Základní pojmy Přímková a rovinná soustava sil

Transkript

1 Stavební statka, 1.ročník bakalářského studa Základní pojmy římková a rovnná soustava sl Základní pojmy římková soustava sl ovnný svaek sl Statcký moment síly k bodu a dvojce sl v rovně Obecná rovnná soustava sl ovnná soustava rovnoběžných sl

2 Základní pojmy: Souřadncová soustava - pravoúhlá Nutný předpoklad pro matematcký pops nosné konstrukce. Záleží na povae řešené úlohy. v prostoru 0 y v rovně

3 Základní pojmy: Síla bodová, vektor Bodová (osamělá) síla - vektorová velčna: působště 0 velkost A + směr orentace (smysl) + aprsek síly (nostelka síly) Bodovou sílu le po nostelce lbovolně posouvat, anž by se měnl její účnek (kluný vektor), nejedná-l se ovšem o váaný vektor daný svým působštěm. Jednotka síly newton (N), násobky klonewton (kn=10 3 N), meganewton (MN=10 6 N) 3

4 Základní pojmy: Síla bodová v rovně ůsobště každé síly a je adáno dvojcí souřadnc a a a. Velkost, směr a smysl kterékolv síly může být adán 2 působy: a) prostřednctvím složek,, velkost, směr smysl síly rovnoběžníku sl sn g cos b) kladnou velkostí a směrovým úhlem g.sn g.cos 2 cosg sn 2 g Zadání bodové síly v rovně 4

5 Základní pojmy: Síla bodová v prostoru ůsobště každé síly a je adáno trojcí souřadnc a, y a, a. Velkost, směr a smysl kterékolv síly může být adán 2 působy: a) prostřednctvím složek, y,, velkost, směr smysl síly rovnoběžnostěnu (kvádru) sl 2 2 y 2 cos cos b y cosg Zadání bodové síly v prostoru b) kladnou velkostí a třem směrovým úhly, b, g (me kladným polopaprskem síly a odpovídající kladnou souřadncovou poloosou).cos y.cos b.cos g 5

6 Základní pojmy: Jednotková kružnce r = 1 sn protlehlá odvěsna ku přeponě sn g a r a sn cos sn cos b S g r sn cos sn cos + cos přlehlá odvěsna ku přeponě tg b cosg r protlehlá ku přlehlé tgg a b b + B a A cotg přlehlá ku protlehlé b cotgg a 1 tgg 6

7 Základní pojmy: oklad síly v rovně 0 + A γ γ + =. sn γ =. cos γ γ Možnost adání velkost úhlu: 0 až 360 g g g 0 až až180 Úhel k ose? 7

8 VÝSLEDNICE a OVNOVÁŽNÁ SÍLA ůsobí l na těleso dvě nebo více sl soustava sl. Výslednce ( resultanta ) soustavy sl: - síla, která má na těleso stejný účnek jako celá soustava sl (nahrauje danou soustavu sl) - je tedy s danou soustavou ekvvalentní. ovnovážná síla soustavy sl: - síla, která uvede soustavu sl do rovnováhy (ruší účnek soustavy sl) - je shodné velkost směru jako výslednce, ale má opačnou orentac (smysl). 8

9 Soustavy sl - přehled Soustavy sl můžeme rodělt do následujících skupn: síly působící v jedné přímce rovnný svaek sl obecná soustava sl soustava rovnoběžných sl Typy řešení slových soustav: Skládání sl 1) Nahraení soustavy sl 2) Zrušení soustavy sl uvedení do rovnováhy oklad sl Řešení: očetně sestavujeme podmínky ekvvalence nebo rovnováhy Grafcky složkový obraec Znaménková konvence síly působící doprava a dolů jsou kladné, moment otáčející prot směru chodu hodnových ručček je kladný

10 ŘÍMKOVÁ SOUSTAVA SIL Dvě nebo více sl působí na tuhé těleso v témž paprsku (na jedné nostelce). Síla v přímkové úloe určena: velkost orentace působště a (váaný vektor) Grafcké náornění a pops sl 2 = 5 kn + 1 = 10 kn 3 = 15 kn 10

11 Výslednce přímkové soustavy sl Výslednce přímkové soustavy sl leží na stejném paprsku soustavy Výpočet výslednce podmínky ekvvalence: n 1 (účnek soustavy sl je nahraen) Znaménko výslednce udává smysl, podmínky ekvvalence nele určt působště kluný vektor. Například : 1 = 10 kn 2 = 5 kn 3 = 15 kn + = = = 20 kn 11

12 ovnovážná síla přímkové soustavy sl ovnovážná síla obecně: -síla, která uvede soustavu sl do rovnováhy -je shodné velkost směru jako výslednce, ale má opačnou orentac (smysl). Výpočet rovnovážné síly podmínky rovnováhy: n 1 Znaménko rovnovážné síly udává smysl, podmínky rovnováhy nele určt působště kluný vektor. 0 (účnek soustavy sl je rušen) Například : 2 = 5 kn =? kn + 1 = 10 kn 3 = 15 kn n 1 0 : = U rovnovážné soustavy je výslednce sl vždy nulová. 0 12

13 ovnovážná síla přímkové soustavy sl ovnovážná síla obecně: -síla, která uvede soustavu sl do rovnováhy -je shodné velkost směru jako výslednce, ale má opačnou orentac (smysl). Výpočet rovnovážné síly podmínky rovnováhy: n 1 Znaménko rovnovážné síly udává smysl, podmínky rovnováhy nele určt působště kluný vektor. 0 (účnek soustavy sl je rušen) Například : 1 = 10 kn 2 = 5 kn 3 = 15 kn = 20 kn U rovnovážné soustavy je výslednce sl vždy nulová. 0 n 1 0 : = kn 13

14 ekaptulace přímkové soustavy sl V přímkové soustavě sl je 1 podmínka ekvvalence a 1 podmínka rovnováhy = (soustava sl je nahraena podmínka ekvvalence) Hledáme výslednc. + = = (soustava sl je rušena podmínka rovnováhy) Hledáme rovnovážnou sílu. = = 0 14

15 OVINNÝ SVAZEK SIL paprsek sl Dvě nebo více sl působících v rovně se společným působštěm. ro dvě síly: (a) Výslednce dvou sl o společném působšt je jednonačně určena úhlopříčkou rovnoběžníku sl snová a kosnová věta. (b): Často případ (a) (b) Obecně svaek n sl ovnný svaek sl řešíme pomocí rokladu sl do dvou složek souhlasných s osam souřadného systému a. okladem sl převedeme rovnný svaek sl na dvě úlohy sl působících v jedné přímce. 15

16 Využtí ponatků o rovnném svaku říhradová konstrukce, avlon V r.2000, Brněnské výstavště 16

17 Výslednce rovnného svaku sl Výpočet výslednce podmínek ekvvalence: (svaek sl je nahraen sílou ) ostup výpočtu výslednce rovnného svaku n sl: a) určt složky, každé e sl.sn g.cos g 2 2 b) vypočítat výslednce obou přímkových soustav sl v souřadncových osách 2 + n sn g n 1 c) určt velkost a směrový úhel výslednce rovnného svaku sl (poor na áporné hodnoty složek výslednce) cos g

18 ovnovážná síla rovnného svaku sl Uvedení rovnného svaku sl do rovnováhy pomocí rovnovážné síly Výpočet rovnovážné síly podmínek rovnováhy: ostup výpočtu rovnovážné síly a) určt složky, každé e sl.sn g.cos g b) vypočítat rovnovážné síly obou přímkových soustav sl v souřadncových osách rovnného svaku n sl: (svaek sl je rušen sílou ) n 1 0 vektorový součet n 1 0 n c) určt velkost a směrový úhel rovnovážné síly rovnného svaku sl (poor na áporné hodnoty složek výslednce) sn g Je-l rovnný svaek sl v rovnováe, je jeho výslednce nulová. 0 18

19 ekaptulace rovnného svaku sl 2 podmínky ekvvalence nebo 2 podmínky rovnováhy (soustava sl je nahraena n n podmínky ekvvalence) (výsledek - výslednce ) 1 1 (soustava sl je rušena) podmínky rovnováhy n 1 0 n 1 0 (výsledek rovnovážná síla ). 1 + ovnovážná síla je stejně velká jako výslednce sl ale opačně orentovaná Složkový obraec na tabul 19

20 říklad nahraení svaku sl jednou slou v cvčení Řešení hledáme výslednc podmínek ekvvalence: 1.sn g 1) V rovně u paprsku sl poue dvě podmínky ekvvalence (součtové slové): 2) Spočtěte a poté vykreslete složky výslednce v souřadném systému ponáte, do kterého kvadrantu směřuje výslednce..cos g n 1 n γ,ostrý n 1 γ,ostrý 3) Dopočtěte výslednc, akreslete do obráku, podívejte se, kam výslednce směřuje (do kterého kvadrantu) 3) Určete ostrý úhel, který svírá výslednce např. s osou ( absolutních hodnot složek výslednce) 2 2 sn γ, = γ, ostrý 1 4) Dopočtěte velkost úhlu od kladného směru osy podle směru výslednce (příslušného kvadrantu) n / Zadání a výsledek příkladu 2.1 Obr / str

21 Statcký moment síly k bodu Otáčvý účnek síly vhledem k danému bodu momentovému středu Smysl otáčení statckého momentu: Kladný smysl otáčení statckého momentu prot smyslu chodu ručček př pohledu prot kladnému směru třetí osy (na rovnu prot y epředu ) Momentový střed s lbovolný bod aprsek (nostelka) síly kladný směr momentu s p ameno síly p kolmce! Absolutní hodnota statckého momentu M s síly k bodu s: oměr Nm (knm) M s. p 21

22 Výpočet statckého momentu síly k bodu r (kolmé rameno) 0 r 0 M 0 =. r (naménko podle směru otáčení okolo bodu) M 0 =. -. (odvoeno pro I.kvadrant, platí obecně) kladný směr momentu 22

23 VAIGNONOVA MOMENTOVÁ VĚTA latí: Algebracký součet statckých momentů všech sl v obecné rovně k lbovolně volenému středu je roven statckému momentu výslednce této soustavy k témuž bodu. Vargnonova věta erre Vargnon ( ) Matematcky: d. p n 1. p kladný směr momentu říklady na výpočet ramene výslednce podle Vargnonovy věty v příklad ve skrptech SI na stránkách ( rovnoběžné síly ). 23

24 OBECNÁ OVINNÁ SOUSTAVA SIL ůsobí-l v téže rovně dvě nebo více (obecně n) sl o růných působštích, růných velkostech, směrech a smyslech. rovedeme roklad všech sl na -ové a -ové složky. Každá síla vytváří statcký moment vhledem k počátku souřadného systému. 1 2 g 1 4 g 4 g 3 g 2 kladný směr momentu 3 24

25 ,, Výslednce obecné rovnné soustavy sl odmínky ekvvalence: Výslednce sl v ose Výslednce sl v ose M., 0 M,0,., (soustava sl je nahraena výsledncí ) Výsledný statcký moment vtažený k počátku 0 Důležté: ro výpočet výslednce obecné rovnné soustavy: 3 podmínky ekvvalence. 25

26 ovnovážná síla obecné rovnné soustavy sl odmínky rovnováhy: (soustava sl je rušena rovnovážnou slou ), 0... Zrušíme účnek soustavy sl pomocí rovnovážných sl v ose, 0 Zrušíme účnek soustavy sl pomocí rovnovážných sl v v ose... M o, 0... M Zrušíme účnek soustavy sl pomocí rovnovážných momentů nebo momentů od rovnovážných sl Důležté: ro výpočet rovnovážné síly obecné rovnné soustavy: 3 podmínky rovnováhy. 26

27 Výsledný účnek obecné rovnné soustavy sl Le formulovat trojím působem: a) osovým složkam výslednce, v souřadncových osách a výsledným statckým momentem M b) výsledncí v počátku a výsledným statckým momentem M (a) (b) (c) Tř působy náornění výsledného účnku obecné rovnné soustavy sl Obr / str

28 Výsledný účnek obecné rovnné soustavy sl Le formulovat trojím působem: c) výsledncí d, posunutí o d tak, aby účnek.d byl stejný jako M d M M. 0 M M. 0 M (a) (b) (c) Tř působy náornění výsledného účnku obecné rovnné soustavy sl Obr / str

29 říklad výslednce obecné soustavy sl v cvčení Stanovte výslednc obecně působících sl v rovně: (nahraení obecné soustavy sl): a) pomocí,, M,0 0 b) pomocí, γ, M,0 c) pomocí, γ, ramene r Dáno: F 1 = 10kN, 1 =-3m, 1 = 3m, γ 1 =340, F 2 = 30kN, 2 = 2m, 2 =-1m, γ 2 = 40. g 1 1 g 2 2 Je možno adat také γ 1 =-20, vycháí stejně: 0 g g g g 1 29

30 Řešení příkladu a) Nahraení soustavy pomocí,, M,0 =, = 15,86 kn =, = 32,38 kn M,0 =, -, ůvodní soustava sl: = - 47,31 knm Výsledné nahraení původní síly 1 a 2 budou nahraeny a a k nm přdáme M,0 : M,0 = 47,31kNm 0 0 g 1 1 g 2 2 (on.červeně jsou onačeny velčny, které nahradí původní soustavu sl 1 a 2 ). 30

31 Řešení příkladu b) Nahraení soustavy pomocí, γ, M ředchoí soustava sl: M,0 = 47,31kNm 0 Výsledné nahraení místo složek sl a bude působt poue 1 síla procháející počátkem, moment ůstává stejný): M,0 = 47,31kNm 2 2 výslednce = 36,056kN γ sn γ = / γ = 26,10 M,0 = -47,31 knm (on.červeně jsou onačeny velčny, které nahradí původní soustavu sl 1 a 2 ). 31

32 Řešení příkladu c) Nahraení soustavy pomocí, γ, ramene r ředchoí nahraení: M,0 = 47,31kNm γ výslednce = 36,056 kn γ = 26,10 M,0 = - 47,31kNm Výsledné nahraení síla je posunuta směrem, aby působla moment stejného naménka jako M,0 na ramen r : 0 r γ M,0 =.r r = M,0 / = 1,312m (červeně jsou onačeny velčny, které nahradí původní soustavu sl 1 a 2 ). 32

33 říklad U předešlého příkladu rušte účnek obecné soustavy sl (uveďte soustavu do rovnováhy) ovnovážnou síla vyjádřete pomoc složek síly a momentu odmínky rovnováhy:, 0, 0 Zrušíme účnek vodorovných sl pomocí rovnovážné síly v ose Zrušíme účnek svslých sl pomocí rovnovážné síly v ose M,0 0 M, o,, M F F 1, 1, Zrušíme účnek otáčvý účnek soustavy sl pomocí rovnovážného momentu F F 2, 2, ,31kNm F F M 0, o 0 F1, 1 F2, 2 1, 1 2, 2, 0 M 15,86kN 32,38kN, 0 (on.červeně jsou onačeny velčny, které ruší původní soustavu sl 1 a 2 ). 33

34 OVINNÁ SOUSTAVA OVNOBĚŽNÝCH SIL ůsobí-l v téže rovně dvě nebo více (obecně n) rovnoběžných sl ůsobště a každé síly je adáno dvojcí souřadnc a a a, (u volných vektorů stačí poue1 souřadnce, tady poue -ová). Síla je adána velkostí (kladnou nebo ápornou podle smyslu síly). Výpočet shodně jako u obecné soustavy sl s tím, že je adaná poue 1 složka u všech sl (tady -ová). 34

35 Výslednce soustavy rovnoběžných sl odmínky ekvvalence: (soustava sl je nahraena výsledncí ),, M., 0 M,0,., M., 0 Výslednce sl v ose () Výsledný statcký moment (M 0 ) k počátku kladný směr momentu Důležté: ro výpočet výslednce soustavy rovnoběžných sl: 2 podmínky ekvvalence. 35

36 ovnovážná síla soustavy rovnoběžných sl odmínky rovnováhy: (soustava sl je rušena rovnovážnou slou ) M 0..., o 0 Zrušíme účnek soustavy sl pomocí rovnovážných sl v ose Zrušíme účnek soustavy sl pomocí rovnovážných momentů nebo momentů od rovnovážných sl... M Důležté: ro výpočet rovnovážné síly soustavy rovnoběžných sl: 2 podmínky rovnováhy

37 DVOJICE SIL (velm důležté) Dvojce sl dvě stejně velké rovnoběžné síly opačných smyslů. ameno dvojce sl vdálenost p paprsků obou sl. aprsek síly kladný směr momentu + s p 1 p 2 Dvojce sl vyvouje na těleso poue otáčvý účnek ve své p rovně, vyjádřený statckým momentem M dvojce sl : M. p + 37

38 Dvojce sl - odvoení 1 2 aprsek síly M. p kladný směr momentu + s p 2 p 1 p p p 2 p 1 M s p p p 1 p1 2 p

39 Dvojce sl - vlastnost ro statcký moment M dvojce sl platí: a) je stejný ke všem bodům (momentovým středům) tělesa b) nemění se, posune-l se dvojce sl do jného místa nebo pootočí-l se oba paprsky (př achování délky p) c) nemění se př současném menšování p a většování, pokud součn.p ůstává konstantní d) kladný smysl otáčení stejný jako u statckého momentu síly e) více dvojc le nahradt jednou výslednou dvojcí sl f) je-l výslednce dvojc sl nulová, jedná se o rovnováhu kladný směr momentu Dvojce sl Obr / str

40 Okruhy problémů k ústní část koušky Základní okruhy odmínky rovnováhy rovnného svaku sl Statcký moment síly k bodu v rovnné úloe Vargnonova momentová věta odmínky rovnováhy obecné rovnné soustavy sl odmínky rovnováhy rovnné soustavy rovnoběžných sl odrobnější rops okruhů v samostatný soubor. 40