Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Kinetická teorie plynu, která prní poloině 9.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenoenologickou terodynaiku s echanikou, poažuje plyn za soustau elkého počtu nepatrných hotných částic olekul, které jsou neustálé pohybu (tz. neuspořádaný pohyb, a poocí echanických lastností těchto částic (jejich hotnosti, rychlosti, hybnosti, echanické energie ysětluje terodynaické eličiny plynu (tlak a teplotu plynu, jeho nitřní energii, a také poje tepelné energie. ejjednodušší je aplikace kinetické teorie na ideální plyn, jehož choání jse popsali inulé otázce. Zopakuje si jeho základní lastnost že olekuly tohoto plynu na sebe zájeně nepůsobí žádnýi silai (případně je ožno dodat kroě nepatrných okažiků zájených pružných srážek olekul. Důsledke nuloých sil ezi olekulai ideálního plynu je poto také nuloá potenciální energie každé olekuly (neboť tato energie je stanoena prací působící síly, jak je znáo z echaniky. Z toho dále plyne, že celkoá echanická energie (každé olekuly je tedy tořena pouze její energií kinetickou, a že nitřní energie plynu jako součet šech energií šech jeho olekul je pak dána celkoou kinetickou energií těchto olekul. Pro axiální ožné zjednodušení budee ještě naíc předpokládat, že olekuly plynu jsou prakticky hotné body pak totiž ůžee zanedbat rotační pohyb olekuly a saozřejě i energii tohoto pohybu. Toto zanedbání bude zřejě eli dobře yhooat pro jednoatooé olekuly (He, e, Ar, a také například pro plazatu běžně se yskytující ionizoané atoy, jejichž lastní oent setračnosti je jistě zanedbatelně alý. U ětších olekul, skládajících se ze dou a íce atoů pak oše bude nutno započítat i kinetickou energii rotace olekuly, případně i energii jejích kitů. euspořádaný pohyb olekul plynu a jejich stále probíhající zájené srážky (a saozřejě i srážky se stěnai nádoby ede k tou, že okažité rychlosti olekul jejich sěry i elikosti se neustále ění. Jistě si uíe předstait, jak se nějaká ybraná olekula po několika hodných srážkách téěř zastaí, nebo jak naopak dojde k nohonásobnéu zýšení její rychlosti (i když jsou to éně praděpodobné situace, proto ůžee předpokládat, že jakékoli čase ají olekuly plynu různé rychlosti celé interalu ožných elikostí tj. od nuly do nekonečna. Z důodu obroského počtu částic (řádu Aogadroa čísla není oše ožno sledoat pohyb každé částice a určoat její rychlost, případně její polohu. Přito rychlosti částic určitě záisejí i na celkoé stau plynu například při zahříání se jistě zyšuje podíl rychlejších částic. Metodai ateatické statistiky se podařilo r. 85 Maxwelloi (Jaes Clerk Maxwell stanoit tz. rozdělení rychlostí (jednoatooých olekul ideálního plynu e stau terodynaické ronoáhy : Pro počet d olekul {z celkoého počtu, které ají elikosti sých rychlostí zadané interalu (, + d platí : d 4 kt e kt d ( je hotnost jedné olekuly, k je Boltzannoa konstanta a T je absolutní teplota.
Podíl obou diferenciálů, který á sysl počtu částic jednotkoé interalu rychlostí ( ístě dané rychlosti - lze také použít terín hustota částic na ose rychlostí - se pak označuje jako rozděloací funkce : f d d Maxwelloa rozděloací funkce 4 e kt kt f( Pro celý soubor částic (olekul plynu je pak ožno ypočítat střední rychlost olekul aritetický průěr z rychlostí šech olekul : jako s Za použití rozděloací funkce lze přeést tento součet jako ážený aritetický průěr na určitý integrál přes celý obor rychlostí a relatině lehce ypočítat (jde o tz. Laplaceů integrál : d f d 8 k T střední rychlost olekul Také se počítá střední kadratická rychlost olekul jako aritetický průěr ze šech kadrátů jednotliých rychlostí olekul :... f d kt střední kadratická rychlost
Její odocnina se pak nazýá efektiní rychlost : kt ef efektiní rychlost Je zajíaé, že obě tyto rychlosti se příliš neliší (asi o % od tz. nejpraděpodobnější rychlosti, která určuje polohu axia rozděloací funkce (iz obr : kt P nejpraděpodobnější rychlost Fyzikálně nejdůležitější je efektiní, či střední kadratická rychlost, protože se použíá pro ýpočet střední energie jedné olekuly : ef kt Po ykrácení dostááe jeden ze zásadních ýsledků kinetické teorie, totiž že střední energie olekuly ideálního plynu nezáisí na hotnosti plynu, tj. na druhu plynu : k T střední energie jedné olekuly A celkoá kinetická energie šech částic (olekul dohroady bude : E kin k T Jestliže yjádříe počet částic poocí látkoého nožstí a použijee definice unierzální plynoé konstanty R, tj. : A R A k Poto dostanee : E kin A k T R T Protože ideální plyn neá žádnou potenciální energii, toří nái ypočítaná kinetická energie eškerou nitřní energii U plynu : U Ekin R T nitřní energie ideálního plynu
Poznáka : Pro reálný plyn by nitřní energie byla oše určena oběa složkai energie : U E kin E pot Vidíe, že nitřní energie ideálního plynu je funkcí dou staoých eličin teploty a látkoého nožstí : U U,T A tedy při zadané konstantní nožstí plynu je nitřní energie dána pouze teplotou plynu, což nás přiádí k určení ýznau teploty jako fyzikální eličiny: Teplota je írou kinetické energie neuspořádaného pohybu částic látky za stau terodynaické ronoáhy (u ideálního plynu je přío úěrná celkoé energii. Teplota je staoá eličina, která charakterizuje ronoážný sta celé terodynaické soustay (jako celku, tz. akrosta, unitř soustay jsou pak ikrostay jednotliých částic. Podínka terodynaické ronoáhy je saozřejě eli oezující, proto se e fyzice definuje teplota i při tz. lokální terodynaické ronoáze ( dané ístě soustay. Poznáka : Přesto šak někdy teplota neexistuje, např. elektrický ýboj zářice je typický silně neronoážný systée: elektrony ají teplotu 5 K, ionty a olekuly pouze 5 K, nelze pak stanoit celkoou teplotu Vraťe se zpět k nitřní energii : Protože je nitřní energie jednoznačně určena staoýi eličinai teplotou a látkoý nožstí je saa také jednoznačně přiřazena danéu stau - a je ji proto ožno roněž poažoat za staoou eličinu (idíe oše určitý rozdíl, proto se někdy staoé eličiny rozlišují na staoé proěnné a staoé funkce, případně terodynaické potenciály. Jestliže se ná podařilo určit přesný funkční ztah pro nitřní energii, ůžee nyní ypočítat její nekonečně alý přírůstek (zěnu, tz. úplný diferenciál, jako ateatický diferenciál funkce dou proěnných : (,T U d U T dt Při dané nožstí plynu pak jednodušeji : (T dt dt R dt Dále ůžee určit celkoou zěnu nitřní energie - při nějaké terodynaické procesu např. při přechodu ze stau (určeného staoýi eličinai p, V, T, do stau (p, V, T, : U R dt R dt R T T T T 4
Po roznásobení idíe, že zěna nitřní energie je jednoduše dána rozdíle nitřních energií počáteční a koncoé stau : U R T R T U U Terodynaický proces ůžee graficky znázornit jako křiku spojující počáteční a koncoý sta nějaké soustaě souřadnic staoých eličin, např. oblíbené p-v diagrau : p p(v p'(v V Pak ůžee konstatoat, že náš ýpočet zěny nitřní energie při určité terodynaické procesu nezáisí na dráze integrační cestě (křice procesu, ale záisí pouze na počáteční a koncoé stau. Pro da různé procesy (edoucí od. do.stau, tj. pro dě různé křiky p(v a p (V spojující tyto stay, tedy bude platit ronost integrálů : ( p ( p Přeedee na leou stranu a upraíe : ( p ( p ( p ( p A protože se jedná o liboolné da stay a liboolné křiky ezi těito stay, dostááe na leé straně ronice integrál platný pro liboolnou uzařenou křiku : 5
Celkoá zěna nitřní energie je tedy nuloá při jakékoli uzařené integrační cestě (křice tj. při tz. uzařené ( kruhoé terodynaické procesu. Vnitřní energie plynu je tak forálně ateaticky podobná potenciální energii konzeratiní siloé poli. Vnitřní energie se proto řadí ezi tz. terodynaické potenciály a zniklo ná pro ni několik ekialentních podínek : U je staoá eličina existuje úplný diferenciál konst (zěna nitřní energie záisí pouze na počáteční a koncoé stau. (při uzařené procesu se nitřní energie nezění Tyto ztahy jsou teoreticky eli užitečné a uožňují jednoznačné a pohodlné rozlišení staoých a nestaoých eličin terodynaice, jak uidíe i další kapitole. Pošiněte si také forální podoby s podínkai konzeratinosti siloých polí. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (konec kapitoly K. Rusňák, erze /5 6