Statika 2. Prosté případy pružnosti: Prostý ohyb. Prosté kroucení vybraných průřezů. Miroslav Vokáč 7.

Transkript

1 1. přednáška : vbraných průřeů Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.c ČVUT v Prae, Fakula archiekur 7. října 2015

2 Konulační hodin Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Klonerův úsav, ČVUT v Prae Šolínova Praha 6 - Dejvice Konulační hodin: Pondělí hod. v TH9:508 Tel.: miroslav.vokac@cvu.c URL: hp://15122.fa.cvu.c

3 Podmínk k udělení ápoču e Saik II: 1. Docháka na cvičení min. 80 %. 2. Každý suden navšěvuje cvičení, kde je apsán v KOSu. Přesun není možný. 3. Odevdané a správně vpracované domácí úkol (celkem 6 úkolů). 4. Termín pro odevdání domácího cvičení je 14 dní od jeho adání (vi aké harmonogram na hp://15122.fa.cvu.c). 5. Uavření udělování ápočů v imním semesru 2015/2016 je

4 Zkouška e Saik II: Dle Sudijního a kušebního řádu ČVUT v Prae má každý suden 1 řádný a nejvýše 2 opravné ermín, vi SZŘ, čl. 10, ods. 4. Další opravná kouška je dle SZŘ nepřípusná. Podmínkou přihlášení je udělený ápoče e Saik II. Odhlášení e koušk 3 dn před ermínem koušk. Neomluvená nepříomnos je klasifikována F. Ve kouškovém období budou ermín koušk v pondělí a ve čvrek. V lením semesru budou 2 ermín, keré budou v KOSu oevřené jen pro oprav. První ermín je nuné včerpa ve kouškovém období! Pro imní semesr 2015/2016 je poslední den pro konání koušk dle rohodnuí děkana

5 Zkouška e Saik II: Písemná čás obsahuje 4 čási: 1. Tes eoreické oák e Saik I a Saik II. 2. Vniřní síl na saick určié sousavě. 3. Příklad na prosé případ. 4. Příklad na osaní úloh a pevnosi. Pomůck ke kouškové písemce: Kalkulačka, čisé lis papíru, psací pořeb. Výpis důležiých vorců libovolného pracování (psaný ex, iskárna PC, Xerox,...). Omeen je formá papíru na 1 lis A4. Tao pomůcka není povolena při Tesu.

6 Saisika výsledků klasifikace STATIKA II v roce 2014/2015: Zapsáno sudenů na předmě: 218 Neuděleno ápočů: 22 Uděleno ápočů: 196 Úspěšně dokončilo předmě: 184 Na koušku se dosavilo 194 sudenů s výsledkem:

7 Doporučená lieraura Radmila Vondrová. Saika II. Příklad. Praha : ČVUT, ISBN Tadeus Kolendowic. Savební mechanika pro archiek. Přeložil doc. Ing. Jiří Muk, CSc. Praha : SNTL, s. Dvořák Jiří. Savební mechanika. Praha : SOBOTÁLES, ISBN Hibbeler, R. C. Srucural analsis. Boson : Prenice hall, ISBN X. Puchmajer, P.; Řeníčková, J. Sbírka úloh a pevnosi. Praha : ČVUT, ISBN Hořejší, J.; Šafka, J. a kol. Saické abulk. Technický průvodce, svaek 51. Praha : SNTL, Žák, J., Pěnčík, J. Savební mechanika, saika, pružnos a pevnos. Anikva, ISBN

8 Vniřní síl a napěí v průřeu Vniřní síl Napěí V M V M N M x x τ x (,) τ x (,) [,] σ x (,) x Os a jsou hlavní ěžiš ové os servačnosi průřeu. Normálové napěí σ při působení N, M, M (a M x ). Tečné napěí τ při působení V, V, M x.

9 U prosých případů je v průřeu jen jedna vniřní síla nenulová. : Prosý ah & lak vi Saika I. Prosý smk vi Saika I. vi Saika I.. Na hp://15122.fa.cvu.c le na sránkách Saik I nalé výklad pro úvod k prosým případům, napěí v průřeu, vniřní síl, hlavní ěžiš ové os servačnosi, momen servačnosi ad.

10 Bernoulli-Navierova hpoéa q Bernoulli-Navierova hpoéa: Průře ohýbaného nosníku ůsává po deformaci rovinný a kolmý na průhbovou čáru. Z Bernoulli-Navierov hpoé a e ákladních rovnic le odvodi vah pro prosý ohb, keré si budeme uvádě.

11 Odvoení vahu pro křivos M σ x () l l+ l M σ x () Předpokládejme pru ohýbaný konsanním ohbovým momenem M. Pro ε() le odvodi: l l+ l = 1 1+ε() = + ε() = Dosaením do Hookeova ákova ískáme: σ() = Eε() = E Dosaením do podmínk ekvivalence: M = σ() da = E 2 da A A Proo můžeme vjádři: 1 = M EI 1... je křivos EI... je ohbová uhos průřeu

12 Odvoení vahu pro σ x u prosého ohbu Křivos: 1 = M EI Dosadíme vah ε() = 1 = ε(), poom: ε() = M EI Po dosaení Hookeova ákova σ x () = Eε() ε() = σx() E ískáme: σx() E = M EI Odud plne vah: σ x () = M I M σ x M A N.O. x N.O. σ x (A) x

13 ve svislé rovině x Normálové napěí v průřeu ve svislé rovině: M 0 N = M x = M = V = V = 0 M A N.O. M x N.O. σ x σ x (A) x Normálové napěí σ x se určí pro každý bod průřeu: σ x () = M I Neurální osa (N.O.) je množina bodů s nulovou hodnoou normálového napěí a roděluje průře na aženou a lačenou oblas. Z podmínk σ x () = 0 plne, že N.O. voří přímo osa. Exrémní normálové napěí je v bodu nejvíce vdáleném od N.O.

14 ve svislé rovině x Podmínka spolehlivosi a průřeový modul Podmínka spolehlivosi podle dovolených namáhání: σ x,exr = M W σ dov W... je průřeový modul (modul průřeu), uvažuje se jako kladné číslo, ákladní jednoka je m 3 W = I max( d, h ) Je-li vdálenos ěžišě k dolním d a horním vláknům h odlišná, poom se někd aké rolišuje: W,d = I d a W,h = I h

15 ve svislé rovině x Průřeový modul někerých ákladních průřeů a W = 1 6 a3 a h W = 1 6 b h2 b

16 ve svislé rovině x Průřeový modul někerých ákladních průřeů r d W = 1 4 π r 3 = 1 32 π d 3 h W,h = 1 24 b h2 b W,d = 1 12 b h2

17 ve svislé rovině x Opimaliace roměrů dřevěného ohýbaného nosníku hraněného řeiva Hledáme opimální poměr b : h dřevěného průřeu. b W = 1 6 b h2 d 2 = h 2 + b 2 h 2 = d 2 b 2 h d r h W (b) = 1 6 b(d 2 b 2 ) W (b) = 1 6 (b d 2 b 3 ) b W (b) = 1 6 (d 2 3 b 2 ) = 0 d 2 3 b 2 = 0 h 2 + b 2 3 b 2 = 0 2b 2 = h 2 b = 2 2 h. = 0, 7071 h Pro prakické aplikace se používá b h = 5. 7 = 0, 7142 nebo = 0, 7. Závisí aké na výrobním sorimenu! b h = 7 10

18 ve svislé rovině x Příklad q = 3kNm 1 l = 3m Pro dané aížení navrhněe dřevěný rám obdélníkového průřeu. Uvažuje σ dov = 10 MPa. Ohbový mome uprosřed ropěí: M = 1 8 ql2 = = 3,375 knm Nuný průřeový modul a návrh průřeu: W M σ dov = 3,375 = 337, m W = 1 6 bh2 = h h2 337, m 3 h 0,141 m b = 5 7 h 0,101 m h b NÁVRH h = 150 mm, b = 100 mm Posouení: W = 1 6 bh2 = ,1.0,152 = m 3 σ x,exr = M W = 3, = kpa σ x,exr = 9,0 MPa < σ dov = 10 MPa NÁVRH VYHOVUJE

19 ve vodorovné rovině x Normálové napěí v průřeu M N.O. N.O. M A x σ x σ x (A) ve vodorovné rovině: M 0 N = M x = M = V = V = 0 Normálové napěí σ x se určí pro každý bod průřeu: σ x () = M I Z podmínk σ x () = 0 plne, že N.O. voří přímo osa. Průřeový modul W je definován analogick jako W. Podmínka spolehlivosi má var: σ x,exr = M W σ dov x

20 ve vodorovné rovině x Příklad konsrukce - paždík paždík w[knm 2 ] L B 2 B B B 2 Paždík nese jen vodorovné aížení od věru. L q[knm 1 ] M Zaížení na paždík: q = w B Ohbový momen na prosém nosníku: M = 1 8 q L2

21 M x O prosém kroucení mluvíme v případě, že plaí: M x 0 N = M = M = V = V = 0 x Podmínka ekvivalence: M x = (τ x τ x ) da A τ x (,) τ x (,) [,] x Kombinace namáhání řešíme superponováním (sečením) jednolivých případů. Os a jsou VŽDY hlavní cenrální os servačnosi.

22 Tpické konsrukce namáhané kroucením Půdorsně alomený nosník x 2 F L 2 x +F + V +F + x 1 L 1 F L 2 +F L 1 M x + 0 M F L 1

23 Tpické konsrukce namáhané kroucením Roš (balkonové nosník) F F F Nosník aížené mimo ěžišě průřeu (resp. sředu smku) F F F e Půdorsně akřivené nosník F Prefabrikované nosník s oubem e q q

24 Deplanace průřeu u kroucení Deplanace průřeu při kroucení je posun bodu průřeu mimo jeho rovinu. Deformovaný průře není rovinný. všesměrné veknuí u volný konec Poom rolišujeme: Mx 1. Volné kroucení - je-li deplanace volně umožněna (volný konec pruu) nebo u nedeplanujících průřeů. V průřeu vniká jen ečné napěí τ x. 2. Váané kroucení - je-li deplanace plně (veknuí) nebo čásečně (mei průře ve x veknuí a volným koncem) omeena. V průřeu vniká jak ečné napěí τ x, ak normálové napěí σ x. Řešení váaného kroucení vede na složié diferenciální rovnice. Proo se u kroucení omeíme jen na vbrané průře.

25 kruhového průřeu M x r M x x Kruhový průře nedeplanuje. U kruhového průřeu můžeme předpokláda vžd volné kroucení. Tečné napěí τ x le urči jako τ x (ρ) = M x ρ I p Směr τ x je dán smkovými čarami, keré jsou kružnice. ρ τ x (ρ) τ x I p... je polární momen servačnosi k ěžiši I p = I + I = 1 2 π r 4 τ x Maximální ečné napěí τ x,max le urči jako τ x,max = M x r I p τ dov

26 masívního průřeu meikruží M x r 1 Průře nedeplanuje. Můžeme předpokláda vžd volné kroucení. Tečné napěí τ x le urči jako τ x (ρ) = M x ρ I p τ x r 2 ρ τ x (ρ) τ x Směr τ x je dán smkovými čarami, keré jsou kružnice. I p... je polární momen servačnosi k ěžiši I p = I + I = 1 2 π(r 4 1 r 4 2 ) Maximální ečné napěí τ x,max le urči jako τ x,max = M x r 1 I p τ dov

27 Kroucení enkosěnného uavřeného průřeu Bredův vorec Pro enkosěnné průře musí plai δ b a δ h. τ x M x s δ(s) τ x τ x b δ(s) 1 2 Ω h s... je souřadnice po obvodu průřeu δ(s)... louš ka sěn průřeu Ω... dvojnásobek opsané ploch sřednicí sěn průřeu... smkový ok, v průřeu se předpokládá konsanní, = Mx Ω τ x... se předpokládá po louš ce δ(s) konsanní Bredův vorec: τ x (s) = M x Ωδ(s) = δ(s)

28 masívního obdélníkového průřeu M x Průře deplanuje! τ x h Pro výpoče τ x se používají přibližné vorce nebo složié diferenciální výpoč. Směr τ x je dán smkovými čarami. b τ x Se vdálenosí od ěžišě se τ x nemění lineárně, ale po křivce.

29 masivního obdélníkového průřeu Příklad průběhu ečných napěí τ x učených meodou konečných prvků (MKP) Smkové čár (věší husoa čar odpovídá věší hodnoě τ x ) Vekor τ x = (τ x,τ x ) v obdélníkovém průřeu Sí konečných prvků a velikosτ x (mavší odsín odpovídá věší hodnoě napěí)

30 masivního obdélníkového průřeu Exrém určený pomocí abulk Exrém ečného napěí τ x,exr le a předpokladu b h urči na ákladě součiniele β abulk podle výrau: τ x,exr = M x βhb 2 h/b 1,00 1,20 1,50 1,75 2,00 β 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 h/b 2,50 3,00 5,00 10,00 β 0,258 0,267 0,291 0,313 1/3 Meilehlé hodno le inerpolova.

31 Konrolní oáka Předpoklad, že průře ohýbaného nosníku ůsává po deformaci rovinný a kolmý na průhbovou čáru, naýváme: a) Schwedlerova věa b) Seinerova věa c) Bernoulli-Navierova hpoéa

32 Konrolní oáka Pevnos mal v ahu a ohbu se kouší na rámečcích průřeu 40 x 40 mm a délk 160 mm. Trámeček se umísí na podpor ve dálenosi 100 mm. Zaěžuje se sílou uprosřed ropěí. Jesliže dojde k porušení vorku při působící síle 640 N, poom je pevnos v ahu a ohbu rovna: a) 1,5 MPa b) 2,4 MPa c) 0,75 MPa

33 Konrolní oáka Deplanace průřeu je jev, pro kerý plaí: a) Nasává při kroucení pruu, kd průře po deformaci ůsává rovinný. b) Nasává při kroucení pruu, kd průře po deformaci neůsane rovinný. c) Projevuje se u ohbu, kd průře po deformaci ůsává rovinný a kolmý na průhbovou čáru ohýbaného nosníku.

34 Konec přednášk Děkuji a poornos. Vsáeno ssémem L A T E X. Obrák vvořen v ssému Å Ì ÈÇËÌ.