VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ PROF. ING. JINDICH MELCHER,DR.SC. ING. MARCELA KARMAZÍNOVÁ, CSC. ING. MIROSLAV BAJER,CSC. ING. KAREL SÝKORA PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL BO0-M05 PRUTY NAMÁHANÉ KROUCENÍM STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Jazková korekura nebla provedena, za jazkovou sránku odpovídá auor. Prof. Ing. Jindich Melcher, DrSc., Ing. Karel Sýkora
Obsah OBSAH 1 Úvod...4 1.1 Cíle...4 1. Požadované znalosi...5 1.3 Doba poebná ke sudiu...5 1.4 Klíová slova...5 Geomerické a saické prezové charakerisik...6.1 Úvod...6. Souadnice bod sednice...6.3 Hlavní bod prezu...7.4 Prezové veliin...8 3 Prosé kroucení...9 3.1 Pedpoklad vzniku prosého kroucení...9 3. Pru oeveného prezu...10 3.3 Pru uzaveného prezu...11 4 Vázané a složené kroucení...1 4.1 Vlasovovo ešení...1 4. Analogie problému kroucení s ohbem a pibližné ešení...18 5 Píklad... 6 Konrolní oázk...31 7 Lieraura...3
Prvk kovových konsrukcí 1 Úvod Kroucení má nepíznivý vliv z hlediska napí a pevoení pedevším u pín zaížených pru s enkosnnými oevenými prez. Vliv kroucení je možné omezova vhodnou konsrukní úpravou a ešením a skladbou nosného ssému, keré mohou kroucení jednolivých prvk eliminova. Kdž není možné úinek kroucení vloui je eba pi psobení konsrukce vcháze z eorie kroucení enkosnných pru, jejíž základ bl zpracované v [5]. Tenkosnným pruem se v eorii konsrukcí rozumí úvar prizmaického, nebo válcového varu, jehož charakerisické rozmr píného ezu ( louška sn, výška, resp. šíka prezu h ) a délka pruu L voí posloupnos veliin ádov odlišné velikosi. Nosný ssém pokládáme za enkosnný pru, pokud je splnný vzah : h : L 1:10 :100. Uspoádání píného ezu enkosnného pruu je charakerizované sednicí prezu ( spojnice bod dlících loušku sn ). Podle varu sednice se rozlišují enkosnné pru oeveného prezu a uzaveného prezu. Zvlášní kaegorií pru oeveného prezu jsou svazkové prez se sednicí voící svazek úseek proínající se v jednom bod ( úhelník, T profil apod. ). Uzavené profil se dlí podle pou bunk uzavených snami prezu na jednosvazkové a vícesvazkové. Tenkosnným pruem mže bý dílí prvek konsrukce i nosný ssém jako celek ( rámový mos, dué klapk vodních saveb ad.) 1.1 Cíle Cílem ohoo modulu je : definova hlavní bod prezu, výseové souadnice a výseové saické veliin objasni, za jakých podmínek vzniká kroucení definova prosé kroucení a složené (vázané) kroucení naznai chování pruu pi prosém a složeném (vázaném) kroucení uri velikos a prbh napí v prezu krouceného pruu vsvli výhodu analogie ohbu s kroucením
Úvod 1. Požadované znalosi Ke zvládnuí a pochopení následujícího uiva jsou eba znalosi savební mechanik a pružnosi a pevnosi, mechanických vlasnosí maeriál, používaných na savební konsrukce. Pedpokládá se prosorová pedsavivos. 1.3 Doba poebná ke sudiu Celková opimální doba pro sudium je velmi individuální a závisí zejména na inenzívnosi sudia a sousednosi enáe na obsah exu.. Celková doba pro prosudování modulu ed iní cca 6 až 9 hodin, pokud budee procháze i píklad, pak se doba prodlouží o jednu až dv hodin. 1.4 Klíová slova Tenkosnný pru oeveného a uzaveného prezu, hlavní bod prezu, žiš, sed ohbu, hlavní nulový výseový bod, hlavní výseová souadnice, výseový saický momen, lineární výseový saický momen, výseový momen servanosi, bimomen, momen prosého kroucení, momen vázaného kroucení, prosé (volné) kroucení, složené (vázané) kroucení, normálové napí od kroucení, smkové napí od kroucení, naoení pruu, deplanace prezu, souiniel vlivu uhosi pruu v kroucení, souiniele podmínek uložení a zaížení.
Prvk kovových konsrukcí Geomerické a saické prezové charakerisik.1 Úvod Pi výpou napjaosi a pevoení enkosnných pru se popisuje uspoádání píného ezu a jeho mechanické veliin geomerickými a saickými veliinami. Zamíme se pedevším na, keré krom základních charakerisik klasické eorie pružnosi a plasici vžaduje ešení problému kroucení.. Souadnice bod sednice Každému bodu sednice enkosnného prezu se piazují i souadnice: lineární souadnice Z ( mm ), z ( mm ) jako orienované vzdálenosi od cenrálních os Y, Z a výseová souadnice ( mm ), kerá pro zvolený bod P v rovin prezu ( oznaovaný jako pól ) a pro zvolený bod M 0 na sednici prezu ( oznaovaný jako zaáek odeíání výseové souadnice) je definován obecným výrazem d rd, j. s s ( s) 0 kde r je rameno en sednice prezu vzáhnué k pólu P v inegrovaném úseku, rd s délka sednice mená od poáeního bodu M 0 s Výseová souadnice obecného bodu M na sednici prezu ve vzahu ke zvolenému poáku M 0 se rovná dvojnásobné ploše omezené poáením prvodiem ( P M 0 ), koncovým prvodiem ( P M ) a sednicí prezu. Pro prez s pímkovými úsek je kde ( s) ri si r i je rameno sednice píslušného úseku i k pólu P, s i i délka píslušného úseku ( v úseku i zahrnujícím bod M, jehož souadnice hledáme, je s i délka úseku po eno bod). Prbh výseové souadnice se vnáší na sednici prezu v závislosi na znaménko, keré se odvozuje od zvolené konvence oáení poáeního prvodie do koncového prvodie.
Geomerické a saické prezové charakerisik.3 Hlavní bod prezu Každý prez enkosnného pruu má jednoznan definované hlavní bod prezu: žiš C g, sed ohbu C s a hlavní nulový výseový bod M 0. Sed ohbu (sed kroucení) je bodem v rovin píného ezu, kolem kerého se pi kroucení prez pooáí jako celek. Sedem ohbu musí procháze výslednice píného zaížení, ab pru bl namáhaný jen ohbem ( bez kroucení). Excenricia píného zaížení z hlediska kroucení se ed vzahuje ke sedu ohbu. Poloha sedu ohbu prezu enkosnného pruu C s s libovolnými cenrálními osami X,Y ve vzahu k libovoln zvolenému pólu P ( xp, p ) se urí podle vzah: kde C s + ξ Cs P Cs z z + η Cs P Cs ξ, η jsou orienované vzdálenosi sedu ohbu od zvoleného pólu P C s definované vzah: 1 ξ ( I S I S ) Cs z z z I I z I z 1 η ( I S I S ) Cs z z I I z I z kde I, I z jsou momen servanosi prezu, I z devianí momen prezu, S, S z lineární výseové saické momen sanovené pro libovoln zvolený poáek odeíání výseové souadnice M 0. η C s zjedno- Pro hlavní cenrální os servanosi I z 0 se výraz pro duší. ξ C s a U smerických prez leží sed ohbu vžd na ose smerie ( u dvouose smerických prez je ed Cg Cs ). Hlavní nulový výseový bod leží na sednici pruezu v bod, kerému v sousav pomocných výseových souadnic kde S je výseový saický momen, M 0 S A
Prvk kovových konsrukcí A plocha prezu. U smerických prez leží hlavní nulový výseový bod M 0 v prseíku os smerie se sednicí prezu..4 Prezové veliin Výseové saické veliin oevených prez jsou dán obecnými vzah: - výseový saický momen ( mm ) S A da Tao veliina se používá ve form S ( s) po sednici prezu ( pi výpou druhoného smkového napí pi složeném kroucení), nebo jako výsledná hodnoa pro celý prez pi hledání bodu M 0 podle vzahu: - lineární výseový saický momen ( mm ) S A zda S z A da - výseový momen servanosi ( mm ) I A da kde d A je diferenciál ploch prezu, hlavní výseová souadnice.
Prosé kroucení 3 Prosé kroucení Prosé kroucení ( nazývané aké volné, isé nebo Sain-Venanovo kroucení) je savem napjaosi enkosnného pruu, pi kerém vznikají v jeho prezech vlivem vnjších krouících úink jen smková napí, oznaovaná jako primární ( SAINT-VENANTOVA) krouící napí nebo napí od prosého kroucení. 3.1 Pedpoklad vzniku prosého kroucení Prosé kroucení vzniká za cho pedpoklad: a) u pru, jejichž prez pi kroucení deplanuje ( j. nasává porušení pvodní rovinnosi píných ez nerovnomrným posuvem bod prezu ve smru podélné os pruu), vznikne prosé kroucení jen pi zaížení dvma sejn velkými krouícími momen T, opaného smru psobících na konci pruu v rovinách kolmých na jeho podélnou osu, piom se nesmí v žádném mís bráni deplanaci prezu ( na obr.. je schemaický píklad pevoení pruu oeveného prezu pi prosém kroucení). Teno zpsob namáhání se oznauje jako prosé kroucení s deplanací. b) u pru, jejichž prez pi kroucení nedeplanuje, vzniká vžd jen prosé kroucení, piemž nezáleží na uložení pruu ani na psobiši krouícího zaížení. V omo pípad jde o prosé kroucení bez deplanace. Z oevených enkosnných pr- ez paí do skupin nedeplanujících všechn svazkové prez, u kerých se sednice všech ásí prezu proínají v jednom bod cenru svazku ( kde P M 0 ) a proo výseový momen servanosi I 0 (prez L,T, ad.). Obr.3.1: Napí od prosého kroucení, keré se uruje z vnjšího krouícího momenu T, psobícího v píslušném ezu.
Prvk kovových konsrukcí Shrnuí: Prosé kroucení vzniká u pru, jejichž prez nedeplanuje( svazkové prez ) popípad i u jiných pru s deplanujícími prez, zaížených na obou koncích sejn velkými krouícími momen opaného smslu, piemž deplanaci nesmí bý po celé délce pruu bránno. Pi prosém kroucení vzniká pouze zv. smkové napí 3. Pru oeveného prezu Rozdlení smkového napí po loušce prezu je pro úzký obdelník i pro enkosnné prez složené z více obdélníkových ásí ( h ) parno na obr. 3.. Na okraji prezu dosahuje napí hodnou T,max I,, kde Obr.3.: Smkové napí u oeveného prezu I T, louška prezu v posuzovaném mís momen uhosi prezu v prosém kroucení vnjší krouící momen psobící ve všeovaném prezu 1 Momen uhosi se vpoíá podle vzahu: I α bi i, kde opravný souiniel α zahrnuje vliv spojiosi a varu prezu složeného z dílích ásí obdél- 3 níkového prezu a nabývá hodno: α 1,3 pro válcované a pín vzužené svaované prez varu I, α 1, pro válcované prez U, pro úhelník α 1,0 pro obdelníkové pez a prez z plechu varované za sudena.
Prosé kroucení 3.3 Pru uzaveného prezu T, Ω. louška prezu v posuzovaném mís Ω dvojnásobná plocha omezená sednicí prezu T, vnjší krouící momen psobící ve všeovaném prezu Obr.3.3: Smkové napí u uzaveného prezu Pevoení pi prosém kroucení má dv složk: - úhel poooení prezu ϕ - deplanaci prezu, j. nerovnomrný posun w( s ) bod sednice ve smru podélné os pruu. - Pomrný úhel poooení prezu ϑ je dán vzahem dϕ( x) T, ϑ dx GI a celkový úhel poooení prezu pruu v úseku 0...x L T, T, L ϕ ( L) dx 0 GI GI L bude Relaivní deplanace bod sednice vzhledem k bodu, kerý volíme jako poáení ( s 0 ) je w( s) ϑ( s) kde ( s) je výseová souadnice bodu prezu sanovena pro pól ve sedu ohbu prezu a zaáek odeíání v bod, kde s 0.
Prvk kovových konsrukcí 4 Vázané a složené kroucení Vázané kroucení je savem napjaosi enkosnného pruu, pi kerém vznikají vlivem nerovnomrné deplanace jednolivých prez po délce krouceného pruu normálová výseová napí σ a z nich vplývající druhoná výseová smková napí. V obecném pípad vznikají pi kroucení enkosnného pruu souasn oba druh kroucení, prosé i vázané. Teno zpsob kroucení se oznauje jako složené kroucení. Teorie výpou složeného kroucení enkosnných pru je rozpracovaná na základ dvou pedpoklad: - prm obrsu píného ezu do rovin kolmé na osu pruu je pi kroucení nemnný ( prez se nedeformuje ve svoji rovin ); kdž eno pedpoklad není zajišn ( nap. vlasní ohbovou uhosí sn, jako je o u válcovaných profil nebo píným vzužením nap. u svaovaných profil), je eba eši problém kroucení se zohlednním vlivu zmn varu prezu; - smkové deformace ve sednicové ploše pruu jsou zanedbaelné (pedpokládají se nulové). 4.1 Vlasovovo ešení Velikos výseového normálového napí pi složeném kroucení (podobn jako pi ešení problému ohbu) vchází z rozboru proáhnuí vláken pruu ve smru jeho podélné os. Na základ již uvedených pedpoklad odvodil VLASOV [5] pro pomrné prodloužení vzah ε x ϕ ( x) Píslušné výseové normálové napí je σ Eϕ ( x) Na základ cho vzah je možno formulova zákon výseových ploch, kerý zní: Pi složeném kroucení je prbh pomrného proažení a ed i výseového normálového napíσ pímo úmrný hlavní výseové ploše. Psobení normálových napí σ x v prezu pruu nahrazujeme pi ohbu výslednými vniními silami ( ohbovými momen ) podle vzah M σ zda A x M z σ da A x
Vázané a složené kroucení Pi složeném kroucení, kdž M M z 0 a ed σ σ, musí výseové napí voi v prezu rovnovážnou sousavu ( ve smru podélné os X nepsobí žádné další napí ). Na vjádení inenzi celkového úinku napí v prezu je zavedena saická veliina bimomen podle vzahu B kerý má formáln podobný var jako vzah pro ohb. Dosazením za σ dosaneme B A x σ da EI ϕ a po úprav σ B I Smkové napí v prezu musí bý v rovnováze s vnjším krouícím momenem ezu T. Základní smkové napí pi složeném kroucení má podobný charaker jako smkové napí pi prosém kroucení. Jeho výslednicí je momen prosého kroucení T, kerý je možné vjádi jako funkci úhlu poooení T GI ϕ Píslušné smkové napí je poom I Na rozdíl od prosého kroucení smkové napí není jedinou složkou podílející se na penosu vnjšího krouícího momenu T VK v prezu. Z promnného prbhu funkce úhlu poooení a ed i výseového normálového napí σ po délce nosníku a z podmínk nuné rovnováh vniních sil psobících na prvek nosníku rovnobžn s jeho podélnou osou, vplývá exisence druhoných smkových napí. T Výslednice smkových napí vjaduje ke sedu ohbu prezu momen vázaného kroucení T, kerý podle VLASOVA závisí na funkci úhlu poooení podle vzahu T EIϕ
Prvk kovových konsrukcí Píslušná druhoná smková napí jsou dána vzahem T S ( s) I kde S ( s) da je výseový saický momen bodu sednice prezu ve kerém A urujeme napí; zaáek (s0 ) se volí na okraji sednice, je louška sn prezu, kde napí urujeme. Zaím bla uvedena závislos složek napí σ,,, resp. silových veliin B, T,T na funkci úhlu poooení. Kdž uríme uo funkci, je problém napjaosi i pevoení pruu pi složeném kroucení vešený. Z rovnováh krouících momen v prezu pruu vplývá, že momen výslednice primárních smkových napí a druhoných smkových napí ke sedu ohbu prezu se rovná celkovému vnjšímu krouícímu momenu v ezu T. Plaí ed T + T T Po dosazení a derivováním podle souadnice x dosáváme IV EIϕ GIϕ m( x) kde m( x) T je inenzia krouícího zaížení. Rovnice je základní diferenciální rovnice složeného kroucení umožující v závislosi na uhosi, zaížení uložení pruu sanovi funkci úhlu poooení. ešení rovnice obsahuje 4 konsan, keré je poebné uri v závislosi na okrajových podmínkách pruu v uložení. Na každém konci pruu mžeme psá okrajové podmínk, keré mají v bžných pípadech var: - prosé podepení v kroucení ϕ 0 ϕ 0, j. B 0 ( volná deplanace ) - veknuí v kroucení ϕ 0 ϕ 0, j. nulová deplanace
Vázané a složené kroucení - volný nezaížený konec ϕ 0, j. B 0 ( volná deplanace ) ϕ ϕ GI / EI 0, j. T 0 ešením diferenciální rovnice je píslušný problém složeného kroucení definovaný ako: Z diferenciální rovnice složeného kroucení se urí funkce úhlu poooení ϕ ( x), s pomocí keré se sanoví silové veliin složeného kroucení B, T,T podle uvedených vzah a dále se již mohou vpoía píslušná napí složeného kroucení σ,,. ešení diferenciální rovnice je pomrn pracné. Pro bžné pípad zaížení a uložení kroucených pru používáme výsledné vzorce pro výpoe silových veliin složeného kroucení (viz ab. 4.1). Obr. 4.1: Složené (vázané) kroucení Shrnuí: Vázané a složené kroucení vzniká u pru s deplanujícími prez pi obecném krouícím zaížení a obecných okrajových podmínkách ( uložení konc pru v kroucení ), s vjímkou pípad prosého kroucení. Vznikají i vniní návrhové silové veliin bimomen B, momen ohbového kroucení T,, momen prosého kroucení T,, a z nich napí σ,,. Pru oeveného prezu σ B. normálové napí od kroucení I T,. smkové napí od ohbového kroucení I.S
Prvk kovových konsrukcí T,. smkové napí od prosého kroucení I σ Obr. 4.: Normálová a smková napí u pruu oeveného prezu B T, T, I I S hodnoa bimomenu momen ohbového kroucení momen prosého kroucení hlavní výseová souadnice posuzovaného mísa výseový momen servanosi prezu ke sedu smku momen uhosi v prosém kroucení louška prezu v posuzovaném mís výseový saický momen pro posuzované míso
Tab.4.1: Silové veliin pi složeném kroucení Vázané a složené kroucení
Prvk kovových konsrukcí 4. Analogie problému kroucení s ohbem a pibližné ešení Vzhledem k pracnosi aplikace obecné Vlasovov eorie enkosnných pru jsou vpracován jednoduché a prakické, kdž pibližné, meod výpou kroucených pru. Kdž porovnáme diferenciální rovnici složeného kroucení s diferenciální rovnicí eorie. ádu nosníku ohýbaného a souasn aženého, je zejmé, že mezi obma problém exisuje úplná analogie. Pepisem odpovídajících si smbol a veliin je možné se známých ešení jednoho savu namáhání pímo odvodi závislosi pro analogický sav. V pípad, že je uhos prezu prosém kroucení zanedbaeln malá, j. plaí GI 0, zjednoduší se rovnice složeného kroucení na var planý jen pro vázané kroucení EI IV ϕ m kerý se podobá rovnici ohbu EI IV η q Uvedená podobnos se oznauje jako zjednodušená analogie ohbu a kroucení. S použiím éo analogie je možné se známých závislosí planých pro ohýbaný pru odvodi vzah plané pro analogický pípad vázaného kroucení ( j. pro analogické zaížení a analogické podepení ). Posup vcházející z pedpokladu GI 0 nejsou vhodné pro všechn pru ( zvláš u válcovaných prez b vznikl velké nepesnosi ). ešení zachovávající výhod zjednodušené analogie a respekující piom skuenou uhos prezu v prosém kroucení vchází z principu modifikované analogie. Vchází se z výrazu pro bimomen, kerý se uruje ze vzahu B Me pro GI 0, j. s vužiím známých vzah pro ohbový momen. o Hodnoa B o se opraví s ohledem na skuenou uhos v prosém kroucení podle vzahu B B (1 ) o χ kde pro opravný souiniel χ plaí obecný vzah χ B( GI 0) B( GI ) B( GI 0)
Vázané a složené kroucení Na základ vzahu B Bo (1 χ) je možné s vužiím rovnice T + T T a T B psá výsledné vzah pro výpoe silových veliin složeného kroucení: B Me(1 χ) T Teχ T Te(1 χ) Pru uzaveného prezu Pru s uzaveným prezem mají v porovnání s pru s oeveným prezem velkou uhos v kroucení, jejich deplanace je zpravidla zanedbaelná a lze ji pibližn brá σ 0. Smkové napí od prosého kroucení se urí podle vzahu T Ω. T vnjší krouící momen v posuzovaném prezu Ω dvojnásobná plocha omezená sednicí prezu louška prezu v posuzovaném mís σ Obr. 4.3: Smkové napí na uzaveném prezu Složk vniních sil, pi kroucení prezu mžeme uri : B T,, T, 1. pesn ešením diferenciální rovnice složeného kroucení s uvážením konkréních okrajových podmínek uložení konc pru v kroucení E. I ϕ II G. I ϕ IV.. m m ϕ krouící zaížení pruu úhel poooení prezu, jenž je pedmem ešení uvedené rovnice
Prvk kovových konsrukcí a pak B II E. I. ϕ, T III, E. I. ϕ, T I, G. I. ϕ. Pro nejasji se vskující pípad krouícího zaížení a okrajové podmínk jsou uveden vzah a prbh pro, T T nap. viz ab. 4.1. B,,,. pibližn analogie ohbu s kroucením s respekováním uhosi v kroucení psobí-li píné zaížení na pru oeveného prezu v rovin, jejíž vzdálenos od sedu smku C s má hodnou e B M. e.(1 κ ), T, V. e.(1 κ ), T..κ, V e Obr. 4.4: Psobení píného zaížení ve vzdálenosi e od sedu smku C s M, V návrhový ohbový momen a posouvající síla v posuzovaném prezu urené pro podmínk podepení pruu v kroucení κ souiniel vlivu uhosi pruu v prosém a ohbovém kroucení, kerý lze brá pibližn κ 1 α β + ψ. L L délka (rozpí) pruu α, β souiniele podmínek uložení a zaížení viz SN 731401-98, sr.113, Tab.F.1
Vázané a složené kroucení G. I I ψ 0,6. paramer kruhu E. I I Shrnuí: Kroucení vzniká u ohýbaných nosník v pípadech, kdž pín psobící zaížení neprochází zv. sedem smku a v pípad osamle psobících krouících momen. Prosé (volné) kroucení vzniká u pru, jejichž prez nedeplanují, pop. u pru s deplanujícími prez, zaížených na obou koncích krouícími momen opaného smslu, piemž deplanaci nesmí bý po celé délce pruu bránno. Pi prosém kroucení vzniká pouze zv. smkové napí od prosého kroucení. Složené (vázané) kroucení vzniká u pru s deplanujícími prez pi obecném krouícím zaížení a obecných okrajových podmínkách. Vznikají i vniní silové veliin bimomen, momen prosého kroucení a momen ohbového kroucení. V závislosi na nich i napí normálové, smkové od prosého kroucení a smkové od ohbového kroucení. Pibližná analogie ohbu s kroucením s respekováním uhosi v kroucení B M. e.(1 κ ) T, V. e.(1 κ ) prbh s ohledem na T, V. e.κ uložení pruu a zaížení, viz Tab.4.1 M, V κ návrhový ohbový momen a návrhová posouvající síla v posuzovaném prezu souiniel vlivu uhosi pruu v prosém a ohbovém kroucení, kerý lze brá pibližn 1 κ α β + ψ. L L délka (rozpí) pruu α, β souiniele podmínek uložení a zaížení viz SN 731401 98, sr.113, Tab. F.1 G. I ψ paramer kruhu E. I
Prvk kovových konsrukcí 5 Píklad Navrhne a posu e nosník I prezu o rozpí 5,0m na ohb a kroucení zaížený silou F sd ( 0 + n ) kn 0 + 40 100kN, psobící uprosed nosníku s excenriciou 50mm nosník je zajišn proi klopení pouze v podporách. ešení: a) vsupní paramer: psobící síla: vzdálenos F od podpor: excenricia F sd 100kN L /, 5m e 50mm souiniel spolehlivosi ma.: γ γ 1, 15 M 0 M 1 dílí souiniel spol. náh.bem. γ 1, 4 dílí souiniel spol. γ 1, Q G b) Výpoe momenu a posouvající síl: b.1.) Sanovení ohbového momenu: 1 1 M F L 100 5 15,0 knm 4 4 b..) Sanovení posouvající síl: 1 1 V F 100 50,0 knm
Píklad Nosník se navrhne na ohb pi zrá píné a orzní sabili podle vzorce: M b, Rd χ LT Weff,min f, γ M 1 proože se poíá pružn, pak pedpokládá se, že navrhovaný profil bude íd 1 Wel, nebo, ale β w 1. W pl, Pro první piblížení se uvažuje β 1. w Musí se ed nejprve odhadnou souiniel zrá píné a orzní sabili χ pro: 35 ε 1, f LT λ 1 93,9 ε 93,9 za pedpokladu, že šíhlos na klopení λ LT 100, λ LT 100 bude pomrná šíhlos: λ LT βw 1 1, 06, λ 93,9 z abulek pro válcované nosník plaí kivka a χ 0, 6, poom: 1 LT W, ef, min M γ f 0, 6 75 6 M 1 15, 0 10 1,15 χ LT 843,11 10 mm 3 3 Pro namáhání kroucením je ponechána rezerva 50% W, ef 10 3 3 1,5 W, ef, min 164,66 mm Navrženo I 400 Zaídní prezu: Prez z oceli S75 se zaídí: (SN 731401 98, sr.8.)
Prvk kovových konsrukcí d Sojina: 7 ε ( ε 35 / f ) w ε 35 75 d 35 7 w 75 378,4 66,6 14,4 6,8 66,6 ída 1. pásnice: c f 10 ε ( ε 35 / f ) ε c f 35 75 10 77,5 9, 1,6 35 75 3,6 9, ída 1. Charakerisické hodno profilu I 400: A cm I cm W cm S cm w f 4 3 3 118, 9100, 1460, 86, 6, 14,4 mm, mm I cm b mm k h mm 4 1, 6, z 1140, 155, 1, 9, 400 I mm i mm i mm g kg m 3 4 1700 10, 157, z 31,, k 9, 6 / Polomr servanosi pi klopení je dán vzahem: iz h 31, 400 i1 40, 13mm i 157 Výseové saické hodno: S I max,max 9 6 395 10 mm b h 155 378,4 ± ± ± 14 663mm 4 4 1 b h b 1 6 d p 1,6 155 378,4 1,73 10 mm 4 16 4
Píklad e) Posouzení na mezní sav použielnosi: Vlasní íhu nosníku je možno zanedba. Charakerisická hodnoa síl se vpoe z návrhové hodno. F K F 100 71, 43kN, γ 1, 4 Q δ 3 3 1 FK L 1 71 49 5 000 3, 04mm 48 E I 48 10 000 91 000 L 5000 Prhb je oproi dovolené hodno 0mm zanedbaelný a udíž 50 50 se nemusí posuzova (pesnji) s vlivem vlasní íh. f) Posouzení na mezní sav únosnosi: Namáhání profilu se rozdlí na namáhání od ohbu a na namáhání od kroucení. f.a.) Namáhání od ohbu: Pro navržený I profil se sanoví šíhlos z hlediska zrá sabili v ohbu. Kriický momen M se sanoví pro k 1 (prosé uložení na ohb) a pro k 1( cr není bránno deplanaci). Urí se souiniele C 1 1,365, C 0, 553, a jelikož h 400 zaížení psobí na horní laenou pásnici, proo z g 00mm w ( k L) G I π E I z k I w M cr C1 + + ( C zg ) ( C zg ) ( k L) kw I z π E I z 3 6 π 10 10 11, 4 10 1,365 ( 1 5000) 11 3 6 1 3,95 10 5000 81 10 1,7 10 + + 6 3 6 1 11, 4 10 π 10 10 11, 4 10 ( 0,553 00) ( 0,553 00) 6 43, 45 10 Nmm
Prvk kovových konsrukcí Pro pružné psobení je pomrná šíhlos: λ LT W el M f CR 3 1460 10 75 6 43,45 10 0,974 Hodnoa souiniele vzprnosi na klopení χ LT plne z kivk a (sr.110. SN α 0,1 73 1401-98), a nebo ze vzorce: ( ) ( ) 1+ α LT λlt 0, + λlt Φ LT 1, 0553 LT χ LT 1 0, 6839 Φ + Φ LT LT λlt Momen od vlasní íh nosníku: 1 1 9,6 G, k γ G 1, 5 3,473 M G L knm 8 8 100, en se pie k momenu od nahodilého zaížení a víslí se, normálové napí: σ 6 ( 15 3, 473) 10 M + M + 18, 67MPa G, x, b 3 χlt Wel, 0,6839 1460 10 Smkové napí se, za pedpokladu rovnomrného rozdlení smkového napí po výšce sn nosníku, urí z ploch úinné ve smku: A A b + + r v f w f ( ) ( ) mm 11800 155 1, 6 + 14, 4 + 14, 4 1, 6 576,1 b 3 V 50 10 f 8, 73MPa 138, 06MPa vhovuje A 576,1 3 1,15 V f.b.) Namáhání od kroucení: (posup dle SN 73 1401-98)
Píklad Rozdlovací paramer χ, vjadující vliv uhosi prezu na rozdlení krouícího momenu na volné a vázané kroucení, závisí na parameru uhosi prezu: ψ L G I E I w L 81000 1700000 5000 6,44 11 10000 3,95 10 Paramer χ se vpoe z hodno α a β. Pro prosý nosník bez zabránní deplanace a pro zaížení osamlým bemenem je α 3, 7 a β 1, 08 1 1 χ 0,709 α 3,7 β + 1,08 + ψ L 6, 44 dále se víslí bimomen z rovnice: ( 1 χ ) 15 0, 05 0, 907 1,817 B M e knm a normové napí od kroucení: 1 1 w b h 155 400 1,6 14,663 10 mm 4 4 ( ) 3 σ B 1,817 10 14,663 10 67, 45MPa 9 3 x, w w 11 I 3,95 10 Dále se vpoe momen prosého kroucení:, V e χ 50 0,05 0,709 1,773kNm a momen vázaného kroucení: ( χ ) Tw, V e 1 50 0,05 0,907 0,77kNm Z momen v prosém a vázaném kroucení se vpoíají smková napí. K omu je poeba vísli saický výseový momen pro ez uprosed pásnice prezu. 1 b h b 1 S p 4 16 6, max d 1,6 155 378,4 1,73 10 mm 4
Prvk kovových konsrukcí Smková napí od prosého kroucení v pásnici: 6 Tw, 0,77 10 f 1,6 9, 35MPa 3 I 1700 10 a ve sn: Tw, w I 1700 10 6 0,77 10 3 14, 4 6,156 MPa Smkové kroucení od vázaného kroucení v pásnici: w 6 6 Tw, S 0,77 10 1,73 10 1,045MPa 3 I 1700 10 1,6 f Ve sn nosníku je smkové napí od vázaného kroucení rovno nule, nebo je zde výseová souadnice a ed i její saický momen roven nule. Nejvší normálové napí bude v mís nejvšího ohbového momenu uprosed rozpí nosníku g) Prbh normálových napí:
Píklad σ σ + σ 18, 66 + 67, 45 196,114MPa x,max x, b x, w σ σ σ 18, 66 67, 45 61, MPa x,min x, b x, w
Prvk kovových konsrukcí h) Prbh smkových napí: ve sn nosníku: b + 8,73 + 6,16 14, 89MPa max v pásnici nosníku: b + + w 0 + 9,35 + 1,045 10, 8MPa max Smková napí jsou menší než: 1 f 3 γ M 0 1 75 138,06MPa 3 1,15 a jsou dokonce menší než 0,5 f / γ M 0,5 75/ γ M0 3 3 0 69,0310MPa
Konrolní oázk 6 Konrolní oázk 1 Kd u pru vzniká ohb a kd kroucení? Jaký nosný ssém pokládáme za enkosnný pru? 3 Co je sednice prezu? 4 ím se vznaují svazkové prez? 5 Jaké hlavní bod se urují v prezu enkosnného pruu? 6 Definuje hlavní výseovou souadnici. 7 Kd vzniká prosé kroucení? 8 Definuje vázané a složené kroucení. 9 Jaká napí vznikají pi prosém kroucení na oeveném a uzaveném prezu? 10 Jaká pevoení vznikají na krouceném pruu? 11 Jaké silové veliin se urují u kroucených pru? 1 Napiše vzah pro napí, kerá vznikají pi složeném kroucení. 13 Co je deplanace prezu a jak závisí na hlavní výseové souadnici? 14 V em je podsaa analogie kroucení s ohbem? 15 Jaký význam má funkce úhlu poooení pi pesném ešení kroucení?
Prvk kovových konsrukcí 7 Lieraura [1] Kupka, V. : Píinkové ár bimomen a momen krouících. Inženýrské savb.. 10, 1959. [] Pan, V. : Saika enkosnných pru a konsrukcí. Praha 1959. [3] Falus,F. : Ocelové konsrukce pozemního savielsví. Praha 1960. [4] Umanskij,A.A.: Sroielnaja mechanika samol oa. Moskva 1961. [5] Vlasov,V.Z.: Tenkosnné pružné pru. Praha 196. [6] Mrazik,A.-Gruska,J.: Výpoe enkosnných prúov. VSAV, Braislava 1965. [7] Melcher,J.: Pibližný výpoe kroucených enkosnných pru. Inženýrské savb.. 6, 1968. [8] Šerler, H.: Vliv krouícího zaížení na pímo pojíždné mosní konsrukce s horní mosovkou. Inženýrské savb.. 9. 1968. [9] Svoboda, M.-Melcher,J.: Vbrané sai prvk ocelových konsrukcí. Brno 1970. [10] Zborník- P osobenie enkosnných ovorených a uzavreých prierezov. Braislava 197. [11] Pechar,J.-Sudnika,J.-Šafka,J.: Vbrané sa z ocelových konsrukcí. Praha 1973. [1] Melcher,J. Ohb, kroucení a sabilia ocelových nosník. Knižnice odborných a vdeckých spis VUT v Brn, svazek A-5, Brno 1975. [13] Voíšek, V. a kol.: Prvk kovových konšrukcií. Braislava 1983. [14] Ferjeník a kol.: Navrhovanie ocel ových konšrukcií. Braislava 1984. [15] Sýkora, K.: Kovové konsrukce pomcka pro cviení, VUT Brno, 1991 [16] Wald, F. a kol.: Prvk ocelových konsrukcí Píklad podle Eurokód, VUT Praha 1998