U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Přenos tepla. Přehled základních rovnic

Transkript

1 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze I. Bilance vnitřní enegie Přenos tepla Přehled základních ovnic Fyzikální vlastnost P ρ ue u E vnitřní enegie Hustota toku IP q q - hustota tepelného toku Zdoj P" ( g p u τ : (g d Q" Difeenciální tva (po spojení s ovnicí kontinuity a úpavě Kontolní objem mateiální ρ Du E q p u τ : (g d Q" (I Dt ychlost akumulace vnitřní enegie v mateiálovém objemu teplo přivedené za jednotku času konduktivně povchem kontolního objemu 3 evezibilní páce vykonaná za jednotku času při expanzi ( u > 0 esp. spotřebovaná při kompesi ( u < 0 4 nevatná páce vykonaná za jednotku času vazkým třením uvnitř mateiálového elementu 5 výkon zdoje enegetické přeměny uvnitř elementu (Jouleovo teplo, ozpouštěcí teplo, eakční teplo chemických, jadených, biologických přeměn Kontolní objem pevný u ρ t (I E u ue p u τ : (g d Q" q A B A časová část změny vnitřní enegie (ychlost akumulace v pevném kontolním objemu B konvektivní část změny vnitřní enegie (makoskopickým pohybem-přítokem, odtokem teplo přivedené za jednotku času konduktivně povchem kontolního objemu 3 evezibilní páce vykonaná za jednotku času při expanzi ( u > 0 esp. spotřebovaná při kompesi ( u < 0 4 nevatná páce vykonaná za jednotku času vazkým třením uvnitř pevného elementu 5 výkon zdoje enegetické přeměny uvnitř elementu (Jouleovo teplo, ozpouštěcí teplo, eakční teplo chemických, jadených, biologických přeměn Přenos tepla přehled základních ovnic

2 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Integální tva d dt ρ ue dv n q ds ρ ue n u ds V S S V # τ # d Q " ( g dv : dv V (I ychlost akumulace vnitřní enegie v pevném kontolním objemu teplo přivedené za jednotku času konduktivně povchem kontolního objemu 3 zvýšení vnitřní enegie za jednotku času konvektivním přívodem povchem kont. objemu 4 mechanická enegie disipovaná za jednotku času uvnitř kontolního objemu 5 výkon zdoje enegetické přeměny uvnitř kontolního objemu Lze odvodit, že člen 4 v nestlačitelných kapalinách: V # # τ : d dv V" p z, (I 4 V " - objemový půtok daným kontolním elementem, p z - tlaková ztáta při poudění daným kontolním elementem. Přenos tepla přehled základních ovnic

3 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze II. Bilance entalpie Entalpie Při řešení technických úloh je většinou výhodnější pacovat s jinými temodynamickými funkcemi než s vnitřní enegií. Vzhledem k tomu, že většina pocesů v technické paxi pobíhá při konstantním tlaku, používá se nejčastěji entalpie h: h ue p v, (II u E vnitřní enegie, p tlak, v měný objem. Difeenciální tva Kontolní objem mateiální ρ c D v Dp (g (II p q ρ τ : d Q" Dt p Dt ovnice (II platí bez ohledu na to, je li v bilancovaném objemu plyn, kapalina nebo tuhá látka. V případě plynu k ovnici přistupuje ještě stavová ovnice plynu po vyjádření difeenciálního kvocientu (v/ p. Měná tepelná kapacita c p je definována vztahem: c p (h/ p. Nestlačitelná kapalina Nestlačitelná kapalina se zanedbatelnou objemovou oztažností (v/ p 0 Difeenciální tva Kontolní objem mateiální Kontolní objem pevný D ρ q (g (II 3 c p τ : d Q" Dt (II 4 (g ρ c p u q τ : d Q" t Integální tva Nestlačitelná kapalina u E h c p. d dt ρ c p dv n q ds ρ c p n u ds V S S V # τ # d Q " ( g dv : dv V (II 5 Přenos tepla přehled základních ovnic 3

4 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze III. Přenos tepla a jeho mechanismy epelný tok vyjádřený hustotou tepelného toku q může nastat třemi způsoby: vedením, konvekcí, zářením. Základním předpokladem k tomu, aby kteýkoliv z těchto dějů mohl pobíhat, je existence teplotního ozdílu. Smě přenosu je vždy oientován z místa s vyšší teplotou k místům s nižší teplotní hladinou.. Vedení tepla Přenos enegie inteakcemi mezi atomy a molekulami stagnantního spojitého postředí vznikající v důsledku neovnoměného ozložení teplot. Fouieův zákon Vazba mezi hustotou tepelného toku a ozložením teploty (teplotním polem (x,y,z v homogenním izotopním postředí: tepelná vodivost, teplotní gadient. Katézské souřadnice q, (III q _ q i x _ x i (III a (III b Složka x: Složka y: Složka z: q x q y q z y z x (III 3a (III 3b (III 3c Cylindické souřadnice Složka : Složka ϕ: Složka z: q qϕ q z ϕ z (III 4a (III 4b (III 4c Přenos tepla přehled základních ovnic 4

5 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze v nehomogennín anizotopním postředí: q, tenzo tepelné vodivosti. (III 5 epelná vodivost Plyny - řádově x. 0,0 W/m.K - s ostoucí teplotou oste Kapaliny - řádově x. 0, W/m.K - s ostoucí teplotou míně klesá (vyjímkou je voda, u kteé v ozsahu 0 až 00 C tepelná vodivost oste uhé látky - nekovové mateiály x. (0, W/m.K - kovy 0 00 W/m.K. Konvektivní přestup tepla Konvektivní přenos tepla se může uskutečnit pouze při makoskopickém pohybu spojitého postředí, tj. při poudění tekutin. Jestliže teplotní ozložení v tekutině, na kteou působí pole objemových sil, vyvolá ozdíly hustot dojde vlivem ozdílu hustot k makoskopickému pohybu tekutiny nastane tzv. volná (přiozená konvekce. Pokud je poudění vyvoláno např. čepadlem nebo ventilátoem, hovoříme o konvekci nucené. Newtonův vztah Empiický vztah. q n qn α ( f S, (III 6 n vekto nomály, q n α f S hustota tepelného toku ve směu nomály k povchu, součinitel přestupu (přenosu tepla, teplota v jádře poudícího média, teplota stěny. 3. Přenos tepla zářením uhé látky, kapaliny a někteé plyny emitují, zvláště při vyšších teplotách, enegii ůzných foem UV záření, γ záření,... Nositelem přenášené enegie jsou elektomagnetické vlny. epelné záření (tepelná adiace; sálání se uplatňuje v obou vlnových délek přibližně m. Přenos tepla zářením mezi dvěma povchy o ůzných teplotách pobíhá naozdíl od předchozích mechanismů nezávisle na postředí, kteé posto mezi povchy vyplňuje. Přenos tepla přehled základních ovnic 5

6 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Stefan Boltzmannův zákon vyjadřuje celkovou hustotu zářivého toku absolutně čeného tělesa q n q σ n ( s 4, (III 7 n vekto nomály, q n hustota tepelného toku ve směu nomály k povchu, (s (s σ Stefan Boltzmannova konstanta ; σ 5, W/m.K 4, teplota povchu. Přenos tepla přehled základních ovnic 6

7 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze IV. Fouie Kichhoffova ovnice. Fouie Kichhoffova ovnice Difeenciální tva Difeenciální ovnice přenosu entalpie po nestlačitelnou kapalinu se zanedbatelně malou objemovou oztažností D ρ q (g (IV c p τ : d Q" Dt Fouieův zákon v homogenním izotopním postředí q konstitutivní ovnice po newtonské kapaliny τ µ d (IV (IV 3 Fouie Kichhoffova ovnice (F.K. ovnice esp. v pevném kontolním objemu: D ρ c p µ d Dt ρ c p ρ c p u µ d t : (g d Q" (IV 4 : (g d Q" (IV ychlost akumulace entalpie v pevném kontolním objemu všemi mechanismy s vyjímkou záření ychlost konvektivního přívodu entalpie povchem kontolního objemu 3 ychlost konduktivního přívodu entalpie povchem kontolního objemu 4 ychlost disipace mechanické enegie v pevném kontolního objemu 5 výkon objemového zdoje enegetické přeměny uvnitř kontolního objemu Laplaceův opeáto Přenos tepla přehled základních ovnic 7

8 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Přenos tepla přehled základních ovnic 8 Katézské souřadnice d u c t c p p µ ρ ρ : (g Q d " (IV 6a _. _ d x x x u t c p µ ρ : ( _._ g Q d " (IV 6b ( g i j ji ij j j j j j p Q d d x x u t c " µ ρ (IV 6c ( g i j ji ij z y x p Q d d z y x z u y u x u t c " µ ρ (IV 7 Cylindické souřadnice z u u u t c z p ϕ ρ ϕ (IV 8 (.. g s cylind i j ji ij Q d d z " µ ϕ Integální tva (IV 9 V S p V S p ds u n c ds q n dv t c τ ρ ρ # : V g dv Q dv d " ( # Použití F.K. ovnice Výpočet teplotního pole (ozložení teplot (t,x i v tuhé látce nebo newtonské kapalině. Následné stanovení hustoty tepelného toku q z teplotního ozložení.. F.K. ovnice po tuhé látky Vzhledem k tomu, že : 0 u a 0 d :

9 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze ρ c p Q" t ( g (IV 0 3. Řešení F.K. ovnice počáteční a okajové podmínky Počet počátečních podmínek časová deivace teploty podle času počáteční podmínka znalost teplotního ozložení v čase t 0 : (x i, t 0 0 (x i. Počet okajových podmínek Duhá deivace teploty podle souřadnice počet okajových podmínek. počet postoových souřadnic. Př. Nekonečná deska, neomezený válec, koule jedna postoová souřadnice okajové podmínky. Př. Konečný válec dvě postoové souřadnice 4 okajové podmínky. Př. Kvád tři postoové souřadnice 6 okajových podmínek. 4. ypy okajových podmínek 4. Okajová podmínka I. duhu (Diichletova Je zadána teplota stěny S jako funkce času: ( t, x 0 S ( t (IV Příklad: - ohřev kondenzující paou - chlazení voucí kapalinou 4. Okajová podmínka II. duhu (Neumannova Je zadána hustota tepelného toku q na stěně jako funkce času: (IV S ( t x x 0 q( t, x 0 q Příklad: - elektický ohřev (vytápěné desky, tubkové ohřívače opatřené topnou spiálou - přenos tepla zářením Přenos tepla přehled základních ovnic 9

10 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Speciální případ: Izolovaný povch, osy nebo oviny symetie v tělese nebo objemu kapaliny při symetickém ohřevu nebo chlazení. n x 0 q( t, x 0 q (IV 3 S ( t Okajová podmínka III. duhu (Fouieova Podmínka spojitosti hustot tepelného toku na mezifázovém ozhaní poudící kapalina stěna: teplo převedené tělesu/z tělesa kondukcí (vedením teplo odvedené/přivedené postředím konvekcí x α ( x 0 f teplota v jádu poudícího postředí, S teplota stěny, α součinitel přestupu tepla (viz Přiozená, nucená konvekce. f S (IV Okajová podmínka IV. duhu Podmínka spojitosti hustot tepelného toku na styku dvou těles: ( ( x x H ( ( x x H (IV 5 Po tuhá tělesa a dokonalý styk přechází (IV 5 v podmínku spojitosti teplotních ozložení: ( ( (IV 6 x H x H Příklad: - složené stěny. Pozn. V paxi nelze tuto podmínku (IV 6 přesně ealizovat ; nutno zahnout tepelný odpo styku. Přenos tepla přehled základních ovnic 0

11 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze V. Stacionání vedení tepla Stacionání vedení tepla stagnantním postředím, tj. tělesy a kapalinou, ve kteé se nepojevuje přiozená konvekce. # ρ c p q Q" Q" t ( g ( g (V A. Stacionání jednoozměné vedení tepla bez vnitřních zdojů A. Neomezená deska A. Neomezený dutý válec A3. Kulová stěna B. Stacionání jednoozměné vedení tepla s vnitřním objemovým zdojem tepla B. Neomezená deska B. Neomezený válec, koule B3. Neomezená válcová a kulová stěna C. Stacionání ovinná a postoová pole A. Stacionání jednoozměné vedení tepla bez vnitřních zdojů Laplaceova ovnice 0 (V Katézské souřadnice x y z 0 (V 3 Cylindické souřadnice ϕ z 0 (V 4 Přenos tepla přehled základních ovnic

12 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze A. Neomezená deska A. Jedna deska x 0 OP: (x 0 Si (A OP: (x H Se eplotní pofil Přímkový pofil. x ( x H ( Si Se Si (A Hustota tepelného toku m plochy q x (A 3 ( Si Se H epelný tok stěnou o ploše S Q" qx S (A 4 emický odpo ( Si Q" Se H S (A 5 - tepelná vodivost desky H - tloušťka desky Si - teplota stěny desky na povchu desky blíže k počátku souřadného systému Se - teplota stěny desky na povchu desky dále od počátku souřadného systému A. Složená deska Hustota tepelného toku m plochy (A 6 qx ( Si Se H j j j epelný tok stěnou o ploše S Q" qx S (A 7 Přenos tepla přehled základních ovnic

13 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze A.3 Konvektivně konduktivní přenos tepla Hustota tepelného toku m plochy k součinitel postupu tepla. Součinitel postupu tepla ( qx k fi fe (A 8 k α i H j α j (A 9 j e emický odpo postředí na mezifázovém povchu ( Si Q" Se α S (A 0 Symboly: α i - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povchem stěny nejblíže k počátku souřadného systému α e - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povchem stěny nejdále od počátku souřadného systému j - tepelná vodivost j té desky H j - tloušťka j té desky fi - teplota v jádu tekutiny na staně stěny nejblíže k počátku souřadného systému fe - teplota v jádu tekutiny na staně stěny nejdále od počátku souřadného systému Si - teplota stěny kajní desky na povchu nejblíže k počátku souřadného systému Se - teplota stěny kajní desky na povchu nejdále od počátku souřadného systému Přenos tepla přehled základních ovnic 3

14 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze A. Neomezený dutý válec A. Jeden dutý válec 0 OP: ( i Si (A OP: ( e Se eplotní pofil Logaitmický pofil. ln ( ln ( e Si Se Se i e (A Hustota tepelného toku na poloměu na m délky Hypebolický pofil q( (A 3 ( Si Se e ln i epelný tok na m délky q" m π ln e i ( ( Si Se π D ln D e i Si Se (A 4 epelný tok na délce L Q" q " m L (A 5 emický odpo ( Si Q" Se ln( e / i π L (A 6 - tepelná vodivost desky D i - vnitřní půmě dutého válce D e - vnější půmě dutého válce Si - teplota stěny vnitřního povchu dutého válce Se - teplota stěny vnějšího povchu dutého válce Přenos tepla přehled základních ovnic 4

15 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Lineání apoximace ln( e / i H / D H ( D e Di a D ( D e Di (A 7 Q" q S S π D L a q x dle (A 3 x Chyba apoximace: κ 0,5 elativní chyba apoximace < 4 % κ 0,67 elativní chyba apoximace <,4 % κ i / e D i /D e A. Složená válcová stěna epelný tok na m délky q" m j π D ln D j ej ij ( Si Se (A 8 epelný tok na délce L Q" q " m L (A 9 A.3 Konvektivně konduktivní přenos tepla Součinitel postupu tepla na m délky k m α D i i j π D ln D j ej ij α e D e (A 0 Součinitel postupu tepla vztažený na vnější povch složené válcové stěny k e k m π D e Součinitel postupu tepla vztažený na vnitřní povch složené válcové stěny k i k m π D i (A (A Hustota tepelného toku vztažená na m vnější plochy qe ke ( fi fe (A 3 Přenos tepla přehled základních ovnic 5

16 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Hustota tepelného toku vztažená na m vnitřní plochy qi ki ( fi fe (A 4 epelný tok na m délky q" m k m ( fi fe (A 5 epelný tok na délce L Q" q m L (A 6 " e e e e L (A 7 Q q S q π D " i i i i L (A 8 Q q S q π D Symboly: α i - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povchem válcové stěny nejblíže k počátku souřadného systému α e - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povchem válcové stěny nejdále od počátku souřadného systému j - tepelná vodivost j té válcové stěny D i - vnitřní půmě kajní válcové stěny nejblíže k počátku souř.systému ; D i D i D e - vnější půmě kajní válcové stěny nejdále od počátku souř.systému ; D e D en D ij - vnitřní půmě j- té válcové stěny D ej - vnější půmě j té válcové stěny n - číslo poslední válcové stěny ; číslováno vzestupně směem od počátku souř. systému fi - teplota v jádu tekutiny na staně stěny nejblíže k počátku souřadného systému fe - teplota v jádu tekutiny na staně stěny nejdále od počátku souřadného systému Si - teplota stěny vnitřního povchu kajní válcové stěny nejblíže k počátku souř.s. Se - teplota stěny vnějšího povchu kajní válcové stěny nejdále od počátku souř. s. Přenos tepla přehled základních ovnic 6

17 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze A3. Kulová stěna 0 OP: ( i Si (A3 OP: ( e Se eplotní pofil Hypebolický pofil. e / e ( i e ( Si Se Se (A3 Hustota tepelného toku na poloměu Hypebolický pofil q( i e ( Si Se (A3 3 epelný tok Q" q( S 4π q( 4π i e ( Si Se (A3 4 emický odpo ( Si Q" Se i e 4π Di De π (A3 5 - tepelná vodivost kulové stěny D i - vnitřní půmě kulové stěny D e - vnější půmě kulové stěny Si - teplota stěny vnitřního povchu kulové stěny Se - teplota stěny vnějšího povchu kulové stěny Přenos tepla přehled základních ovnic 7

18 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze B. Stacionání jednoozměné vedení tepla s vnitřním objem. zdojem tepla Poissonova ovnice 0 ( g Q" (V 5 Katézské souřadnice ( g Q" 0 x y z (V 6 Cylindické souřadnice 0 ϕ z ( g Q" (V 7 Objemový zdoj Vazba mezi vnitřním objemovým zdojem tepla a hustotou tepelného toku: V q n S V objem tělesa o povchu S, n - nomála, q - hustota tepelného toku na ploše S. Př. Vedení tepla v el.vodiči pod poudem o půřezu S Q" ( g (V 8 ( el " ( g P I ρ I, Q V S L S (V 9 P výkon tepelného zdoje, V objem, elektický odpo ; ρ (el.l/s, S půřez vodiče, L délka vodiče, ρ (el měný elektický odpo I elektický poud, S půřez vodiče. Přenos tepla přehled základních ovnic 8

19 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Přenos tepla přehled základních ovnic 9 B. Neomezená deska tloušťky H ( 0 g Q x " počátek souřad. systému v ose desky OP: osa desky (x 0 (/x 0 OP: povch desky OP III. duhu -(/x povch α( S f (B Integace ( C x Q x g " (B a ( C x C x Q g " (B b eplotní pofil Paabolický pofil ( / 4 8 ( H x H H Q x g f α " (B 3 ( 4/ 8 ( H x Bi H Q x g f ", (B 4 α H Bi, (B 5 Bi Biotovo číslo, S teplota povchu, f teplota postředí, H tloušťka desky, x souřadnice polohy. Pozn. Okajová podmínka I. duhu na povchu desky: Bi.

20 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Přenos tepla přehled základních ovnic 0 B. Neomezený válec ovnice: ( 0 g Q " (B Konvektivní přestup tepla na povchu OP: osa válce ( 0 (/ 0 OP: povch válce OP III. duhu -(/ povch α( S f eplotní pofil Paabolický pofil: ( 4 ( Q g f α " (B ( 4/ 4 ( Bi Q g f ", (B 3 α D Bi, (B 4 Bi Biotovo číslo, D půmě válce, polomě válce S teplota povchu válce, f teplota postředí. Pozn. Okajová podmínka I. duhu na povchu válce: Bi. Konvektivně - konduktivní přestup tepla na povchu OP: osa válce ( 0 (/ 0 OP: povch válce OP III. duhu -(/ povch k i. ( S f eplotní pofil Paabolický pofil: ( 4 ( k Q i g f " (B 5 modif ( 4/ 4 ( Bi Q g f ", (B 6

21 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Bi k i k D i modif, k m π D (B 7 (B 8 k m j j π D ln D ej ij α e D e (B 9 Bi modif modifikované Biotovo číslo, D půmě válce s objemovým zdojem, D e vnější půmě složené válcové stěny, polomě válce s objemovým zdojem, k i součinitel postupu tepla složené válcové stěny bez objemového zdoje tepla vztažený k vnitřnímu povchu této složené stěny, S teplota povchu složené válcové stěny, f teplota postředí, ( teplotní ozložení ve válci s objemovým zdojem tepla, B3. Koule ( f " ( g (B3 Q 6 α ( f ( g Q" 6 4/ Bi, (B3 Bi α D, (B3 3 Bi Biotovo číslo, D půmě koule, polomě koule, S teplota povchu, f teplota postředí. B4. Neomezená válcová a kulová stěna Vzhledem k tomu, že 0 < i e, do ovnice teplotního ozložení ještě přistoupí v případě válcové stěny logaitmický a v případě kulové stěny hypebolický člen. Přenos tepla přehled základních ovnic

22 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C. Stacionání ovinná a postoová pole C. D a 3D pole po konst. Laplaceova ovnice ; v jednodušších případech analyticky, jinak numeicky. C. vaový součinitel S Jestliže je těleso, v kteém učujeme teplotní pofil, omezené dvěma izotemními plochami S a S s konstantní teplotou esp., pak po tepelný tok převedený z teplejší izotemní plochy S učitého objektu o teplotě do jeho chladnější izotemní plochy S o teplotě lze ve stacionáním ežimu po postředí konst. odvodit: S tvaový fakto. " (C Q S ( edukovaný tvaový součinitel Složitější geometie S S L ( (C Paalelní řazení Séiové řazení S S i (C 3 i S S (C 4 i i Hodnoty S po někteé jednoduché geometie jsou uvedeny v tabulce nebo např. v Kutatěladze, Boišanskij: Sdílení tepla (96. Hodnoty uvedené v následující tabulce platí přesně pouze po konduktivní přenos tepla izotemními plochami. V někteých případech lze v paxi eálnější okajové podmínky III. duhu na vstupních i výstupních plochách apoximovat pomocí fiktivní délky /α. vaový fakto tabulka Přenos tepla přehled základních ovnic

23 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Přenos tepla přehled základních ovnic 3

24 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze adek Šulc 00 Přenos tepla přehled základních ovnic 4

25 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze VI. Nestacionání vedení tepla Nestacionání vedení tepla stagnantním postředím, tj. tělesy a kapalinou, ve kteé se nepojevuje přiozená konvekce. F. K. ovnice v ( g ( g ρ c p q Q& Q& t (VI Nestacionání vedení tepla v postředí bez vnitřních zdojů tepla a s nepoměnnými fyzikálními vlastnostmi: Fouieova ovnice t (VI a ρ c p a součinitel teplotní vodivosti. Biotovo číslo Bi vnitřní temický odpo (kondukcí vnější temický odpo (konvekcí L / α L (VI 3 / α α součinitel přestupu tepla, L chaakteistický ozmě tepelná vodivost tělesa. Hodnota Biotova čísla poskytuje infomaci, kteý z obou temických odpoů bude v daném konkétním případě dominantní, což ovlivňuje o řešení. Případy A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní temický odpo Bi << Dominance vnějšího konvektivního odpou. Zanedbatelný vnitřní konduktivní temický odpo teplotní gadienty uvnitř tělesa zanedbatelné. Pakticky Bi < 0, teplota povchu teplota tělesa. Případy: ělesa s malým chaakteistickým ozměem (např. malé částice, dáty, tenké plechy. s vysokou tepelnou vodivostí (např. kovy. s malým součinitelem přestupu tepla α (např. vzduch nebo jiné plyny B. Zanedbatelný vnější konvektivní temický odpo Bi >> Zanedbatelný vnější konvektivní odpo. Dominance vnitřního konduktivního temického odpou. Případy: Opačné případy než v předchozím případě, tj.: tělesa: s velkým chaakteistickým ozměem s nízkou tepelnou vodivostí (např. kovy. s vysokým součinitelem přestupu tepla α (např. kondenzující páa Přenos tepla přehled základních ovnic

26 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze eplota povchu stěny S se v tomto případě liší od teploty postředí f elativně málo ; v mezním případě f S (okajová podmínka I. duhu pakticky po Bi > 00. C. emické odpoy stejného řádu Bi Oba temické odpoy jsou téhož řádu ; ani jeden nelze zanedbat. Na povchu se uplatňují okajové podmínky III. duhu. A. Nestacionání vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnitřním temickým odpoem Bi << F. K. ovnice ρ c p t v q (A Integální tva ρ c p dv n q ds t V S eplota tělesa v čase t Po Bi << teplota tělesa a hustota tepelného toku q umístit před integál: ρ c p V α ( f S t (A q nezávisí na souřadnici ; lze i (A 3 Po integaci s počáteční podmínkou: teplota tělesa (t 0 0 : ( t f 0 f α S exp ρ c p V t (A 4 epelný tok povchem tělesa S a objemu V v čase t ( ( t S Q & ( t α f (A 5 Celkové množství tepla převedeného povchem tělesa za dobu t t S Q Q & α ( t dt ρ c t p V ( 0 f exp ρ c p V 0 Q ρ c p V ( 0 ( t (A 6 f teplota postředí, c p měná tepelná kapacita, ρ - hustota. Přenos tepla přehled základních ovnic

27 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze B. Nestacionání vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnějším temickým odpoem Bi >> Fouieova ovnice t (B a ρ c p B. Poloneomezené postředí (polomasiv Skoková změna teploty OP I.duhu Počáteční podmínka (t,x (t 0, 0 x < 0 Okajové podmínky OP: teplota stěny (t > 0, x 0 S OP: teplota polomasivu (t > 0, x 0 Nestacionání teplotní pofil 0 S 0 ef ( η efc( η (B bezozměná polohová souřadnice η : η x a t (B ef (x Gaussův integál chyb efc(x komplementání funkce Gaussova integálu chyb ef(x ; ef(x efc(x. eplotní gadient x ( S exp( η 0 π a t (B 3 Hustota tepelného toku na povchu poloneomezeného postředí qx x ( S 0 ( S 0 x 0 π a t δ (B 4 δ penetační hloubka konduktivního přenosu tepla. Celkové množství tepla převedeného do postředí plochou S za čas t t Q S qxdt ( S 0 S t ( S 0 S t 0 π a δ (B 5 Přenos tepla přehled základních ovnic 3

28 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Penetační hloubka konduktivního přenosu tepla δ π a t (B 6 Intepetace: Za dobu t od okamžiku teplotního skoku na povchu z 0 na S dojde v penetační hloubce δ k elativnímu zvýšení teplotní difeence o % ( 0,. Použití po konečná tělesa Závislost platnou po nestacionání vedení tepla v poloneomezeném postředí lze s dostatečnou přesností použít i po konečná tělesa s chaakteistickým ozměem L, pokud Fouieovo číslo Fo a.t/l < 0,04 (δ << L. Gaf funkce ef(x, efc(x abulka funkce ef(x Přenos tepla přehled základních ovnic 4

29 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C. Nestacionání vedení tepla v tělesech s temickými odpoy stejného řádu Bi Fouieova ovnice C. Poloneomezené postředí C. Neomezená deska C3. Neomezený válec C4. Koule C5. D a 3D tělesa t ρ c (C p a C. Poloneomezené postředí (polomasiv Skoková změna teploty OP III.duhu Počáteční podmínka (t,x (t 0, 0 x < 0 Okajové podmínky OP: OP III.duhu OP: teplota polomasivu (t > 0, x 0 Nestacionání teplotní pofil * f ( Bix, Fo* Bi * efc x exp( Bi Fo * v gafické fomě viz. ob. x Fo* efc Fo * Bix Fo * (C bezozměná teplota Biotovo číslo Fouieovo číslo f * f 0 α x Bi x Fo* a t a t L fikt / ( α (C (C 3 (C 4 x souřadnice (počátek souřadného systému na povchu polomasívu, f teplota postředí, 0 počáteční teplota poloneomezeného postředí, α součinitel přestupu tepla, efc(x komplementání funkce Gaussova integálu chyb ef(x ; ef(x efc(x. Přenos tepla přehled základních ovnic 5

30 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze eplota na povchu poloneomezeného postředí x 0 Bi x 0 * exp( Bi efc( Fo * x (C 5 Použití po konečná tělesa Vztahy po poloneomezené postředí platí přesně také po poloneomezené tyče nekonečné délky libovolného avšak konstantního půřezu s tepelně izolovaným povchem. Přenos tepla přehled základních ovnic 6

31 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C. Neomezená deska POZO počátek souřadného systému v ose desky H polovina tloušťky desky Skoková změna teploty OP III.duhu Počáteční podmínka (t, x (t 0, -H x < H 0 Okajové podmínky OP III.duhu Nestacionání teplotní pofil v desce tloušťky H * f ( x*, Fo, Bi ; v gafické fomě viz. ob. (C bezozměná teplota * f f 0 f f 0 (C bezozměná souřadnice polohy Fouieovo číslo Biotovo číslo x * x H a t Fo H α H Bi x souřadnice (počátek souřadného systému v ose desky, H tloušťka poloviny desky ; ( tloušťka desky H, f teplota postředí, 0 počáteční teplota neomezené desky, α součinitel přestupu tepla. (C (C 3 (C 4 Hustota tepelného toku na m povchu q α ( f S S f(t, kteá se vypočte z *(x*, Fo, Bi (C 5 Okajová podmínka I. duhu - teplota stěny S konst. OP. I.duhu : α /Bi 0 ; teplotní pofil * f (x*, Fo z gafu po /Bi 0. Přenos tepla přehled základních ovnic 7

32 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze * Neomezená deska povch desky * Neomezená deska osa desky Neomezená deska Přenos tepla přehled základních ovnic 8

33 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C3. Neomezený válec Skoková změna teploty OP III.duhu Počáteční podmínka (t, (t 0, 0 0 Okajové podmínky OP III.duhu Nestacionání teplotní pofil ve válci o poloměu * f ( *, Fo, Bi ; v gafické fomě viz. ob. (C3 bezozměná teplota f f * 0 f f 0 (C3 bezozměná souřadnice polohy Fouieovo číslo Biotovo číslo * Fo a t α Bi polomě (počátek souřadného systému v ose válce, polomě neomezeného válce, f teplota postředí, 0 počáteční teplota neomezeného válce, α součinitel přestupu tepla. (C3 (C3 3 (C3 4 Hustota tepelného toku na m povchu q α ( f S S f(t, kteá se vypočte z *(*, Fo, Bi (C3 5 Okajová podmínka I. duhu - teplota povchu S konst. OP. I.duhu : α /Bi 0 ; teplotní pofil * f (*, Fo z gafu po /Bi 0. Přenos tepla přehled základních ovnic 9

34 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze * Neomezený válec povch válce * Neomezený válec osa válce Neomezený válec Přenos tepla přehled základních ovnic 0

35 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C4. Koule Skoková změna teploty OP III.duhu Počáteční podmínka (t, (t 0, 0 0 Okajové podmínky OP III.duhu Nestacionání teplotní pofil v kouli o poloměu * f ( *, Fo, Bi ; v gafické fomě viz. ob. (C4 bezozměná teplota f f * 0 f f 0 (C4 bezozměná souřadnice polohy Fouieovo číslo Biotovo číslo * Fo a t α Bi polomě (počátek souřadného systému ve středu koule, polomě koule, f teplota postředí, 0 počáteční teplota koule, α součinitel přestupu tepla. (C4 (C4 3 (C4 4 Hustota tepelného toku na m povchu q α ( f S S f(t, kteá se vypočte z *(*, Fo, Bi (C3 5 Okajová podmínka I. duhu - teplota povchu S konst. OP. I.duhu : α /Bi 0 ; teplotní pofil * f (*, Fo z gafu po /Bi 0. Přenos tepla přehled základních ovnic

36 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Koule Přenos tepla přehled základních ovnic

37 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C4. D a 3D tělesa Základní jednoozměná pole označení * poloneomezené postředí P( x i (C4 * neomezená deska D( x j (C4 * neomezený válec V ( (C4 3 Newtonův multiplikativni pincip(936 ěleso konečného ozměu půnik elementáních případů Př. Konečný válec půnik nekonečného válce a neomezené desky eplotní pofil konečného válce: * (, x V ( D( x (C4 5 Platnost ento pincip v zásadě vzato platí po okajové podmínky II. nebo III. duhu esp. II. duhu po izolované stěny. Na potilehlých povších musí být hodnoty Biotova čísla Bi shodné, mohou se však lišit na povších sousedních. adek Šulc 00 Přenos tepla přehled základních ovnic 3

38 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze VII. Nucená konvekce Fouie Kichhoffova ovnice ρ c p ρ c p u µ d t : (g d Q& (VII Stacionání děj, bez vnitřního zdoje, se zanedbatelnou viskózní disipací (VII ρ c p u. Inspekční analýza F.K. ovnice Bezozměná kitéia Pécletovo číslo pomě ychlosti konvektivního a konduktivního přenosu tepla. ρ c p u u L Pe e P a (VII 3 u L a e P ychlost poudící tekutiny, chaakteistický ozmě teplotní vodivost tělesa, eynoldsovo číslo, Pandtlovo číslo. Pandtlovo číslo vyjadřuje míu podobnosti mezi ychlostním a teplotním polem. ν P, a (VII 4 ν kinematická viskosita, a teplotová vodivost. Nusseltovo číslo pomě ychlosti přestupu tepla mezifázovou plochou ku ychlosti konduktivního přenosu tepla. α S / V Nu α / L / L α L, (VII 5 α součinitel přestupu tepla, L chaakteistický ozmě, tepelná vodivost tekutiny ( nikoli postředí jako u Biotova čísla. Přenos tepla přehled základních ovnic 3

39 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Gaetzovo číslo Gz ρ c p u S L Pe L / D, (VII 6. Nucená konvekce Nu f (e, P (VII 7 A. Paalelní obtékání ovinné desky OP I. duhu OP I. duhu teplota stěny S konst. A. Laminání oblast Lokální součinitel přestupu tepla α x Nu x Nux e x / / 3 0,33 e x P α x x u x ν (A (A (A 3 Střední součinitel přestupu tepla α N u / / 3 0,664 el P α L Nu e L u L ν (A 4 (A 5 (A 6 Platnost: 0 4 < e L < , < P < 000 Přenos tepla přehled základních ovnic 3

40 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze A. ubulentní oblast Lokální součinitel přestupu tepla α x Nu x 0,034 0,8 e x P Nu x dle (A, e x dle (A 3. (A Střední součinitel přestupu tepla α N u 0,0405 0,8 el P (A N u dle (A 5, e L dle (A 6. Platnost: < e L < 0 7 A3. Symboly α x lokální hodnota součinitele přestupu tepla ve vzdálenosti x od náběžné hany, α střední hodnota součinitele přestupu tepla na desce délky L, x vzdálenost od náběžné hany desky, L délka desky, u ychlost nabíhajícího poudu, S teplota povchu desky teplota nabíhajícího poudu, stř střední teplota ; stř ( S /. tepelná vodivost tekutiny, ν kinematická vodivost. Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při střední teplotě stř. B. Paalelní obtékání ovinné desky OP II. duhu OP II. duhu hustota tepelného toku q konst. Lokální součinitel přestupu tepla α x Nu x / / 3 0,454 e x P Nu x dle (A, e x dle (A 3. (B Střední součinitel přestupu tepla α N u / / 3 0,908 el P N u dle (A 5, e L dle (A 6. (B Přenos tepla přehled základních ovnic 3 3

41 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze C. Obtékání válce Střední součinitel přestupu tepla α Keith, Black(980 N u C / 3 C e P α D Nu u D e ν (C (C (C 3 D půmě válce. Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při střední teplotě st. e C C 0,4 4 0,989 0, ,9 0, ,683 0, ,93 0, ,066 0,805 Whitake(97 / / 3 0,4 ( µ 0,4 e 0,06 e P 4 µ S Nu (C 4 N u dle (C, e dle (C 3, µ S dynamická viskozita při teplotě stěny S. Platnost: < e < 0 5 0,67 < P < 300 Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při teplotě. Koekční fakto espektuje vliv teplotních difeencí mezi stěnou a nabíhajícím poudem. µ / µ S Přenos tepla přehled základních ovnic 3 4

42 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze D. Obtékání koule Střední součinitel přestupu tepla α Whitake(97 / / 3 0,4 ( µ 0,4 e 0,06 e P 4 µ S Nu (D N u dle (C, e dle (C 3, µ S dynamická viskozita při teplotě stěny S. Platnost: 3,5 < e < 7, ,7 < P < 380 Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při teplotě. Koekční fakto espektuje vliv teplotních difeencí mezi stěnou a nabíhajícím poudem. µ / µ S E. Poudění v tubce OP I. duhu teplota stěny S konst. E. Laminání oblast e < 300 Leveque Hausen Nu / 3 Pe / 3,65,65Gz Gz < 33 L / D 0,0668Gz Nu 3,66 0, < Gz < 000 / 3 0,04 Gz (E (E velmi dlouhé tubky N u 3,657 < Gz (E 3 E. ubulentní oblast e > 300 Colbun (analogie mezi přenosem hybnosti a přenosem tepla N u 0,8 / 3 0,03 e P N u dle (C, e dle (C 3. (E Platnost: < e < 0 6 0,7 < P < 60 hydaulicky hladké tubky ; L/D > 60. Přenos tepla přehled základních ovnic 3 5

43 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při střední teplotě stř. Whitake(97 N u 0,83 0,4 0,05 e P N u dle (C, e dle (C 3. (E Platnost:,3.0 3 < e < 0 5 0,48 < P < 59 Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při teplotě stř. F. Aplikace - výměník Změna entalpie tekutiny za jednotku času v důsledku přivedeného nebo odvedeného tepelného toku Q & H& Q& m& c p, (F m& c p hmotnostní tok tekutiny za jednotku času, střední měná tepelná kapacita tekutiny, difeence středních kaloimetických teplot na vstupu a výstupu do kontolního objemu. Změna entalpie tekutiny za jednotku času v důsledku přivedeného nebo odvedeného tepelného toku Q & při vau esp. kondenzaci m& h výp výp H& Q& (F m& h, hmotnostní tok zkondenzované esp. odpařené tekutiny za jednotku času, výpané teplo na jednotku hmotnosti tekutiny ; kondenzační teplo Přivedený nebo odvedený tepelný tok Q & přes hanici kontolního objemu Q & k S ln, (F 3 k součinitel postupu tepla, S teplosměnná plocha, střední logaitmická teplotní difeence. ln Přenos tepla přehled základních ovnic 3 6

44 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze Střední logaitmická teplotní difeence ln, ln (F 4 ozdíl teplot hoké a studené stany výměníku na jedné čelní staně, ozdíl teplot hoké a studené stany výměníku na duhé čelní staně. Př. Potipoudý výměník HS CHS HS CHS HS HS teplota tekutiny na hoké staně výměníku na vstupu do výměníku, teplota tekutiny na hoké staně výměníku na výstupu z výměníku, CHS teplota tekutiny na chladné staně výměníku na vstupu do výměníku, CHS teplota tekutiny na chladné staně výměníku na výstupu z výměníku. Přenos tepla přehled základních ovnic 3 7

45 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze VIII. Přiozená konvekce Přiozená konvekce vzniká v poli objemových sil v tekutině s nehomogenním teplotním polem simultánní řešení Navie Stokesovy a Fouie Kichhoffovy ovnice: Stacionání děj, bez vnitřního zdoje, se zanedbatelnou viskózní disipací N. S. ovnice F. K. ovnice ρ u u p µ u ρ g (VIII ρ c p u (VIII. Inspekční analýza Bezozměná kitéia Gashofovo číslo pomě sil temického vztlaku (vztlaku vyvolaného nehomogenním teplotním polem a sil setvačných. 3 g γ L ( G S ν g gavitační zychlení, S teplota povchu stěny, teplota tekutiny mimo teplotní mezní vstvu, L chaakteistický ozmě γ součinitel teplotní objemové oztažnosti, ν kinematická viskosita, (VIII 3 ayleighovo číslo a 3 g γ L ( S ν a G P, (VIII 4 Součinitel teplotní objemové oztažnosti v γ, v p (VIII 5 v měný objem, (v/ p difeenciální kvocient. Ideální plyny: γ /, teplota plynu (K. Přenos tepla přehled základních ovnic 3 8

46 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze. Přiozená konvekce Nu f ( G,P g( a (VIII 6 3. Vybané geometie Nu m C a (VIII 6 Keith, Black(980 Geometie a C m Pozn. < 0 4 viz skipta Vetikální stěny ,59 /4 a válce výšky L ,0 /5 Integ. bilance Hoizontální válce vnější půmě D L D , /3 Expeiment < 0 4 viz skipta ,53 / ,3 /3 Hodnoty temofyzikálních vlastností se učí při střední teplotě stř. Přenos tepla přehled základních ovnic 3 9

47 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze IX. Přenos tepla při vau čistých kapalin Va ve velkém objemu Hustota tepelného toku q α va SA, (IX SA S SA, (IX α va součinitel přestupu tepla na výhřevné ploše, SA teplotní difeence, S teplota stěny, teplota vau kapaliny na výhřevné ploše. SA Součinitel přenosu tepla při vau α va Bublinkový va 0,69 0,7 (IX 3 α va 0,495 p k q F( p, 0,7 / 0 F( p,8 p 4 p 0 p, (IX 4 p psa / pk, (IX 5 α va součinitel přestupu tepla [W/m.K], q hustota tepelného toku [W/m ], p k kitický tlak [MPa], p SA tlak sytých pa při teplotě SA (tlak kapaliny na výhřevné ploše [MPa], p edukovaný tlak [-]. Kitická hustota tepelného toku q k Návhové podmínky: q < q k ; SA < ( SA k Kapalina ( SA k [K] q k [kw/m] Benzen Etanol Metanol Butanol Voda Přenos tepla přehled základních ovnic 3 0

48 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze X. Přenos tepla zářením. Sdílení tepla zářením v uzavřené soustavě Přenos tepla zářením mezi dvěma šedými tělesy z nichž jedno je zcela obklopeno duhým. Předpoklady: Uzavřená soustava je tvořena dvěma nestejně velkými plochami, z nichž větší plocha S o teplotě zcela obklopuje menší plochu S o teplotě. Půteplivé postředí mezi povchy. Nepůteplivá tělesa. epelný tok zářením mezi oběma plochami 4 4 ( ( Q & s, ε, σ S, ε, S ε S ε, (X (X ε, součinitel vzájemné poměné zářivosti obou ploch, ε poměná zářivost (emisivita povchu tělesa, ε poměná zářivost (emisivita povchu tělesa, σ (s Stefan Boltzmannova konstanta σ (s 5, W/m.K 4. Hustota tepelného toku na povchu tělesa tělesa : q Q&,, tělesa : S q &, Q S (X 3 Limitní případ ovnoběžné neomezené desky S S ε, ε ε (X 4 Přenos tepla přehled základních ovnic 3

49 U8 - Ústav pocesní a zpacovatelské techniky FS ČVU v Paze. Poměná zářivost (emisivita vybaných mateiálů Mateiál povchu tělesa ( C ε Ocel leštěná ,4 0,38 Ocel oxidovaná ,73 0,8 Ocel silně zezivělá ,94 0,97 Leštěný hliník 5 0,04 Leštěný chom ,08 0,36 Leštěná měď 0 0,03 Měď oxidovaná 30 0,76 Lakovaný povch (bílý i čený ,8 0,95 Sklo 90 0,88 Dřevo 70 0,9 Cihly čevené 40 0,93 adek Šulc 00 Přenos tepla přehled základních ovnic 3