Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management

Transkript

1 Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Matematika Matematika Katedra inženýrské pedagogiky MÚVS ČVUT doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. Praha 0

3 Obsah: Úvod I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory I.. Matice, determinanty I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic II. DIFERENCIÁLNÍ POČET II.. Posloupnosti reálných čísel II.. Funkce základní pojmy a vlastnosti II.3. Limita a spojitost funkce II.4. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam II.5. Užití derivace, průběh funkce III. NEURČITÝ INTEGRÁL III.. Vlastnosti neurčitých integrálů, tabulkové integrály III.. Integrace metodou per partes III.3. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů III.4. Integrace racionálních funkcí III.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin IV. URČITÝ (RIEMANNŮV) INTEGRÁL IV.. Vlastnosti určitých integrálů, Newton Leibnizova formule IV.. Výpočet určitého integrálu substituční metodou a metodou per partes. IV.3. Některé geometrické aplikace určitého integrálu IV.4. Další příklady Doporučená literatura Použitá literatura

4 Úvod Toto skriptum bylo napsáno s cílem usnadnit studentům prvního ročníku MÚVS ČVUT zorientovat se v předmětu Matematika, vymezit nejdůležitější pojmy nutné pro zvládnutí předmětu a načrtnout okruh úloh, které je třeba zvládnout. Předpokládáme přitom, že skriptum bude používáno jako doplňková literatura k přednáškám a cvičením, kde se studenti podrobně seznámí se všemi postupy a metodami, jichž je k řešení úloh třeba. Nemůže jim nahradit - a ani si takový cíl neklade - souvislý výklad přednášek ani doporučenou literaturu, může však usnadnit jejich samostatnou práci v tomto předmětu, a to jak během semestru, tak i při přípravě na zkoušku. Vzhledem k omezenému rozsahu skripta je zařazeno řešení pouze přibližně dvaceti nejvíce typických úloh nebo úloh se stručným návodem k řešení. Skriptum navazuje bezprostředně na učební text Matematika I, viz [], a využívá materiálu obsaženého ve skriptech [5] a [6]. Jednotlivé části obsahují i výsledky a představují tedy obsahově samostatné a uzavřené celky. Autor bude čtenářům vděčen za všechna upozornění na eventuální tiskové chyby nebo další nedostatky. 3

5 I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Pojmy: Vektor, vektorový prostor, součet vektorů, součin reálného čísla a vektoru, skalární součin dvou vektorů, velikost vektoru, úhel dvou vektorů, vektorový součin dvou vektorů z V (E 3 ) lineární kombinace skupiny vektorů, lineární závislost/nezávislost skupiny vektorů, báze vektorového prostoru, dimenze vektorového prostoru. Vzorce: Skalární součin: u v = u v + u v +... u n v n u v = u v cos θ Velikost vektoru: Úhel dvou vektorů: Ortogonální vektory: u = u u cos θ = u v u v u v u v = 0 Ústředním pojmem lineární algebry je lineární závislost či nezávislost vektorů. Pomocí tohoto pojmu je dále definována hodnost matice, dimenze vektorového prostoru a báze vektorového prostoru. Definice: Skupinu vektorů u, u... u n nazveme lineárně závislou jestliže existují reálná čísla α, α α n tak, že u α + u α + + u n α n = o, ale alespoň jedno z čísel α, α α n je nenulové. V opačném případě nazveme skupinu vektorů lineárně nezávislou.. Vypočítejte skalární součin vektorů u = (3,, ) a v = (0,, ). Rozhodněte, zda jsou vektory kolmé. (Návod: Užijte vzorec u v = u v + u v + u 3 v 3. ) 4

6 Ř e š e n í : u v = ( ) + ( ) = 6 Vektory nejsou kolmé, protože jejich skalární součin není roven nule.. Vypočítejte kosinus úhlu ϑ, který svírají vektory x = (3,, ) a y = (0,, ). Ř e š e n í : Užijeme vzorec x y = x y cos ϑ. Odtud plyne: cos ϑ = x y x y = x y + x y + x 3 y 3 x + x + x 3 y + y + y 3 = 6 = Vypočítejte vektorový součin vektorů u = (,, ) a v = (, 0, ). Ř e š e n í : Vektorový součin u v nejprve vyjádříme determinantem, jehož první řádek tvoří jednotkové vektory i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ), druhý řádek tvoří souřadnice vektoru u a třetí řádek tvoří souřadnice vektoru v. Determinant poté rozvineme podle prvního řádku. Dostaneme: i, j, k u v =,, = i 3 j + k = (, 3, )., 0, 4. Určete, zda jsou vektory (,, 3), (,, ) a (, 7, 8) lineárně závislé nebo nezávislé. Ř e š e n í : Určíme hodnost matice A, jejíž řádky jsou tvořeny těmito vektory, viz část I.. Jestliže hodnost matice bude rovna počtu řádek (tj. původnímu počtu vektorů), budou vektory lineárně nezávislé. Pokud bude hodnost menší než tento počet, budou vektory lineárně závislé. Matici postupně převádíme pomocí úprav, které zachovávají její hodnost, na matici trojúhelníkovou:,, 3,, 3,, 3,, ) 0, 5, 5 ) 0, 5, 5, 7, 8 0, 5, 5 0, 0, 0 5

7 3 ) ( ),, 3. 0, 5, 5 ) Ke. řádku přičteme. řádek vynásobený číslem ( ) a ke 3. řádku přičteme. řádek vynásobený číslem ( ). ). řádek přičteme ke 3. řádku. 3 ) 3. řádek je nulový, proto jej vynecháme. Poslední matice je trojúhelníkovou maticí typu 3, její hodnost je proto rovna minimu z čísel a 3, to jest. Hodnost původní čtvercové matice je tedy také. To znamená, že mezi původními vektory lze nalézt pouza dva lineárně nezávislé. Zadané tři vektory jsou tedy lineárně závislé. Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor a, který je roven lineární kombinaci α u + β v + γ w.. u = (4,, 0), v = (5, 3, ), w = (, 0, ), α =, β =, γ = Najděte vektor x, který vyhovuje zadané rovnici.. 7 x + u = 3u + 6v x, kde u = (, 0, 3, ), v = (, 0, 3, 5) Vypočítejte skalární součin zadaných vektorů. (Návod: Užijte formuli u v = u v u n v n.) 3. u = (3, 3, ), v = (4, 3, 0) Vypočítejte, jaký úhel svírají zadané vektory. (Návod: Užijte formuli cos ϑ = u v/( u v ).) 4. u = (, 3), v = (, ) Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) 5. u = (, α + 3), v = (0, + α) V následujících příkladech jsou dány vektory z V(IE ) až V(IE 4 ). Zjistěte a) zda jsou tyto vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé, b) jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován a c) které vektory tvoří bázi tohoto vektorového prostoru. 6

8 Rozmyslete si skutečnost, že otázku b) by bylo možné také formulovat takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky (nebo sloupce) jsou tvořeny danými vektory? 6. u = (, ), v = (, 3) 7. u = (, ), v = (0, 0) 8. u = (, 4, ), v = (3,, ) 9. u = (, 5, ), v = (3, 5, 3) 0. x = (, 5), y = (0, 0), z = (5, 5). x = (, 3, ), y = (3, 0, ), z = (0, 9, 8). x = (, 0,, ), y = (3,, 5, ), z = (4, 6, 5, 0) V následujících příkladech jsou dány vektory, v jejichž souřadnicích se vyskytují parametry. Zjistěte a) pro které hodnoty parametrů jsou tyto vektory lineárně závislé a b) jaká je v těchto případech dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován. (Návod: Utvořte matici, jejíž řádky jsou tvořeny zadanými vektory. V závislosti na vyskytujících se parametrech vyšetřete hodnost matice.) 3. a = (, 0, 0), b = (0,, 0), c = (α, 0, α + ), d = (α, α, 0) 4. u = (k,, 0), v = (0, k, 3), w = (0,, k) 5. u = (0,, a), v = (, a, a), w = (, 0, ) Vyjádřete vektory a, b jako lineární kombinaci vektorů u, v (respektive u, v, w ) (pokud to jde). Je vyjádření jednoznačné? (Návod: Vektor a hledejte ve tvaru a = αu + βv. Rozepište toto vyjádření do souřadnic. Obdržíte soustavu rovnic pro neznámé α a β.) 6. a = (3,, 5), b = (5, 6, 7), u = (, 3, ), v = (,, 3), w = (5,, 8) a) Tvoří následující vektory bázi vektorového prostoru V? b) Jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován? Rozmyslete si skutečnost, že otázku b) by bylo možné formulovat také takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky (nebo sloupce) jsou tvořeny danými vektory? 7. V = IR 3, a = (0, 7, 3), b = (5, 3, ) V následujících příkladech je zadán vektorový prostor V a jeho podmnožina V. Rozhodněte, zda V je podprostorem vektorového prostoru V. 7

9 8. V = IR 3, V = {(a, b, c); a, b, c IR, a + b = 0} 9. V = IR 4, V = {(u, v, w, x); u, v, w, x IR, u v + w 0} V následujících příkladech je V množinou, jejímiž prvky jsou funkce definované na intervalu I. Součet f + g libovolných dvou funkcí f a g z V je definován takto: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x I. Součin λ f libovolného reálného čísla λ a libovolné funkce f z V je definován takto: (λ f)(x) = λ f(x) pro x I. Ověřte, zda množina V (spolu s uvedenými operacemi) je vektorovým prostorem. 0. I = (, + ), V je množina všech funkcí, které mají tvar α sin x + β cos x + γ kde α, β, γ IR.. I = (, + ), V je množina všech funkcí, které mají tvar α + β x + γ x kde α, β, γ IR. VÝSLEDKY I.. Vektory, vektorové prostory. a = (7, 0, 3). x = (, 0, 3, 4) o 5. α =, 3 6. LN, ; u, v 7. LZ, ; např. u 8. LN, ; u, v 9. LZ, ; např. u 0. LZ, ; např. x. LZ, ; např. x, y. LN, 3; x, y, z 3. pro všechna α; dim = pro α =, dim = 3 pro α 4. k = 0, 3, ; dim = 5. a =, ; dim = 6. např. a = u + v, vyjádření není jednoznačné, b vyjádřit nelze 7. ne, 8. ano 9. ne 0. ano. ano 8

10 I.. Matice, determinanty Pojmy: Součet matic, násobení matice reálným číslem, součin matic, hodnost matice, trojúhelníková matice, čtvercová matice, jednotková matice, regulární matice, singulární matice, inverzní matice, determinant čtvercové matice, Sarussovo pravidlo. Pomocí pojmu lineární závislosti skupiny vektorů je dále definována hodnost matice a dimenze vektorového prostoru. Definice: Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Lze dokázat, že maximální počet lineárně nezávislých řádek matice se rovná maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců téže matice. Definice: Řekneme, že vektorový prostor má dimenzi rovnou přirozenému číslu n, jestliže se v tomto vektorovém prostoru najde lineárně nezávislá skupina n vektorů, a každá skupina vektorů tohoto vektorového prostoru obsahující alespoň n + vektorů je lineárně závislá.. Určete hodnost matice A, jejíž řádky jsou tvořeny vektory (, 3, 5), (, 4, 8) a (4,, 8). Je tato matice regulární? Ř e š e n í : Matici postupně převádíme pomocí úprav, které zachovávají její hodnost, na matici trojúhelníkovou:, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 4, 8 ) 0, 0, ) 0, 0, 4,, 8 0, 0, 0, 0, 0 ( ), 3, 5 3 ). 0, 0, ) Ke. řádku přičteme. řádek vynásobený číslem ( ) a ke 3. řádku přičteme. řádek vynásobený číslem ( 4). ). řádek odečteme od 3. řádku. 3 ) 3. řádek je nulový, proto jej vynecháme. Poslední matice je trojúhelníkovou maticí typu 3, její hodnost je proto rovna minimu z čísel a 3, to jest. Hodnost původní čtvercové 9

11 matice je tedy také. Tato matice je singulární, neboť její hodnost je menší, než její rozměr (tj. počet řádků a sloupců).. Určete součin matic A B, B A, kde, 0,,, 0 A = a B =, 0, 0, 0, ( ),,, 0. 3, 0,, Ř e š e n í : A je matice typu 4 3, B matice typu 4. Součin A B tedy není definován. Součin B A je definován, výsledkem je matice ( ), 0,,,, 0,, 0 C = = 3, 0,,, 0, 0, 0, 3. Určete inverzní matici k matici A = Ř e š e n í : 3,,,,,.,, 3 ( 5,, ) 0, 0, 7 Napíšeme vedle sebe matici A a jednotkovou matici E. Pomocí úprav, spočívajících v tom, že k nějakému řádku této rozšířené matice přičítáme násobek jiného řádku, se nyní snažíme docílit toho, abychom na místě matice A získali jednotkovou matici. Na místě E pak vznikne inversní matice A. 3,,, 0, 0,, 0,, 0 ), 3, 3 3,,, 0, 0 0,, 0,, 3 0, 0,,, 3 0, 0, ) 3 ), /3, /3 0, /3, 4/3 0, 5/3, 8/3, /3, /3 0, /3, 4/3 0, 0, 4 /3, 0, 0 /3,, 0 /3, 0, /3, 0, 0 /3,, 0 3, 5, 0

12 , /3, 0 4 ) 0, /3, 0 0, 0, 4 5 ) 6 ), 0, 0 0, /3, 0 0, 0, 4, 0, 0 0,, 0 0, 0, ). řádek násobíme číslem 3. 7/, 5/, / /3, /3, /3 3, 5, /4, /4, /4 /3, /3, /3 3, 5, /4, /4, /4,, 3/4, 5/4, /4 ) Dvojnásobek. řádku odečteme od. řádku a. řádku odečteme od 3. řádku. 3 ) Pětinásobek. řádku odečteme od třetího řádku. 4 ) Ke. řádku přičteme 3 násobek 3. řádku a k. řádku přičteme násobek 3. řádku. 5 ) Od. řádku odečteme. řádek. 6 ). řádku násobíme třemi a. řádek děíme číslem 4. Inversní matice k matici A je obsažena v poslední rozšířené matici vpravo od svislé čáry. Vypočítejte matici A B. (,, 3. A = 0, 5, ), B =. A = 3, B = (,, ), 3, 4,, 3,, 3. A =, B = 4,,, 3,,, 3,,, 4 0, 3,, 0 5,, 0, 3

13 ,, 3 4. A = 3,,, B =, 0 0,, 3, 0, 0 5. Proveďte naznačené operace. ( ) 3 (,,, 6., 3,, 0 ) (,, ) T,, 0 V následujících příkladech vypočítejte matici A B B A.,, 4,, 7. A =,,, B = 4,, 0,, 3,,,, 0 3,, 8. A =,,, B = 3,, 4,, 3, 5, Nalezněte x, y IR taková, aby platila rovnice ( ) ( ) T, 3x, 9. = 3y + 6, 40, ( ) [ ( ) ( ) ]T x + y, 3, 3, 0 0. =, x y, 0, Určete hodnost zadané matice. Je-li matice čtvercová, rozhodněte, zda je regulární či singulární.,, 3,, 3.,, o. 3, 6, 9, 7, 7 4, 8,,,,, 4, 4, 3., 9, 5, 0 3, 5,, K zadaným maticím spočítejte inverzní matice (pokud existují). ( ), 0, 0,, 3, ,, 0 6.,, 3, 0, 3,, 4, 5

14 7.,, 3,, 0 8.,,,, 3 0,, 9. 0, 0, ( cos x, ) sin x sin x, cos x Nalezněte matici X, pro kterou platí,,,, 3 0. X,, 0 = 4, 3,,,,, 5 ( ) ( ),, 0. X = 0, 0, ( ),. A =, B = 0, platí A X = (A B). 3. Řešte maticovou rovnici A X B = C, ( ) ( 3, 0, kde A =, B = 5,, 3 4. Je dána matice A = ( ) 3,. Určete matici X, pro kterou, ), C = x, + x, y, + y,. z, + z, ( ),., Pro jaká x, y, z R je matice A regulární? Vypočítejte A pro x = 0, y =, z =. Vypočítejte následující determinanty cos x, sin sin x, a, a, a a, a, x a, a, x x cos x 6. 8., 5, 0, 7, 4,, 4, 0,, 0,,, a, b, 0, 0,,, 0 3

15 VÝSLEDKY I.. Matice, determinanty ( ) 3, 6, 3, 5, 3,.., 4, 3. 0, 9, 5,,, 4., 3, 5., 3 0, 4, , 4, , 5, 4 ( ) 5, 0 0, 35 4, 4, 4 4,, 0, 4, ( ) 6, 0 0, 5 9. x = 4, y = 0. x = 4, y =. 3, regulární., singulární 3. 3, singulární ( ), 0, 0, ,, 0, 0.5 9, 3,, 4, 3,, 7 6. neexistuje 7., 5, ,,, 6, 4 0, 0, 9..,, 0, 0 3,, 0, 0 3, 9, 3, 4 3, 4,, 3 ( 5, 9 ) 0.5, x y, x z, y z, ,, 0 4, 5, 5, 3, 0 ( ) 8, 9,.5,, ,, ,, 0.5. ( ) 0.5, 0.5 0, cos x a (a + x) 8. 3a b 4

16 I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic Pojmy: Matice soustavy, matice rozšířená, Frobeniova věta, Cramerovo pravidlo, Gaussova eliminace. Teorie viz skripta [], str Pomocí Frobeniovy věty vyšetřete, kolik má daná soustava lineárních algebraických rovnic řešení a tato řešení najděte. x y + 3z + 9u = 0 3x + 5y 3z 9u = 3 x 3y + z + 8u = 3 Ř e š e n í : Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav, tj. úprav neměnících množinu řešení odpovídající soustavy lineárních algebraických rovnic, ji převádíme na matici trojúhelníkovou:,, 3, 9 0,, 3, 9 0 3, 5, 3, 9, 3,, 8 3 ) 0,, 4, 0 3 0,,, 46,, 3, 9 0 ) 0,, 4, 0 7 0, 0, 3, ). řádek násobíme ( 3) a přičteme ke. řádku,. řádek násobíme ( ) a přičteme ke 3. řádku,. a 3. řádek vyměníme. ). řádek násobíme ( ) a přičteme ke 3. řádku. Nyní je patrné, že matice soustavy i matice rozšířená mají stejnou hodnost 3. Protože 3 < 4 (= počet neznámých), má soustava podle Frobeniovy věty nekonečně mnoho řešení. Poslední matici lze přiřadit soustavu x y + 3z + 9u = 0 y 4z 0u = 7 3z + 64u = 96 5

17 Tuto soustavu postupně řešíme od poslední rovnice k první rovnici. Poslední rovnice obsahuje neznámé z a u. u proto budeme považovat za parametr a vypočítáme: z = 3 u. Toto dosadíme do. rovnice a vypočítáme: y = 5+u. Za y a z nakonec dosadíme do. rovnice a vypočítáme: x = + u. Řešení soustavy lze tedy obecně vyjádřit: x y z u = + u 5 + u 3 u u ; u IR. Pomocí Frobeniovy věty rozhodněte, zda následující soustavy rovnic mají řešení a jaký je jejich počet.. x y = 3 x y = 0 4x 5y = 6. x y + z = 9 3x + 5y + 4z = 0 5x + y + 6z = x + y = 5x + 4y + z = 7 x + y + 5z = 33 Pomocí Frobeniovy věty vyšetřete, kolik řešení mají v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů následující soustavy. 4. ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = 5. ax 3y = ax y = 6. x y + z + u = x + y z + 4u = x + 7y 4z + u = λ Ověřte, zda je možné použít při řešení následujících soustav rovnic Cramerovo pravidlo. V kladném případě soustavu pomocí tohoto pravidla řešte. (Návod: Cramerovo pravidlo lze použít, je-li matice soustavy regulární. ) 6

18 7. 3x y + z = x + y 3z = 7 x 4y 3z = x + y z = x + y + z = 0 x + 3y + z = 0 8. x 3y + z = 0 x + y z = 3 x + y + z = Vyšetřete, jaká je v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů dimenze vektorového prostoru všech řešení následujících homogenních soustav lineárních algebraických rovnic. 0. 3x + y z = 0 x y + 3z = 0 λx + 3y 4z = 0. 4x + y z = 0 x + y + 3z = 0 λx + y λz = 0 Řešte Gaussovou eliminační metodou homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic.. 3x y + 3z = 0 x + y 5z = 0 3x + y z = 0 4. x + 3x + x 3 = 0 x x + 3x 3 = 0 3x 5x + 4x 3 = 0 x + 7x + 4x 3 = x + 4x 5x 3 + 7x 4 = 0 x 3x + 3x 3 x 4 = 0 4x + x 3x 3 + 6x 4 = 0 7x x + x 3 + 3x 4 = 0 6. x + x 3x 4 x 5 = 0 x x + x 3 x 4 = 0 4x x + 6x 3 + 3x 4 4x 5 = 0 x + 4x x 3 + 4x 4 7x 5 = 0 3. x + x + 3x 3 = 0 4x + 7x + 5x 3 = 0 x + 6x + 0x 3 = 0 x + x 4x 3 = 0 7

19 Řešte eliminační metodou následující nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. 7. x + y + 3z = 4 x + y z = 3 3x + 3y + z = 0 8. x + y + 3z = 5 x y z = x + 3y + 4z = 6 9. x 3x + x 3 = 7x 3x 3 = 7 x + x x 3 = 3 x + 4x x 3 = 6 0. x x + x 3 x 4 = x x 3x 4 = 3x x 3 + x 4 = 3 x + x x 3 + 5x 4 = 6. x x + 3x 3 4x 4 = 4 x x 3 + x 4 = 3 x + 3x 3x 4 = 7x + 3x 3 + x 4 = 3 Řešte následující soustavy lineárních algebraických rovnic s parametry.. ax + y + z = 4 x + y + z = 3 x + 4y + z = 4 3. ax y + z = x ay + z = x y + az = 4. αx + y + z = α + x + αy + z = x + y + αz = Kolik řešení (v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů) mají následující soustavy lineárních algebraických rovnic? Pro zadané hodnoty parametrů soustavy vyřešte. (Návod: Užijte Frobeniovu větu.) 5. (a )x + (a + )y + z = a x y + z = x + y + 3z = [ a = ] 6. x + y + 3z = 5 3x + y + z = k x y z = 0 [ k = 5 ] 7. Určete všechny hodnoty parametru λ, pro něž má soustava 8

20 A X = O nenulové řešení a vypočítejte toto řešení: λ, 4, 7 A = 3, 4, 5, λ, 4 (Návod: Hledané hodnoty λ jsou ty hodnoty, pro které je matice A singulární a její determinant je tudíž roven nule. ) 8. Cramerovým pravidlem řešte soustavu x + 3y 3z = 4x 4y z = 3 8x 9z = 0. VÝSLEDKY I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic. ano. ano, 3. ano, 4. řešení pro a, ; řešení pro a = ; 0 řešení pro a =. 5. řešení pro a 0; 0 řešení pro a = řešení pro λ 5; řešení pro λ = ne; 8. ano, x =, y = 3, z = 5; 9. ne; 0. pro λ =, 0 pro λ ;. pro λ =, 0 pro λ ;. x = 0, y = 0, z = 0 3. x = 0, x = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 4. x = p, x = p, x 3 = 7p, p IR 5. x = 0, x = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 6. x = 5p + q, x = q, x 3 = p, x 4 = 6p, p, q IR 7. řešení neexistuje 8. x =, y =, z = 9. x = p, x = 3p, x 3 = 7p, p IR 0. x = 0, y =, z = 5 3, v = 4 3. x = 8, x = 6, x 3 =, x 4 = 3 9

21 . pro a = řešení neexistuje, 3 pro a je x = (a ), y =, z = 4a 7 (a ) 3. pro a = řešení neexistuje, pro a = je x = 6p + 4, y = p + 3, z = p, p IR, pro a, a je x = y = z = /(a ) 4. pro α = řešení neexistuje, pro α = je x = p + 4 3, y = p 3, z = p, p IR, pro α, α je x = ( α)/( α), y = 0, z = /( α) 5. pro a = 5 řešení neexistuje, pro a 5 existuje jediné řešení, pro a = je x = 3, y = 3, z = 3 6. pro k 5 řešení neexistuje, pro k = 5 existuje řešení: x= p, y= 7p, z = 5p, p IR; 7. 6p 7p pro λ = 0; 3q q pro λ =, p 0 q 0; 4p q 8. x = 45 60, y = 0 60, z ; 0

22 II. DIFERENCIÁLNÍ POČET II.. Posloupnosti reálných čísel Pojmy: Rozšířená množina reálných čísel, neurčitý výraz, okolí bodu, limita posloupnosti. Definice: Říkáme, že číslo L z rozšířené množiny reálných čísel je limitou posloupnosti {a k }, jestliže pro libovolné okolí U(L) čísla L existuje přirozené číslo N tak, že pro všechna k N platí a k U(L). Symbolický zápis: lim a k = L nebo lim n + a k = L. Aritmetické operace s (+ ), ( ) : Nechť a je reálné číslo, potom: a + (+ ) = (+ ), a (+ ) = ( ), a + ( ) = ( ) a ( ) = (+ ) a (+ ) = (+ ) pro a > 0, a (+ ) = ( ) pro a < 0, a ( ) = ( ) pro a > 0, a ( ) = (+ ) pro a < 0, ( )(+ ) = (+ ) = ( ), ( )(+ ) = (+ ) = ( ) a/(+ ) = 0, a/( ) = 0, (+ ) + (+ ) = (+ ), (+ ) ( ) = (+ ), (+ ) (+ ) = (+ ), (+ ) ( ) = ( ), ( ) + ( ) = ( ) ( ) (+ ) = ( ) ( ) ( ) = (+ ) ( ) (+ ) = ( ) Neurčité výrazy: (+ ) (+ ), ( ) ( ), (+ ) + ( ), ( ) + (+ ) 0 (+ ), 0 (, (± )/(± ), 0/0. Vypočítejte limitu lim n + n ( n + n ).

23 Ř e š e n í : Okamžitým použitím věty o součinu a rozdílu limit obdržíme výsledek (+ ) [(+ ) (+ )], který však není definován, neboť obsahuje neurčitý výraz (+ ) (+ ). Postupujeme tudíž ( takto: n + + n ) lim n ( n + n ) = n + = lim n + n ( n + n ) ( n + + n ) = lim n + lim n ( n + n ) n + n ( n + + n ) ( n + + n ) Nyní jsme dostali neurčitý výraz typu (+ )/(+ ), dělíme čitatel i jmenovatel nejvyšší mocninou n, která se vyskytuje ve jmenovateli: tedy výrazem n: = lim n + n ( n + + n ) n n = lim n + = + n +. Vypočítejte limitu lim n + n3 + + n 3 3n + n. Ř e š e n í : Okamžitým použitím věty o podílu limit obdržíme výsledek (+ )/(+ ). Toto je však výraz, který není definován, tzv. neurčitý výraz. Dělíme tedy čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou n ve jmenovateli, tj. mocninou 3 n n /3. Dostáváme: lim n + n3 + + n 3 3n + n = lim n + n 5/3 + /n 4/3 + n / /n /n = = +. O následujících posloupnostech rozhodněte, zda jsou rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní, ryze monotónní, omezené zdola, omezené shora, omezené, neomezené. (Předpokládáme, že n =,, 3,...) {. } { + 3 n n } { ( ) n } { + ( ) n } 5. n + { n n + Vypočítejte následující limity. ( + 3 ) 8. lim n n + 7. lim n + } n 3n + 5 3n n + 6. n + } { n + 5 n +

24 9. lim n + 0. lim n +. lim n + n n + 3 n 3 + n + 5n 3 3n + 5n 4n + n. lim n + (n ) 4n + n (n + 5) 3. lim n + ( 4. lim n + n ) 5. lim n + n + 6. lim n + n ( n(n ) n 3 ) 7. lim n + n ( n + n ) ( 3 8. lim 5 + 8n3 n ) 9. lim n + n + (3 n) + (3 + n) (3 n) (3 + n) n + 3 n n + 5 n 5 + ( ) n + n n 9n4 + VÝSLEDKY II.. Posloupnosti reálných čísel rost. kles. nerost. nekles. mon. ryze zdola shora omez. neomez. mon. omez. omez e

25 II.. Funkce základní pojmy a vlastnosti Pojmy: Definiční obor, obor hodnot, funkce sudá, lichá, periodická, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, omezená shora, omezená zdola, omezená. Supremum, infimum, maximum, minimum. Stanovte definiční obory následujících funkcí. (Návod: Pokud definiční obor není explicitně zadán, je jím množina všech x, pro která má výraz, jímž je funkce definovaná, smysl. ). y = x 4x 3. y = arcsin x 4 4. y = ln (x ) 5. y = 6. y = ln (x 3x + ). y = ln (x + 3) + 5 x x + x x 7x + 6 Jsou dány funkce f a f. Sestavte složené funkce g = f f a h = f f. 7. f (x) = x, f (x) = sin x 8. f (x) = ln (x + ), f (x) = 5x + 9. f (x) = x + 5x, f (x) = sin (x + ) 0. f (x) = cos (x + ), f (x) = x + Které z následujících funkcí jsou sudé a které liché?. y = x 3 + x cos x. y = x x + x 3 3. y = cos x + cos (x) Které z následujících funkcí jsou periodické a s jakou periodou? 4. y = sin x + cos (x) 5. y = x + 6. y = cos (x/) Na základě znalosti grafů elementárních funkcí nakreslete grafy následujících funkcí. 7. y = sin (x) 8. y = arcsin (x 5) 9. y = x + 4 4

26 0. y = x +. y = ln x. y = ln x 5 VÝSLEDKY II.. Funkce základní pojmy a vlastnosti. (, 0) (4, + ). ( 3, , 5 4. (, ) (, + ) 5. 0, 3 ) ( 3, ) (, + ) 6. (, (3 5)/ (3 + 5)/, + ) 7. g(x) = (sin x), h(x) = sin x 8. g(x) = ln (5x + 3), h(x) = 5 ln (x + ) + 9. g(x) = sin (x + ) + 5 sin(x + ), h(x) = sin(x + 0x + ) 0. g(x) = cos(x + 3), h(x) = cos, x +. lichá. lichá 3. sudá 4. ano, π 5. ne 6. ano, π sup inf max min shora zdola omez. omez. omez. 7. ano ano ano 8. π/ π/ π/ π/ ano ano ano neexist. 0 ne ano ne 0. + neexist. ne ano ne. + neexist. neexist. ne ne ne. + neexist. neexist. ne ne ne 5

27 II.3. Limita a spojitost funkce Pojmy: Okolí bodu, redukované okolí bodu, definice limity funkce, funkce spojitá v bodě, rozšířená množina reálných čísel, neurčité výrazy, l Hospitalavo pravidlo. Definice limity funkce: Nechť f(x) je funkce s definičním oborem D(f), nechť L a A jsou čísla z rozšířené množiny reálných čísel a nechť existuje alespoň jedno redukované okolí R 0 (A) bodu A tak, že R 0 (A) D(f). Říkáme, že číslo L je limitou funkce f(x) v bodě A jestliže pro libovolné okolí U(L) existuje redukované okolí R(A), tak že pro všechna x R(A) platí f(x) U(L). Symbolický zápis: lim x A f(x) = L.. Vypočítejte limitu lim x 0 sin x x. Ř e š e n í : I. Počítejme nejprve limitu zprava. Pro x v nějakém dostatečně malém pravém okolí nuly, například v intervalu (0, ), je zřejmě sin x x a tg x x. Pro x (0, ) tedy platí: sin x x x x = a sin x sin x = cos x. x tg x Funkce (sin x)/x je pro x (0, ) sevřená konstantní funkcí a funkcí cos x. Obě tyto funkce mají limitu zprava v bodě 0 rovnou, proto je také (sin x)/x =. Podobně lze ukázat, že i limita zleva je rovna lim x 0+, proto lim (sin x)/x =. x 0 II. Řešení pomocí l Hospitalova pravidla. Okamžitým použitím věty o podílu limit obdržíme výsledek 0/0, což je však výraz, který není definován. Užitím l Hospitalova pravidla dostáváme: sin x cos x lim = lim =. x 0 x x 0 Je dána funkce f a kladné číslo ε. Vypočítejte hodnotu L limity lim x + f(x) a najděte reálné číslo a takové, že pro všechna x (a, + ) je f(x) U ε (L). (Návod: Užijte definici limity funkce.) 6

28 . f(x) = x +, ε = 0.0. f(x) = 5 + e x, ε = 0. Dále následují příklady na výpočet limit funkcí. Řadu těchto příkladů (limity vedoucí na neurčité výrazy 0/0 nebo ± / ± ) lze řešit též pomocí l Hospitalova pravidla. Při jeho použití je ale nutné umět derivovat! Zkuste tedy příklady tohoto typu řešit jinými metodami, nebo se k nim vraťte později a použijte l Hospitalovo pravidlo. Vypočítejte následující limity (pokud existují). 3. x 3 3x + lim x 0 x 4 5. ( 5x lim x + 6. lim x + x + /x) 3x x + 8. lim x x x + x x 9. lim x 0 tg (5x) 3x. lim x x 3 + sin (x + ) 5. lim x + arcsin 7. lim x x ex 8. lim x 0 x x + e x e x sin (x) sin x 0. lim x 0 ln (cos x) x 4. lim x x 4x + x + 7. lim x + x ( x + x ) cos x arctg x 0. lim x 0 x. lim x 0 x 3. lim x + sin x 6. lim x + 9. lim x + e x x Vypočítejte následující jednostranné limity.. lim x + x + x. lim x 0+ ( x + ) x x 4. lim x 0 arctg x x ln x 3. lim x x x (x )

29 Limity, které jsou uvedené v následujících příkladech, neexistují. Zdůvodněte, proč tomu tak je. 4. lim x 0 x 5. lim x + sin x 6. lim x x + x V jakých maximálních intervalech jsou následující funkce spojité? 7. y = x ( + x) 8. y = + x + x 3 9. y = x x 3 3x y = e x+ /x 3. y = ln x 3. y = e x VÝSLEDKY II.3. Limita a spojitost funkce. L = 0, např. a = 00. L = 0, např. a = ln π/ 5. π/ e limita zleva ( ) je různá od limity zprava (+ ) 5. zvolíme-li například x n = π/+πn, je x n +, ale lim n + sin x n neexistuje, protože sin x n = ( ) n 6. limita zleva ( ) je různá od limity zprava (+ ) 7. (, ), (, + ) 8. (, ), (, + ) 9. (, ), (, ), (, + ) 30. (, 0), (0, + ) 3. (0, ), (, + ) 3. (, 0), (0, + ) 8

30 II.4. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam Pojmy: Derivace funkce v bodě, derivace elementárních funkcí, derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí: c = 0, (x k ) = k x k, (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, a > 0 (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tg x) = / cos x, (cotg x) = / sin x, (ln x) = /x, (log a x) = /(x ln a), a > 0 (arcsin x) = / x (arccos x) = / x (arctg x) = /( + x ) (arccotg x) = /( + x ) Pravidla pro derivace: (a f(x)) = a f (x), (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g (x) (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) y = f (x), f(y) = x, (f (x)) = f (f (x)) Vypočítejte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je derivace definovaná. a) Polynomy, racionální funkce, jejich mocniny a odmocniny. 9

31 . y = 5x + 7x. y = x x y = (x + 6) x 4. y = x + 3 x y = x + 5 x 6. y = x + x + b) Goniometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 7. y = sin (3x) 8. y = cos x 9. y = sin (6x) 0. y = sin (x + x + ). y = x tg x. y = + x + sin x c) Cyklometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 3. y = arcsin x x + 4. y = arccos x + 5. y = arctg x d) Exponenciální a logaritmické funkce a složené funkce, které jsou z nich vytvořené. 6. y = e x 7. y = e 5x x+ 8. y = e x 9. y = (e 5x + ) 0. y = ln (x + 3x + 4). y = ln ( x + + x ) e) Různé další funkce.. y = ln ( 7x + 49x + ) 3. y = e x (x + ) 4. y = arcsin x + x Najděte derivaci dané funkce f a nakreslete graf funkce f i její derivace f. (Návod: Uvědomte si, že x = x pro x > 0, x = x pro x < 0 a funkce x nemá derivaci v bodě x = 0.) 5. f(x) = x 6. f(x) = ln x 7. f(x) = x x 30

32 Vypočítejte f +(x 0 ) a f (x 0 ). (Návod: Pokud existuje limita zprava lim x x0 + f (x), má funkce f v bodě x 0 derivaci zprava f + (x 0 ) rovnou této limitě. Stejné tvrzení platí o derivaci zleva. ) 8. f(x) = x, x 0 = 0 9. f(x) = 4x x, x 0 = 4 Vypočítejte druhé derivace následujících funkcí. Určete, pro jaká x je druhá derivace definovaná. (Návod: f je rovno derivaci funkce f, tj. derivaci první derivace funkce f. ) 30. y = + x 3. y = cotg x 3. y = + x x Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě [ x 0, f(x 0 ) ]. (Návod: Rovnice tečny: y y 0 = k (x x 0 ), kde y 0 = f(x 0 ) a k = f (x 0 ). Rovnice normály: y y 0 = (/k) (x x 0 ). ) 33. f(x) = ex x +, x 0 = f(x) = x sin x, x 0 = π 35. Ve kterém bodě paraboly y = x + 4x je její tečna rovnoběžná s osou x? (Návod: Najděte bod x 0 ve kterém je derivace funkce x + 4x rovna nule. Dopočítejte y 0 z rovnice paraboly. ) 36. Ve kterém bodě paraboly y = x x + 5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu? (Návod: Osou prvního kvadrantu je přímka y = x, která má směrnici k =. Najděte bod x 0, ve kterém má funkce x x + 5 derivaci k =. Dopočítejte y 0 z rovnice paraboly. ) 37. Pro jaká x D(f) existuje tečna ke grafu funkce f(x) = ln + x x v bodě [ x, f(x) ]? Existuje tečna rovnoběžná s osou x? Najděte rovnici tečny v bodě [ x 0, f ( x 0 ) ] pro x 0 = 5. 3

33 VÝSLEDKY II.4. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam. 0x + 7, x (, + ). 3. x + x + 6, x (, + ) x 4x, x (, + ) x x + 5 x + 0x 3 4. (x + 5), x (, 5) ( 5, + ) x , x (, 5) 5 x (5 x) 3/ x 6. (x + ) x + x +, x (, ) (, + ) (x + ) 7. 3 cos (3x), x (, + ) 8. sin x x, x (, + ) 9. sin(6x) cos(6x), x (, + ) 0. cos (x + x + ) (x + ), x (, + ). x tg x + x cos, x ( π/ + kπ, +π/ + kπ), k celé x + cos x. + x + sin x, x (x 0, + ), 3. kde x 0 je řešení rovnice + x + sin x = 0, x (, 0) x(x + ) 4., x (0, + ) x (x + ) 5. x ( + x), x (0, + ) 6. ex, x (, + ) 7. (0x ) e 5x x+, x (, + ) 8. ex/, x (, + ) 9. 0 (e 5x + ) e 5x, x (, + ) 0. x + 3 x + 3x + 4, x (, + )., x (, + ) + x 3

34 . 7 49x x (7x + 49x + ), x (, + ) 49x + 3. e x (x + ) + 4x e x (x + ), x (, + ) 4. sgn x, x (, 0) (0, + ) + x 5. f (x) = sgn x, x 0 6. f (x) = /x, x 0 7. f (x) = x sgn x, x (, + ) 8. f +(0) =, f (0) = 9. f +(4) = 4, f (4) = ( + x ) 3/, x (, + ) cos x 3. sin 3 x, x kπ, k celé 3. 4 (x ) 3, x 33. y = 0, x = y = π (x π), y = (x π)/π 35. [, 4 ] 36. [, 7 4 ] 37. tečna existuje pro x > 0, tečna rovnoběžná s osou x je v bodě [, f( ) ], rovnice tečny v bodě [ 5, f( 5) ] je y ln (3/ 5) = (x 5)/(6 5) 33

35 II.5. Užití derivace, průběh funkce Pojmy: Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, funkce konvexní, konkávní, lokální minimum/maximum, absolutní minimum/maximum, inflexní bod, asymptota grafu funkce. 38. Vyšetřete průběh funkce f(x) = 9 x. Ř e š e n í : a) D(f) = (, 3) ( 3, 3) (3, + ) Čitatel i jmenovatel jsou funkce spojité na (, + ), jmenovatel je v D(f) nenulový, funkce f je tedy spojitá v každém z intervalů, tvořících D(f). Pro jednostranné limity v krajních bodech intervalů, tvořících D(f), platí: lim x lim x 3 = 0, lim 9 x x 3 = +, lim 9 x x 3+ =, lim 9 x x 3+ =, lim 9 x x + 9 x = +, 9 x = 0. Funkce f je sudá, není periodická. Pro žádné x D(f) neplatí f(x) = 0, graf funkce f tedy nikde neprotíná osu x. Osu y protíná v bodě [ 0, f(0) ] [ 0, 9 ]. b) Funkce f má derivaci f (x) = [ (9 x ) ] = ( ) (9 x ) ( x) = x (9 x ) pro všechna x D(f). Pro x (, 3) je f (x) < 0, f je tedy v intervalu (, 3) klesající. Pro x ( 3, 0) je f (x) < 0, f je tedy v intervalu ( 3, 0 klesající. Pro x (0, 3) je f (x) > 0, f je tedy v intervalu 0, 3) rostoucí. Pro x (3, + ) je f (x) > 0, f je tedy v intervalu (3, + ) rostoucí. V bodě x = 0 je funkce f spojitá, je klesající v jeho levém okolí a rostoucí v jeho pravém okolí, proto má v tomto bodě ostré lokální minimum. Jiný lokální extrém nemá. Vzhledem k nekonečným limitám 34

36 v bodech 3 a 3 je funkce f neomezená (shora i zdola) a absolutní extrémy neexistují. c) Funkce f má druhou derivaci f (x) = [ x ] (9 x ) = (9 x ) x (9 x ) ( x) (9 x ) 4 = ( 6) (x 9) (x + 3) (9 x ) 4 = 6 (x + 3) (9 x ) 3. pro všechna x D(f). Pro x (, 3) je f (x) < 0, f je tedy v intervalu (, 3) konkávní. Pro x ( 3, 3) je f (x) > 0, f je tedy v intervalu ( 3, 3) konvexní. Pro x (3, + ) je f (x) < 0, f je tedy v intervalu (3, + ) konkávní. Funkce f nemá žádný inflexní bod. (Druhá derivace existuje ve všech bodech x D(f), proto by v inflexním bodě musela být rovna nule. To však není možné, neboť f (x) 0 pro všechna x D(f).) d) Funkce f má nekonečné jednostranné limity v bodech ±3, jejími svislými asymptotami jsou tedy přímky x = 3 a x = 3. Snadno zjistíme, že k = lim f(x)/x = 0 a q = lim [ f(x) kx ] = 0, x x proto přímka y = kx + q, tj. y = 0 je asymptotou funkce f pro x. Podobně, tato přímka je asymptotou i pro x +. e) Načrtněte sami graf funkce f. Najděte intervaly, ve kterých je daná funkce ryze monotónní. Určete také, je-li zde rostoucí nebo klesající. (Návod: O tom, kde je funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte podle znaménka první derivace.). f(x) = x 3 + 3x 36x + 4. f(x) = x + x x 3. f(x) = x e x 4. f(x) = 3x x 3 5. f(x) = x + x 35

37 6. f(x) = x ln x Určete definiční obor funkce f, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech intervalů tvořících definiční obor a určete intervaly, kde je funkce f rostoucí nebo klesající. Načrtněte graf funkce f. 7. f(x) = ex x 8. f(x) = x /x Rozhodněte, zda funkce f má na intervalu I maximum a minimum. V kladném případě najděte hodnotu těchto extrémů a zjistěte, ve kterých bodech jich funkce f nabývá. 9. f(x) = x 4 x + 5, I =, 0. f(x) = 5 4x, I =,. f(x) = x + 6 x 6, I =, 4. f(x) = 4 x 4, I =, 4 x 3. f(x) = x x, I =, 4. f(x) = 3 ln x 6 x + x, I = (0, 6 Najděte lokální i globální extrémy následujících funkcí (na jejich definičních oborech). 5. y = x ln x 6. y = ln x x 7. y = x + x 8. y = (4 x)3 9 ( x) 9. y = + x + x x + x 0. y = x + x. Je dána funkce f(x) = ( + x ) e x. Vyšetřete její definiční obor, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech definičního oboru a vyšetřete lokální extrémy. Vyšetřete, na jakých maximálních intervalech jsou následující funkce konvexní a konkávní a určete jejich inflexní body. (Návod: O tom, kde 36

38 je funkce konvexní nebo konkávní, rozhodněte pomocí znaménka druhé derivace.). y = 3x 5 40x 3 + x 3. y = x + x 4. y = + x 5. y = ln ( + x ) 6. y = ln x x + 7. y = x arctg x Vyšetřete, zda a jaké asymptoty mají následující funkce. 8. y = x3 4 x 9. y = x x 3. y = x + x 3. y = x + x 30. y = x + arctg x 33. y = x + ln x x Vyšetřete průběh následujících funkcí. 34. y = 4 x 35. y = 3 x x 36. y = e x 37. y = + x x4 38. y = x 4 x 39. y = (x + ) e /x 40. y = (x 3) x 4. y = x x + 4. y = e x x 43. y = arccos x + x 44. y = ln (4 x ) 45. y = x + arccotg x VÝSLEDKY II.5. Užití derivace, průběh funkce. f je rostoucí na (, 3 a na, + ), klesající na 3,. f je rostoucí na (, 3 a na 3, + ), klesající na 3, ), (, ), (, 3 3. f je rostoucí na (, a na 0, + ), klesající na, 0 37

39 4. f je rostoucí na,, klesající na (, a na, + ) 5. f je klesající na (, a na, + ), rostoucí na, 6. f je rostoucí na, 0) a na, + ), klesající na (, a na (0, 7. D(f) = (, ) (, ) (, + ), lim x f(x) = 0, lim x f(x) = + lim x + f(x) =, lim x f(x) =, lim x + f(x) = +, lim x + f(x) = + f je rostoucí na (, ), (, a na +, + ), klesající na, ) a na (, + 8. D(f) = (0, + ), lim x 0+ f(x) = 0, lim x + f(x) = f je rostoucí na (0, e, klesající na e, + ) 9. max I f = f( ) = f() = 3, min I f = f( ) = f() = 4 0. max I f = f( ) = 3, min I f = f() =. max I f = f(4) = 4, min I f = f() = 4. max I f = f() =, min I f = f() = 3. max I f = f() = 4, min I f = f(0) = 0 4. max I f neexistuje, min I f = f(6) = 3 ln 6 5. absolutní minimum y = ln v bodě x = 6. absolutní maximum y = /e v bodě x = e 7. lokální minimum y = v bodě x =, lokální maximum y = v bodě x = 8. lokální minimum y = v bodě x =, lokální maximum y = v bodě x = 9. absolutní minimum y = 3 v bodě x =, absolutní maximum y = 3 v bodě x = 0. absolutní minimum y = v bodě x =. D(f) = (, + ), lim x f(x) = 0, lim x + f(x) = +, f nemá lokální extrémy. konkávní na (, a na 0,, konvexní na, 0 a na, + ), inflexní body, 0, 38

40 3. konkávní na (, 3 a na 0, 3, konvexní na 3, 0 a na 3, + ), inflexní body 3, 0, 3 4. konvexní na (, + ) 5. konvexní na,, konkávní na (, a na, + ), inflexní body ± 6. konvexní na (, ), konkávní na (, + ) 7. konvexní na (, + ) 8. šikmá asymptota y = x (pro x i pro x + ), svislé asymptoty x =, x = 9. šikmá asymptota y = x (pro x i pro x + ), svislá asymptota x = 30. šikmé asymptoty y = x π/ (pro x ) a y = x + π/ (pro x + ) 3. šikmá asymptota y = (pro x i pro x + ), svislá asymptota x = 3. šikmá asymptota y = x (pro x i pro x + ), svislá asymptota x = šikmá asymptota y = x (pro x + ), svislá asymptota x = D(f) = (, ) (, ) (, + ), f je spojitá na (, ), (, ) a na (, + ), f je sudá, lim x f(x) = 0, lim x f(x) =, lim x + f(x) = +, lim x + f(x) = +, lim x ++ f(x) =, lim x + f(x) = 0, f x (x) = (4 x ) pro x D(f), f je klesající na (, ) a na (, 0, rostoucí na 0, ) a na (, + ), f má lokální minimum y 0 = 4 v bodě x 0 = 0, f (x) = 8 + 6x (4 x ) 3 pro x D(f), f je konkávní na (, ) a na (, + ), konvexní na (, ), f má asymptotu y = 0 pro x a pro x + a svislé asymptoty x = a x =. 39

41 35. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lim x f(x) = +, lim x + f(x) =, f (x) = 3 3 pro x (, 0) (0, + ), x f je klesající na (, 0 a na 8 8 7, + ), rostoucí na 0, 7, f má lokální minimum y = 0 v bodě x = 0 a lokální maximum y = 4 7 v bodě x = 8 7, f (x) = 9 3 pro x (, 0) (0, + ), x 4 f je konkávní na (, 0 a na 0, + ), f nemá asymptoty 36. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lim x f(x) = lim x + f(x) = 0, f (x) = x e x pro x D(f), f je rostoucí na (, 0 a klesající na 0, + ), f má absolutní maximum y = v bodě x = 0, f (x) = ( + 4x ) e x pro x D(f), f je konvexní na (, / a na /, + ), konkávní na /, /, f má asymptotu y = 0 pro x a pro x D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), sudá, lim x f(x) = lim x + f(x) =, f (x) = x x 3 pro x D(f), f je rostoucí na (, a na 0,, klesající na, 0 a na, + ), f má absolutní maximum y =.5 v bodech x = ±, lokální minimum y = v bodě x = 0, graf protíná osu x v bodech ± + 3, f (x) = 6x pro x D(f), f je konkávní na (, 3/3 a na 3/3, + ), konvexní na 3/3, 3/3, f nemá asymptoty 38. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), sudá, lim x f(x) = lim x + f(x) = +, f (x) = 4x 3 4x pro x D(f), f je klesající na (, a na 0,, 40

42 rostoucí na, 0 a na, + ), f má absolutní minimum y = v bodech x = ±, lokální maximum y = 0 v bodě x = 0, graf protíná osu x v bodech ± a dotýká se jí v bodě x = 0, f (x) = x 4 pro x D(f), f je konvexní na (, 3/3 a na 3/3, + ), konkávní na 3/3, 3/3, f nemá asymptoty 39. D(f) = (, 0) (0, + ), f je spojitá na (, 0) a na (0, + ), f(x) =, lim f(x) = 0, lim lim x x 0 lim x + f(x) = +, f /x (x )(x + ) (x) = e x f(x) = +, x 0+ pro x (, 0) (0, + ), f je rostoucí na (, a na, + ), klesající na, 0) a na (0,, f má lokální maximum y = e v bodě x =, lokální minimum y = 4 e v bodě x = f /x 5x + (x) = e pro x (, 0) (0, + ), x 4 f je konkávní na (, 5, konvexní na 5, 0) a na (0, + ), f má svislou asymptotu x = 0 a šikmou asymptotu y = x + 3 pro x a pro x D(f) = 0, + ), f je spojitá na 0, + ), f(0) = 0, lim x + f(x) = +, f 3 (x ) (x) = pro x (0, + ), x f je rostoucí na, + ), klesající na 0,, f má absolutní minimum y = v bodě x =, f 3 (x + ) (x) = 4x pro x (0, + ), f je konvexní na 0, + ), x f nemá asymptoty 4. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lim x f(x) =, lim x + f(x) =, f + x (x) = (x + ) pro x (, + ), x + 4

43 f je rostoucí na 0.5, + ), klesající na (, 0.5, f má absolutní minimum y = 5/ 5 v bodě x = 0.5, f (x) = 4x + 3x (x + ) 5/ pro x (, + ), f je konkávní na (, (3+ 4)/8 a na ( 3+ 4)/8, + ), konvexní na (3 + 4)/8, ( 3 + 4)/8, f má asymptotu y = pro x a y = pro x + 4. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lim x f(x) = lim x + f(x) = 0, f (x) = e x x ( x) pro x (, + ), f je rostoucí na (,, klesající na, + ), f má absolutní maximum y = e v bodě x =, f (x) = e x x (x 4x + ) pro x (, + ), f je konkávní na /, + /, konvexní na (, /, + /, + ), f má asymptotu y = 0 pro x a pro x D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lim f(x) = lim f(x) = π, x x + f (x) = sgn x ( + x ) pro x (, 0) (0, + ), f je klesající na (, 0, rostoucí na 0, + ), f má absolutní minimum y = 0 v bodě x = 0, f 4x sgn x (x) = ( + x ) pro x (, 0) (0, + ), f je konkávní na (, 0, konvexní na 0, + ), f má asymptotu y = π pro x a pro x D(f) = (, ), f je spojitá na (, ), sudá, lim f(x) = lim f(x) =, x + x + f (x) = x 4 x pro x (, ), f je rostoucí na (, 0 ), klesající na 0, ), f má absolutní maximum y = ln 4 v bodě x = 0, f 8 (x) = (4 x ) pro x (, ), f je konkávní na (, ), f má svislé asymptoty x = a x = 4

44 45. D(f) = (, + ), f je spojitá na (, + ), lichá, f(x) =, lim f(x) = +, lim x f (x) = f (x) = x + x +x pro x (, + ), f je rostoucí na (, + ), x ( + x ) pro x (, + ), f je konkávní na (, 0, konvexní na 0, + ), f má asymptotu y = x+π/ pro x a y = x pro x + 43

45 III. NEURČITÝ INTEGRÁL Pojmy: Primitivní funkce, neurčitý integrál elementárních funkcí, neurčitý integrál součtu a rozdílu funkcí, neurčitý integrál reálného násobku funkce. III.. Vlastnosti neurčitých integrálů, tabulkové integrály Tabulkové integrály: x p dx = xp+ p + + C, p, a x dx = ax + C, a > 0, a, ln a sin x dx = cos x + C, dx cos x = tg x + C, x (k + )π, dx = arcsin x + C, x x dx = ln x + C, x 0 e x dx = e x + C, cos x dx = sin x + C, dx sin = cotg x + C, x kπ, x dx ( + x = arctg x + C, ) Vzorce platí pouze na intervalech, na kterých je integrovaná funkce definovaná a spojitá.. Pomocí tabulkových integrálů vypočítejte: 3x 7 dx. (3 x ) 3 dx 3. 3 x dx 4. dx 5. x dx 6. ( u) du x 7. ( x + )(x x + ) dx 8. (x, + 3x 0,8 5x 0,38 ) dx ( ) x 9. dx 0. x ( 3 3. x x + 3 ) dx x 44 3 x 4 x x dx

46 x dx 3. + cos x + cos x dx cos x cos x sin dx 6. x 3 x 3 x x dx sin x dx VÝSLEDKY III.. Tabulkové integrály, vlastnosti neurčitých integrálů 3. 8 x8 + C, x (, + ). 7x 9x x5 7 x7 + C x 3 x + C 4. x + C 5. x + C, x 0, + ) 6. u u + C 7. 5 x x + x + C 8. 0x 0, + 5x 0, 3, 6x,38 + C, x (0, + ) 9. x ln x x + C x. ln 0 6 x x3 + C, x 0, + ). 3 ln x 9 x 7 x + C + C 3. 3x (, 5)x ln, 5 + C (tg x + x) + C, x ((k ) π, (k + )π ), k je celé číslo 5. C cotg x tg x 6. x sin x + C 45

47 III.. Integrace metodou per partes Integrace metodou per-partes: Mají-li funkce u(x) a v(x) v intervalu (a, b) spojité derivace, potom v tomto intervalu platí: u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx Teorie viz skripta [], str Vypočítejte integrál: Ř e š e n í : x cos x + x sin x dx. x sin x dx = x cos x dx = x cos x + x sin x x = u, sin x = v, u = x v = cos x = x = u, u = cos x = v, v = sin x = sin x dx = x cos x + x sin x + cos x + C. Metodou per partes vypočítejte:. x e x dx. x ln x dx x arctg x dx 5. x cos x dx ; x n ln x dx, n 8. arctg x dx 9. arcsin t dt x sin x dx x e x dx 46

48 0. e x sin x dx. e 7x cos 5x dx. (x 3x + ) e x dx VÝSLEDKY III.. Integrace metodou per partes. e x (x ) + C. 4 x ( ln x ) + C, x (0, + ) 3. sin x x cos x + C 4. [(x + )arctg x x] + C 5. x sin x + cos x + C 6. e x (x x + ) + C 7. x n+ n + (ln x ) + C, x (0, + ) n + 8. x arctg x ln + x + C 9. t arcsin t + t arcsin t t + C, t, 0. (ex sin x e x cos x) + C. e 7x (7 cos 5x + 5 sin 5x) 74. e x (x 5x + 7) + C + C, při integraci volte u = e 7x 47

49 III.3. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů Integrace metodou substituční: Nechť funkce F (t) je primitivní funkcí k f(t) v intervalu (α, β). Nechť funkce t = φ(x) má derivaci φ (x) v intervalu (a, b) a nech t = φ(x) (α, β) pro x (a, b). Potom v intervalu (a, b) je funkce F (φ(x)) primitivní k funkci f(φ(x)) φ (x), a tedy pro x (a, b) platí: f(φ(x)) φ (x) dx = F (φ(x)) + C = f(t) dt, pro t = φ(x) Teorie viz skripta [], str Vypočítejte integrál: x 4 5x 4 dx. Ř e š e ní : Volíme postupně substituce tak, abychom integrál převedli na tvar: dt t x dx = x = s 4 5x 4 xdx = ds 5s = t = 5ds = dt 5 = 4 5s ds = dt = 4 4t 5 t dt = 5 0 arcsin t + C = 5 5s 0 arcsin + C = 5 5 x 0 arcsin + C. Existenční obor daného integrálu získáme z podmínky 4 5x 4 > 0. Dostáváme: x ( / 4 5, / 4 5). Užitím substituční metody vypočítejte následující integrály: e x. dx. dx 3. cotg x dx x + ex 4. x x + dx 5. ( + x) 5 dx cos x 3 sin x dx

50 cos 3 x sin x dx 8. cos( x) dx x 3 x dx. 3x + 8 x x + dx x 4 dx 4. x ln x dx x arcsin x sin x ( x ) dx 7. 3 e x dx + x 3 x + 3 x dx e x3 x dx x 4 x dx ln cos x cos x cos x dx dx. x 3 x 4 x dx x 5 e x dx VÝSLEDKY III.3. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů. ln x + C. ln( + e x ) + C 3. ln sin x + C, x (kπ, (k + )π), k je celé číslo 4. + x + C 5. (x + ) 6 7. C 5 cos5 x 8. 3 ln 3 x + C, x, + ) 6 + C sin x + C 9. C sin( x) 0. ln(x 3x + 8) + C. C 3 e x3 49

51 [. x ln x + ] + C, x (, ), x (, + ) 3. C 4 x4 3 x3 x x ln x, x (, ), x (, + ) x x + arctg x + C [ 6 x 5 + x 5 + ln x 5 ] + C, x (0, ), x (, + ) x arcsin x 6. + x ln x + C, x (, ) 7. e cos x + C 8. 3 ln( + x 3 ) + C, x 0, + ) 9. + x + 3 ln(x + + x ) + C 0. tg x ln(cos x)+tg x x+c, x ( π +kπ, π +kπ), k je celé číslo. C e x (x 4 + x + ) 50

52 III.4. Integrace racionálních funkcí Teorie viz skripta [], str Rozložme na součin jednodušších činitelů (v reálném oboru již dále nerozložitelných) polynom Q 3 (x) = x 3 x x. Ř e š e n í : Odhadem (tj. postupným dosazováním čísel 0,,,,,...) zjistíme, že Q 3 (3) = 0, tj. polynom Q 3 má reálný kořen α = 3. Kdybychom tímto postupem reálný kořen nenalezli, mohli bychom k tomu použít tzv. Cardanových vzorců - viz kniha [4]. Polynom Q 3 je tedy beze zbytku dělitelný tzv. kořenovým činitelem (x 3). Dělením polynomů zjistíme, že Q 3 (x) : (x 3) = x + x + 4. Pomocí vzorce pro řešení kvadratické rovnice zjistíme, že polynom x + x + 4 nemá reálné kořeny, v reálném oboru je tedy nerozložitelný. Hledaný rozklad polynomu tedy je: Q 3 (x) = (x 3)(x + x + 4).. Vypočítejte neurčitý integrál 8x 03x + 5 (x )(x + 3)(x 6) dx. Ř e š e n í : Racionální funkci, kterou máme integrovat, můžeme rozložit na součet parciálních zlomků následujícím způsobem: 8x 03x + 5 (x )(x + 3)(x 6) = A x + B x C x 6 = = A(x + 3)(x 6) + B(x )(x 6) + C(x )(x + 3) (x )(x + 3)(x 6) = = (A + B + C)x + ( 3A 7B + C)x + ( 8A + 6B 3C) (x )(x + 3)(x 6) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme následující soustavu rovnic pro A, B a C: A + B + C = 8 3A 7B + C = 03 = A = 4, B =, C = 7. 8A + 6B 3C = 5 5

53 Dostáváme tedy: 8x 03x + 5 (x )(x + 3)(x 6) dx = 4 dx+ x x + 3 dx 7 x 6 dx = 4 ln x + ln x ln x 6 + C, x (, 3), x ( 3, ), x (, 6), x (6, + ). 3. Vypočítejte integrál: 4x x 5x + 44 (x 4) dx. Ř e š e n í : Polynom ve jmenovateli racionální funkce, kterou integrujeme, lze rozložit takto: (x 4) = (x ) (x + ). Kořeny tohoto polynomu jsou tedy reálné, dvojnásobné. Racionální funkci, kterou máme integrovat, můžeme proto rozložit na součet parciálních zlomků následujícím způsobem: 4x x 5x + 44 (x 4) = A x + B (x ) + C x + + D (x + ) = = A(x 4)(x + ) + B(x + ) + C(x )(x 4) + D(x ) (x ) (x + ) = = [ (x ) (x + ) (A + C)x 3 + (A + B C + D)x + ] ( 4A + 4B 4C 4D)x + ( 8A + 4B + 8C + 4D) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme následující soustavu rovnic pro A, B, C a D: A + C = 4 A + B C + D = 35 4A + 4B 4C 4D = 5 8A + 4B + 8C + 4D = 44 5

54 = A =, B = 3, C = 5, D = 0. Dostáváme tedy: 4x x 5x + 44 (x 4) dx = = x dx + 3 (x ) dx 5 x + dx + 0 (x + ) dx = = ln x 3 x 5 ln x + 0 x + + C, x (, ), x (, ), x (, + ). 4. Vypočítejte integrál Ř e š e n í : 7x 0x + 37 (x + )(x 4x + 3) dx. Racionální funkci, kterou máme integrovat, můžeme rozložit na součet parciálních zlomků následujícím způsobem: 7x 0x + 37 (x + )(x 4x + 3) = A x + + P x + Q (x 4x + 3) = = A(x 4x + 3) + (P x + Q)(x + ) (x + )(x 4x + 3) = = (A + P )x (4A P Q)x + (3A + Q) (x + )(x 4x + 3) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme následující soustavu rovnic pro A, P a Q: A + P = 7 4A Q P = 0 3A + Q = 37 Dostáváme tedy: 53 = A = 3, P = 4, Q =.

55 7x 0x + 37 (x + )(x 4x + 3) dx = = 3 ln x + + (4x 8) + 6 (x 4x + 3) dx = = 3 ln x + + ln x 4x = 3 ln x + + ln x 4x x + dx + 6 (x ) + 9 dx = ( x 3 4x (x 4x + 3) dx = ) dx = + = 3 ln x + + ln x 4x arctg x 3 + C, x (, ), x (, + ). Vypočítejte neurčité integrály: 8 x 4. dx. 3x x dx 3. (x ) 3 dx Pomocí rozkladu na parciální zlomky vypočítejte následující neurčité integrály: u 5x 4 4. u du 5. + u x 8x + dx x 6. x 5x + 4 dx x 3 x 7. x dx x + (x + )(x + 3)(x + 5) dx x 8 9. x 3 4x + 4x dx 0. 3x x(x dx. + ) 54 x(x + ) dx

56 x x + dx 3x x dx 4. x + x 3x 3 (x )(x x + 5) dx x x 3 + 5x + 8x + 4 dx VÝSLEDKY III.4. Integrace racionálních funkcí 8. 3 ln 3x + C, x (, 3 ), x ( 3, + ) x x + x ln x + + C (u + ) 3. + C, x (, 3), x (3, + ) 4. ln + C (x 3) u x ln x 6 x 6 ln x ln x 3x+ln (x + )8 x + ln x 3 + C + C, x (, ), x (, 4), x (4, + ) +C, x (, ), x (, ), x (, + ) 8. 8 ln (x + 3) 6 (x + 5) 5 +C, x (, 5) x ( 5, 3), x ( 3, ), (x + ) x (, + ) 9. 3 x + ln (x ) x + C 0. 3 arctg x + ln(x + ) ln x + C, x (, 0), x (0, + ). ln x x + + C, x (, 0), x (0, + ) 55

57 arctg (x ) + C ln(x x + ) + 3 arctg (x ) + C ln x + + C, x (, ), x (, ), x + x (, + ) 5. ln (x x + 5) 3 x + arctgx + C, x (, ), x (, + ) 56

58 III.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin Vypočítejte následující neurčité integrály goniometrických funkcí.. sin 7 x dx. sin 3 x dx 3. sin 3 x cos 5 x dx 4. sin x cos 5 x dx 5. sin x dx 6. sin x cos x dx 7. sin 4 + cos x 5x dx 8. dx sin x sin 3 x dx sin x 0. dx. cos x cos 3x dx sin x + cos x. cos x sin 4x dx VÝSLEDKY III.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin cos 7 x 7 cos 8 x 8 x 8 3 cos5 x 5 sin 4x 3 cos6 x 6 + cos 3 x cos x + C. + C 4. + C 7. 3x 8 cos 6 x 6 sin 0x 0 + C 5. + cos 3 x 3 x sin x 4 sin 0x + C 60 cos x + C + C tg(x/) arctg5 + C, x ( π + kπ, π + kπ), k je celé číslo 3 3 tg x 9. ln x 4 cotg + C, x (kπ, (k + )π), k je celé číslo 0. x ln sin x + cos x + C, x ( π 4 + kπ, 3π 4 + kπ), k je celé číslo. sin 5x 0 + sin x cos 6x + C. 57 cos x 4 + C