STAVEBNÍ STATIKA Ing. Lenka Lausová LH 47/1 tel. 59 73 136 římková a ovinná soustava sil lenka.lausova@vsb.c http://fast1.vsb.c/lausova Základní pojmy: Jednotková kužnice 1) Souřadný systém 1 sin potilehlá odvěsna ku přeponě sin a a - v postou - v ovině + sin cos sin cos+ S b B a sin+ cos sin+ cos+ A cos přilehlá odvěsna ku přeponě tg cotg cos a tg b b b potilehlá ku přilehlé přilehlá ku potilehlé b 1 cotg a tgβ y ) Síla ( nebo F) - vektoová veličina - působiště velikost oientace +
Soustavy sil - přehled Soustavy sil můžeme odělit do následujících skupin: síly působící v jedné přímce ovinný svaek sil obecná soustava sil soustava ovnoběžných sil 3) oklad síly v ovině síla pod úhlem - (k ose ) Možnosti adání velikosti úhlu: Typy řešení silových soustav: Skládání sil 1) Nahaení soustavy sil ) Zušení soustavy sil uvedení do ovnováhy oklad sil Řešení: očetně sestavujeme podmínky ekvivalence nebo ovnováhy Gaficky složkový obaec Znaménková konvence síly působící dopava a dolů jsou kladné moment otáčející poti u chodu hodinových učiček je + + + + A +. sin. cos až 36 + + + až-18 až18 + říklad 1 oklad síly pod úhlem na složky v ose a oložte sílu kn 3 na složky a (ekvivalentně nahaďte sílu silami a ).. sin 1kN. cos 173kN oložte sílu kn 6 na složky a a poovnejte s předchoím příkladem.. sin 173kN. cos 1kN říklad oklad síly pod úhlem α na složky v ose a oložte sílu kn α 3 (úhel k ose ) na složky a a poovnejte s předchoími příklady. α
4) Statický moment síly k bodu 5) Výpočet statického síly k počátku pomocí složek a síla momentový střed - S ameno síly - M S. [Nm knm] S (kolmé ameno) naménko: poti u chodu hod.uč. je + výsledný účinek na těleso je posun a otáčení M. (naménko podle u otáčení okolo bodu) M. -. (odvoeno po I.kvadant platí obecně) říklad 3a říklad 3b - doma a) Učete statický moment dané síly k počátku. 5kN 3 souřadnice působiště 5m 15m - sílu vykeslete v měřítku v souřadném systému. b) Dokažte odměřením amene Vaignonovu větu že statický moment síly na ameni je stejný jako statický moment jejích složek a na příslušných amenech a. Spočtěte přesnou hodnotu amene. c) osuňte sílu do počátku a přidejte moment tak aby účinek na soustavu ůstal achován Výsledky: a) M -775kNm ( ) b) 1415m (kolmé ameno) c) 775kNm 5kN Učete statický moment dané síly k počátku. 5kN 3 souřadnice působiště - 5m 15m. oovnejte s předcháejícím příkladem poč je statický moment větší?
6) Statický moment dvojice sil 7) Výslednice a ovnovážná síla odmínky ekvivalence: (soustava sil je nahaena) dvojice sil - ovnoběžné - opačně oientované - stejně velké Moment dvojice sil: M. [knm] 1. i. i. M i o i. i i. i + M i 3 M výslednice M moment k počátku moment je ke všem bodům v ovině stejný odmínky ovnováhy: i 1. i. (soustava sil je ušena) Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážných sil v ose pomocí Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážných sil v ose pomocí M i o 3. Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážných momentů nebo momentů od ovnovážných sil M i V ovině jsou 3 podmínky ekvivalence a 3 podmínky ovnováhy říklad 5 5.1 Ekvivalentně nahaďte dvě obecně působící síly v ovině: F 1 kn 1 3m 1-3m 1 1 F 4kN -m 1m : a) pomocí M b) pomocí M c) pomocí amene 5. Zušte účinek této obecné soustavy sil ovnovážnou sílu vyjádřete pomocí jejích složek v ose a působícím v počátku. říklad 5.1 b) b) pomocí M (odvodit předešlých výsledků) výslednice 4773kN sin / 4437 M 4 knm + 5.1 a) pomocí M V ovině obecně tři podmínky ekvivalence: 1. i 3338 kn. i 341 kn 3. M i i - i i 4kNm M M M
říklad 5.1 c) c) pomocí amene (odvodit předešlých výsledků) říklad 5. Zušte účinek obecné soustavy sil (přidejte k soustavě ovnovážnou sílu nebo moment) ovnovážnou sílu vyjádřete pomoci složek síly a ovnovážný moment působí v počátku. výslednice 4773 kn 4437 M M. M / 84m Obecně 3 podmínky ovnováhy v ovině: i 1. i. M i o. 3 1. i 1 +. Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážné sily v ose Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážné sily v ose Zušíme účinek soustavy sil pomocí ovnovážného +. i 1 + + ( 1 1 + 1 ) + M 3 M + i o 1 1 M 3338kN ( skut. 341 kn ( skut. M 4kNm( skut. říklad 6 ovinná soustava ovnoběžných sil 1 3 5kN -18kN (síly jsou ovnoběžné s osou není třeba psát inde ) 1 m 6m 3 7m (-ové souřadnice počátku ) 1 4 1 3 a) nahaďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí ) pocháející počátkem a momentem M b) nahaďte soustavu sil poue jedinou silou výslednicí c) učete polohu výslednice vhledem k síle 1 d) učete polohu výslednice vhledem k síle e) učete ovnovážnou sílu (uší účinek soustavy sil) a její polohu vhledem k počátku říklad 6a) 3 1 5kN -18kN - (síly jsou ovnoběžné s osou není třeba psát inde ) 1 m 6m 3 7m a) nahaďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí ) pocháející počátkem a momentem M odmínky ekvivalence: 1. i. i Netřeba počítat všechny síly působí v ose 3. M i o i. i i. i M M 63kNm Výslednéřešení: 8kN
říklad 6b) 3 1 5kN -18kN (síly jsou ovnoběžné s osou ) 1 m 6m 3 7m říklad 6c) 3 1 5kN -18kN - (síly jsou ovnoběžné s osou ) 1 m 6m 3 7m b) nahaďte soustavu sil poue jedinou silou (výslednicí) na ameni k počátku Výslednéřešení: 8kN 8kN 788 m M 63kNm M. M / 788m c) poloha výslednice (ameno 1 ) vhledem k síle 1 omocí Vaignonovy věty: i 18.4 5.5. 1 i. 5 1 875m 8 ovnice sestavena podle ů otáčení sil okolo působiště síly 1. omocí odvoených vtahů: Výslednéřešení: 1 588 m 1 4 1 8kN 1. i 5 18 + 5 8kN( skut.. M i 1 i. i i. i M1 M1 i. i ((5 + ( 18) 4 + 5 5)) 47kNm( ) Nebo: / M1 / M1 1 1 5 875m Tady je potřeba přemýšlet na kteou stanu vykeslit výslednici / / aby působila moment dané velikosti a u. 3 říklad 6d) - úkol 3 1 5kN 18kN 1 3 18 - (síly jsou ovnoběžné s osou ) 1 m 6m 3 7m (-ové souřadnice ) říklad 6e) - úkol 3 1 5kN -18kN - (všechny síly jsou ovnoběžné s osou není potřeba inde u síly) 1 m 6m 3 7m. d) ovnovážná síla a její poloha vhledem k počátku d) polohu výslednice vhledem k síle Vaignonova věta: i i 1 4 3 8 5 4 5 1 5 4 + 18 5 1 1 88m 8 1 + 188 m 8kN + 1 3 1 3 4 1 788 m 8kN 1. i + odmínky ovnováhy:. i + Netřeba počítat všechny síly působí v ose 3. M i i. i ( i. i +. ) oo na naménka místo dosaení do ovnice le počítat podle u působení síly
říklad 7 - síly pocháející společným bodem - úkol Učete výslednici a ovnovážnou sílu ovinného svaku sil. 1 5kN; 3kN; 3 kn; 4 4kN 1 135 ; 1 ; 3 315 ; 4 6 1) Učete složky výslednice. V ovině u papsku sil poue dvě podmínky ekvivalence (součtové silové): 1. i 485 kn. i -719 kn Vykeslete v souřadném systému (vpavo nahoře) ponáte do kteého kvadantu směřuje výslednice. 1 1 3 3 4 4 ) Dopočtěte výslednici akeslete do obáku podívejte se kam výslednice směřuje (do kteého kvadantu) 3) Učete ostý úhel kteý svíá výslednice např. s osou ostý + Výsledky: 498kN 1366 3366 sin / ostý 56337 4) Dopočtěte velikost úhlu od kladného u osy podle u výslednice (příslušného kvadantu) 18-56331366 5) Na ákladě nalosti polohy výslednice učete i ovnovážnou sílu a akeslete do obáku. Můžete kusit spočítat novu jako samostatný úkol a použít podmínky ovnováhy. 6) Nakeslete složkový obaec vynačte na něm výslednici i ovnovážnou sílu říklad 8 soustava obecných sil v ovině - úkol 1 36kN 15kN 3 kn; 1 7 18 3 15 1 15m 1-15m; -5m 4m; 3 3m 3 48m a) nahaďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí) a učete její polohu vhledem k počátku ( d) b) učete ovnovážnou sílu ( uší účinek soustavy sil) a její polohu vhledem k počátku ( d) c) Nakeslete složkový obaec vynačte na něm výslednici i ovnovážnou sílu Výsledky: 444kN d 993 m 1685 3685 1 1 d 3 3