ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 2 2/6 Transformace souřadnic z ETRF2000 do S-JTSK školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 2 NG1-90 Jan Dolista 04. 04.
Transformace souřadnic z ETRF2000 do S-JTSK Zadání: Ze zpracování GPS observací byly na daném bodě určeny elipsoidické souřadnice bodu v Evropském terestrickém referenčním rámci ETRF2000. Zadané souřadnice přetransformujte do systému S-JTSK/05, který by se měl v budoucnu stát závazným souřadnicovým systémem na území České republiky. Pro ověření výsledků provedené transformace aplikujte taktéž její inverzní postup, tj. přetransformujte souřadnice získané v systému S-JTSK/05 do ETRF2000. Obdržené hodnoty srovnejte s hodnotami výchozími. Jako numerický výstup dokumentující průběh provedené transformace jsou požadovány též dílčí mezivýsledky jednotlivých kroků transformace (přičemž standartní Křovákovo zobrazení lze považovat za jeden ucelený krok). Veškeré souřadnice uvádějte s přesností odpovídající milimetrům. Nepovinné rozšíření úlohy: Neboť je z rozhodnutí ČUZK dosud stále závazným polohovým souřadným systémem S-JTSK (a nikoli S-JTSK/05), je třeba mít představu o převodu souřadnic z S-JTSK/05 do S-JTSK. V nepovinné části úlohy pokračujte v transformaci obdržených polohových souřadnic v S-JTSK/05 do S-JTSK při použití zvoleného typu kvadratické interpolace tabelovaných korekcí dy, dx. Inverzní směr transformace (zahrnující povinnou část z S-JTSK/05 do ETRF2000) pak postačí provést jedenkrát, a to ze získaných souřadnic v S-JTSK. Odlehlosti kvazigeoidu CR2005 v rastru 1 x 1,5 naleznete v textovém souboru CR-2005_v1005.dat. Tabulka korekcí dy, dx pro transformaci mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK v rastru 2 x 2km je k dispozici v textovém souboru table_yx_3_v1005.dat. Číselné zadání 6: B ET RF = 50 29 29.4002 L ET RF = 15 34 50.0030 Hel ET RF = 465.085m Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Transformace ETRF2000 S-JTSK 1.1 Konstanty elipsoidů Jelikož systém ETRF2000 je vázán na elipsoid GRS80 zatímco systém JTSK na Besselův elipsoid, je pro transformaci nutné znát konstanty obou elipsoidů: 1.1.1 Elipsoid GRS2000 Hlavní poloosa: Kvadrát zploštění: a GRS = 6378137.0m e 2 GRS = 0.006694380022901
1.1.2 Besselův elipsoid Hlavní poloosa: Kvadrát zploštění: a Bess = 6377397.155m e 2 Bess = 0.00667437223062 1.2 Pravoúhlé souřadnice bodu v ETRF2000 Geocentrické pravoúhlé souřadnice v systému ETRF2000 jsou dány vztahy: X ET RF = (N ET RF + H elet RF ) cos (B ET RF ) cos (L ET RF ) Y ET RF = (N ET RF + H elet RF ) cos (B ET RF ) sin (L ET RF ) ( ) ] Z ET RF = [ N ET RF 1 e 2 GRS + H elet RF sin (B ET RF ), kde příčný poloměr křivosti N je dán vztahem: N ET RF = a GRS 1 e 2 GRS sin2 B ET RF 1.3 Transformace pravoúhlých souřadnic ETRF2000 S-JTSK/05 Vztah mezi pravoúhlými souřadnicemi ETRF2000 a S-JTSK/05 je dán Helmertovou sedmiprvkovou transformací, jejíž konstanty jsou dány v metodice [1]. Translace: t 1 = 572.203m Změna měřítka: Diferenciální matice rotací: Transformace: X JT SK Y JT SK Z JT SK t 2 = 85.328m t 3 = 461.934m t 1 T = t 2 t 3 m 4 = 3.5393 10 6 q = 1 + m 4 r 5 = 5.24832714 /ρ r 6 = 1.52900087 /ρ r 7 = 4.97311727 /ρ 1 r 5 r 6 R = r 5 1 r 7 r 6 r 7 1 = T + q R 1.4 Elipsoidické souřadnice bodu v S-JTSK/05 X ET RF Y ET RF Z ET RF Systém JTSK/05 je vztažen k Besselovu elipsoidu, pro aplikaci modifikovaného Křovákova zobrazení jsou tedy nutné elipsoidické souřadnice bodu vztažené k tomuto elipsoidu.
1.4.1 Elipsoidická délka Elipsoidickou délku lze vyjádřit přímo ze vztahu: 1.4.2 Elipsoidická šířka a výška L JT SK = arctan Y JT SK X JT SK Elipsoidickou šířku a výšku nelze z pravoúhlých souřadnic vyjádřit přímo, je tedy nutné výpočet iterovat. K tomu je vhodné zavést pomocnou substituci: P = XJT 2 SK + Y JT 2 SK V 0-té iteraci šířky je elipsoidická výška bodu považována za rovnou 0 (tedy bod leží na elipsoidu). Přibližná hodnota šířky je pak v 0-té iteraci dána vztahem: ( ) ZJT SK 1 B JT SK = arctan P 1 e 2, Bess V dalších iteracích příčného poloměru křivosti, elipsoidické výšky a šířky jsou jako přibližné hodnoty používány výsledky z předchozí iterace: N JT SK = a Bess 1 e 2 Bess sin2 B JT SK H eljt SK = B JT SK = arctan Z P 1 P cos B JT SK N 1 N JT SK (N JT SK +H eljt SK ) e2 Bess Iterace probíhají do té doby dokud se elipsoidická výška ve dvou po sobě jdoucích iteracích neliší o méně než 1mm a elipsoidická šířka o méně než 0.0001. 1.5 Modifikováné Křovákovo zobrazení 1.5.1 Převod z Greenwiche na Ferro Prvním krokem modifikovaného Křovákova zobrazení je posun nultého poledníku z Greenwiche na Ferro: L F erro = L JT SK + 17 40 1.5.2 Konstanty modifikovaného Křovákova zobrazení α = φ 0 = 49 30 1 + e 2 Bess cos 4 φ 0 1 e 2 Bess U Q = 59 42 42.69689 U 0 = arcsin sin φ 0 α [ 1 + ebess sin φ 0 g(φ 0 ) = 1 e Bess sin φ 0 ) ( U0 k = tan 2 + 45 ] α e Bess 2 cot α ( φ0 2 + 45 k 1 = 0.9999 ) g(φ 0 )
N 0 = a Bess 1 e 2 Bess 1 e 2 Bess sin2 φ 0 S 0 = 78 30 n = sin S 0 ρ 0 = k 1 N 0 cot S 0 1.6 Zobrazení elipsoidu na kouli B, L U, V Pro zobrazení Besselova elipsoidu na kouli je použito Gaussovo konformní zobrazení. Sférická šířka: [ ( ( ) ) ] U = 2 arctan k tan α BJT SK + 45 g(b) 1 45, 2 kde [ ] 1 + ebess sin B α e Bess JT SK 2 g(b) = 1 e Bess sin B JT SK Rozdíl sférické délky určovaného bodu a sférické délky kartografického pólu: V = α ( 42 30 L F erro ) 1.7 Transformace ze zeměpisných souřadnic na kartografické U, V S, D Kartografická šířka: S = arcsin ( cos a sin U + sin a cos U cos V ), kde a = 90 U Q. Kartografická délka: ( ) cos U sin V D = arcsin cos S 1.8 Zobrazení koule na kužel S, D ρ, ε ε = n D ( ) ( ) ρ = ρ 0 tan n S0 S 2 + 45 cot n 2 + 45 1.9 Přibližné rovinné pravoúhlé souřadnice 1.10 Bikubická dotransformace X = ρ cos ε Y = ρ sin ε Cílem bikubické dotransformace je docílit co nejlepší shody mezi S-JTSK/05 a S-JTSK zavedením malých korekčních členů k původnímu Křovákovu zobrazení. X JT SK/05 = ( X X ) + 5000000 Y JT SK/05 = ( Y Y ) + 5000000
Korekční členy jsou dány výrazem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X A1 A3 A4 Xred A5 A6 = + + Y A2 A4 A3 Y red A6 A5 ( ) ( A7 A8 Xred ( X + red 2 3 Y 2 ) ) red A8 A7 Y red ( 3 Xred 2 Y red 2 ) + ( ) ( A9 A10 4 Yred X + red ( X red 2 Y 2 ) ) red A10 A9 Xred 2 + Y red 2 6 X2 red Y red 2, kde X red, Y red jsou redukované souřadnice X red = X 1089000.0 ( X 2 red Y 2 red 2 X red Y red ) + a konstanty Y red = Y 654000.0 A 1 = 0.2946529277 10 1 A 6 = 0.1523735715 10 11 A 2 = 0.2515965696 10 1 A 7 = 0.1696780024 10 17 A 3 = 0.1193845912 10 6 A 8 = 0.4408314235 10 17 A 4 = 0.4668270147 10 6 A 9 = 0.8331083518 10 23 A 5 = 0.9233980362 10 11 A 10 = 0.3689471323 10 23 1.11 Korekce systému JSTK/05 na sytém JTSK Na základě velkého množství identických bodů, které mají známé souřadnice ETRF2000 a S-JTSK byla sestavena tabulka korekcí mezi S-JTSK/05 a S-JTSK v pravidelném kroku 2km. Korekce byly z této tabulky interpolovány kvadratickou interpolací. Nejprve bylo vyhledáno 9 nejbližších bodů mřížky k zadanému bodu. Pro každou trojici z těchto devíti bodů, mající stejnou souřadnici X, byly kvadraticky vyinterpolovány korekce pro bod o stejné souřadnici X jako trojice bodů a souřadnici Y odpovídající výpočetnímu bodu. Tak byly získány tři fiktivní body se stejnou souřadnicí Y jako výpočetní bod a různou souřadnicí X. V druhém kroku byly opět kvadratickou interpolací (tentokrát v souřadnici X) určeny korekce ve výpočetním bodě. Výsledné souřadnice bodu v S-JTSK: 1.12 Výška Bpv X JT SK = X JT SK/05 5000000 dx Y JT SK = Y JT SK/05 5000000 dy Výška v systému Bpv, byla určena přímo z elipsoidické výšky ETRF2000 odečtením odlehlosti kvazigeoidu a elipsoidu GRS80: H Bpv = H elet RF N Odlehlost byla určena plošnou interpolací z modelu kvazigeoidu ČR2005. Plošná interpolace Plošná interpolace je váženým průměrem funkčních hodnot ve známých bodech, kde jako váha je použita převrácená hodnota vzdálenosti známého a určovaného bodu. Ni p i N =, p i kde N je odlehlost v určovaném bodě, N i jsou odlehlosti ve známých bodech a p i jsou váhy. p i = 1 d i,
kde d i = R arccos (sin B sin B i + cos B cos B i cos L), kde R = 6, 371 10 6 m je poloměr Země, B geodetická šířka určovaného bodu, B i geodetická šířka známého bodu a L rozdíl délek známého a určovaného bodu. 2 Transformace S-JTSK ETRF2000 Tranformace opačným směrem probíhá podle obdobného schématu. 2.1 Korekce systému JSTK na sytém JTSK/05 Jelikož tabulka korekcí mezi S-JTSK/05 a S-JTSK je sestavena pouze pro směr ETRF2000 S-JTSK, je při transformaci opačným směrem nutné určit korekce iterací. V první iteraci jsou považovány souřadnice S-JTSK za souřadnice S-JTSK/05-5000000, pro které jsou korekce tabelovány. Korekce jsou pak určeny kvadratickou interpolací (popsáno výše). Následně jsou spočteny nové souřadnice S-JTSK/05 a výpočet opakován, dokud není dosažena požadovaná přesnost 1mm. 2.2 Inverzní Křovákovo zobrazení X JT SK/05 = X JT SK + 5000000 + dx Y JT SK/05 = Y JT SK + 5000000 + dy Bikubická dotransformace je opět definována pouze pro směr ETRF2000 S-JTSK, je tedy nutné opět iterovat. Použité vzorce jsou shodné se vzorci uvedenými výše. V první iteraci jsou souřadnice S-JTSK/05 po odečtení konstanty 5000000 považovány za souřadnice X, Y pro které jsou určeny korekční členy. Nové souřadnice X, Y jsou dány vztahem: ( ) X = X JT SK/05 + X 5000000 Y = ( ) Y JT SK/05 + Y 5000000 Výpočet je opět opakován dokud nění dosažena přesnost 1mm. Polární souřadnice bodu: Kartografické souřadnice: S = 2 { arctan Zeměpisné souřadnice na náhradní kouli: ρ = X 2 + Y 2 [ ( ρ0 Elipsoidické souřadnice na Besselově elipsoidu: ε = arctan Y X D = ε sin S 0 ) 1 ( ) ] } n S0 tan ρ 2 + 45 45 U = arcsin ( cos a sin S sin a cos S cos D ) ( ) cos S sin D V = arcsin cos U L JT SK = 24 50 V α
B JT SKi = 2 { arctan [ k 1 α tan 1 α ( U 2 + 45 ) ( 1 + ebess sin B JT SKi 1 1 e Bess sin B JT SKi 1 ) e ] } Bess 2 45 Výpočet šířky probíhá iteračně, kde v první iteraci je pro elipsoidickou šířku B volena hodnota sférické šířky U. Podmínkou ukončení iterace je dosažení přesnosti 0.0001. Pro další výpočet je nutné znát také elipsoidickou výšku od Besselova elipsoidu. V daném případě byla převzata z transformace opačným směrem. Pokud by však nebyla známa, bylo by nutné jí určit iteračně. Nejprve by byla z modelu kvazigeoidu ČR2005 iterpolací určena odlehlost, kde by jako přibližné souřadnice (B, L) ET RF byly použity souřadnice (B, L) JT SK. Následně by přičtením odlehlosti k výšce Bpv byla určena přibližná elipsoidická výška ETRF2000. Ta by byla společně s přibližnými souřadnicemi B,L přetransformována na elipsoidickou výšku na Besselově elipsoidu stejně jako při transformaci ETRF2000 S-JTSK. Takto získaná výška k Besselovu elipsoidu je pouze přibližná, jelikož pro inerpolaci odlehlosti byly použity souřadnice (B, L) JT SK. Po dokončení výpočtu souřadnic (B, L) ET RF, viz. dále, je nutné znovu určit odlehlost a celý výpočet opakovat dokud nebude dosaženo potřebné přesnosti. 2.3 Pravoúhlé souřadnice bodu v S-JTSK/05 Po převzetí elipsoidické výšky z transformace opačným směrem je možné určit geocentrické pravoúhlé souřadnice S-JTSK/05: X JT SK = (N JT SK + H eljt SK ) cos (B JT SK ) cos (L JT SK ) Y JT SK = (N JT SK + H eljt SK ) cos (B JT SK ) sin (L JT SK ) ( ) ] Z JT SK = [ N JT SK 1 e 2 Bess + H eljt SK sin (B JT SK ), kde příčný poloměr křivosti N je dán vztahem: N JT SK = a Bess 1 e 2 Bess sin2 B JT SK 2.4 Transformace pravoúhlých souřadnic S-JTSK/05 ETRF2000 Transformace je opět dána sedmiprvkovou Helmertovou transformací. Dle metodiky [1] nejsou konstanty přesně inverzní: Translace: t 1 = 572.213m t 2 = 85.334m Změna měřítka: t 3 = 461.940m t 1 T = t 2 t 3 m 4 = 3.5378 10 6 q = 1 + m 4 Diferenciální matice rotace: r 5 = 5.24836073 /ρ r 6 = 1.52899176 /ρ r 7 = 4.97316164 /ρ
Transformace: R = X ET RF Y ET RF Z ET RF 1 r 5 r 6 r 5 1 r 7 r 6 r 7 1 = T + q R X JT SK Y JT SK Z JT SK 2.5 Elipsoidické souřadnice bodu v ETRF2000 Transformace je obdobná jako při transformaci (X, Y, Z) JT SK na (B, L, H el ) JT SK. 2.5.1 Elipsoidická délka Elipsoidicku délku lze určit přímo ze vztahu: 2.5.2 Elipsoidická šířka a výška L ET RF = arctan Y ET RF X ET RF Elipsoidickou šířku a výšku je nutné iterovat. Pomocná substituce: P = XET 2 RF + Y ET 2 RF V 0-té iteraci šířky je elipsoidická výška bodu považována za rovnou 0 (tedy bod leží na elipsoidu). Přibližná hodnota šířky je pak v 0-té iteraci dána vztahem: ( ) ZET RF 1 B ET RF = arctan P 1 e 2 GRS V dalších iteracích příčného poloměru křivosti, elipsoidické výšky a šířky jsou jako přibližné hodnoty používány výsledky z předchozí iterace: N ET RF = a GRS 1 e 2 GRS sin2 B ET RF H elet RF = B ET RF = arctan Z P 1 P cos B JT SK N 1 N ET RF (N ET RF +H elet RF ) e2 GRS Iterace probíhají do té doby dokud se elipsoidická výška ve dvou po sobě jdoucích iteracích neliší o méně než 1mm a elipsoidická šířka o méně než 0.0001. 2.6 Výška ETRF2000 Elipsoidická výška je přesněji určena z výšky Bpv přičtením odlehlosti kvazigeoidu od elipsoidu GRS80: H elet RF = H Bpv + N Odlehlost je určena opět plošnou interpolací z modelu ČR2005. 3 Číselné výsledky
3.1 Elipsoidické souřadnice bodu v ETRF2000 B ET RF = 50 29 29.4002 L ET RF = 15 34 50.0030 H elet RF = 465.085m 3.2 Pravoúhlé souřadnice bodu v ETRF2000 X ET RF = 3916714.113m Y ET RF = 1092133.594m Z ET RF = 4898109.909m 3.3 Pravoúhlé souřadnice bodu v S-JTSK/05 X JT SK = 3916119.528m Y JT SK = 1092062.836m Z JT SK = 4897633.341m 3.4 Elipsoidické souřadnice bodu v S-JTSK/05 B JT SK = 50 29 32.2496 L JT SK = 15 34 54.6475 H eljt SK = 421.253m 3.5 Zobrazení elipsoidu na kouli B, L U, V U = 50 27 3.3506 V = 9 15 25.2524 3.6 Transformace ze zeměpisných souřadnic na kartografické U, V S, D S = 79 21 9.9895 D = 33 40 4.7628 3.7 Zobrazení koule na kužel S, D ρ, ε ε = 32 59 31.5414 ρ = 1203076.264m 3.8 Přibližné rovinné pravoúhlé souřadnice v S-JTSK/05 X = 1009075.049m Y = 655103.079m 3.9 Bikubická dotransformace X = 0.079m Y = 0.068m 3.10 Rovinné pravoúhlé souřadnice v S-JTSK/05 X JT SK05 = 6009074.970m Y JT SK05 = 5655103.010m 3.11 Korekce systému JSTK/05 na sytém JTSK dx = 0.072m dy = 0.013m
3.12 Rovinné pravoúhlé souřadnice v S-JTSK X JT SK = 1009074.899m Y JT SK = 655102.997m 3.13 Výška Bpv H Bpv = 421.287m 3.14 Korekce systému JSTK/05 na sytém JTSK dx = 0.072m dy = 0.013m 3.15 Rovinné pravoúhlé souřadnice v S-JTSK/05 X JT SK05 = 6009074.970m Y JT SK05 = 5655103.010m 3.16 Bikubická dotransformace X = 0.079m Y = 0.068m 3.17 Přibližné rovinné pravoúhlé souřadnice v S-JTSK/05 X = 1009075.049m Y = 655103.079m 3.18 Polární souřadnice na kuželi ρ, ε ε = 32 59 31.5414 ρ = 1203076.264m 3.19 Zobrazení kužele na kouli ρ, ε S, D S = 79 21 9.9895 D = 33 40 4.7628 3.20 Transformace z kartografických souřadnic na zeměpisné S, D U, V U = 50 27 3.3506 V = 9 15 25.2524 3.21 Elipsoidické souřadnice bodu v S-JTSK/05 B JT SK = 50 29 32.2496 L JT SK = 15 34 54.6475 H eljt SK = 421.253m 3.22 Pravoúhlé souřadnice bodu v S-JTSK/05 X JT SK = 3916119.528m Y JT SK = 1092062.836m Z JT SK = 4897633.341m
3.23 Pravoúhlé souřadnice bodu v ETRF2000 X ET RF = 3916714.113m Y ET RF = 1092133.594m Z ET RF = 4898109.909m 3.24 Elipsoidické souřadnice bodu v ETRF2000 B ET RF = 50 29 29.4002 L ET RF = 15 34 50.0030 H elet RF = 465.085m Závěr: Byla provedena transformace souřadnic bodu z ETRF2000 do S-JTSK a následně zpět do ETRF2000. Podstatným mezivýsledkem jsou souřadnice bodu v S-JTSK/05. Postupováno bylo dle metodiky [1]. V metodice není přesně specifikován postup interpolace odlehlosti kvazigeoidu a interpolace korekcí mezi S-JTSK/05 a S-JTSK. Použité způsoby interpolace jsou podrobně popsány v příslušných bodech technické zprávy. Vzhledem k výpočtu tam a zpět bylo přijato zjednodušení, kdy elipsoidická výška od Besselova elipsoidu je při výpočtu zpět převzata z výpočtu tam. Jinak by ji bylo nutné určit iteračně. Kontrolou výpočtu jsou stejné souřadnice bodu v ETRF2000 při výpočtu zpět jako byly zadané. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Přílohy: 1. Zdrojový kód a funkce pro výpočet v programu Octave Zdroje: [1] KOSTELECKÝ Jan; KOSTELECKÝ Jakub; PEŠEK Ivan. Metodika převodu mezi ETRF2000 a S-JTSK varianta 2. 2010. V Kralupech nad Vltavou 02.04.2011 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)