VI. Nestacionární vedení tepla

VI. Nestacionární vedení tepla Nestacionární vedení tepla stagnantním prostředím, tj. tělesy a kapalinou, ve které se neprojevuje přirozená konvekce. F. K. rovnice " ρ c p = q + Q! = λ + Q! ( g) 2 ( g) (VI 1) Nestacionární vedení tepla v prostředí bez vnitřních zdrojů tepla a s neproměnnými yzikálními vlastnostmi: Fourierova rovnice = λ 2 2 (VI 2) ρ c p = a kde a součinitel teplotní vodivosti. Biotovo číslo Bi = vnitřní termický odpor (kondukcí) vnější termický odpor (konvekcí) L / λ α L (VI 3) = = 1 / α λ kde α součinitel přestupu tepla, L charakteristický rozměr λ tepelná vodivost tělesa. Hodnota Biotova čísla poskytuje inormaci, který z obou termických odporů bude v daném konkrétním případě dominantní, což ovlivňuje o řešení. Případy A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 Dominance vnějšího konvektivního odporu. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor teplotní gradienty uvnitř tělesa zanedbatelné. Prakticky Bi <,1 teplota povrchu teplota tělesa. Případy: ělesa s malým charakteristickým rozměrem (např. malé částice, dráty, tenké plechy). s vysokou tepelnou vodivostí (např. kovy). s malým součinitelem přestupu tepla α (např. vzduch nebo jiné plyny) B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 Zanedbatelný vnější konvektivní odpor. Dominance vnitřního konduktivního termického odporu. Případy: Opačné případy než v předchozím případě, tj.: tělesa: s velkým charakteristickým rozměrem s nízkou tepelnou vodivostí (např. kovy). s vysokým součinitelem přestupu tepla α (např. kondenzující pára) 1

eplota povrchu stěny S se v tomto případě liší od teploty prostředí relativně málo ; v mezním případě = S (okrajová podmínka I. druhu) prakticky pro Bi > 1. C. ermické odpory stejného řádu Bi 1 Oba termické odpory jsou téhož řádu ; ani jeden nelze zanedbat. Na povrchu se uplatňují okrajové podmínky III. druhu. A. Nestacionární vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnitřním termickým odporem Bi << 1 F. K. rovnice Integrální tvar " ρ c p = q # # ρ c p dv = n q ds V S (A 1) (A 2) eplota tělesa v čase t Pro Bi << 1 teplota tělesa a hustota tepelného toku q nezávisí na souřadnici ; lze i q umístit před integrál: ρ c p V = α ( ) S (A 3) Po integraci s počáteční podmínkou: teplota tělesa (t = ) = : ( t) α S = exp ρ c p V t (A 4) epelný tok povrchem tělesa S a objemu V v čase t ( ( t ) S Q! ( t) = α ) (A 5) Celkové množství tepla převedeného povrchem tělesa za dobu t t S Q = Q! α ( t) dt = ρ c t p V ( ) 1 exp ρ c p V Q = ρ c p V ( ( t)) (A 6) teplota prostředí, c p měrná tepelná kapacita, ρ - hustota. 2

B. Nestacionární vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnějším termickým odporem Bi >> 1 Fourierova rovnice = λ 2 2 (B 1) ρ c p = a B1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) Skoková změna teploty + OP I.druhu Počáteční podmínka (t,x) = (t =, x < ) = Okrajové podmínky OP1: teplota stěny (t >, x = ) = S OP2: teplota polomasivu (t >, x ) = Nestacionární teplotní proil + = S = 1 er ( η) = erc( η) (B1 1) kde bezrozměrná polohová souřadnice η : kde η = 2 x (B1 2) er (x) Gaussův integrál chyb erc(x) komplementární unkce Gaussova integrálu chyb er(x) ; er(x) + erc(x) = 1. eplotní gradient x = ( S 2 exp( η ) ) π (B1 3) Hustota tepelného toku na povrchu poloneomezeného prostředí qx = λ x λ λ = ( S ) = ( S ) x= π δ (B1 4) kde δ penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla. Celkové množství tepla převedeného do prostředí plochou S za čas t t λ λ (B1 5) Q = S qxdt = ( S ) S 2 t = 2 ( S ) S t π a δ 3

Penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla δ = π (B1 6) Interpretace: Za dobu t od okamžiku teplotního skoku na povrchu z na S dojde v penetrační hloubce δ k relativnímu zvýšení teplotní dierence o 21 % ( + =,21). Použití pro konečná tělesa Závislost platnou pro nestacionární vedení tepla v poloneomezeném prostředí lze s dostatečnou přesností použít i pro konečná tělesa s charakteristickým rozměrem L, pokud Fourierovo číslo Fo = a.t/l 2 <,4 (δ << L). Gra unkce er(x), erc(x) abulka unkce er(x) 4

C. Nestacionární vedení tepla v tělesech s termickými odpory stejného řádu Bi 1 Fourierova rovnice = λ 2 2 (C 1) ρ c p = a C1. Poloneomezené prostředí C2. Neomezená deska C3. Neomezený válec C4. Koule C5. 2D a 3D tělesa C1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t,x) = (t =, x < ) = Okrajové podmínky OP1: OP III.druhu OP2: teplota polomasivu (t >, x ) = Nestacionární teplotní proil * = ( Bix, Fo*) Bi * = erc x + exp( Bix 2 Fo * v graické ormě viz. obr. + Fo*) erc Fo * + 2 Bix Fo * (C1 1) kde bezrozměrná teplota Biotovo číslo Fourierovo číslo * = = 1 α x Bi x = λ Fo* = L = + ( λ α ) 2 2 ikt / (C1 2) (C1 3) (C1 4) kde x souřadnice (počátek souřadného systému na povrchu polomasívu), teplota prostředí, počáteční teplota poloneomezeného prostředí, α součinitel přestupu tepla, erc(x) komplementární unkce Gaussova integrálu chyb er(x) ; er(x) + erc(x) = 1. 5

eplota na povrchu poloneomezeného prostředí x = Bi x = * exp( Bi ) erc( Fo *) = x (C1 5) Použití pro konečná tělesa Vztahy pro poloneomezené prostředí platí přesně také pro poloneomezené tyče nekonečné délky libovolného avšak konstantního průřezu s tepelně izolovaným povrchem. 6

C2. Neomezená deska!! POZOR!! počátek souřadného systému v ose desky H polovina tloušťky desky!!! Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, x) = (t =, -H x < H ) = Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní proil v desce tloušťky 2H kde * = ( x*, Fo, Bi) ; v graické ormě viz. obr. (C2 1) bezrozměrná teplota * = = = 1 + (C2 2) bezrozměrná souřadnice polohy Fourierovo číslo Biotovo číslo x * = x H Fo = 2 H α H Bi = λ kde x souřadnice (počátek souřadného systému v ose desky), H tloušťka poloviny desky ; ( tloušťka desky 2H), teplota prostředí, počáteční teplota neomezené desky, α součinitel přestupu tepla. (C2 2) (C2 3) (C2 4) Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q =α ( S ) kde S = (t), která se vypočte z *(x* = 1, Fo, Bi) (C2 5) Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny S = konst. OP. I.druhu : α 1/Bi = ; teplotní proil * = (x*, Fo) z grau pro 1/Bi =. 7

* Neomezená deska povrch desky * Neomezená deska osa desky Neomezená deska 8

C3. Neomezený válec Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, r) = (t =, r R ) = Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní proil ve válci o poloměru R kde * = ( r*, Fo, Bi) ; v graické ormě viz. obr. (C3 1) bezrozměrná teplota * = = = 1 + (C3 2) bezrozměrná souřadnice polohy Fourierovo číslo Biotovo číslo r * = r R Fo = 2 R α R Bi = λ kde r poloměr (počátek souřadného systému v ose válce), R poloměr neomezeného válce, teplota prostředí, počáteční teplota neomezeného válce, α součinitel přestupu tepla. (C3 2) (C3 3) (C3 4) Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q =α ( S ) kde S = (t), která se vypočte z *(r* = 1, Fo, Bi) (C3 5) Okrajová podmínka I. druhu - teplota povrchu S = konst. OP. I.druhu : α 1/Bi = ; teplotní proil * = (r*, Fo) z grau pro 1/Bi =. 9

* Neomezený válec povrch válce * Neomezený válec osa válce Neomezený válec 1

C4. Koule Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, r) = (t =, r R ) = Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní proil v kouli o poloměru R kde * = ( r*, Fo, Bi) ; v graické ormě viz. obr. (C4 1) bezrozměrná teplota * = = = 1 + (C4 2) bezrozměrná souřadnice polohy Fourierovo číslo Biotovo číslo r * = r R Fo = 2 R α R Bi = λ kde r poloměr (počátek souřadného systému ve středu koule), R poloměr koule, teplota prostředí, počáteční teplota koule, α součinitel přestupu tepla. (C4 2) (C4 3) (C4 4) Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q =α ( S ) kde S = (t), která se vypočte z *(r* = 1, Fo, Bi) (C3 5) Okrajová podmínka I. druhu - teplota povrchu S = konst. OP. I.druhu : α 1/Bi = ; teplotní proil * = (r*, Fo) z grau pro 1/Bi =. 11

Koule 12

C4. 2D a 3D tělesa Základní jednorozměrná pole označení * poloneomezené prostředí P x ) * neomezená deska D x ) * neomezený válec V (r) Newtonův multiplikativni princip(1936) ěleso konečného rozměru průnik elementárních případů Př. Konečný válec průnik nekonečného válce a neomezené desky eplotní proil konečného válce: (, ) ( ) ( ) ( (C4 1) i ( (C4 2) j (C4 3) * r x V r D x (C4 5) Platnost ento princip v zásadě vzato platí pro okrajové podmínky II. nebo III. druhu resp. II. druhu pro izolované stěny. Na protilehlých površích musí být hodnoty Biotova čísla Bi shodné, mohou se však lišit na površích sousedních. Radek Šulc 22 13