přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme rozhodnout, teré týmy budou v turnaji hrát proti sobě, nebo chceme rozdat něoli druhů cen mezi účastníy závodu Řešením těchto úloh se zabývá ombinatoria Kombinatoria je tedy obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé -tice prvů, de je přirozené číslo S náznay ombinatoriy se setáváme již u starořecých matematiů Počáty hlubšího studia otáze spojených s ombinatoriou vša spadají do období 6 století Zájem o ombinatoriu podnítily v té době různé hazardní hry, napřílad vrchcáby neboli hra v osty Matematici se začali zabývat otázami, jaá možná sesupení mohou nastat při házení určitého počtu hracích oste, jaé jsou pravděpodobnosti výher, později i jinými otázami, a ta se postupně vyvíjel obor, terý v současné době nalézá uplatnění v teorii pravděpodobnosti, v teorii informací, ve statistice a v dalších oborech Záladními větami ombinatoriy jsou tzv ombinatoricé pravidlo součtu a ombinatoricé pravidlo součinu: Věta (pravidlo součinu): Počet všech uspořádaných -tic (dvojic, trojic,), jejichž první člen lze vybrat n způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n způsoby atd až -tý člen po výběru všech předcházejících členů n způsoby, je roven n n n Přílad: Při cestě z Ostravy do Tábora (přes Prahu) lze použít tyto dopravní prostředy: Ostrava - Praha: autobus, vla, letadlo, auto Praha - Tábor: autobus, vla, auto Kolia možnými způsoby se dostaneme z Ostravy do Tábora? Řešení: Je zřejmé, že z Ostravy se do Prahy dostaneme pomocí dopravních prostředů a z Prahy do Tábora lze využít možností Ke aždé cestě do Prahy máme možnosti v poračování Je tedy celem = možností, ja cestovat z Ostravy do Prahy
Poznáma: Kombinatoricé pravidlo součinu můžeme použít taé v případě, dy něolirát (-rát) opaujeme výběr z určitých prvů a zajímá nás, oli různých pořadí může vzninout Např dyž házíme mincí, jde o opaovaný výběr ze dvou prvů (orel, panna) Po třech hodech může vninout = 8 různých výsledů Věta (pravidlo součtu): Mějme onečné množiny A, A,, A, teré mají po řadě n, n,, n prvů Jsou-li aždé dvě množiny navzájem disjuntní, tzn neobsahují žádný společný prve, pa počet prvů množiny AÈ AÈK A je roven n + n+k n Přílad: Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje nejvýše jednou Řešení: Všechna přirozená dvojciferná čísla můžeme rozdělit do dvou disjuntních supin ta, že v první jsou dvojciferná čísla s různými číslicemi a ve druhé dvojciferná čísla se stejnými číslicemi Počet všech dvojciferných čísel je 90, počet dvojciferných čísel se stejnými číslicemi je 9 (jsou to čísla,,, 99) Označíme-li hledaný počet dvojciferných čísel s různými číslicemi x, pa platí:x + 9 = 90 Odtud dostáváme, že x = 8 Kombinatoria tedy zoumá supiny (podmnožiny) prvů vybraných z jisté záladní množiny Nejdříve si ujasníme, s jaými výběry se v praxi můžeme setat Prvním ritériem je uspořádanost výběru: Uspořádaný výběr (variace) - záleží na pořadí prvů Napřílad: Koli trojciferných čísel můžeme sestavit z cifer ; ; 8? Číslo 8 a 8 považujeme za různé výběry => záleží na pořadí cifer Neuspořádaný výběr (ombinace) - nezáleží na pořadí prvů Napřílad: Koli je možností při vsázení Sporty? Vždy zašrtnu 7 čísel ze 9, ale volba {; 5; 5; ; ; 9; } je shodná z volbou {; 5; 5; ; ; 9; } => nezáleží na pořadí v jaém čísla šrtám Druhým ritériem je, zda se prvy po výběru do původní množiny vracejí či nioliv Podle toho výběry rozlišujeme na: Výběry s opaováním - vybraný prve se vrací do původní množiny
Napřílad: Z cifer {;} můžeme sestavit tato dvojciferná čísla {; ; ; } V se opauje prve - po prvním výběru se vrátila do množiny možných cifer Výběry bez opaování - vybraný prve se nevrací do původní množiny Napřílad: Kolia způsoby lze seřadit 8 sprinterů na startovní čáru Po výběru prvního sprintera už budeme dalšího vybírat pouze ze 7 (vybraného již nemůžeme použít), atd Matematicy je jednodušší popis výběru s opaováním, avša v praxi se častěji setáváme s výběry bez opaování (test není možno opaovat se stejným vzorem, např tažnost truby lze testovat pouze jednou, pro další test se musí použít další truba) ) VARIACE bez opaování Definice: -členná variace z n prvů ( 0 < n ) je uspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše jednou Značíme ji (n) - variační číslo V Věta : Počet variací V (n) V ( n) = n ( n-) ( n- ) ( n- + ) = ( n- )! Poznáma: Symbol n! čteme "n fatoriál" a pro aždé přirozené číslo n definujeme: n! = ( n-) n a 0=! Přílad: Členové správní rady hoejového lubu volí prezidenta, viceprezidenta a revizora účtů lubu Určete, oli existuje způsobů, ja mohou být tyto funce obsazeny, víme-li, že členů rady je 8, do funcí lze volit pouze členy správní rady a žádný člen nemůže zastávat více než jednu funci Řešení: Máme dvě možnosti řešení: a) Pomocí ombinatoricého pravidla součinu: Předpoládejme, že nejdříve se volí prezident lubu Je zřejmé, že budeme vybírat z 8 Následuje volba viceprezidenta Počet možností, ja ji provést, je již 7 (prezident už tuto funci vyonávat nemůže) Při poslední volbě revizora připadá do úvahy 6 možných andidátů => možností je celem: 8 7 6= 6 b) Uvědomíme si, že vlastně vybíráme trojici (=) z 8 lidí (n=8) Lidé se nemohou opaovat (jedna osoba nemůže zastávat více funcí) a záleží na tom, v jaém pořadí vybíráme (není jedno, zda jsem prezident nebo viceprezident) => záleží na pořadí a prvy se neopaují => jde o tříčlenné variace z osmi prvů bez opaování 8! 8 7 Máme tedy V (8) = = = 8 7 6= 6 možností, ja obsadit funce (8- )! 5 ) PERMUTACE bez opaování
Permutace je zvláštní případ variace, de = n To znamená, že ze zadaných prvů postupně vybereme všechny Každá permutace tedy odpovídá nějaému pořadí zadaných prvů: aždý prve se v pořadí musí objevit, ale žádný tam nemůže být dvarát U permutací tedy v podstatě nejde o výběr, ale o různá uspořádání dané množiny Definice: Permutace z n prvů je uspořádaná n-tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje právě jednou Značíme ji P (n) Věta : Počet permutací P (n) P( n) = Vn ( n) = = = ( n- n)! 0! Přílad: Kolia způsoby lze seřadit 8 sprinterů na startovní čáru? Řešení: Tvoříme osmice z 8 (=8, n=8), záleží na pořadí a jeden sprinter nemůže být na dvou pozicích (prvy se neopaují) => variace bez opaování, de = n, tj hledáme počet permutací z 8 prvů Existuje tedy P ( 8) = 8! = 00 možností, ja seřadit 8 sprinterů na startovní čáru ) VARIACE s opaováním Definice: -členná variace s opaováním z n prvů je uspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše -rát Značíme ji V Věta : Počet variací s opaováním V V ) = ( n n Poznáma: Poaždé vybírám ze všech prvů a podle ombinatoricého pravidla součinu tedy existuje n n n (celem se n opauje -rát) Přílad: Určete, oli čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer,, a oli jich je menších než 000 Řešení: V prvním případě hledám čtveřice ze tří prvů (musí se opaovat) a číslo není stejné s číslem (záleží na pořadí) => variace s opaováním (=, n=) Počet všech čtyřciferných přirozených čísel je: V () = 8 = Pro určení, oli z těchto 8 čísel je menších ja 000 si stačí uvědomit, že na pozici tisíců může být pouze nebo (máme možnosti) a pa už hledáme trojice ze všech prvů (poaždé možnosti) => použitím pravidla o součinu dostáváme: V () = 5 čísel =
) PERMUTACE s opaováním Definice: Permutace s opaováním je uspořádaná n-tice z různých prvů, v níž se aždý prve ni -rát opauje ( i =,, ) Značíme ji P n,, n Věta : Počet permutací s opaováním P n,, n = n! n! n! Poznáma: Počet opaování jednotlivých prvů označujeme n,, n a musí platit, že n + + n = n Přílad: Určete, olia způsoby je možné srovnat do řady šedé, modré a černé osty Řešení: Máme prvy (šedá, modrá a černá osta), de první prve se vysytuje -rát ( n = ), druhý -rát ( n = ) a třetí -rát ( n = ), tj máme celem 9 prvů (n=9) Musíme použít všechny, tzn budeme sestavovat 9-tice z 9 - záleží na pořadí a musí se opaovat 9! Existuje P,, = = 60 způsobů, ja dané osty srovnat do řady!!! 5) KOMBINACE bez opaování Definice: -členná ombinace z n prvů ( n ) je neuspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše jednou Značíme ji (n) - ombinační číslo C Věta : Počet ombinací C (n) æ nö C ( n) = ç = èø ( n- )!! æ nö Poznáma: ç tedy nazýváme ombinační číslo a čteme n nad èø ænö ænö æn ö æ nö æ n ö Platí: ç = ç =, ç = n a ç = ç è0ø ènø èø èø èn- ø Přílad: Na výtah, do něhož můžou nastoupit nejvýše osoby, čeá 6 osob 5
a) Koli je možností, ja vybrat osoby, teří pojedou? b) Koli je možností, ja vybrat osoby, teré nepojedou? Řešení: a) Tvoříme dvojice ze šesti prvů, přičemž nezáleží na pořadí (Mire s Janou je to samé co Jana s Mirem) a nemohou se opaovat => ombinace bez opaování (n=6 a =) æ6ö 6! 6 5! Máme celem C (6) = ç = = = 5 možností, ja mohou lidé nastoupit èø (6- )!!! b) Vybíráme čtveřice ze 6 osob (= a n=6) - opět nezáleží na pořadí a osoby se nemohou opaovat: æ6ö 6! 6 5! Máme celem C (6) = ç = = = 5 možností, ja vybrat osoby, teré èø (6- )!!!! nenastoupí Je vidět, že počet možností, ja vybrat, teří pojedou je stejný jao počet možností, ja æ nö æ n ö vybrat, teří zůstanou čeat (ilustruje platnost vlastnosti ç = ç ) èø èn- ø 6) KOMBINACE s opaováním Definice: -členná ombinace s opaováním z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše -rát Značíme ji C Věta : Počet ombinací C æn+ -ö ( n+ -)! C ( n) = ç = è ø ( n-)!! Přílad: V curárně prodávají čtyři druhy záusů Kolia způsoby lze naoupit 8 záusů? Řešení: Nezáleží na pořadí a prvy se musí opaovat => 8-členné ombinace ze prvů s opaováním æ+ 8-ö! 0 9 8! Existuje C 8 () = ç = = = 65 možností, ja záusy vybereme è 8 ø!8! 6 8! 6
Shrnutí: 7