Aplikovaná matematika I, NMAF071

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační počet přednášek věnovaných kapitole] 1. Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti [3] 2. Funkce jedné reálné proměnné [2] 3. Derivace funkce jedné reálné proměnné [1] 4. Neurčitý integrál a primitivní funkce [1.5] 5. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v 1 dimenzi [2.5] 6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace [1.5] 7. Lineární vektorové prostory [1.5] - podrobněji postupně na webu přednášejícího Literatura 1. J. Kopáček: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 2. J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3. J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. 4. I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu, Academia, Praha, 2002. 5. B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. 6. J. Bečvář: Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, 2002. 7.... web přednášejícího: poznámky a prezentace.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 2 1 Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1.1 Výroky a množiny Logika je věda o formální správnosti myšlení. Při formálně logickém přístupu jde o správnost vyvození závěru z daných předpokladů. Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebo že neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A A 0 1 1 0 Definice. Konjunkcí A&B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. Definice. Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Definice. Implikací A B nazýváme výrok: Platí A nebo B. Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Pokud je výrok A B pravdivý, pak říkáme, že "A je postačující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A". Definice. Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. (Platnost výroku) A je nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku) B. Vše je možno shrnout do následující tabulky: A B A & B A B A B A B 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Intuitivně (bez přesné definice) budeme přijímat pojmy množina (jako soubor objektů), být prvkem množiny ("x je prvkem množiny M" píšeme: x M) a nebýt prvkem množiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x / M). Poznámka. Symboly N, Z, Q, R, C budou vyhrazeny pro množiny (po řadě) přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 3 Výrokovou formou budeme nazývat výraz A(x 1, x 2,...x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvků x 1 M 1,...,x m M m z daných množin M 1,...,M m. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Pro všechna x M platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Existuje x M, pro které platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem. Pro obrat "Existuje právě jeden... " často používáme symbol! Poznámka. Pokud výrok obsahuje několik po sobě jdoucích kvantifikátorů stejného typu, lze jejich pořadí libovolně měnit, například následující dva výroky jsou ekvivalentní pro jakoukoli výrokovou formu V (x, y), x M, y N: x M y N : V (x, y) y N x M : V (x, y) Příklad: x R y R : x 2 + y 4 0. Poznámka. Při záměně pořadí kvantifikátorů různého typu však nový výrok nemusí být ekvivalentní s výrokem původním: x M y N : V (x, y) y N x M : V (x, y) nejsou ekvivalentní výroky. (Jeden z nich však implikuje druhý - rozmyslete si.) Příklad: x N y R : y > x. Tvrzení 1.1 (Negace složených výroků). Platí: (A & B) = A B (A B) = A & B (A B) = A & B (A B) = ( A & B) (A & B) ( x M : A(x)) = x M : A(x) ( x M : A(x)) = x M : A(x)

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 4 Příklad: Určete, který z výroků je pravdivý: ( x R y R z R : y 2 + z 2 > x) = x R y R z R : y 2 + z 2 x. Definice. Řekneme, že množina A je částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Dvě množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Označíme ji symbolem. Poznámka. Pro libovolné dvě množiny A, B platí: A = B (A B) & (B A). Definice (množinové operace). Necht I je neprázdná množina a A α je množina pro každé α I. Definujeme sjednocení α I A α jako množinu všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A α. Definujeme průnik α I A α jako množinu prvků, které náleží do každé z množin A α. Definice. Mají-li dvě množiny prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Rozdílem množin A a B (značíme A \ B) nazveme množinu prvků, které patří do množiny A a nepatří do množiny B. Kartézským součinem množin A 1,...,A n nazveme množinu všech uspořádaných n-tic A 1 A 2 A n = {[a 1, a 2,...,a n ]; a 1 A 1,...,a n A n }. Věta 1.2 (de Morganova pravidla). Necht I je neprázdná množina, X, A α (α I) jsou množiny. Pak platí X \ A α = \ A α ), α I α I(X X \ A α = \ A α ). α I α I(X 1.2 Zobrazení Definice. Necht X a Y jsou množiny. Je-li každému prvku x X přiřazen nejvýše jeden prvek z Y, řekneme, že je definováno zobrazení z X do Y. Píšeme f : X Y a f(x) = y, případně f : x y. Množinu D(f) := {x X, y Y, f(x) = y} nazýváme definičním oborem zobrazení f. Definice. Necht X, Y jsou neprázdné množiny a f : X Y. Obrazem množiny A X při zobrazení f se nazývá množina f(a) = {f(x); x A}. Je-li A = D(f) definičním oborem zobrazení f : X Y, nazýváme množinu f(a) oborem hodnot zobrazení f. (Značíme R(f) nebo H(f).)

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 5 Vzorem množiny B Y při zobrazení f nazveme množinu Definice. Necht X, Y jsou množiny a f : X Y. f 1 (B) = {x X; f(x) B}. Zobrazení f je prosté (injektivní) na A X, jestliže x 1, x 2 A : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Zobrazení f je zobrazením množiny A X "na" množinu Y (f je surjektivní), jestliže f(a) = Y. Řekneme, že f je bijekce A na Y, jestliže f je prosté a na Y. Definice. Necht f : A Y je prosté, f(a) = B. Pak zobrazení f 1 : B A definované předpisem f 1 (y) = x, kde y f(a) a f(x) = y, nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f. Definice. Necht f : X Y je zobrazení, A X. Zobrazení f A : A Y takové že f A (x) = f(x) x A nazýváme zúžením zobrazení f na množinu A. Definice. Necht f : X Y a g : Y Z jsou dvě zobrazení. Symbolem g f označíme zobrazení z množiny X do množiny Z definované předpisem (g f)(x) = g(f(x)). Takto definované zobrazení se nazývá složeným zobrazením zobrazení f a g, přičemž f je vnitřní zobrazení a g je vnější zobrazení. 1.3 Reálná čísla Vybudování číselných množin - několik možností: Možnost I: N (intuitivně nebo z teorie množin) Z Q R Možnost II: R (axiomaticky) N Z Q Ad I: Krok Q R obtížný (např. tzv. Dedekindovy řezy) Ad II: Krok R N např. pomocí pojmu tzv. induktivní množiny. V obou možnostech na závěr následuje krok R C. Ad II: Množinu reálných čísel R lze definovat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom o supremu I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání),

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 6 x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání), w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R \ {0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ), x, y, z R : (x + y) z = x z + y z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y & y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y & y x) x = y (slabá antisymetrie), x, y R : x y y x, x, y, z R : x y x + z y + z, x, y R : (0 x & 0 y) 0 x y. Označení. Označení x y znamená totéž co y x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x y, ale x y (tzv. ostrá nerovnost). Reálná čísla, pro něž x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). Reálná čísla, pro něž x 0 (resp. x 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice. Řekneme, že množina M R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a R takové, že pro každé x M platí x a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množiny M. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. Řekneme, že množina M R je omezená, je-li omezená shora i zdola. Definice. Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a je horní závorou množiny M a přitom a M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a minm. Minimum a maximum dané množiny reálných čísel nemusí existovat: (0, 1). Definice. Necht M R. Číslo G R splňující x M : x G, G R, G < G x M : x > G,

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 7 nazýváme supremem množiny M. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej sup M. III. Axiom suprema Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. Definice. Necht M R. Číslo g R splňující x M : x g, g R, g > g x M : x < g, nazýváme infimem množiny M. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej inf M. Věta 1.3. Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Poznámka. Klademe sup M := + pro shora neomezenou množinu, a inf M := pro zdola neomezenou množinu. Klademe sup := a inf := +. Z axiomu o supremu plynou některé důležité vlastnosti R: Věta 1.4. 1. Pro každé r R existuje právě jedno číslo k Z takové, že k r < k + 1. 2. Ke každému x R existuje n N splňující x < n. 3. Necht a, b R, a < b. Pak existuje q Q takové, že a < q < b. 4. Pro každé n N a x R, x 0, existuje právě jedno y R, y 0, splňující y n = x. Věta 1.5 (Základní nerovnosti mezi reálnými čísly). platí tzv. Bernoulliho nerovnost 1. Pro každé x R, x 2 a pro každé n N (1 + x) n 1 + nx. 2. Pro všechna reálná čísla a 1,...,a n, b 1,...,b n platí tzv. Cauchy-Schwarzova nerovnost ( n ) 2 n n a j b j a j2 b 2 j. j=1 j=1 j=1 3. Pro všechna nezáporná reálná čísla a 1,...,a n platí tzv. A-G (aritmeticko-geometrická) nerovnost a 1 + + a n n n a 1 a n.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 8 1.4 Komplexní čísla Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto x + y = (a + c, b + d), x y = (ac bd, ad + bc). Dále ztotožňujeme x = (x, 0) pro x R, a definujeme i = (0, 1). Potom (a, b) = (a,0) + (0, b) = (a,0) + b(0, 1) = a + bi, (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, tj. i 2 = 1, a tedy C = {a + bi; a, b R} kde i 2 = 1. Necht x = a + bi C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme x = a 2 + b 2. Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = a bi; symbol x značí číslo a bi a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x 1 x = 1. 1.5 Mohutnost množin Definice. Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Symbol A B značí situaci, kdy A B a neplatí A B. Definice. Řekneme, že množina A je konečná, jestliže je bud A = nebo existuje n N takové, že platí A {1,...,n}. Řekneme, že množina A je spočetná, jestliže platí A N. Řekneme, že množina A je nespočetná, jestliže A není ani konečná ani spočetná. Tvrzení 1.6. Množiny N, Z, Q jsou spočetné, množiny R, C jsou nespočetné. 1.6 Posloupnosti a jejich limity Definice. Necht A je neprázdná množina. Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n z množiny A nazýváme posloupnost prvků množinya. Prvek a n nazveme n-tým členem této posloupnosti. Značíme {a n } n=1. Příklad. Posloupnosti zadané explicitně: a n := (1 + 1/n) n ; popisem: a n := n-té prvočíslo; rekurentně: a 1 = a 2 := 1, a n+2 := a n+1 + a n n N.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 9... Poznámka. Posloupností budeme nadále až do odvolání rozumět (nekonečnou) posloupnost reálných čísel. Definice. Řekneme, že posloupnost {a n } je shora omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je omezená. Definice. Řekneme, že posloupnost reálných čísel {a n } je neklesající, je-li a n a n+1 pro každé n N, rostoucí, je-li a n < a n+1 pro každé n N, nerostoucí, je-li a n a n+1 pro každé n N, klesající, je-li a n > a n+1 pro každé n N. Posloupnost {a n } je monotónní, pokud splňuje některou z výše uvedených podmínek. Posloupnost {a n } je ryze monotónní, pokud je rostoucí či klesající. Definice. Řekneme, že posloupnost (reálných čísel) {a n } má limitu rovnou reálnému číslu A, jestliže platí ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < ε. Poznámka. Necht K R, K > 0, A R. Jestliže posloupnost {a n } splňuje podmínku potom lima n = A. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < Kε, Definice. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu +, jestliže L R n 0 N n N, n n 0 : a n L. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n N, n n 0 : a n K. Věta 1.7 (jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice. Má-li posloupnost {a n } limitu rovnou číslu A R, pak píšeme lim a n = A nebo jenom n lima n = A.Podobně píšeme lim a n = lima n =, resp. lim a n = lima n =. Řekneme, že n n posloupnost {a n } je konvergentní, pokud existuje A R takové, že lima n = A. Není-li posloupnost konvergentní, říkáme, že je divergentní. Věta 1.8. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Jestliže {n k} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z {a n} n=1. Věta 1.9. Necht {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {a n} n=1. Jestliže platí lim a n = A n R { } { }, pak také lim a n k = A. k

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 10 Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Pak A R { } { } nazýváme hromadnou hodnotou posloupnosti {a n } n=1, jestliže existuje vybraná posloupnost {a n k } k=1 taková, že lim a n k = A. k Rozšířená reálná osa: Uspořádání: a R {+ }: < a, a { } R: a < + Absolutní hodnota: = + = + Sčítání a odčítání: R := R { } {+ } (+ ) =, +( ) =, a R: a R: + a = a + ( ) =, + + a = a + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + Násobení a dělení: a R, a > 0: a R, a < 0: a (± ) = (± ) a = ±, a (± ) = (± ) a =, 1 + = 1 = 0 NEDEFINUJEME: ( ) + (+ ), 0 (± ), ± ±, cokoli 0 Věta 1.10 (aritmetika limit). Necht lima n = A R a limb n = B R. Potom platí: (i) lim (a n ± b n ) = A ± B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim (a n b n ) = A B, pokud je pravá strana definována, (iii) lima n /b n = A/B, pokud je pravá strana definována. Věta 1.11. Necht lima n = 0 a necht posloupnost {b n } je omezená. Potom lima n b n = 0. Věta 1.12. Necht lima n = A R. Potom lim a n = A. Věta 1.13 (limita a uspořádání). Necht lima n = A R a limb n = B R. (i) Necht existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 je a n b n. Potom A B. (ii) Necht A < B. Potom existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 je a n < b n.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 11 Věta 1.14 (o dvou strážnících). Necht {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti splňující: (i) n 0 N n N, n n 0 : a n c n b n, (ii) existují lima n, limb n, a navíc lima n = limb n. Potom existuje limc n a platí limc n = lima n. Poznámka. Pokud existuje lima n =, není nutné uvažovat žádnou posloupnost {b n } a tvrzení věty zůstává v platnosti. Podobně je tomu v případě limb n =, kdy "nepotřebujeme" posloupnost {a n }. Věta 1.15 (Limita monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Tvrzení 1.16. Pro a > 0 je lim n a = 1. Platí lim n n = 1. Posloupnost a n := ( 1 + 1 n) n je neklesající a shora omezená; posloupnost bn := ( ) n+1 1 + 1 n je nerostoucí a zdola omezená, přičemž existují lima n = limb n. Tuto společnou limitní hodnotu označujeme e 2.718 281 828.... Věta 1.17. Necht lima n = A R, A > 0, limb n = 0 a existuje n 0 N, že pro každé n N, n n 0, platí b n > 0. Pak lima n /b n =. 1.7 Hlubší vlastnosti posloupností Poznámka (Komplexní případ). Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n C nazveme komplexní posloupností. Evidentně {a n } je komplexní posloupnost právě tehdy, když existují reálné posloupnosti {x n }, {y n } takové, že a n = x n + iy n pro všechna přirozená n. Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. Řekneme, že komplexní posloupnost {a n } je omezená, pokud existuje K > 0 taková, že a n K pro všechna přirozená n. Poznámka (Komplexní limita). Je-li a n = x n + iy n komplexní posloupnost, a existují limx n, limy n vlastní, klademe lima n = limx n + ilimy n. Výrazy tvaru "a ± i ", "± ± ib", resp. "± ± i " nedefinujeme. Věta 1.18 (Bolzano-Weierstrassova věta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzano-Cauchyovu pod- Věta 1.19. Posloupnost {a n } n=1 mínku, tj. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 m N, m n 0 : a n a m < ε.