s01 1 s01. Základy statiky nutné pro PP Poznámka: Tato stať není přehledem statiky, ale pouze připomenutím některých základních poznatků, bez nichž se v PP nelze obejít. s01.1. Mechanický pohyb Pohyb chápeme obecně jako změnu polohy jakéhokoli reálného (např. člověk) nebo abstraktního (např. informace, myšlenka) objektu v čase. Mechanický pohyb pak je pouze pohyb hmotných objektů. Mechanika těles se zabývá jen pohybem těles, čili hmotných objektů tvořených látkou v tuhém skupenství. Tento pohyb lze rozčlenit následovně: 1. pohyb tělesa jako celku změna polohy bodů tělesa vzhledem k souřadnicovému systému spojenému se základním tělesem (obvykle se Zemí), ale beze změny vzdálenosti libovolných 2 bodů či úhlu libovolných 3 bodů tělesa. OBSAH další
s01 2 2. deformace změna vzdálenosti 2 bodů resp. úhlu 3 bodů tělesa, bez změny spojitosti. deformace tělesa 3. porušení spojitosti vznik nebo šíření trhliny v tělese. Je definováno tak, že existují 2 body A, B tělesa T takové, že v čase t 1 jsou všechny body spojnice AB prvky tělesa T a v čase t 2 existuje bod spojnice A B, který není prvkem tělesa T. 4. oddělení části tělesa rozpad tělesa na 2 nebo více částí, které se mohou pohybovat nezávisle na sobě (např. výbuch šrapnelu). lom
s01 3 s01.2. Silové působení a síla působící na těleso Podle charakteru oblasti, která je z hlediska silového působení významná, rozlišujeme: a) objemové silové působení významnou oblastí je prostorová oblast. Tento charakter mají silová pole gravitační, elektromagnetická, setrvačná... Je určeno oblastí Ω, ve které působí rozložené měrné objemové síly o(x, y, z) [N/m 3 ] b) plošné silové působení významnou oblastí je plošná oblast. Tento charakter má silové působení mezi tělesy prostřednictvím stykových vazeb nebo tlak tekutého média na těleso. Je určeno stykovou oblastí Γ a měrnou plošnou silou p(x, y, z) [N/m 2 ] Za určitých okolností lze tato silová působení popsat pomocí následujících modelů: liniová síla významná oblast má dominantní 1 rozměr, ostatní jsou z hlediska řešeného problému nepodstatné. Je určeno prostorovou křivkou γ a měrnou liniovou silou q(x, y, z) [N/m] zatížení silové osamělá síla rozměry stykového útvaru jsou z hlediska řešeného problému nepodstatné.
s01 4 s01.3. Axiomy o silovém působení a) Silové působení v δ okolí bodu A, které je z hlediska řešeného problému nepodstatné, je vektorová veličina síla F vázaná k bodu A. b) Působení síly F v bodě A tělesa lze z hlediska pohybové ekvivalence (tj. z hlediska ovlivnění pohybu tělesa jako celku) vyjádřit v libovolném bodě B silou F a momentem M B = BA F. c) Působení soustavy Π 1 = { A i, F i } na těleso T je pohybově ekvivalentní s působením soustavy Π 2 = { A j, F j }, jestliže platí n m F i = F n j i=1 j=1 i=1 M Bi = m j=1 M Bj
s01 5 s01.4. Moment síly k bodu Moment síly F s působištěm v bodě A k počátku 0 souřadnicové soustavy: M 0 = 0A F = r A F [Nm] M 0 = i j k x A y A z A F x F y F z = (y A F z z A F y ) i + (z A F x x A F z ) j + (x A F y y A F x ) k = M x i + M y j + M z k Je to vektor vázaný k bodu 0 a kolmý k rovině ( r A, F ). Jeho velikost M 0 = F r A sin ϕ = F d, d = r A sin ϕ a smysl je takový, aby vektory r A, F, M 0 v uvedeném pořadí tvořily pravotočivou soustavu (pravidlo pravé ruky, pravotočivý šroub).
s01 6 s01.5. Moment síly k ose p Moment M p síly F působící v bodě A k ose p je průmět vektoru momentu síly k libovolnému body osy p do směru osy p. M p = ( MB e p ) ep = [( BA F ) ep ] ep, kde e p = cos α p i + cos β p j + cos γ p k je jednotkový vektor osy p a B je libovolný bod na ose p. M p = [( r A F ) ] e p ep = cos α p cos β p cos γ p x A x B y A y B z A z B F x F y F z e p
s01 7 s01.6. Podmínky statické ekvivalence Silové soustavy Π 1 a Π 2 působící na těleso T jsou staticky ekvivalentní, jestliže platí F (1) V = F (2) V M (1) V B = M (2) V B, kde B je libovolný, konkrétní, pro obě soustavy shodný bod. Podmínku statické ekvivalence můžeme vyjádřit (1) algebraicky F ix = F (2) jx (1) (ve složkovém tvaru) F iy = F (2) jy (1) F iz = F (2) jz (1) M ixb = M (2) jxb (1) M iyb = M (2) jyb (1) M izb = M (2) jzb 3 silové podmínky SE 3 momentové podmínky SE vektorově F (1) i = F (2) j M (1) ib = M (2) jb
s01 8 s01.7. Podmínky statické rovnováhy Těleso je ve statické rovnováze tehdy, je-li jeho zrychlení nulové. Ze silového hlediska to znamená, že jak součet sil, působících na těleso, tak součet jejich momentů k libovolnému (ale stejnému) bodu je roven nule: vektorově F (1) i + F (2) j = 0 M (1) ib + M (2) jb = 0 algebraicky (1) F ix + F (2) jx = 0 (1) F iy + F (2) jy = 0 (1) F iz + F (2) jz = 0 (1) M ixb + M (2) jxb = 0 (1) M iyb + M (2) jyb = 0 (1) M izb + M (2) jzb = 0 Algebraicky jsou dvě vektorové statické podmínky (rovnováhy nebo ekvivalence) vyjádřeny šesti rovnicemi. Jsou to 3 podmínky silové a 3 momentové. Jsou-li vztaženy k počátku globálního souřadnicového systému, mluvíme o podmínce v základním tvaru. Triviální statické podmínky jsou identicky splněny v důsledku prostorového rozložení silové soustavy Π ( 0 = 0). Lineárně závislou nazýváme takovou statickou podmínku, která je lineární kombinací ostatních podmínek. Pužitelné statické podmínky jsou právě všechny nezávislé a netriviální statické podmínky. Platí pro ně ν 6. počet použitelných statických podmínek označujeme počet použitelných statických podmínek silových momentových ν = ν F + ν M ν F ν M globální s.s.
s01 9 s01.8. Použitelné statické podmínky pro různé silové soustavy a) Obecná prostorová silová soustava ν = 6, ν F = 3, ν M = 3 b) Centrální prostorová soustava sil ν = 3, ν F = 3, ν M = 0 c) Soustava sil na společné nositelce ν = 1, ν F = 1, ν M = 0
s01 10 d) Centrální rovinná silová soustava ν = 2, ν F = 2, ν M = 0 e) Obecná rovinná silová soustava ν = 3, ν F = 2, ν M = 1
s01 11 f) Soustava rovnoběžných sil v prostoru ν = 3, ν F = 1, ν M = 2 g) Soustava sil v rovnoběžných rovinách ν = 5, ν F = 2, ν M = 3
s01 12 h) Prostorová soustava sil, které protínají jednu přímku ν = 5, ν F = 3, ν M = 2 i) Soustava silových dvojic v rovnoběžných rovinách ν = 1, ν F = 0, ν M = 1
s01 13 s01.9. Těžiště Tíhová síla je staticky ekvivalentní náhrada soustavy elementárních tíhových sil. Těžiště je bod, kterým prochází nositelka tíhové síly (osa soustavy elementárních tíhových sil) při každém natočení tělesa. Tíhová síla má vzhledem k souřadnicovému systému spojenému se Zemí stejnou velikost, směr a smysl při každém natočení tělesa. Poloha těžiště v souřadnicovém systému (0, x, y, z) je jednoznačně určena vztahy x T = Ω xdf G F G = xdm Ω m, y Ω T = ydf G F G = ydm Ω m, z Ω T = zdf G F G = Ω zdm m.
s01 14 Tyto vztahy můžeme pro konkrétní případy zjednodušit. xdv ydv z dv Ω 1. Homogenní těleso (dm=ρdv, ρ=konst): x T = dv, y Ω T = dv, z Ω T = dv. 2. Tělesa tvaru desek (dv = tds, t =konst): x T = 3. Tělesa typu prut (dv = Sdl, S =konst): x T = Ω Γ Γ xds γ ds, y T = γ xdl dl, y T = Ω Γ Γ γ γ yds ds, z T = ydl dl, z T = 4. Složené těleso: Oblast Ω, kterou těleso zaujímá, rozdělíme na konečný počet (n) podoblastí. Ω Γ Γ γ γ z ds ds. z dl dl. xdm xdm + xdm +... + xdm Ω x T = dm = Ω 1 Ω 2 Ω n m Ω xdm Ω x Ti = i = x Ti m i = xdm = x T = m i Ω i n x Ti m i i=1 n m i i=1 Zjednodušení platí i pro objemy, plochy nebo délky, při splnění podmínek bodů 1, 2, 3.
s01 15 s01.10. Vázané těleso, vazby a uvolnění Vazba (mechanická) je spojení mezi tělesy prostřednictvím styku nebo silového pole, umožňující vzájemné silové působení (interakci). Protože pohyb je základní vlastností hmoty a tedy i těles, nemůže existovat těleso, jehož pohybový stav (kterým může být i klid) by nebyl ovlivněn vazbami. Každé těleso je proto vázané. Vazby tělesa k okolí lze rozdělit na a) vazby nerozlišitelné (např. vzájemné gravitační síly mezi tělesy obvyklých strojírenských rozměrů), b) vazby rozlišitelné, ale z hlediska řešeného problému nepodstatné (např. gravitační síla z hlediska deformace rotujícího rychloběžného kotouče) c) vazby podstatné. Uvolňování tělesa je abstraktní proces, při kterém podstatné vazby tělesa nahrazujeme silovým působením při zachování pohybového stavu tělesa. Poznámka: Pro uvolněné těleso je v tomto textu používán termín volné těleso (resp. volný prut), protože je z historických důvodů všeobecně rozšířen. V dalším textu se budeme zabývat pouze uvolňováním vazeb stykových. Základní vlastností tělesa je jeho neprostupnost a deformovatelnost, proto stykovým útvarem funkční vazby je vždy plošná oblast s rozloženým silovým působením, které z hlediska statické ekvivalence nahradíme stykovými výslednicemi F V a M V D, kde D je vztažný bod. silové působení ekvivalence
s01 16 Jestliže je těleso vázáno více vazbami, pak soustavu rozloženého silového působení při úplném uvolnění tělesa vyjadřuje soustava silových a momentových stykových výslednic. Nejjednodušší úlohy statiky lze řešit v rovině se zanedbáním třetího rozměru. Mezi základní rovinné vazby bez uvažování pasivních odporů patří obecná vazba (podpora), vazba lanem, rotační vazba, posuvná vazba, vetknutí.
s01 17 s01.10.1. Obecná vazba (podpora) Vazba je charakteristická stykovým útvarem zanedbatelných rozměrů, který nahrazujeme bodem. Omezuje pouze posuv těles ve směru společné normály v místě styku. schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry µ = µ F = 1 Vazba je podmíněně funkční, výsledná styková síla musí směřovat do tělesa (tlaková). µ s01.10.2. Vazba lanem Kinematické i silové charakteristiky vazby jsou stejné jako u podpory (omezen posuvný pohyb ve směru osy lana), vazba je rovněž podmíněně funkční, ale výsledná styková síla musí směřovat ven z tělesa (tahová). schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry µ µ = µ F = 1
s01 18 s01.10.3. Vazba rotační Stykovým útvarem je kružnice. Rozložené silové působení ve vazbě má směr normály této kružnice, směřuje tedy do jednoho bodu (centrální rovinná silová soustava). Omezuje pouze posuvný pohyb ve dvou směrech. schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry µ = µ F = 2 centrální soustava µ s01.10.4. Posuvná vazba Stykovým útvarem je úsečka. Omezuje posuv ve směru normály stykové úsečky a otáčení kolem osy kolmé k rovině nákresny. Rozložené silové působení ve stykové oblasti lze staticky ekvivalentně nahradit silovou a momentovou výslednicí v libovolném bodě nebo pouze silovou výslednicí (kolmou ke stykové úsečce) v těch bodech, v nichž je momentová styková výslednice nulová. schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry a) µ = 2, µ F = 1, µ M = 1, b) µ = 2, µ F = 1, µ r = 1 Vazba je podmíněně funkční, výsledná styková síla musí směřovat do tělesa a x A 0; l. µ
s01 19 s01.10.5. Vetknutí Vetknutí omezuje posuvy ve dvou směrech a natočení okolo osy kolmé k nákresně. schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry µ µ = 3, µ F = 2, µ M = 1
s01 20 s01.11. Uložení vázaného tělesa Ve strojírenské praxi jsou tělesa většinou vázána více stykovými vazbami. Soustavu všech stykových vazeb nazýváme uložením tělesa. Prvkem uložení je vazba neboli kinematická dvojice. Uložení lze posat charakteristikami kinematickými silovými - soustavou stupňů volnosti odebraných všemi vazbami, - soustavou silových a momentových stykových výslednic. Stupněm volnosti nazýváme nezávislou složku možného pohybu tělesa, který se obecně skládá z pohybu translačního (přímočarého) a rotačního. Proto volné těleso má v prostoru 6 stupňů volnosti a v rovině 3. a) těleso T je vázáno jednou podporou A vazba omezuje posuv tělesa ve směru osy x ξ A = 1 (vazba odebírá 1 stupeň volnosti) b) těleso T je vázáno dvěma podporami B, C vazby omezují posuv tělesa ve směru osy y a rotaci kolem osy z ξ B = 1, ξ C = 1
s01 21 c) těleso T je vázáno podporami A, B, C vazby omezují posuvy tělesa ve směru obou os x, y a rotaci kolem osy z těleso je vázáno nepohyblivě ξ A = ξ B = ξ C = 1 d) těleso T je vázáno podporami A, B, C, D Představíme si, jak by se těleso deformovalo, kdyby tam vazba D nebyla - - - -. Z obrázku je patrno, že vazba D funkční je, omezuje 1 deformační parametr - posuv bodu D ve směru osy y. Tzn. že v tomto případě je těleso uloženo nepohyblivě, ale má omezený 1 deformační parametr to je úloha, která se řeší v předmětu Pružnost a pevnost. e) těleso T je vázáno podporami A, B, C vazby A, C omezují posuvy tělesa ve směru os x, y, vazba B (je-li funkční, tzn. je-li průměr kruhové části větší než vzdálenost podpor B a C) omezuje 1 deformační parametr - posuv bodu B ve směru osy y, i když je těleso uloženo pohyblivě - může se otáčet kolem osy z. Je to tzv. výjimkový stav uložení. Normální stav uložení - stykové vazby nejdříve omezují pohyb tělesa jako celku až do nepohyblivého uložení a teprve pak dochází k omezení deformace (případy a - d).
s01 22 Pohyblivost vázaného tělesa určíme z kinematického rozboru: i = i v ξ i + η, kde i - počet stupňů volnosti vázaného tělesa, i v - počet stupňů volnosti volného tělesa, ξi - počet stupňů volnosti odebraných vazbami, η - počet omezených deformačních parametrů; neznáme-li, dosadíme η = 0. Výjimkový stav uložení - dříve než je omezen pohyb tělesa jako celku dochází k omezení deformace (případ e). Pro nejjednodušší model vazby, který budeme uvažovat, platí, že počet stupňů volnosti odebraných vazbou je roven počtu neznámých nezávislých souřadnic stykových výslednic ξ = µ. Neznámé nezávislé parametry rozlišujeme podle charakteru neznámých souřadnic: µ F - silové, µ M - momentové, µ r - polohové. Příklad:
s01 23 Statickým rozborem, který představuje posouzení relací mezi počtem použitelných podmínek statické rovnováhy ν a počtem neznámých nezávislých parametrů µ můžeme dojít k těmto závěrům: použitelné podmínky 1. µ > ν uložení je staticky neurčité, těleso má omezenou deformaci, počet neznámých je větší než počet rovnic, úloha není ve statice jednoznačně řešitelná, řeší se v PP přidáním vazbových deformačních podmínek, stupeň statické neurčitosti s = µ ν. 2. µ < ν uložení je staticky přeurčené, počet neznámých je menší než počet rovnic, těleso je uloženo pohyblivě, vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu; statické řešení existuje jen pro specifické typy silových soustav působících na těleso, jinak musíme sestavit pohybové rovnice (úloha dynamická). deformační podmínky 3. µ = ν uložení je staticky určité, úloha má jednoznačné statické řešení, počet neznámých je roven počtu rovnic, což je pouze nutná podmínka statické určitosti, kterou musíme doplnit další podmínkou µ r + µ M ν M ; jednoznačnou, nutnou a postačující podmínkou statické určitosti je při maticovém zápisu  x = b podmínka nenulovosti determinantu matice soustavy  det  0.
s01 24 s01.12. Prutová soustava Prutové soustavy, kterými se ve statice zabýváme, jsou nejjednodušší modelovou soustavou příhradových konstrukcí. Příhradová konstrukce je soustava dlouhých přímých prutů vzájemně nepohyblivě spojených (svařených, snýtovaných apod.) v tzv. styčnících. Nejjednodušší příhradová konstrukce v rovině je tvořena třemi pruty ve tvaru trojúhelníka, v prostoru pak šesti pruty tvořícími hrany čtyřstěnu. Spojováním těchto nejjednodušších příhrad lze vytvořit příhradovou konstrukci. Předpoklady prutové soustavy jako modelu příhradové konstrukce jsou: Pruty jsou přímé a jejich příčné rozměry jsou zanedbatelné vůči podélným. Vnější síly (včetně sil ve vazbách k základnímu tělesu) působí na konstrukci jen ve styčnících. Osy prutů spojených ve styčníku se protínají v jediném bodě.. Za těchto předpokladů je ohyb prutů zanedbatelný (M o = 0), nepohyblivé vazby ve styčnících je možné nahradit kloubovými (nepřenášejí momenty), tedy rotační vazbou v rovině a kulovým kloubem v prostoru. vazby
s01 25 s01.12.1. Statický rozbor prutových soustav U prutových soustav vyšetřujeme vnější a vnitřní statickou určitost. Nutná podmínka vnější statické určitosti: µ ex = ν celek (počet neznámých parametrů stykových sil ve vazbách se základním tělesem je shodný s počtem použitelných podmínek statické rovnováhy pro prutovou soustavu jako celek). Nutná podmínka vnitřní statické určitosti: 2k 3 = p v rovině 3k 6 = p v prostoru Příklad 302 (k - počet styčníků, p - počet prutů) - počet použitelných vnitřních podmínek statické rovnováhy musí být shodný s počtem neznámých prutových sil, tj. počtem prutů. Je-li 2k 3 > p (resp. 3k 6 > p), pak prutová soustava není nepohyblivá a nelze ji uvedeným způsobem řešit. Příklad 308 Příklad 303 Je-li 2k 3 < p (resp. 3k 6 < p), pak je prutová soustava staticky neurčitá a dá se řešit jedině metodami PP (přidáním vazbových deformačních podmínek). deformační podmínka
s01 26 s01.12.2. Řešení statické rovnováhy prutových soustav Při splnění všech výše uvedených předpokladů přenáší každý prut jen sílu v ose prutu, je tedy namáhán pouze tahem nebo tlakem. Jeho uvolnění je triviální a obvykle je nekreslíme. Pouze si všimněme, že síla je zavedena ven z prutu, aby v něm vyvolávala kladnou normálovou sílu podle konvencí prostého tahu. Styčníky (tj. rotační vazby mezi pruty) považujeme za samostatná tělesa. Při jejich uvolnění je nutné podle zákona akce a reakce zavádět síly v prutech směrem ven ze styčníku. V každém styčníku vznikne uvolněním centrální silová soustava. Pro ni sestavíme rovnice statické rovnováhy a řešíme některou z následujících metod. a) Obecná styčníková metoda Spočívá v uvolnění všech styčníků a sestavení použitelných podmínek statické rovnováhy. Dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic, kterou řešíme na počítači. b) Postupná styčníková metoda Spočívá v postupném uvolňování jednotlivých styčníků. Pro každý styčník se ihned sestavují a řeší rovnice statické rovnováhy. Proto pořadí styčníků není libovolné, ale je dáno podmínkou, že na uvolněný styčník působí kromě úplně určených sil neúplně určené síly pouze se 3 neznámými parametry u prostorové resp. se 2 neznámými parametry u rovinné prutové soustavy.
s01 27 s01.13. Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 302 Příklad 303 Příklad 308
s01 28 Stručný přehled statiky - obsah s01 Základy statiky nutné pro PP......................... s01 s01.1 Mechanický pohyb............................. 1 s01.2 Silové působení a síla působící na těleso................. 3 s01.3 Axiomy o silovém působení........................ 4 s01.4 Moment síly k bodu............................ 5 s01.5 Moment síly k ose p............................. 6 s01.6 Podmínky statické ekvivalence....................... 7 s01.7 Podmínky statické rovnováhy....................... 8 s01.8 Použitelné statické podmínky pro různé silové soustavy......... 9 s01.9 Těžiště.................................... 13 s01.10 Vázané těleso, vazby a uvolnění...................... 15 s01.10.1 Obecná vazba (podpora)....................... 17 s01.10.2 Vazba lanem.............................. 17 s01.10.3 Vazba rotační.............................. 18 s01.10.4 Posuvná vazba............................. 18 s01.10.5 Vetknutí................................ 19 s01.11 Uložení vázaného tělesa........................... 20
s01 29 s01.12 Prutová soustava.............................. 24 s01.12.1 Statický rozbor prutových soustav.................. 25 s01.12.2 Řešení statické rovnováhy prutových soustav............ 26 s01.13 Příklady k procvičování látky....................... 27 předchozí OBSAH