žádném z těchto cyklů a tedy π je také součinem disjunktních cyklů. Předpokládejme, že v množině M existuje prvek p k 1 takový, že π p k 1, pak existuje prvek q k 1 takový, že π k 1 q. Permutace k prvkové množiny π zadaná předpisem π p q a π i π i, pro všechna i p, q, je podle indukčního předpokladu složena z disjunktních cyklů. Přitom permutaci π dostaneme z π tak, že do cyklu obsahujícího prvky p, q vložíme mezi p a q další prvek k 1, který není obsažen v žádném dalším cyklu permutace π. Tedy také π se skládá z disjunktních cyklů. I.3 (32)

Dokažme jednoznačnost takovéhoto rozkladu indukcí pro počet cyklů. Pro n 1 není co dokazovat. Necht, pro každou permutaci složenou z k cyklů je tento rozklad určený jednoznačně. Mějme permutaci π která je složena s k 1 disjunktních cyklů, tedy I.3 (33) π π 1 π 2 π k π k 1. Podle indukčního předpokladu je rozklad permutace ππ 1 k 1 π 1π 2 π k určený jednoznačně. Protože množina permutací tvoří grupu je rovnice πx π 1 π 2 π k řešitelná jednoznačně a vzhledem k jednoznačně určeným inverzním prvkům v grupě, je tedy jednoznačně určený i rozklad π π 1 π 2 π k π k 1. 3.6. Příklad. Permutace σ ( 1 2 3 4 ) 5 4 5 2 1 3

zapsaná jako součin disjunktních cyklů vypadá takto I.3 (34) σ 1, 4 2, 5, 3. 3.7. Věta. Mějme dánu permutaci π, potom i>j π i π j i j ±1. Důkaz. Necht, π je permutace n prvkové množiny. Množina {{i, j}; i > > j, i, j {1, 2,..., n}} je množina kombinací druhé třídy z n prvků a stejně tak množina {{π i, π j }; i > j, i, j {1, 2,..., n}}. Nyní je snadné nahlédnout, že čitatel i jmenovatel uvedeného výrazu obsahuje, až na znaménko, stejné činitele. 3.8. Definice. Mějme dánu permutaci π, potom výraz sgn π i>j π i π j i j nazýváme znaménko permutace. Je-li sgn π 1 pak říkáme, že permutace je sudá, pokud sgn π 1 pak říkáme, že permutace je lichá.

Počítat znaménko permutace podle předchozí definice by bylo obtížné, ukážeme si tedy jiné možnosti, jak určit znaménko permutace. Zároveň s tím si objasníme význam tohoto pojmu. 3.9. Definice. Mějme π permutaci množiny M. Inverzí v permutaci π rozumíme dvojici 5 prvků ( π i, π j ) takovou, že π i < π j a i > j, kde i, j M. 3.10. Věta. Je-li počet inverzí v permutaci π sudý, je permutace π sudá naopak, je-li počet inverzí v permutaci lichý, je permutace π lichá, tedy označíme-li počet inverzí v permutaci π písmenem s pak můžeme psát i>j Důkaz. Jmenovatel zlomku π i π j i j 1 s. I.3 (35) sgn π i>j π i π j i j obsahuje jen kladná čísla. Činitel π i π j je záporný právě, když dvojice ( π i, π j ) je inverzí, tedy sgn π 1 s. 5 Nezaměňuj inverzi s dvouprvkovým cyklem.

3.11. Příklad. Snadno nahlédneme, že permutace ( ) 1 2 3 4 5 τ 3 2 5 1 4 obsahuje inverze 3, 2, 3, 1, 5, 1, je lichá a sgn τ 1. 3.12. Věta. Pro libovolné dvě permutace π a π na množině M platí sgn ππ sgn π sgn π. Důkaz. Mějme π a π dvě permutace na téže množině a jejich kompozici ππ. Dvojice ( ππ i, ππ j ) tvoří inverzi v permutaci ππ, tedy ππ i < ππ j a i > j právě, když 1. bud, π i < π j a tedy dvojice ( π i, π j ) tvoří inverzi v permutaci π. Protože ππ i π ( π i ) a ππ j π ( π j ), platí nerovnost π ( π i ) < π ( π j ) a dvojice (π ( π i ), π ( π j )) netvoří inverzi v permutaci π. 2. nebo π i > π j a tedy dvojice ( π i, π j ) netvoří inverzi v permutaci π. Zároveň platí rovnost π ( π i ) < π ( π j ) a dvojice (π ( π i ), π ( π j )) tvoří inverzi v permutaci π. I.3 (36)

Tedy parita počtu inverzí v permutaci ππ závisí na paritě celkového počtu inverzí v permutacích π a π. I.3 (37) Po přečtení kapitoly 4, je možné vyslovit předchozí větu také v této formě. 3.13. Věta. Zobrazení f: S n { 1, 1} definované předpisem π sgn π je homomorfismus symetrické grupy S n na dvouprvkovou multiplikativní grupu { 1, 1},. Hledání inverzí je pořád ještě komplikovaný způsob určení znaménka permutace. K dalšímu zjednodušení využijeme výsledky vět 3.12 a 3.5. Nejprve ukažme, že znaménko cyklu závisí jen na jeho délce. 3.14. Věta. Mějme cyklus r 0, r 1,..., r k délky k, potom sgn r 0, r 1,..., r k 1 k. Důkaz. Nejprve dokažme, že cyklus délky 1 takzvaná transpozice, má znaménko 1. Mějme r, s cyklus délky 1. Bez újmy na obecnosti před-

pokládejme, že r < s. Cyklus r, s můžeme zapsat jako 2 s r 1 prvkový součin transpozic, které zaměňují sousední prvky r, s r, r 1 r 1, r 2 s 2, s 1 s 1, s s 2, s 1 r 1, r 2 r, r 1. Každá z transpozic zaměňujících sousední prvky obsahuje jedinou inverzi, její znaménko je 1 a podle věty 3.12 obdržíme znaménko našeho cyklu sgn r, s 1 2 s r 1 1. Dále zapišme cyklus r 0, r 1,..., r k jako součin transpozic r 0, r 1,..., r k r 0, r 1 r 0, r 2 r 0, r k 1 r 0, r k, Pro zápis cyklu r 0, r 1,..., r k bylo třeba k transpozic přičemž, každá z nich má znaménko 1, tedy podle věty 3.12 je I.3 (38) sgn r 0, r 1,..., r k 1 k. Znaménko permutace nyní počítejme jako součin znamének disjunktních cyklů. Znaménko výše zmíněné permutace σ 1, 4 2, 5, 3 je sgn σ 1 1 2 1.

Spočítejme kolik je lichých a kolik sudých permutací. Mějme pevně zvolenou lichou permutaci π. Protože S n je grupa, je zobrazení f π : S n S n definované předpisem f π π 1 ππ 1, bijekce (viz str. 15, respektive důkaz Cayleyovy věty). Zobrazení fi π převádí sudé permutace na permutace liché a tedy sudých permutací je stejně jako permutací lichých, tedy n!/2. Navíc podle věty 3.12 je složením sudých permutací zase sudá permutace. Protože identita je sudá permutace musí být i inverzní permutace k sudé permutaci sudá a tedy platí následující věta. 3.15. Věta. Množina sudých permutací tvoří grupu. Grupě sudých permutací říkáme alternující grupa a značíme ji A n. Cvičení k oddílu 3 1. Pro X S 5 vyřešte rovnici ( ) ( ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 X 2 4 3 1 5 5 3 4 1 2 2. Nalezněte rozklad permutace ( ) 1 2 3 4 5 6 7 π 2 1 4 7 6 5 3 ( ) 1 2 3 4 5. 3 2 5 4 1 na disjunktní cykly, určete paritu a znaménko, vypište inverze v této permutaci. I.3 (39)

3. Mějme permutaci π na n prvkové množině M. Dokažte, že relace definovaná předpisem i j právě, když existuje k N tak, že π k i j je ekvivalence na množině M, přičemž rozklad množiny M podle této ekvivalence je právě rozklad permutace π na disjunktní cykly. 4. Řád permutace π je přirozené číslo k takové, že π k id. Mějme rozklad π na disjunktní cykly. Ukažte, že řád π je roven nejmenšímu společnému násobků délek těchto cyklů. 5. Pro permutaci vypočtěte π 104. π ( 1 2 3 4 5 6 ) 7 3 2 1 4 6 7 5 6. Vypište prvky a tabulku pro skládání alternující grupy A 3. 7. Dokažte, že v grupě G řádu 2n existuje prvek a různý od e řádu 2. Dále ukažte, že pro tento prvek je zobrazení f a : x ax sudá permutace množiny G. I.4 (40) 4. Homomorfismy grup Abychom mohli porovnávat grupoidy (tedy i grupy) mezi sebou, potřebujeme zobrazení, které zachovává vlastnosti operace.

4.1. Definice. Mějme grupoidy G, a G,. Zobrazení f: G G které pro všechny a, b G splňuje podmínku I.4 (41) f a b f a f b nazýváme homomorfismem grupoidů. Pokud je zobrazení f surjektivní nazýváme homomorfismus epimorfismem. Pokud je zobrazení f injektivní, mluvíme o monomorfismu. Bijektivní homomorfismus se nazývá izomorfismus!grup. Jsou-li grupoidy G a G izomorfní, značíme to G G. 4.2. Příklad. Mějme grupy R, a R,. Uvažujme zobrazení f: R R, f a e a. Platí f a b e a b e a e b f a f b. Zobrazení f je homomorfismus grup. Protože exponenciální funkce je bijektivní, je f izomorfismem. 4.3. Příklad. Mějme grupy R, a R,, tyto grupy jsou izomorfní. Na základě toho můžeme využít znalostí v R, a přenést je do struktury R,. Mějme aritmetickou posloupnost a 0, a 1 a 0 d, a 2 a 0 2d,..., a n a 0 nd.

Pro součet prvních n členů této posloupnosti s n platí 2s n 2 a 0 a 1 a n a 0 a n a 1 a n 1 a i a n i a n a 0 n 2a 0 nd n a 0 a n. Protože existuje izomorfismus f: R R můžeme vlastnosti aditivní struktury přenášet do multiplikativní grupy R. Pokud a 0 f a 0 a q f d, potom a i f a i je geometrická posloupnost a 0, a 1 q a 0, a 2 q2 a 0,..., a n q n a 0. Součin prvních n členů p n f s n, tedy pn 2 f 2s n f n a 0 a n a 0 a n n. I.4 (42) Mějme homomorfismy f: G G a g: G G, potom složené zobrazení f g: G G je homomorfismus. Stačí nahlédnout, že pro a, b G platí f g ab g f ab g ( f a f b ) g ( f a ) g ( f b ) f g a f g b.

Obrazem homomorfismu f: G G je množina prvků z G, které jsou obrazem některého prvku z grupoidu G. Obraz homomorfismu f označujeme If. Je snadné ukázat, že homomorfismus zachovává základní vlastnosti operace, tj, pokud je grupoid G asociativní respektive komutativní, pak i If je asociativní respektive komutativní. Tedy homomorfním obrazem pologrupy je opět pologrupa Necht, G je grupa. Vezměme neutrální prvek e G. Platí f a f ae f a f e, tedy obraz neutrálního prvku f e je neutrální v If. Podobně pro inverzi k prvku a G, f e f aa 1 f a f a 1, tedy obraz inverzního prvku k prvku a je inverzní k f a. Homomorfním obrazem grupy je opět grupa. I.4 (43) Jádrem homomorfismu f grup G a G nazýváme množinu prvků grupy G, jejichž obraz je neutrální prvek v grupě G. Jádro homomorfismu f označujeme ker f. Podle předchozího e ker f. 4.4. Věta. Mějme homomorfismus grup f: G G. Potom dvojice ( ker f, ) je podgrupou v grupě G. Dvojice ( If, ) je podgrupou v G. Důkaz. Označme e neutrální prvek v grupě G. Necht, a, b ker f, potom f ab 1 f a f b 1 f a f b 1 e e e, tedy ab 1 ker f a ker f je podgrupa v G.

Necht, pro a, b If, tedy existují a, b G takové, že f a a a f b b. Potom a b 1 f a f b 1 f a f b 1 f ab 1, tedy a b 1 If a If je podgrupa v G. 4.5. Věta. Homomorfismus grup f: G G je surjektivní právě tehdy, když If G. Homomorfismus f je injektivní právě, když ker f {e}. I.4 (44) Důkaz. První část věty je zřejmá. Mějme homomorfismus f: G G, s jádrem ker f {e}. Necht, pro prvky a, b G platí f a f b. Potom neutrální prvek v G můžeme vyjádřit jako součin f a a inverzního prvku k f b, e f a f b 1 f a f b 1 f ab 1. Tedy ab 1 ker f a proto ab 1 e, z čehož plyne a 1 b 1 a tedy a b. Zobrazení f je injektivní. Obrácená implikace je zřejmá. 4.6. Věta. (Cayleyova) Každá konečná grupa je izomorfní s některou grupou transformací.

Důkaz. Nejprve dokažme, že pro pevný prvek a grupy G, je zobrazení I.4 (45) f a : x ax bijektivní transformace množiny G. Protože v grupě platí pravidlo o krácení, je ax ay právě, když x y, tedy f a je injekce. Pro každé b G platí b a a 1 b, tedy zobrazení f a je také surjekce a tedy bijekce. Dále ukažme, že G je izomorfní s T,, kde T {f a ; a G} a je skládání zobrazení. Je zřejmé, že f b f a x f a ( fb x ) f a bx abx f ab x, podobně f e je neutrální v T, a f a 1 je inverzní k f a. Struktura T, je grupa. Zobrazení G T definované předpisem a f a je zřejmě surjektivní homomorfismus. Jestliže f a f b, potom f a e a b f b e, a dané zobrazení je také injektivní a tedy izomorfismus. Každá konečná n-prvková grupa je tedy izomorfní s některou n- prvkovou podgrupou grupy permutací S n. Cvičení k oddílu 4 1. Najděte homomorfismus grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií krychle.

2. Najděte všechny injektivní homomorfismy grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu. 3. Najděte všechny homomorfismy mezi grupou Z 4 a grupu symetrií čtverce. 4. Najděte izomorfismus grupy otočení čtverce a grupy Z 4. 5. Dokažte, že zobrazení a log a je izomorfismus multiplikativní grupy R, a aditivní grupy R,. 6. Dokažte, že zobrazení a 2 a je izomorfismus aditivní grupy R, a multiplikativní grupy R,. 7. Dokažte, že grupa C \ {0}, je izomorfní podgrupě GL 2 R tvořené nenulovými maticemi typu ( ) a b. b a 8. Najděte grupu transformací izomorfní s aditivní grupou Z 6. 9. Najděte izomorfismus grupy symetrií čtverce a některé grupy transformací. 10. Najděte homomorfismus alternující grupy A 4 a grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu. 11. Mějme grupu Q\{ 1},, kde operace je definovaná předpisem a b a b ab, a, b Q,. Nalezněte izomorfismus Q \ { 1}, a Q \ {0},. I.4 (46)

12. Dokažte, že jestliže prvek a G má řád n a a jeho homomorfní obraz f a je řádu m, pak m dělí n. 13. Mějme G, H dvě komutativní aditivní grupy. Množinu homomorfismů z G do H značme Hom G, H. Definujme operaci předpisem f g x f x g x. Dokažte, že ( Hom G, H, ) je grupa. 14. Automorfismem nazýváme izomorfismus grupy G do sebe. Množinu automorfismů grupy G značme Aut G. Dokažte, že Aut G je podgrupa grupu permutací množiny G. 15. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x x 1 izomorfismus. Určete zobrazení f f a f 1. 16. Ukažte, že pro 3 není zobrazení f: x x 1 izomorfismus. 17. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x x n, n N, homomorfismus grupu G do sebe. Ukažte na příkladě, že pro nekomutativní grupy to homomorfismus být nemusí. 18. Mějme pevný prvek a grupy G. Konjugací prvkem a nazveme zobrazení grupy G do sebe, zadané předpisem γ a : x axa 1. Dokažte, že konjugace je automorfismus grupy G. Konjugaci také nazýváme vnitřní automorfismus grupy G. Dále dokažte, že množina všech konjugací tvoří grupu, značíme ji In G. I.4 (47)

19. Dokažte, že zobrazení a γ a je homomorfismus grupy G do množiny Aut G. 20. Reprezentujte C 2 C 2 jako podgrupu S 4. 21. Reprezentujte C 2 C 4 jako podgrupu S 4. 22. Reprezentujte C 2 C 2 C 3 jako podgrupu S 6. I.5 (48) 5. Vnoření pologrupy do grupy Mějme pologrupu přirozených čísel N, tato pologrupa je podpologrupou v grupě celých čísel Z,, kde množina Z vznikla z množiny N přidáním záporných čísel a nuly. Podobně multiplikativní grupa Q vznikla z multiplikativní pologrupy Z přidáním převrácených hodnot celých čísel, kmenových zlomků, a všech součinů mezi kmenovými zlomky a celými čísly. Obě tyto konstrukce mají společný základ, k dané pologrupě P přidáváme prvky, tak abychom dostali grupu, respektive hledáme grupu která obsahuje jako podpologrupu danou pologrupu P. Pokusíme se popsat obecný tvar takovéto konstrukce. Mějme injektivní homomorfismus grupoidů f: G G, potom v G existuje podgrupoid izomorfní s G. Takovému homomorfismu pak říkáme vnořenígrupoidu G do grupoidu G. Nalézt nutnou a postačující podmínku pro to, aby bylo možné daný grupoid G vnořit do grupy je obtížné a obecně tyto podmínky je možno

zapsat nekonečným počtem rovností. Je zřejmé, že pouze nutná podmínka je jednoduchá : Grupoid G lze vnořit do grupy, potom G je pologrupa s krácením. Následující věta ukazuje, kdy bude tato podmínka také podmínkou postačující. 5.1. Věta. Komutativní grupoid G lze vnořit do grupy právě, když G je pologrupa s krácením, tj. pro všechny a, b, c G ab ac respektive ba ca implikují b c. Důkaz. Uvažujme f, vnoření grupoidu G do grupy Ḡ. Potom pro libovolné a, b, c G platí f ( a bc ) f a ( f b f c ) ( f a f b ) f c f ab f c f ( ab c ). Zobrazení f je injektivní a tedy a bc ab c a grupoid G je tedy pologrupou. Podobně, v grupě Ḡ lze krátit, tedy z rovnosti f a f b f a f c plyne f c f b, f je homomorfismus tedy také rovnost f ab f ac implikuje f c f b. Protože f je injektivní, rovnost ab ac tedy implikuje b c a v pologrupě G lze krátit. I.5 (49)

Obráceně, mějme abelovskou pologrupu G, ve které lze krátit. Zkonstruujme grupu Ḡ, tak aby existoval injektivní homomorfismus f: G Ḡ. Vezměme množinu G 2 G G. Na této množině definujme relaci předpisem I.5 (50) a, b c, d právě, když ad cb Relace je zřejmě reflexivní. Protože G je komutativní je také symetrická. Pokud pro a, b, d, c, u, v G platí zároveň pak platí zároveň a, b c, d a c, d u, v, ad cb a cv ud, odkud dostáváme ab cv cb ud. Protože G je komutativní pologrupa s krácením, lze poslední rovnost zjednodušit na rovnost av ub odkud plyne a, b u, v. Relace je také tranzitivní a tedy je ekvivalence na množině G. Uvažujme rozklad G 2 / na kterém definujme operaci a, b c, d ac, bd,

pro všechna a, b, c, d G 2 /. Necht, a, b a c, d je jiná reprezentace tříd a, b a c, d,, tedy I.5 (51) a, b a, b a c, d c, d, což je ekvivalentní s rovnicemi ab a b a cd c d. Utvořme součin a, b c, d a c, b d pak platí, odkud plyne a c bd a b c d ab cd acb d a c, b d ac, bd a tedy součin nezávisí na volbě reprezentantů dané třídy. Struktura Ḡ G 2 /, je grupoid.

Dokažme, že platí asociativní zákon, I.5 (52) a, b c, d u, v a, b cu, dv a cu, b dv ac u, bd v ac, bd u, v. a, b c, d u, v Grupoid Ḡ je pologrupou. Protože v pologrupě G můžeme krátit, obsahuje třída a, a právě všechny prvky tvaru x, y, kde x y. Ze stejného důvodu je součin a, a c, d ac, bd roven prvku c, d a prvek tvaru a, a je neutrální v Ḡ. Je zřejmé, pro všechny a, b G patří oba prvky a, b, b, a zároveň do G 2 /. Součin a, b b, a ab, ab dává neutrální prvek a tedy prvek b, a je inverzní k a, b, pologrupa Ḡ je grupou. Označme aa a 2, pro všechny a G. Pro zobrazení f: G G 2 / definované předpisem a a 2, a platí, f ab ab 2, ab a 2 b 2, ab a 2, a b 2, b f a f b a f je homomorfismus. Pokud a 2, a b 2, b potom a 2 b b 2 a a po vykrácení a b, tedy f je injektivní zobrazení a tedy vnoření pologrupy G do grupy Ḡ G 2 /, ).

Grupě Ḡ, zkonstruované v průběhu pžedešlého důkazu říkáme podílová grupa pologrupy G. Pokud používáme pro pologrupu G aditivní zápis, říkáme grupě Ḡ rozdílová grupa. Zobrazení f z předchozího důkazu se nazývá kanonické vnoření G do Ḡ, následující věta objasní výjimečnost tohoto zobrazení. Protože pro libovolné a, b G 2 / platí a, b a 2, a b, b 2 f a f b 1, přibyly v grupě Ḡ k obrazům prvků pologrupy G pouze jejich inverze, zdá se, že Ḡ je minimální grupou obsahující homomorfní obraz pologrupy G. 5.2. Věta. Mějme komutativní pologrupu G, ve které platí pravidlo o krácení, její podílovou grupu Ḡ a kanonické vnoření f. Jestliže g je homomorfismus pologrupy G do grupy G, potom existuje jediný homomorfismus h: Ḡ G tak, že g f h tedy, že následující diagram komutuje. f G g Ḡ Zobrazení g je vnoření právě, když h je injektivní. Důkaz. Mějme podle předpokladů G pologrupu s krácením, její podílovou grupu Ḡ, kanonický homomorfismus f a g: G G homomorfismus pologrupy G do grupy multiplikativní G. G h I.5 (53)

Sestrojme homomorfismus h: Ḡ G tak, at, platí g f h. Pro každé a G tedy g a h ( f a ) h a 2, a. Protože konstruované zobrazení musí být homomorfismus, platí pro b G rovnost h b, b 2 h b 2, b 1 h b 2, b 1 g b 1 a tedy h a, b h a 2, a b, b 2 h a 2, a h b, b 2 g a g b 1. Tato konstrukce byla jednoznačná a předpis h: a, b g a g b 1 zadává hledaný homomorfismus. Předpokládejme, že zobrazení g je injektivní tedy, že g je vnoření. Mějme a, b, c, d G a předpokládejme h a, b h c, d, tedy g a g b 1 g c g d 1 a g a g d g c g b protože g je injektivní homomorfismus musí platit ad cb a tedy a, b c, d. Zobrazení h je tedy také injektivní. Naopak, necht, h je injektivní. Protože f je vnoření, je tedy také injektivní, a jejich kompozice g f h musí být rovněž injekce a tedy vnoření. Cvičení k oddílu 5 1. Popište vnoření aditivní pologrupy přirozených čísel N do rozdílové grupy celých čísel Z. I.5 (54)

2. Popište vnoření multiplikativní pologrupy celých čísel Z do podílové grupy čísel racionálních Q. 3. Popište konstrukci vnoření pologrupy N, do grupy Q,. 4. Popište konstrukci vnoření pologrupy N, do grupy 3Z,. 5. Dokažte, že podílová grupa pologrupy 2N, je izomorfní aditivní grupě Z. 6. Dokažte, že podílová grupa pologrupy 3ZN, je izomorfní multiplikativní grupě Q. 7. Popište podílovou grupu k C 5. 8. Můžete popsat podílovou grupu pologrupy Z 4,. 6. Cyklické grupy V multiplikativním monoidu G s neutrálním prvkem e můžeme pro přirozené číslo n definovat n-tou mocninu prvku a G jako součin a n } a a {{ a }, n-krát nultou mocninu a 0 položme rovnu e, neutrálnímu prvku v G. Indukcí přes n lze dokázat, že pro všechna m, n N platí a m a n a m n, a m n a mn. I.6 (55)

Pro komutativní monoidy platí ještě rovnost a b n a n b n. Jestliže G, je grupa, můžeme definici n-té mocniny rozšířit na všechna celá čísla a n a 1 n. Pokud si uvědomíme, že indukcí lze dokázat a 1 n a n e, dostáváme a 1 n a n 1. Nyní rozšiřme platnost rovnosti a m a n a m n, m, n, N, pro záporná čísla. Nejprve vezměme případ obou exponentů záporných. a m a n a m 1 a n 1 a n a m 1 a n m a m n. Dále uvažujme m n, tedy existuje kladné k takové, že n m k a rozeberme případ, kdy je jeden exponent záporný a druhý kladný, a m a n a m a m k a m 1 a m a k ( a m 1 a m) a k e a n m a m n. I.6 (56)

Ostatní případy dokážeme obdobně. Dále můžeme psát I.6 (57) a m n ( a m 1) n ( a m n) 1 a mn 1 a mn, Prozkoumáme-li i zbylé případy, rozšířili jsme platnost rovnosti a b n a n b n na všechna celá čísla. Je-li f: G G homomorfismus grup, pak není těžké indukcí dokázat, že f a n ( f a ) n, pro všechny celé n. Jestliže máme G, monoid s aditivním zápisem, tak definujme n-násobek prvku a G, n Z, n a a } a {{ a }. n-krát Stejně jako pro mocninu položme 0 a e a platí m a n a m n a, m n a mn a. V komutativních monoidech platí také rovnost n a b n a n b. Do aditivní notace potom můžeme přepsat všechny vlastnosti mocniny.

6.1. Věta. Mějme pevně zvolený prvek a v grupě G,, potom zobrazení f a : Z G n a n I.6 (58) je jediný homomorfismus aditivní grupy celých čísel Z, a grupy G, pro který platí 1 a. Důkaz. Z definice mocniny je zřejmé, že dané zobrazení je homomorfismus. Mějme naopak homomorfismus f: Z G, pro který platí f 1 a. Musí platit f 0 e a f n 1 f n f 1, tedy indukcí f n a n. 6.2. Definice. Grupa G, se nazývá cyklická, jestliže obsahuje takový prvek a, že pro každý prvek b G, existuje k N tak, že platí b a k. Prvku a pak říkáme vytvářející prvek (generátor) grupy G. 6.3. Příklad. Necht, n je přirozené číslo takové, že pro komplexní číslo ζ n platí ζ n n 1, potom ζ n nazýváme n-tým kořenem z jedné. Je zřejmé,?? že množina všech řešení rovnice ζ n n 1, {ζ k n ; k 1,..., n} tvoří cyklickou grupu s generátorem ζ n e 2πi/n. Na obrázku 5 je tato grupa pro n 5. 6.4. Věta. Necht, G, je cyklická grupa s generátorem a, potom řád prvku a určuje tuto grupu až na izomorfismus.

i ζ 5 I.6 (59) ζ 2 5 1 0 1 ζ 5 5 ζ 3 5 i ζ 4 5 Obrázek 5. Grupa ζ n 5. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je nekonečný. Zobrazení f a z věty 6.1 je tedy surjektivní homomorfismus Z na G me takové exponenty m, n Z, že a m a n. Tedy e a m a n 1 a m n, a protože všechny nenulová mocniny prvku a jsou různé od e, dostáváme, že rovnost a m a n platí právě, když m n. Zobrazení f a je injektivní. Dokázali jsme, že f a je izomorfismus libovolné cyklické grupy nekonečného řádu a aditivní grupy Z. Cyklická grupa nekonečného řádu je tedy až na izomorfismus jediná.

Předpokládejme dále, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je přirozené číslo n. Pro všechna k N platí a kn a n k e k e. Všechny násobky čísla n tedy patří jádru zobrazení f a z věty 6.1. Mějme m n takové, že e a m. Necht, m je nesoudělné s n. Pro toto číslo existují k, r Z, 0 k, 0 < r < n takové, že m kn r. Tedy e a m a kn r a kn a r e a r a r, což je spor s tím, že n je řád prvku a, tedy nejmenší mocnina prvku a která se rovná e. Nutně tedy platí, že n dělí m. Jádro zobrazení f a tedy obsahuje právě celočíselné násobky čísla n, řádu grupy G. Rovnost a r a s nastane právě, když e a r a s 1 a r s, což podle předchozího nastane právě, když r s kn, k Z tedy, když r s mod n. Zobrazení f a je surjektivní zobrazení Z G, přičemž restrikce f a na Z n, aditivní grupu zbytkových tříd modulo n, je injektivní a tedy izomorfismem. I.6 (60) Jako důsledek dostáváme: 1. Každá cyklická grupa G, jejíž generátor má nekonečný řád, je izomorfní s aditivní grupou celých čísel Z. 2. Každá cyklická grupa G s generátorem řádu n je izomorfní s aditivní grupou zbytkových tříd modulo n, Z n.

3. Každá cyklická grupa s generátorem řádu n má právě n prvků. Říkáme tedy, že řád generátoru cyklické grupy je řádem této grupy. Cyklickou grupu řádu n značme C n. I.6 (61) 6.5. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec (viz příklad 2.2) je cyklická grupa s generátorem r 1 (respektive r 3 ). Předpis 1 r 1, 2 r 2 1 r 2, 3 r 3 1 r 3, 0 r 0 1 id. zadává izomorfismus s grupou Z 4. 6.6. Věta. Každá podgrupa H cyklické grupy G je cyklická. Důkaz. Mějme v cyklické grupě G podgrupu H. Necht, m je nejmenší kladný exponent pro který a m H. Cyklická grupa H generovaná prvkem a m je jistě podgrupou grupy H. Dokažme ted, obrácenou inkluzi. Necht, a s H, potom s m a můžeme vyjádřit s km r, kde 0 k a 0 r < m, tedy a s a km r a k m a r a a r a km 1 a s. Protože a km H, platí a km 1 H a protože také a s H, musí být a r H. Protože m je nejmenší kladný exponent takový, že a m H, musí platit r 0 a a r e. Obdrželi jsme, že s km, tedy a s H a grupa H je podgrupou cyklické grupy H. Následující věta, přestože její důkaz je obtížný a přesahuje možnosti tohoto skripta, je užitečná pro nalezení všech abelovských grup. Při její formulaci použijeme aditivní notaci obvyklou pro abelovské grupy.

6.7. Věta. Každá komutativní grupa se dá vyjádřit jako direktní součet cyklických grup. 6.8. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec je řádu 4 a proto může mít netriviální podgrupu jedině řádu 2. Touto podgrupou je množina {id, r 2 }. Cvičení k oddílu 6 1. Dokažte, že každý prvek konečné grupy má konečný řád. 2. Určete všechny podgrupy cyklické grupy řádu p, kde p je prvočíslo. 3. Mějme C k, podgrupu cyklické grupy C n. Dokažte, že k dělí n. 4. Mějme cyklickou grupu C n. Dokažte, že pro každé k Z takové, že k dělí n existuje H, podgrupa C n řádu k. 5. Dokažte, že řád prvku cyklické grupu C n, dělí řád grupy n. 6. Dokažte, že každá cyklická grupa je komutativní. 7. Dokažte, že jediné generátory nekonečné cyklické grupy Z, jsou { 1, 1}. 8. Dokažte, že cyklická grupa nekonečného řádu, s generátorem a má jediný další generátor a 1. 9. Dokažte, že a m generuje cyklickou grupa řádu n s generátorem a, právě když největší společný dělitel čísel m, n je roven 1. I.6 (62)