Maturitní otázky z matematiky

Maturitní otázky z matematiky Pavel Trutman Vzniklo na gynmáziu Mikulá²e Koperníka v Bílovci v akademickém roce 2011/2012.

0. OBSAH Obsah 1 Komplexní ísla 5 (denice, algebraický tvar, goniometrický tvar, exponenciální tvar, s ítání, od ítání, násobení, d lení a umoc ování ísel v algebraickém tvaru, násobení, d lení a umoc ování ísel v goniometrickém tvaru, gracký sou in a podíl, funkce komplexní prom nné) 2 Posloupnosti a ady 10 (posloupnosti reálných ísel denice, vlastnosti, zp soby ur ení, limita, aritmetická a geometrická posloupnost, nekone né ady denice, vlastnosti, ady s nezápornými leny, geometrická ada) 3 Diferenciální po et 14 (spojitost funkce, limita funkce denice r zných typ limit, v ty pro po ítání s limitami, derivace funkce denice, pravidla pro výpo et derivací, derivace vy²- ²ích ád, derivace sloºené funkce, derivace funkce ur ené implicitn ) 4 Integrální po et 18 (denice neur itého integrálu p ímá integrace, metoda per partes, substitu ní metoda, integrace racionálních funkcí, ur itý integrál) 5 Aplikace diferenciálního po tu 21 (te na ke grafu funkce, zji² ování pr b hu funkce, L'Hospitalovo pravidlo, slovní úlohy na extrémy) 6 Vektorová algebra, Teorie grafu 23 (denice vektorového prostoru, pojem vektoru, geometrický model vektorového prostoru, sou adnice vektoru, velikost vektoru, operace s vektory s ítání, od ítání, násobení reálným íslem, skalární sou in, vektorový sou in, smí²ený sou in, odchylka vektor, lineární závislost a nezávislost vektor, lineární kombinace vektor, graf, kruºnice, strom, Eulerovské grafy, Hamiltonovské grafy, rovinné grafy) 7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 26 (typy algebraických rovnic a základní metody jejich e²ení lineární, kvadratické, reciproké rovnice a rovnice vy²²ích ád, rovnice a nerovnice nealgebraické s neznámou ve jmenovateli, s absolutními hodnotami, iracionální, lineární a kvadratické nerovnice, základní metody numerického e²ení rovnice metoda p lení intervalu, metoda te en, se en, itera ní metoda) 8 Aplikace integrálního po tu 33 (obsah obrazce, objem rota ních t les, délka k ivky, povrch rota ních t les, t ºi²t elementární oblasti, diferenciální rovnice) 1

0. OBSAH 9 Goniometrie 35 (denice goniometrických funkcí, vlastnosti a grafy goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, goniometrické rovnice a nerovnice, trigonometrie, cyklometrické funkce) 10 Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice 42 (denice a vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce, jejich grafy, pravidla pro po ítání s logaritmy, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice) 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 45 (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty metody výpo tu, Cramerovo pravidlo) 12 Binomická v ta, Kombinatorika 50 (faktoriál, kombina ní íslo, Pascal v trojúhelník, binomická v ta, kombinatorické pravidlo sou tu a sou inu, permutace, variace, kombinace s opakováním i bez) 13 Pravd podobnost a Statistika 53 (náhodný pokus, pojem pravd podobnosti, jev, pravd podobnost jevu, s ítání pravd podobností, nezávislé jevy, binomické rozd lení, podmín ná pravd podobnost, statistický soubor, jednotka, znak, modus, medián, aritmetický, geometrický, harmonický pr m r, sm rodatná odchylka, rozptyl, korela ní koecient) 14 Teorie d litelnosti v N, Metody d kaz v matematice 57 (d litel, násobek, prvo íslo, sloºené íslo, znaky d litelnosti, základní v ta aritmetiky, nejv t²í spole ný d litel, nejmen²í spole ný násobek, Euklid v algoritmus, diofantovské rovnice, p ímý a nep ímý d kaz, d kaz sporem, d kaz matematickou indukcí) 15 Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze 61 (pojem zobrazení, osová soum rnost, st edová soum rnost, otá ení, posunutí, posunutá soum rnost, skládání zobrazení, stejnolehlost, kruhová inverze, Apolloniovy a Pappovy úlohy) 16 Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice 65 (typy trojúhelník a jejich vlastnosti, Pythagorova v ta, Euklidovy v ty, ty úhelníky druhy a jejich vlastnosti, kruºnice obvodový a st edový, úsekový úhel, vzájemná poloha kruºnic, Thaletova kruºnice, Feuerbachova kruºnice, Apolloniova kruºnice) 2

0. OBSAH 17 Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny 71 (úpravy r zných typ výraz, mnoho leny, operace s nimi, Hornerovo schéma, lomené výrazy, absolutní hodnota a její geometrický význam, denice mocniny s reálným exponentem, denice n-té odmocniny v R, pravidla pro po ítání s mocninami a odmocninami) 18 T lesa ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy 74 ( ez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohost n, rota ních t les a jejich ástí v etn komolých t les, obvody a obsahy mnohoúhelník, kruhu a jeho ástí) 19 Výroky a Mnoºiny 81 (výrok, operace s výroky, sloºené výroky a jejich negace, PH-algebra, Booleova algebra a její modely, pojem mnoºiny, ur ení mnoºin, operace s mnoºinami, slovní úlohy e²ené pomocí Vennových diagram, kartézský sou in, binární relace a jejich grafy, algebraické struktury grupa, okruh, t leso) 20 Funkce 86 (denice funkce, vlastnosti funkce deni ní obor, obor hodnot, omezenost, supremum a inmum, sudá a lichá funkce, monotónnost, prostá funkce, periodická funkce, konvexní a konkávní funkce, lokální a globální extrémy, inexní bod, slo- ºená funkce) 21 Metrické vztahy mezi útvary e²ené metodou analytickou a syntetickou 88 (vzdálenost dvou bod, vzdálenost bodu od p ímky, roviny, vzdálenost dvou rovnob ºných p ímek, rovin, vzdálenost mimob ºek, odchylka dvou p ímek, odchylka dvou rovin, odchylka p ímky od roviny, osa úhlu, úlohy o kolmosti) 22 Polohové vlastnosti útvar v rovin a v prostoru e²ené metodou analytickou a syntetickou 90 (analytické vyjád ení p ímky v rovin a v prostoru, analytické vyjád ení roviny, vzájemná poloha p ímek, rovin, vzájemná poloha p ímek a rovin, osa mimob ºek) 23 Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá ást 92 (denice t chto funkcí a jejich vlastnosti, grafy a jejich uºití p i e²ení rovnic a nerovnic, jejich soustav) 24 Anní vlastnosti kuºelose ek 95 (denice kuºelose ky, pr se íky p ímky s kuºelose kou, asymptotický sm r, st ed kuºelose ky, singulární bod kuºelose ky, singulární a regulární kuºelose ky, te na asymptota a polára kuºelose ky, vnit ek a vn j²ek kuºelose ky, sdruºené sm ry a pr m ry kuºelose ky) 3

0. OBSAH 25 Metrické vlastnosti kuºelose ek, Koule a Kulová plocha 99 (osa kuºelose ky, kruºnice, elipsa, hyperbola a parabola ve speciálních polohách, analytické vyjád ení koule a kulové plochy) A Slovo autora 102 4

1. Komplexní ísla 1 Komplexní ísla (denice, algebraický tvar, goniometrický tvar, exponenciální tvar, s ítání, od ítání, násobení, d lení a umoc ování ísel v algebraickém tvaru, násobení, d lení a umoc ování ísel v goniometrickém tvaru, gracký sou in a podíl, funkce komplexní prom nné) Mnoºina komplexních ísel Mnoºina komplexních ísel je mnoºina v²ech uspo ádaných dvojich a, b R, kde a ozna- ujeme za reálnou ást komplexního ísla a b za imaginární ást komplexního ísla. [a; 0] reálné íslo [0; b] b 0 ryze imaginární íslo C = {[a; b]; a, b R} [a; b] b 0 a 0 imaginární íslo [a 1 ; b 1 ], [a 2 ; b 2 ] C : T leso komplexních ísel [a 1 ; b 1 ] = [a 2 ; b 2 ] a 1 = a 2 b 1 = b 2 [a 1 ; b 1 ] ± [a 2 ; b 2 ] = [a 1 ± a 2 ; b 1 ± b 2 ] [a 1 ; b 1 ] [a 2 ; b 2 ] = [a 1 a 2 b 1 b 2 ; a 1 b 2 + a 2 b 1 ] Nad mnoºinou komplexních ísel jsou denovány uzav ené operace + a. Tato algebraická struktura se nazývá t leso komplexních ísel: (C; +; ). Nulovým prvkem je íslo [0; 0] a neutrálním [1; 0]. Algebraický tvar z = a + bi; a, b R i 2 = 1 k N : i 4k+1 = i i 4k+2 = 1 i 4k+3 = i i 4k = 1 5

1. Komplexní ísla Komplexní íslo sdruºené z = a bi Rovnost komplexních ísel S ítání a od ítání komplexních ísel Násobení komplexních ísel D lení komplexních ísel a + bi = c + di a = c b = d z 1 ± z 2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i z 1 z 2 = a + bi c + di = (ac + bd) + (bc ad)i c 2 + d 2 Absolutní hodnota komplexního ísla (Modul) z = a 2 + b 2 = z z Pro po ítání s absolutníma hodnotama platí: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 = z 1 z 2 z 2 Goniometrický tvar z = z (cos ϕ + i sin ϕ) P evod z algebraického tvaru Násobení komplexních ísel cos ϕ = a z sin ϕ = b z z 1 z 2 = z 1 z 2 [cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )] 6

1. Komplexní ísla D lení komplexních ísel z 1 z 2 = z 1 z 2 [cos (ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 ϕ 2 )] Umocnování komplexní jednotky (Moivreova veta) Umocnování komplexních ísel Odmoc ování komplexních ísel z n = cos(n ϕ) + i sin(n ϕ) z n = z n [cos(n ϕ) + i sin(n ϕ)] Pro z = z (cos ϕ + i sin ϕ) a p irozené íslo n platí: n z = zk = n ( z cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ) n n pro k {0; 1;... ; n 1}. Obrazy ísel z 0,1,...,n 1 leºí pro n > 2 v Gausov rovin ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do kruºnice se st edem v po átku a polom rem n z. Exponenciální tvar Gaussova rovina cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ Euler v vztah z = z e iϕ Rovina, jejíº body povaºujeme za obrazy komplexních ísel. Na osu x vyná²íme reálnou sloºku komplexního ísla a na osu y sloºku imaginární. S ítání S ítání v Gaussov rovin provádíme jako s ítání dvou vektor, tj dopln ním na rovnob ºník. Od ítání Provádí se op t jako od ítání vektor. Neprve vytvo íme opa né komplexní íslo od men- ²itele, poté provedeme vektorový sou et. 7

1. Komplexní ísla Násobení Vektor, znázor ující první komplexní íslo, se neprve oto í o úhel, který svírá druhý vektor s kladným sm rem osy x. Velikost prvního vektoru je potom vynásobena velikostí druhého vektoru. Tato operace vychází z násobení dvou komplexních ísel v goniometrickém tvaru. D lení Obdobn jako u násobení, ale naopak. Vektor d lence se oto í v záporném sm ru o úhel d litele. Jeho velikost je vyd lena velikostí vektoru d litele. Funkce komplexní prom nné Kaºdé zobrazení f : C C nazýváme funkce komplexní prom nné. Protoºe tato funkce obsahuje ty i sloºky, nelze sestrojit graf v 3D. Proto tuto funkci zobrazujeme jako rovinnou transformaci. Kaºdému bodu Gaussovy roviny je p i azen dal²í bod Gaussovy roviny. Rovnob ºné posunutí Rovnob ºné posunutí o vektor a. Stejnolehlost w = z + a; a C (konst.) w = c z; c R (konst.) Stejnolehlost se st edem v po átku a koecientem c. Oto ení Oto ení kolem po átku o úhel ϕ. Spirálová podobnost w = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = z a; a C (konst.) a = a (cos ϕ + i sin ϕ) Spirálová podobnost je sloºení stejnolehlosti se st edem v po átku a koecientem a a oto ení kolem po átku o úhel ϕ. 8

1. Komplexní ísla Konformní transformace w = z 2 Touto transformací se m ní p ímky na paraboly. P i této transformaci se úhel mezi libovolnými p ímkami nezm ní. Inerce w = 1 z Tato transformace je sloºením osové soum rnosti a kruhové inverze. 9

2. Posloupnosti a ady 2 Posloupnosti a ady (posloupnosti reálných ísel denice, vlastnosti, zp soby ur ení, limita, aritmetická a geometrická posloupnost, nekone né ady denice, vlastnosti, ady s nezápornými leny, geometrická ada) Posloupnosti reálných ísel Nekone ná posloupnost je kaºdá funkce, jejíº deni ním oborem je N. Kone ná posloupnost je taková funkce f(n) pro kterou platí: n N; n n 0, kde n 0 je pevn dané p irozené íslo. Zadání posloupností a) Vý tem prvk b) Vzorcem pro n-tý len, nap : {n} n=1 c) Rekurentn prvním lenem a vztahem pro n + 1 len, nap : a 1 = 1; a n+1 = a n Vlastnosti posloupností Rostoucí: n N : a n < a n+1 Klesající: n N : a n > a n+1 Nerostoucí: n N : a n a n+1 Neklesající: n N : a n a n+1 Shora omezená: h R; n N : a n h Zdola omezená: d R; n N : a n d Omezená: je shora i zdola omezená Aritmetická posloupnost Posloupnoust {a n } n=1 se nazývá aritmetická posloupnost, práv tehdy kdyº existuje takové reálné íslo d, ºe n N : a n+1 = a n + d, kde d je diference posloupnosti. Vztahy a n = a 1 + (n 1) d a r = a s + (r s) d s n = n 2 (a 1 + a n ) 10

2. Posloupnosti a ady Geometrická posloupnost Posloupnoust {a n } n=1 se nazývá geometrická posloupnost, práv tehdy kdyº existuje takové reálné íslo q, ºe n N : a n+1 = a n q, kde q je kvocient posloupnosti. Vztahy Limita posloupnosti a n = a 1 q (n 1) a r = a s q (r s) s n = a 1 q n 1 q 1 Posloupnost {a n } n=1 je konvergentní práv tehdy, kdyº a R; ε > 0; n 0 N; n N; n n 0 : a n a < ε. lim n a n = a Posloupnost, která má vlastní limitu ozna ujeme jako konvergentní. Nevlastní limita Posloupnost {a n } n=1 má nevlastní limitu + práv tehdy, kdyº K R; n 0 N; n N; n n 0 : a n > K. lim n a n = + Posloupnost {a n } n=1 má nevlastní limitu práv tehdy, kdyº L R; n 0 N; n N; n n 0 : a n < L. lim n a n = Nekone ná ada Nekone nou adou nazýváme posloupnost aste ných sou t {s n } n=1. Geometrická ada a n = a 1 + a 2 +... + a n n=1 a n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 +... + a 1 q n 1 = n=1 Pokud je spln na podmínka kongruence q < 1: s = a 1 1 q a 1 q n 1 n=1 11

2. Posloupnosti a ady Nutná, nikoliv posta ující podmínka pro konvergenci ady: ( Jestliºe ) ada konverguje, pak limita posloupnosti len této ady se rovná nule lim a n = 0. n Jestliºe limita posloupnosti len této ady se nule nerovná, pak ada diverguje. ady s nezápornými leny ada ve které jsou v²echny leny nezáporná reálná ísla. a n = a 1 + a 2 +... + a n ; a 1, a 2,..., a n R + 0 n=1 Je-li posloupnost áste ných sou t neklesající a má limitu, pak ada konverguje a platí s = lim n s n. Jestliºe má posloupnost áste ných sou t nevlastní limitu +, pak ada diverguje k +. Zji² ování konvergence ad Srovnávací kritérium Minoritní ada (minoranta) n=1 n=1 a n b n Majoritní ada (majoranta) ady s nezápornými leny a) b) b n konverguje n=1 a n diverguje n=1 0 a n b n a n konverguje n=1 b n diverguje n=1 ady pro srovnávání: { 1. a 1 q n 1 q < 1 konverguje q 1 diverguje 2. 3. 4. n=1 n=1 n=1 n=1 1 n (n + 1) konverguje 1 n 1 n p (harmonická ada) diverguje { p > 1 konverguje p 1 diverguje 12

2. Posloupnosti a ady Podílové kritérium a) lim n a n+1 a n b) lim n a n+1 a n < 1 konverguje > 1 diverguje Odmocninové kritérium a) lim n n a n < 1 konverguje b) lim n n a n > 1 diverguje 13

3. Diferenciální po et 3 Diferenciální po et (spojitost funkce, limita funkce denice r zných typ limit, v ty pro po ítání s limitami, derivace funkce denice, pravidla pro výpo et derivací, derivace vy²²ích ád, derivace sloºené funkce, derivace funkce ur ené implicitn ) Okolí bodu Okolí bodu a s polom rem δ je otev ený inteval (a δ; a + δ), kde δ je kladné reálné íslo. Levé okolí bodu Pravé okolí bodu je interval (a δ; a. je interval a; a + δ). Vlastní okolí bodu je sjednocení interval (a δ; a) (a; a + δ). Spojitost funkce Funkce f je spojitá v bod a, jestliºe k libovoln zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, ºe pro v²echna x z tohoto okolí bodu a pat í hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a). Funkce f je spojitá na otev eném intervalu (a; b), je-li spojitá v kaºdém bod intervalu. Funkce f je spojitá na uzav eném intervalu a; b, je-li spojitá v na intervalu (a; b), v bod a zprava a v bod b zleva. Limita funkce Existence limity v bod a nezávisí na tom, zda je nebo není funkce v bod a denovaná. Je-li funkce v bod a denovaná, pak existence limity ani její hodnota nezávisí na hodnot funkce v bod a. Vlastní limita ve vlastním bod Funkce f má v bod a vlastní limitu rovnou íslu b, jestliºe k libovolnému okolí bodu b, existuje takové vlastní okolí bodu a, ºe pro kaºdé x z vlastního okolí bodu a pat í hodnoty f(x) do okolí bodu b. lim x a f(x) = b Nevlastní limita ve vlastním bod Funkce f má v bod a nevlastní limitu + jestliºe ke kaºdému íslu K existuje takové vlastní okolí bodu a, ºe pro kaºdé x z tohoto okolí bodu platí: f(x) > K. lim f(x) = + x a 14

3. Diferenciální po et Vlastní limita v nevlastním bod ƒíslo b je limitou funkce f v bod +, jestliºe kaºdému okolí bodu b, existuje íslo K takové, ºe pro kaºdé x > K, pat í hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu b. Nevlastní limita v nevlastním bod lim f(x) = b x + Funkce f má v nevlastním bod + nevlastní limitu +, jestliºe ke kaºdému íslu K existuje takové íslo x 0, ºe pro v²echna x > x 0 platí: f(x) > K. V ty o limitách lim f(x) = + x + Pro limity lim f(x) = A a lim g(x) = B platí: x a x a 1. lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A ± B x a x a x a 2. lim x a [f(x) g(x)] = lim x a f(x) lim x a g(x) = AB f(x) lim f(x) 3. lim x a g(x) = x a lim g(x) = A B ; B 0 x a 4. lim x a Cf(x) = C lim x a f(x) = CA; C R Derivace Existuje-li limita f(x) f(a) x a pro x a, nazýváme ji derivací funkce f v bod a. f (a) = lim x a f(x) f(a) x a Jestliºe f je funkce, která má v bod a derivaci, pak p ímka procházející bodem [a; f(a)], která má sm rnici k = f (a) je te na ke grafu funkce f v bod [a; f(a)]. Pravidla pro výpo et derivace Jestliºe funkce u a v mají v bod x 0 derivaci, má v bod x 0 derivaci i sou et, rozdíl, sou in a pro v(x 0 ) 0 i podíl funkcí u a v. Platí: 1. (c u) = c u ; c R 2. (u ± v) = u ± v 3. (u v) = u v + uv ( u ) u v uv 4. = ; v(x) 0 v v 2 15

3. Diferenciální po et Derivace elementárních funkcí Funkce Derivace v bod x Interval y = c c R y = 0 ( ;+ ) y = x n n N y = n x n 1 ( ;+ ) y = x k k Z y = k x k 1 ( ;+ ) \{0} y = x r r R y = r x r 1 (0;+ ) y = sin x y = cos x ( ;+ ) y = cos x y = sin x ( ;+ ) y = tg x y = 1 cos 2 x y = cotg x y = 1 k Z ( π 2 + kπ ; π 2 + kπ) (kπ ;π + kπ) k Z y = e x sin 2 x y = e x ( ;+ ) y = a x a > 0; a 1 y = a x ln a ( ;+ ) y = ln x y = 1 (0; + ) x y = log a x a > 0; a 1 y = 1 (0; + ) x ln a y = arcsin x y 1 = ( 1; 1) 1 x 2 y = arccos x y = 1 ( 1; 1) 1 x 2 y = arctg x y = 1 ( ;+ ) 1 + x 2 y = arccotg x y = 1 ( ;+ ) 1 + x 2 Derivace sloºené funkce Jestliºe funkce f(x) má derivaci v bod x a funkce g(x) má derivaci v bod f(x), má sloºená funkce g(f(x)) derivaci v bod x a platí: Derivace vy²²ích ád [g (f (x))] = g (f (x)) f (x) Derivace funkce dané implicitn y = f(x) y = f (x) y = f (x). Postup e²ení: zderivujeme ob strany rovnice a vyjád íme y, pokud v rovnici zbylo y, nahradíme jej hodnotou f(x). 16

3. Diferenciální po et P íklad: Logaritmická derivace f : x 2 + y 2 = 1 f : 2x + 2yy = 0 y = 2x 2y = x y = x 1 x 2 Posup e²ení: funkci zlogaritmujeme, poté zderivujeme jako funkci danou implicitn a vyjád íme y. P íklad: y = x x ln y = x ln x 1 y y = ln x + 1 y = y (ln x + 1) y = x x (ln x + 1) 17

4. Integrální po et 4 Integrální po et (denice neur itého integrálu p ímá integrace, metoda per partes, substitu ní metoda, integrace racionálních funkcí, ur itý integrál) Integrál Primitivní funkce M jm dány funkce F (x) a f(x) denované v otev eném intervalu J. Jestliºe pro kaºdé x z intervalu J platí: F (x) = f(x), pak íkáme, ºe funkce F (x) je primitivní k funkci f(x) v intervalu J. Neur itý integrál Je-li funkce F (x) v intervalu J primitivní k funkci f(x), pak kaºdá primitivní funkce k funkci f(x) je ve tvaru F (x) + c; c R. f(x) dx = F (x) + c Integrace primitivních funkcí Integrál Interval 0 dx = c ( ;+ ) dx = x + c ( ;+ ) x n dx = xn+1 + c n R\{ 1} (0;+ ) n + 1 1 dx = ln x + c ( ;+ ) \{0} x e x dx = e x + c ( ;+ ) a x dx = ax + c a > 0; a 1 ( ;+ ) ln a sin x dx = cos x + c ( ;+ ) cos x dx = sin x + c ( ;+ ) 1 dx = tg x + c cos 2 x ( π + kπ ; π + kπ) k Z 2 2 1 sin 2 dx = cotg x + c x (kπ ;π + kπ) k Z 18

4. Integrální po et Integrál 1 dx = arcsin x + c ( 1;1) 1 x 2 1 dx = arccos x + c ( 1;1) 1 x 2 Interval 1 dx = arctg x + c ( ;+ ) 1 + x2 1 dx = arccotg x + c ( ;+ ) 1 + x2 Metody integrování Základní pravidla c f(x) dx = c f(x) dx [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx Substitu ní metoda Sloºenou funkci f(g(x)) zavedením pomocné prom nné t = g(x) p evedeme na funkci f(t) a diferenciál dx vyjád íme pomocí diferenciálu dt. Vzniklý jednodu²²í integrál prom nné t vypo ítáme a nakonec se op t vrátíme k p vodní prom nné x. f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt; kde t = g(x) Metoda per partes Metoda per partes (integrace po ástech) vychází z derivace sou inu funkcí: (uv) = u v + uv. Integrováním a úpravou dostáváme: u v dx = uv uv dx Integrace racionální funkce Pouºívá se pro ingerace funkcí typu: 1. Vyd líme polynomy. P (x) Q(x) dx. 2. Zbytek po d lení rozloºíme na parciální zlomky. 3. Vypo ítáme integrál. 19

4. Integrální po et Eulerovy substituce 1. ax 2 + bx + c; a > 0 ax 2 + bx + c = t ± x a 2. ax 2 + bx + c; c > 0 ax 2 + bx + c = xt ± c 3. ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) ax 2 + bx + c = (x x 1 )t (x x 2 )t Goniometrické substituce 1. p 2 x 2 + q 2 px = q tg t 2. p 2 x 2 q 2 px = q cos t q sin t 3. q 2 p 2 x 2 px = q sin t q cos t Univerzální goniometrická substituce Ur itý integrál tg x 2 = t x 2 = arctg t 2 dx = 1 + t dt 2 2t sin x = 1 + t 2 cos x = 1 t2 1 + t 2 Nech F je primitivní funkce k funkci f v jistém intervalu J. Rozdíl F (b) F (a) funk ních hodnot funkce F v libovolných bodech a, b tohoto intervalu se nazývá ur itý integrál funkce f v mezích od a do b. b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a) 20

5. Aplikace diferenciálního po tu 5 Aplikace diferenciálního po tu (te na ke grafu funkce, zji² ování pr b hu funkce, L'Hospitalovo pravidlo, slovní úlohy na extrémy) Te na ke grafu funkce Pro rovnici te ny funkce f v bod [x 0, y 0 ] platí: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + y 0. Pr b h funkce 1. Vy²et ení deni ního oboru funkce a její parity (sudost, lichost, periodicita). 2. První derivace: 3. Druhá derivace: 4. Nalezení pr se ík s osami. f (x 0 ) > 0 Funkce f je v bod x 0 rostoucí f (x 0 ) = 0 Bod x 0 je bod podez elý z extrému f (x 0 ) < 0 Funkce f je v bod x 0 klesající f (x 0 ) > 0 Funkce f je v bod x 0 konvexní f (x 0 ) = 0 Bod x 0 je inexní bod f (x 0 ) < 0 Funkce f je v bod x 0 konkávní 5. Ur ení jednostranných limit v bodech, kde není funkce denována. Ur ení limit v nevlastních bodech ±. 6. Nalezení asymptot: (a) Asymptoty bez sm rnice P ímka s rovnicí x = a se nazývá asymptota bez sm rnice grafu funkce f práv tehdy, kdyº má funkce f v bod a alespo jednu jednostrannou nevlastní limitu. (b) Asymptoty se sm rnicí P ímky s rovnicí y = kx + q, pro které platí: 7. Ur ení oboru hodnot. 8. Sestrojení grafu. f(x) k = lim x + q = lim x + x = lim x (f(x) kx) = lim f(x) x x (f(x) kx) 21

5. Aplikace diferenciálního po tu L'Hospitalovo pravidlo Jestliºe pro funkce f a g platí alespo jedna z podmínek: lim x a lim f(x) = lim x a f(x) = ± ; lim x a g(x) = 0 x a g(x) = ± pak platí: f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) 22

6. Vektorová algebra, Teorie grafu 6 Vektorová algebra, Teorie grafu (denice vektorového prostoru, pojem vektoru, geometrický model vektorového prostoru, sou adnice vektoru, velikost vektoru, operace s vektory s ítání, od ítání, násobení reálným íslem, skalární sou in, vektorový sou in, smí²ený sou in, odchylka vektor, lineární závislost a nezávislost vektor, lineární kombinace vektor, graf, kruºnice, strom, Eulerovské grafy, Hamiltonovské grafy, rovinné grafy) Vektorový prostor na t lese reálných ísel Vektorový prostor denovaný nad t lesem reálných ísel je mnoºina V spole n se dv ma operacemi: u, v V; (u + v) V u V; k R; (k u) V Ty spl ují následující podmínky: 1. u, v V : u + v = v + u (komutativnost s ítání) 2. u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativnost s ítání) 3. o V; u V : u + o = u (neutrální prvek) 4. u V; u V : u + ( u) = o (inverzní prvek) 5. u V : 1 u = u (jednotkový prvek) 6. u V; k, l R : (k l) u = k (l u) (asociativnost násobení) 7. u, v V; k R : k (u + v) = k u + k v (distributivnost násobení reálným íslem vzhledem ke s ítání vektor ) 8. u V; k, l R : (k + l) u = k u + l u (distributivnost násobení vektor vzhledem ke s ítání reálných ísel) Prvky tohoto prostoru jsou vektory. Mnoºinu V m ºeme zvaºovat jako mnoºinu orientovaných úse ek s po átkem v po átku, kde s ítání je denováno pomocí rovnob ºníku a násobení reálným íslem je zavedeno uºitím stejnolehlosti se st edem v po átku. Za podprostory vektorového prostoru lze vybrat podmnoºiny W z mnoºiny V, kde mnoºina W je sama vektorovým prostorem vzhledem k uvedeným operacím. Báze vektorového prostoru je uspo ádáná n-tice lineárn nezávislých vektor (p edstavujících sou adné osy): [u 1, u 2,..., u n ]. Dimenze udává po et vektor báze. 23

6. Vektorová algebra, Teorie grafu Vektor Nenulový vektor i sm r. Nulový vektor (o) je mnoºina v²ech orientovaných úse ek, které mají stejnou velikost je mnoºina v²ech nulových orientovaných úse ek. Sou adnice vektoru u, který je umíst n na orientované úse ce AB jsou: kde n je dimeze prostoru. u = B A = (b 1 a 1 ; b 2 a 2 ;... ; b n a n ) = (u 1 ; u 2 ;... ; u n ) Velikost vektoru u, je odvozena z Pythagorovy v ty. Jestliºe je velikost vektoru 1, nazývá se jednotkový vektor. u = u 2 1 + u 2 2 + + u 2 n Lineární závislost Dva vektory u, v jsou lineárn závislé jestliºe: k R\{0} : u = k v Dva vektory jsou rovnob ºné, jestliºe jsou lineárn závislé. Lineární kombinace vektor Vektor w je lineární kombinací vektor u, v jestliºe: k, l R\{0} : w = k u + l v T i vektory leºí v jedné rovin, jestliºe jsou svojí lineární kombinací. Operace s vektory S ítání vektor se gracky e²í dopln ním na rovnob ºník nebo po etn : u + v = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ;... ; u n + v n ) Násobení vektoru reálným íslem vznikne vektor s ním lineárn závislý. k u = (k u 1 ; k u 2 ;... ; k u n ); k 0 Násobením nulového vektoru vznikne op t nulový vektor. 24

6. Vektorová algebra, Teorie grafu Skalární sou in Pro dva nenulové vektory u, v a jejjich odchylku ϕ platí: u v = u v cos ϕ u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n u v = 0 je-li alespo jeden z vektor u, v = o nebo jsou oba vektory nenulové a u v. Odchylka vektor je men²í z úhl mezi dv ma vektory. cos ϕ = u v u v Vektorový sou in je binární operací mezi dv ma vektory v trojrozm rném prostoru. Výsledkem je vektor kolmý k ob ma vektor m. Jeho sm r je dán pravidlem pravé ruky. Jeho velikost je rovna obsahu rovnob ºníku daného ob ma vektory. Vektorový sou in je antikomutativní. w = u v = v u w = u v sin ϕ u v = o pokud vektory u, v jsou lineárn závislé. Smí²ený sou in je kombinací vektorového a skalárního sou inu. Jeho absolutní hodnota je rovna objemu rovnob ºnost nu daného t emi vektory. u 1 u 2 u 3 [u v w] = (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 [u v w] = o pokud jsou vektory u, v a w svými lineárními kombinacemi. 25

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic (typy algebraických rovnic a základní metody jejich e²ení lineární, kvadratické, reciproké rovnice a rovnice vy²²ích ád, rovnice a nerovnice nealgebraické s neznámou ve jmenovateli, s absolutními hodnotami, iracionální, lineární a kvadratické nerovnice, základní metody numerického e²ení rovnice metoda p lení intervalu, metoda te en, se en, itera ní metoda) Rovnice a nerovnice Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výraz, v nichº se vyskytuje neznámá (ozna ená písmenem). Kaºdé íslo, jehoº dosazení do rovnice dostaneme platnou rovnost, se nazývá e²ení rovnice ko en rovnice. Vy e²it rovnici znamená najít mnoºinu ko en. Nerovnice s jednou neznámou je zápis nerovnosti dvou výraz, v nichº se vyskytuje neznámá (ozna ená písmenem). Ko enem nerovnice nazýváme kaºdé íslo, jehoº dosazením za neznámou dostaneme platnou nerovnost. Vy e²it nerovnici znamená najít mnoºinu ko en. Algebraické rovnice a nerovnice Polynomické (lineární, kvadratické, vy²²ích stup ) Nealgebraické rovnice a nerovnice V podílovém tvaru S absolutní hodnotou Iracionální Úpravy rovnic Exponenciální, logaritmické, goniometrické Ekvivalentní úpravy jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko en nem ní (s ítání, od ítání, násobení). Po t chto úpravách není zkou²ka nutnou sou ástí e²ení. Neekvivalentní úpravy jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko en m ní (umoc ování). Po t chto úpravách je nutné provést zkou²ku. 26

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Lineární rovnice Rovnice ax + b = 0, kde a, b R, se nazývá lineární rovnice. Mezi ekvivalentní úpravy pat í: p i tení stejného výrazu obsahující neznámou (denovaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny ísel, v nichº rovnici e²íme) k ob ma stranám rovnice, vynásobení rovnice nenulovým íslem a ekvivalentní úpravy výraz na obou stranách. a 0 jediným ko enem je x = b a a = 0 b = 0 kaºdé reálné íslo x je ko enem a = 0 b 0 rovnice nemá e²ení Lineární nerovnice Nerovnice ax + b > 0 ax + b 0 ax + b < 0 ax + b 0 kde a, b R se nazývají lineární nerovnice. Mezi ekvivalentní úpravy pat í: p i tení stejného výrazu obsahující neznámou (denovaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny ísel, v nichº nerovnici e²íme) k ob ma stranám nerovnice, vynásobení nerovnice kladným íslem, vynásobení nerovnice záporným íslem a sou asné obrácení znaku nerovnosti, ekvivalentní úpravy výraz na obou stranách. a > 0 x > b a a < 0 x < b a a = 0 b > 0 kaºdé reálné íslo x je ko enem a = 0 b 0 rovnice nemá e²ení Gracké e²ení lineárních rovnic a nerovnic Levou i pravou stranu rovnice si vyjád íme jako funkci a narýsujeme grafy. Pr se ík grafu funkcí je ko en rovnice. Pokud jsou grafy rovnob ºné r zné p ímky, rovnice nemá e²ení. Pokud grafy splynou v jedné p ímce, má rovnice nekone n mnoho e²ení. U nerovnic postupujeme stejn, hledáme intervaly, v nichº je graf první funkce nad (pod) grafem druhé. 27

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Kvadratická rovnice Rovnice ax 2 + bx + c = 0 kde a, b, c R, a 0 se nazývá kvadratická rovnice; ax 2 je její kvadratický len, bx je lineární len a c absolutní len. c = 0 Rovnice bez absolutního lenu b 0 x 1 = b a, x 2 = 0 b = 0 x 12 = 0 b = 0 Ryze kvadratická rovnice c x 12 = ± a Obecná kvadratická rovnice b 2 4ac > 0 x 12 = b ± b 2 4ac 2a b 2 4ac = 0 x 12 = b 2a b 2 4ac < 0 x 12 = b ± b 2 4ac i 2a a = 1 Normovaný tvar kvadratické rovnice Viètovy vztahy Mezi ko eny kvadratické rovnice a jejími koecienty platí následující vztahy: Rovnice vy²²ích stup x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a Rovnice vy²²ích stup e²íme rozloºením na sou inový tvar (nap. Hornerovo schéma). Poté se sou in n kolika ísel rovná nule práv tehdy, kdyº alespo jeden z initel se rovná nule. (x + a 1 ) (x + a 2 ) (x + a 3 )... (x + a n ) = 0 x 1,2,...,n = a 1,2,...,n 28

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Reciproké rovnice Je-li ko enem reciproké rovnice a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = 0 hodnota x, je i 1 x ko enem rovnice. Reciproká rovnice I. druhu: a n = a 0 ; a n 1 = a 1 ;... Rovnice lichého stupn jedním z ko en je hodnota 1, proto rovnici vyd líme hodnotou x + 1, ímº dostaneme rovnici sudého stupn Rovnice sudého stupn rovnici vyd líme neznámou v tolikáté mocnin, v jaké je u koecientu a n (ov íme, zda jsme ned lili nulou). Povytýkáme stejné 2 koecienty a zavedeme Lagrangeovu substituci x + 1 = b a rovnici do e²íme. x Reciproká rovnice II. druhu, lichého stupn : a n = a 0 ; a n 1 = a 1 ;... Jedním z ko en je hodnota 1, proto rovnici vyd líme výrazem x 1, ímº dostaneme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupn. Binomické rovnice Binomická rovnice x n a = 0, kde x C; n N; a = a (cos α + i sin α), má v oboru komplexních ísel práv n r zných ko en ve tvaru: x k = n ( a cos α + 2kπ + i sin α + 2kπ ) ; k = {0; 1;... ; n 1} n n Ko eny této rovnice leºí pro n > 2 v Gausov rovin ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do kruºnice se st edem v po átku a polom rem n a. Trinomická rovnice Rovnici ve tvaru ax 2n + bx n + c = 0 e²íme zavedením substituce x n výslednou kvadratickou rovnici a dále zbylé binomické rovnice. = y. Vy e²íme Nerovnice vy²²ích stup Nerovnice vy²²ích stup e²íme jejich p evedením na sou inový tvar. Sou in dvou ísel je v t²í neº nula práv tehdy, kdyº jsou bu oba initelé v t²í neº nula, nebo oba men²í neº nula. Zavedením t chto podmínek vy e²íme danou nerovnici. Nerovnici v sou inovém tvaru m ºeme také e²it metodou nulových bod. Sou in n kolika nenulových ísel je záporný práv tehdy, kdyº lichý po et initel je záporný, jinak je sou in kladný. 29

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Rovnice v podílovém tvaru Ekvivalentní úprava: vynásobení obou stran rovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je denován pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº rovnici e²íme. Moºnosti e²ení: Ode teme pravou stranu. Zlomek je roven nule, pokud je roven nule itatel. Stanovíme podmínky e²itelnosti a potom rovnici vynásobíme jmenovatelem. Nerovnice v podílovém tvaru Ekvivalentní úpravy: vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je denován a kladný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº nerovnici e²íme; vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je denován a záporný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº nerovnici e²íme a sou asné obrácení znaku nerovnosti. Metody e²ení: Ode teme pravou stranu, zlomek je nezáporný práv tehdy, kdyº bu je itatel nezáporný a jmenovatel kladný nebo itatel nekladný a jmenovatel záporný. Ode teme pravou stranu a nerovnici vy e²íme metodou nulových bod : je-li alespo jeden z initel ve jmenovateli nulový, nemá zlomek smysl; jsou-li v²ichni initelé ve jmenovateli nenuloví a alespo jeden initel v itateli nulový, je zlomek roven nule; jsou-li v²ichni initelé v itateli i ve jmenovateli nenuloví, je zlomek záporný práv tehdy, kdyº je lichý po et initel záporný, jinak je zlomek kladný. Stanovíme podmínky, vynásobíme nerovnici jmenovatelem a diskutujeme, zda je kladný nebo záporný. Rovnice s absolutními hodnotami Rovnici s absolutní hodnotou x + a = b m ºeme e²it t mito zp soby: Vyuºijeme geometrického významu absolutní hodnoty (vzdálenost dvou ísel na íselné ose). x ( a) = b x 12 = a ± b Vyuºijeme denici absolutní hodnoty: pokud x + a 0 p ímo odstraníme absolutní hodnotu, pokud x + a < 0 odstraníme absolutní hodnotu a její vnit ek vynásobíme 1. Tuto metodu si uleh íme sestavením tabulky. 30

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Nerovnice s absolutními hodnotami e²íme st jn jako rovnice s absolutními hodnotami s tím rozdílem, ºe v záv ru e²íme nerovnici, jejíº obor e²itelnosti je omezen ur itým intervalem. Iracionální rovnice Iracionální rovnice jsou rovnice s neznámou pod odmocninou. e²íme umocn ním obou stran na druhou, coº je d sledková úprava, proto musíme provézt zkou²ku. Pokud jsou ob strany nezáporné nebo nekladné, je umocn ní ekvivalentní úprava. Iracionální nerovnice e²íme stejn jako iracionální rovnice, s tím rozdílem, ºe pokud umoc ujeme, musíme si dát pozor, zda jsou ob strany nerovnice nezáporné, pokud jsou záporné, musíme zm nit znak nerovnosti. Platí: a, b R + 0 : a < b a 2 < b 2 c, d R 0 : c < d c 2 > d 2 Numerické e²ení rovnic M jme funkci f spojitou na intervalu a; b, pro kterou platí f(a) f(b) < 0, coº nám zaru uje, ºe na intervalu a; b má alespo jeden nulový bod. Metoda p lení interval Interval a; b rozp líme bodem c = a + b. Mohou nastat tyto moºnosti: 2 f(c) = 0 výpo et ukon íme, bod c je e²ením rovnice f(a) f(c) < 0 pokra ujeme dále na intervalu a; c f(c) f(b) < 0 pokra ujeme dále na intervalu c; b Pokra ujeme tak dlouho dokud b a < ε p esnost výpo tu. e²ením rovnice je c. Metoda te en (Newtonova metoda) Newtonova metoda vyuºívá k p esn j²ímu nalezení ko ene rovnici te ny k funkci v bod c. Pr se ík te ny s osou x je nový bod c. Pro výpo et bodu c m ºeme pouºít jednoduchý vzorec: c k+1 = c k f(c k) f (c k ) Algoritmus opakujeme tak dlouho, dokud f(c k ) = 0 nebo dokud nedosáhneme poºadované p esnosti: c k+1 c k < ε. 31

7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic Metoda t tiv (se en) Tuto metodu vyuºíváme p edev²ím v p ípad, kdy derivace f (x) je dána p íli² sloºitým vztahem. Z krajních bod intervalu vedeme se nu, která protne osu x v bod c, který m ºeme ur it následujícím vztahem: c = b f(a) a f(b) f(a) f(b) Dále mohou nastat tyto moºnosti: f(c) = 0 výpo et ukon íme, e²ením je bod c f(a) f(c) < 0 pokra ujeme dále na intervalu a; c f(c) f(b) < 0 pokra ujeme dále na intervalu c; b Výpo et opakujeme stále dokola do té doby, dokud nedosáhneme poºadované p esnosti: c n c n 1 < ε. Itera ní metoda V této metod rovnici f(x) = 0 nahradíme rovnocenou rovnicí x = F (x). Funkci F (x) nazýváme itera ní funkcí. Na po átku zvolíme aproximaci ko ene x 0 a dále provádíme aproximace podle následujícího vzorce: x n+1 = F (x n ) Algoritmus op t provádíme dokud nedosáhneme poºadované p esnosti x n+1 x n < ε. P i pouºití této metody je vhodné správn zvolit itera ní funkci F (x). Funkce F (x) musí být na daném intervalu spojitá a musí pro ni platit: F (x) < 1. 32

8. Aplikace integrálního po tu 8 Aplikace integrálního po tu (obsah obrazce, objem rota ních t les, délka k ivky, povrch rota ních t les, t ºi²t elementární oblasti, diferenciální rovnice) Elementární oblast vzhledem k ose x je taková oblast, kterou m ºeme na ose x omezit konstantními hodnotami, zatímco hranice oblasti podél osy y leºí mezi funkcemi f(x) a g(x). Obsah plochy pod k ivkou Objem rota ního t lesa Délka k ivky S = b a b V = π l = b a a f(x) g(x) dx f 2 (x) g 2 (x) dx 1 + (f (x)) 2 dx Povrch rota ního t lesa b S = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx Diferenciální rovnice a Diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují derivace neznámé funkce. e²ením diferenciální rovnice je funkce, které rovnici vyhovuje. Metoda separace prom nných y = dy dx Kaºdou prom nnou i s její derivací separujeme na jednu stranu rovnice. Potom ob strany rovnice integruje a výsledky porovnáme. 33

8. Aplikace integrálního po tu P íklad: Metoda variace konstanty y = 1 + y 2 dy dx = 1 + y2 dy 1 + y 2 = dx arctg y = x + c y = tg (x + c); c R f(x)y + g(x)y = h(x) Rovnici vy e²íme bez pravé strany (pomocí metody separace prom nných), konstanta ve výsledku e²ení je vhodn zvolená funkce u(x), která vyhovuje zadání. y cos x + y sin x = a y cos x + y sin x = 0 dy sin x dx = y cos x ln y = ln cos x + ln c y = c cos x y = u(x) cos x y = u (x) cos x u(x) sin x u (x) cos 2 x u(x) sin x cos x + u(x) cos x sin x = a u (x) = a cos 2 x u(x) = a tg x + c y = a sin x + c cos x; c R 34

9. Goniometrie 9 Goniometrie (denice goniometrických funkcí, vlastnosti a grafy goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, goniometrické rovnice a nerovnice, trigonometrie, cyklometrické funkce) Denince goniometrických funkcí Sinus úhlu α je y-ová sou adnice bodu M, který je pr se íkem ramene úhlu s jednotkovou kruºnicí. D(f) = R H(f) = 1; 1 Lichá Periodická s periodou 2π Omezená shora i zdola 1 0.5 0-0.5-1 -2.0π -1.5π -1.0π -0.5π 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π 2.0π Obrázek 1: y = sin(x) Kosinus úhlu α je x-ová sou adnice bodu M, který je pr se íkem ramene úhlu s jednotkovou kruºnicí. D(f) = R H(f) = 1; 1 Sudá 35

9. Goniometrie Periodická s periodou 2π Omezená shora i zdola 1 0.5 0-0.5-1 -2.0π -1.5π -1.0π -0.5π 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π 2.0π Obrázek 2: y = cos(x) Tangens úhlu α je denován jako podíl jeho sinu a kosinu. D(f) = R\ { π 2 + kπ} ; k Z H(f) = R Lichá Periodická s periodou π Neomezená Kotangens úhlu α je denován jako podíl jeho kosinu a sinu. D(f) = R\ {kπ} ; k Z H(f) = R Lichá Periodická s periodou π Neomezená 36

9. Goniometrie 10 5 0-5 -10-1.5π -1.0π -0.5π 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π Obrázek 3: y = tg(x) Goniometrické vzorce tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x sin 2 x + cos 2 x = 1 tg x cotg x = 1 Sou tové vzorce Sou ty hodnot goniometrických funkcí sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y sin x + sin y = 2 sin x + y 2 sin x sin y = 2 cos x + y 2 cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x cos y = 2 sin x + y 2 cos x y 2 sin x y 2 cos x y 2 sin x y 2 37

9. Goniometrie 10 5 0-5 -10-1.5π -1.0π -0.5π 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π Obrázek 4: y = cotg(x) Vzorce dvojnásobného argumentu sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x Vzorce polovi ního argumentu sin x = 2 cos x = 2 1 cos x 2 1 + cos x 2 Trigoniometrie Sinová v ta Kosinová v ta Obvod a sin α = b sin β = c sin γ = 2r a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α o = a + b + c 38

9. Goniometrie Obsah kde s je polovina obvodu. S = a v a 2 ab sin γ S = 2 S = s(s a)(s b)(s c) S = ϱ s S = abc 4r s = a + b + c 2 Cyklometrické funkce Arkus sinus D(f) = 1; 1 H(f) = π; π 2 2 Lichá 0.5π 0.0π -0.5π -1-0.5 0 0.5 1 Obrázek 5: y = arcsin(x) 39

9. Goniometrie Arkus kosinus D(f) = 1; 1 H(f) = 0; π 1.0π 0.5π 0.0π -1-0.5 0 0.5 1 Obrázek 6: y = arccos(x) Arkus tangens D(f) = R H(f) = ( π; π 2 2 Lichá ) Arkus kotangens D(f) = R H(f) = (0; π) 40

9. Goniometrie 0.5π 0.0π -0.5π -10-5 0 5 10 Obrázek 7: y = arctg(x) 1.0π 0.5π 0.0π -10-5 0 5 10 Obrázek 8: y = arccotg(x) 41

10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice 10 Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice (denice a vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce, jejich grafy, pravidla pro po ítání s logaritmy, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice) Exponenciální funkce 8 7 6 5 4 3 2 1 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Obrázek 9: y = e x, y = e x Exponenciální funkce se základem a je funkce na mnoºin reálných ísel, vyjád ená ve tvaru y = a x, kde a > 0, a 1. f(x) : y = a x, a R + \ {1} D(f) = R H(f) = R + Na celém svém deni ním oboru je spojitá, prostá, ryze monotónní a konvexní. Rostoucí pokud a (1; ), klesající pokud a (0; 1). Nemá v ºádném svém bod maximum ani minimum, ale je zdola omezená. Na jedné stran deni ního oboru konverguje k nule, na druhé k nekone nu, ale nemá asymptoty. Logaritmická funkce Logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální. 42

10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Obrázek 10: y = log(x), y = log(x) f(x) : y = log a x, a R + \ {1} D(f) = R + H(f) = R Kde a se nazývá základem logaritmické funkce. Na celém svém deni ním oboru je spojitá a ryze monotónní. Je to funkce prostá. Pokud je a (1; ) je funkce rostoucí a konvexní a pokud a (0; 1) je funkce klesající a konkávní. Není omezená, konverguje k nekone nu a v nule má zprava nevlastní limitu, nemá asymptoty. Exponenciální rovnice a nerovnice Pokud jsou si rovny základy, jsou si rovny i exponenty. a x = a y x = y Jsou-li si rovny exponenty, jsou si rovny i základy. a x = b x a = b 43

10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice a nerovnice Platí: log a x y = y log a x log a xy = log a x + log a y x log a = log y a x log a y log a x = log b x log b a Pokud jsou si rovny základy jsou si rovny i argumenty. log a x = log a y x = y Pokud se rovnají argumenty, rovnají se i základy. log a x = log b x a = b 44

11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty metody výpo tu, Cramerovo pravidlo) Soustavy rovnic Ekvivalentní úpravy 1. Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy 2. Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjád íme n kterou neznámou, do jiné rovnice 3. P i tení nenulového násobku rovnice k jiné rovnici nebo jejímu nenulovému násobku 4. Zám na po adí rovnic 5. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy Metody e²ení 1. Dosazovací (substitu ní) 2. S ítací (aditivní) 3. Srovnávací 4. Gracky Soustava m rovnic o n neznámých m > n: Ze zadné soustavy vybereme n rovnic a tuto soustavu vy e²íme. Ov íme, zda toto e²ení vyhovuje i v²em vynechaným rovnicím. m < n: Ozna íme si (m n) neznámých jako parametry a soustavu vy e²íme v závislosti na nich. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b m a ij R; b i R Absolutní leny; x j R Neznámé i = {1; 2;... ; m}; j = {1; 2;... ; n} 45

11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice b 1 = b 2 =... = b m = 0 homogenní soustava, má triviální e²ení: x 1 =... = x n = 0 alespo jeden ze len b i 0 nehomogenní soustava Soustavu e²íme Gaussovou elimina ní metodou nebo Cramerovým pravidlem (pokud m = n). Viz dále. Kaºdá n-tice [x 1 ; x 2 ;... ; x n ] reálných ísel, která vyhovuje dané soustav, se nazývá partikulární e²ení. V²echna partikulární e²ení tvo í tzv. obecné e²ení. Soustava nerovnic o jedné neznámé Nejd íve vy e²íme kaºdou nerovnici zvlá². Mnoºina v²ech e²ení soustavy je pak pr nik mnoºin v²ech e²ení jednotlivých nerovnic. Matice Matice je schéma, ve kterém je uspo ádáno m n reálných ísel do m ádk a n sloupc. Tato ísla nazýváme prvky matice: a ij (i ádkový index; j sloupcový index). Matice ozna ujeme velkými tiskacími písmeny. a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A (m;n) =....... a m1 a m2 a m3... a mn Hlavní diagonála je tvo ena prvky a 11, a 22, a 33,..., a mn, musí platit m = n. Vedlej²í diagonála je opa ná diagonála k hlavní diagonále. Bodová matice m = n = 1 ádková matice m = 1 Sloupcová matice n = 1 ƒtvercová matice m = n. Determinant tvercové matice A ozna me A. Pokud je A = 0 pak je tato matice singulární. Pokud A 0, ozna ujeme tuto matici jako regulární. Nulová matice je taková matice, v²echny prvky jsou nulové. Jednotková matice je tvercová matice, která má na hlavní diagonále jedni ky a ostatní prvky jsou nuly. 46

11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice Trojúhelníková matice Transponovaná matice má nad nebo pod hlavní diagonálou samé nuly. vznikne z p vodní matice zám nou ádk a sloupc. Inverzní matice je taková tvercová matice A 1, pro kterou platí A A 1 = A 1 A = jednotková matice. Inverzní matici ur íme tímto zp sobem: P vodní matici A upravíme na jednotkovou matici. Tyto úpravy provádíme na jednotkové matici stejného ádu. Matice, která vznikne t mito úpravami je inverzní maticí A 1 k matici A. Hodnost matice A ozna ujeme h(a). Matice A má hodnost h, práv tehdy kdyº z ní lze vybrat determinant ádu h, který je r zný od nuly a v²echny determinanty vy²²ích ád jsou nulové. Hodnost matice m ºeme ur it tak, ºe matici upravíme na trojúhelníkový tvar a po et nenulových ádk ur ují hodnost matice. K úprav matice na trojúhelníkový tvar m ºeme pouºít tyto úpravy: zám na ádk za sloupce nebo ádk nebo sloupc mezi sebou násobení ádeku nebo sloupce nenulovým íslem p i tení k libovolnému ádku nebo sloupci lineární kombinací ostatních ádk nebo sloupc vynechání ádku nebo sloupce, který je lineární kombinací ostatních ádk nebo sloupc Operace s maticemi Rovnost matic: Dv matice stejného typu se sob rovnají, mají-li ma stejných místech stejné prvky. A = B a ij = b ij S ítání matic: Sou et matic stejného typu je sou et odpovídajících prvk. Platí komutativní a asociativní zákon. A + B = C c ij = a ij + b ij Násobení matice reálným íslem: Násobení matice reálným íslem je vynásobení v²ech prvk matice tímto íslem. k A = B b ij = k a ij Násobení matice maticí: Je-li první matice A typu (m, n) a druhá matice B typu (n, p), pak sou inem t chto matic v tomto po adí A B je matice C typu (m, p), pro niº platí: n A B = C c ik = a ij b jk j=1 i = {1; 2;... ; m}; k = {1; 2;... ; p} 47

11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice Gaussova elimina ní metoda Pouºívá se k e²ení soustavy lineárních rovnic o n neznámých. P i e²ení postupujeme takto: 1. Koecienty rovnic zapí²eme do matice s roz²í ením pravé strany tak, aby prvek a 11 nebyl nulový. 2. Roz²í enou matici dané soustavy transponujeme úpravami, které zachovávají její hodnost, na trojúhelníkovitý tvar. 3. Vypo ítáme hodnost p vodní a roz²í ené matice a podle Frobenovy v ty ur íme e²itelnost soustavy: h = h = n soustava má jedno e²ení h = h < n soustava má nekone n mnoho e²ení, (n h) neznámých p evedeme na pravou stranu jako parametry h h soustava nemá e²ení 4. P epí²eme ádky matice op t do rovnic a ur íme ko eny. Determinanty Uspo ádáme-li n 2 reálných ísel do tvercového schématu o n ádcích a n sloupcích, dostaneme determinant n-tého ádu. Kaºdému takovému determinantu lze p i adit reálné íslo, které nazýváme hodnotou tohoto determinantu. Hodnota determinantu Determinant 1. ádu: a 11 = a11 Determinant 2. ádu: pomocí Sarrusova pravidla a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 Determinant 3. ádu: pomocí Sarrusova pravidla a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 21 a 12 a 33 a 23 a 32 a 11 Determinanty jiného ádu: úpravou na trojúhelníkový tvar. Na úpravu m ºeme pouºít tyto metody: 48

11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice Hodnota determinantu se nezm ní zam níme-li i-tý ádek za i-tý sloupec nebo naopak. Zam níme-li v determinantu dv rovnob ºné ady ( ádek nebo sloupec), hodnota determinantu se zm ní v opa nou Vynásobíme-li prvky n které ady reálným íslem k, zm ní se jeho hodnota k-krát. Hodnota determinantu se nezm ní, p ipo teme-li k n které jeho ad lineární kombinaci ad s ní rovnob ºných. Je-li v determinantu n která jeho ada lineární kombinací ad s ní rovnob ºných, je hodnota determinantu rovna nule. Jsou-li prvky n které ady rovny nule, je hodnota determinantu rovna nule. Pokud má determinant trojúhelníkový tvar, pak je jeho hodnota rovna sou inu prvk na hlavní diagonále. Cramerovo pravidlo 1. Ur íme hodnotu derminantu D sestaveného z koecient na levých stranách rovnic. 2. Ur íme hodnoty derminant D i sestavených z koecient na levých stranách rovnic. Vºdy i-tý sloupec nahradíme hodnotami na pravých stranách rovnic. 3. Spo ítáme hodnoty prom nných následujícím zp sobem: D = 0 D i = 0: Nekone n mnoho e²ení D = 0 alespo jeden z D i 0: šádné e²ení {[ D1 D 0: K = D ; D 2 D ;... ; D ]} n D 49

12. Binomická v ta, Kombinatorika 12 Binomická v ta, Kombinatorika (faktoriál, kombina ní íslo, Pascal v trojúhelník, binomická v ta, kombinatorické pravidlo sou tu a sou inu, permutace, variace, kombinace s opakováním i bez) Faktoriál Je sou in ísel od 1 do n (n N 0 ). Kombina ní íslo n! = 1 2... (n 1) n 0! = 1 Pro n, k N 0 ; n k platí: ( ) ( ) n n! n = = 1 k (n k)! k! 0 ( ) ( ) ( ) n n n = = 1 k n k n ( ) ( ) ( ) ( ) n n n + 1 n + = = n k k + 1 k + 1 1 Pascal v trojúhelník Pascal v ( ) trojúhelník ( ) schéma z kombina ních ísel. Je soum rné podle svislé osy, protoºe n n platí: =. Libovolné íslo v Pascalov trojúhelníku lze získat se tením dvou k n k ( ) ( ) ( ) n n n + 1 ísel leºících bezprost edn nad ním, platí: + =. k k + 1 k + 1 Sou et v²ech ísel v n-tém ádku je roven n-té mocnin dvojky: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n + +... + + = 2 n 0 1 n 1 n ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 2 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 3 3 3 0 1 2 3 50