0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 Dlouhodobé nahodilé Std Distribution: Gumbel Min. EV I Mean Requested: 140 Obtained: 141 Std Requested: 75.5 Obtained: 73.2-100 0 100 200 300 Mean Std Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky Začlenění stratifikovaných a pokročilých simulačních metod do přehledu pravděpodobnostních metod Metoda Latin Hypercube Sampling LHS Podstata metody Aplikace metody v programu FREET Zadání náhodných vstupních veličin Zadání statistické závislosti vstupních veličin Výpočet simulací Definice výpočetního modelu Analýza výsledků simulačního výpočtu Ukázky výpočtu Hlavní rysy ostatních typů simulačních metod Stratifikované a pokročilé simulační metody 1 / 27
Pravděpodobnostní metody Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky Latin Hypercube Sampling LHS Stratified Sampling -SC Pokročilé simulační metody: Importance Sampling IS Adaptive Sampling AS Directional Sampling DS Line Sampling LS Aproximační metody Přehled např. [Novák, 2005] First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy Response Surface -RS Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV Metody pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti 2 / 27
Zdokonalené simulační metody Klasická simulační technika Monte Carlo se často potýká s problémem malé efektivnosti u složitějších spolehlivostních úloh, u nichž lze provést jen omezený počet simulací. Další nevýhodou přímé metody Monte Carlo je potřeba velkého množství simulací k odhadu pravděpodobnosti poruchy p f, která je obvykle u řešených úloh velmi malá. Východiskem jsou zdokonalené simulační metody (stratifikované, pokročilé), které umožňují odhadnout pravděpodobnost poruchy p f s menším počtem simulací. Stratifikované a pokročilé simulační metody 3 / 27
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Podobně jako u klasické simulace Monte Carlo je i u metody LHS odhad pravděpodobnosti poruchy p f získán z určitého počtu realizací funkce poruchy G(X) n náhodných veličin X = X 1, X 2 až X n. Definiční obor distribuční funkce F(X i ) každé náhodné veličiny X i je ale přitom rozdělen na N intervalů (tříd) o stejné pravděpodobnosti: 1 N Princip LHS: rozdělení definičního oboru distribuční funkce náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody 4 / 27
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Reprezentativní hodnoty dané veličiny jsou při simulaci vybírány na základě náhodných permutací celých čísel j = 1, 2,..., N. Při výpočtu je provedeno právě N simulací, během nichž je každý z intervalů vybrán pouze jednou. Z každého intervalu je vybrána buď jeho střední hodnota, hodnota odpovídající mediánu nebo naprosto náhodně zvolená hodnota, ze které se na základě inverzní distribuční funkce F -1 Xi (X i ) určí odpovídající reprezentativní hodnota x i,j náhodné veličiny X i. Stratifikované a pokročilé simulační metody 5 / 27
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Tímto způsobem lze zajistit, že se při simulacích rovnoměrně pokryje celý rozsah distribuční funkce náhodné veličiny, což vede k uspokojivým odhadům výsledných pravděpodobností při relativně malém počtu simulací. Stratifikované a pokročilé simulační metody 6 / 27
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Při pravděpodobnostních výpočtech metodou LHS je možno zadat statistickou závislost jednotlivých vstupních veličin pomocí korelační matice, která obsahuje korelační koeficienty mezi jednotlivými náhodnými veličinami. Při výpočtu se pak iteračně (např. metodou simulovaného žíhání) upraví (přeuspořádá) obsah tzv. tabulky náhodných permutací (obsahuje N řádků s příslušnými vygenerovanými hodnotami simulací j = 1, 2,..., N a n sloupců pro každou náhodnou veličinu X 1, X 2,..., X n ) tak, aby se korelační matice výsledných náhodných veličin co nejvíce blížila korelační matici zadané. Stratifikované a pokročilé simulační metody 7 / 27
Software Freet (Feasible Reliability Engineering Tool) Víceúčelový Pravděpodobnostní Software pro statistickou, citlivostní a spolehlivostní analýzu. Vyvíjen na Ústavu stavební mechaniky Fakulty stavební VUT v Brně. Verze 1.5 Demo verze ke stažení na http://www.freet.cz. Stratifikované a pokročilé simulační metody 8 / 27
Freet: zadávání vstupních veličin Freet: zadání náhodné proměnné s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti. Možnost výběru z databáze parametrických rozdělení a zadáním konkrétních hodnot statistických momentů dané náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody 9 / 27
Freet: typy parametrických rozdělení Deterministic Normal Lognormal (2par) Lognormal (3par) Weibull min (2par) Weibull min (3par) Weibull max (2par) Weibull max (3par) Raileigh Raileigh negative Beta (4par) Gamma (2par) Gamma negative (2par) Gamma (3par) Gamma negative (3par) Exponential Exponential negative Gumbel min EV I Gumbel max EV I Rectangular Triangular Laplace Pareto Logistic Half-Normal Half-Normal negative Beta Student t Stratifikované a pokročilé simulační metody 10 / 27
Freet: zpracování naměřených dat Výběr vhodného parametrického rozdělení ze zadaných naměřených hodnot Stratifikované a pokročilé simulační metody 11 / 27
Freet: zadání korelační matice Korelační koeficienty: 0.. statistická nezávislost 0<.. statistická závislost Stratifikované a pokročilé simulační metody 12 / 27
Freet: generování simulací Freet: Iterační přeuspořádání obsahu tzv. tabulky náhodných permutací metodou simulovaného žíhání Stratifikované a pokročilé simulační metody 13 / 27
Freet: generování simulací Freet: Rozčlenění každého rozdělení pravděpodobnosti na N intervalů (tříd) o stejné pravděpodobnosti Stratifikované a pokročilé simulační metody 14 / 27
Freet: generování simulací Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky nezávislé Stratifikované a pokročilé simulační metody 15 / 27
Freet: generování simulací Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky závislé (95 %) Stratifikované a pokročilé simulační metody 16 / 27
Freet: generování simulací Freet: Tabulka vygenerovaných a přeuspořádaných náhodných permutací Stratifikované a pokročilé simulační metody 17 / 27
Freet: generování simulací Freet: Definice výpočetního modelu a dosazení vygenerovaných permutací do tohoto modelu Stratifikované a pokročilé simulační metody 18 / 27
Freet: generování simulací p f = 0,0000575 < p d = 0,0000720 nosný prvek vyhoví třída následků RC2/CC2 Freet: Výsledný odhad rozdělení pravděpodobnosti funkce spolehlivosti, odhad pravděpodobnosti poruchy p f Stratifikované a pokročilé simulační metody 19 / 27
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Posuzovanou konstrukcí je železobetonová klenba zasypávané části silničního tunelu. Stratifikované a pokročilé simulační metody 20 / 27
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Schéma řešené konstrukce klenby tunelu Posuzovaná část (vrchol klenby) Stratifikované a pokročilé simulační metody 21 / 27
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Zatěžovací údaje rozhodující kombinace q=71 kn/m q=+10 C q=142 kn/m q=+10 C q=71 kn/m q=36 kn/m q=36 kn/m q=21 kn/m q=21 kn/m q=146 kn/m q=146 kn/m Stratifikované a pokročilé simulační metody 22 / 27
11 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu 79 87 81 86 85 84 5 80 88 82 30 90 89 77 93 92 91 78 76 75 74 73 72 71 70 68 69 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 5556 54 53 52 51 4950 48 47 46 45 4344 42 41 1 2 5 31 29 30 32 10 4 134 14 135 17 27 28 136 138 137 21 139 23 1 4 5 7 6 2 16 11 9 15 14 3 23 10 8 16 6 8 7 9 9 4 7 11 13 15 12 14 10 12 22 31 8 1 3 X 32 4 12 1 2 2 3 5 6 6 7 4 40 39 37 38 36 35 34 33 16 78 9 10 12 13 14 15 16 7 17 217 18 18 19 20 21 22 23 24 25 26 13 83 29 9899 97 96 95 94 Statický model 102 101 100 24 105 104 103 27 107 108 106 110 109 111 113 112 114 116 115 118 117 119 120 28 121 122 26 123 124 125 126 25 23 127 128 129 130 131 132 133 19 8 9 10 11 5 3 6 18 19 12 1 8 20 13 3 11 22 20 24 1 4 15 4 Přechodové prvky Kontaktní pružiny Y 31 27 21 25 26 Stratifikované a pokročilé simulační metody 23 / 27
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Dosažené výsledky, přetvoření tlačeného betonu 2e+004 1.5e+004 Rozhodující kritéria Průhyb ve vrcholu Přetvoření tlačené oceli Přetvoření tlačeného betonu Přetvoření tažené oceli LSF Eps beton 3 (tlačený) Std Mean Std 1e+004 5e+003 0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345 0.0035 0.00355 Pravděpodobnost překročení limitního přetvoření tlačeného betonu činí ~10-42 Stratifikované a pokročilé simulační metody 24 / 27
Metoda Importance Sampling Generování náhodných veličin se provádí odlišným způsobem, než je tomu u klasické metody Monte Carlo. Simulace jsou koncentrovány do oblasti poruchy D f, aby k záporné hodnotě funkce poruchy G(X) < 0 náhodných veličin X = X 1, X 2,... X n záměrně docházelo velmi často. Oblast, která při simulacích nejvíce přispívá k pravděpodobnosti poruchy p f, leží v blízkosti návrhového bodu. Ten je definován jako bod, ležící na hranici poruchy G(X) = 0s minimální vzdáleností od počátku souřadnic v normalizovaném prostoru náhodných veličin. Do výpočtu vstupuje k tomuto účelu vhodně zvolená váhová funkce h Y (X). Simulace pak probíhá v poněkud rozdílném prostoru než u klasické metody Monte Carlo, kde se odhad pravděpodobnosti poruchy p f blíží její střední hodnotě. Stratifikované a pokročilé simulační metody 25 / 27
Metoda Importance Sampling Odhad pravděpodobnosti poruchy p f při simulaci typu Importance Sampling se dá pro N simulací vyjádřit vztahem: kde p f f G X 1 N 1 0 Tímto způsobem lze určit dostatečně přesný odhad i velmi malé hodnoty pravděpodobnosti poruchy p f s relativně malým počtem simulací (N se pohybuje řádově v tisících). N X i fg X. i 1 hy Xi pro G pro G f X X X 0 0 Stratifikované a pokročilé simulační metody 26 / 27
Závěry 0.006 0.005 Std Mean Std Xlimit 1 0.004 0.003 0.002 Přednáška: 0.001 100 200 300 400 500 600 700 800 byla zaměřena na zdokonalené simulační metody, které oproti klasické simulační metodě Monte Carlo vykazují větší efektivitu výpočtu a umožňují tak pravděpodobnostně řešit složitější spolehlivostní úlohy, představila programový systém Freet, který k odhadu pravděpodobnosti poruchy p f využívá stratifikovanou simulační metodu Latin Hypercube Sampling LHS, nastínila podstatu řešení pokročilou simulační metodou Importance Sampling. Závěry 27 / 27
0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 Dlouhodobé nahodilé Std Distribution: Gumbel Min. EV I Mean Requested: 140 Obtained: 141 Std Requested: 75.5 Obtained: 73.2-100 0 100 200 300 Mean Std Děkuji za pozornost!