UIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI Pedgogcá flt Ktedr mtemty Dofoá, R, Kopecý, GEOETRIE OLOOUC 007
Osh 6 Vetoroé prostory se slárím sočem Shrtí 6 7 7 Kolmost etorů 9 Shrtí 7 4 8 Vetoroý soč 6 Shrtí 8 9 9 Smíšeý soč tří etorů e V 0 Shrtí 9 0 Eldosé prostory Shrtí 0 8 Ortogoálí průmět přímy do podprostor 9 Shrtí 0 Vzdáleost podprostorů E Shrtí 8 Odchyl do podprostorů prostor E 9 Shrtí 4 4 Ortogoálí trsformce sořdc e V E 44 Shrtí 4 47
6 Vetoroé prostory se slárím sočem V ásledjící ptole pozáme žtečost slárího soč temtoé ám le přprl toý mlý prolém, o terém msíme ěco ědět, ychom se yhl prolémům mohem ětším y ž z mlých ptol íme, že průem do oeích útrů zá zse oeí útr Přesňme se chíl do V Poloro je oeí útr, j jsme pozl ptole o oeích útrech díl Průem do poloro, jejchž hrčí přímy jso spol růzoěžé, je úhel Úhel ozčme ho př α je tedy část roy Tto defoý úhel emůže mít žádo elost, protože osh té část roy, terá předstje úhel α, je ždycy eoečý Přtom se pojem elost úhl šolách ěžě požíá Ittě tšíme, že máme mysl ěco úplě jého, co s roo emá téměř c společého Pod elostí úhl ttě tšíme elost odchyly do polopříme, jejchž počátečí od je totožý Z předchozího tet tšíme, že do zřejmě troch prolémy s pojmem odchyl do etorů Ale teto pojem ás teď práě zjímá, protože chceme mět ypočítt př odchyl hry jehl s loolo podsto prolémy podoé V mtemtce se pojem odchyl etorů zádí pomocí slárího soč do etorů Teto pojem se tedy týá poze do etorů, lze ho š defot -rozměrém etoroém prostor V ásledjícím se de pod pojmem etoroý prostor rozmět ždy etoroý prostor d tělesem R reálých čísel Bdž tedy dá -dmezoálí etoroý prostor V Defce 6: Slárí soč e V je zorzeí V V R, teré ždé spořádé dojc <, > V V přřzje reálé číslo, přčemž jso pro šechy etory,, w V šech reálá čísl R splěy ásledjící podmíy: SS, SS w w w, SS, SS4 0; 0 o Vzhledem SS4 deme psát Co s máte pod slárím sočem do etorů předstt? Bohžel tto chíl ejsme ještě schop žádo orétí předst přprt Ještě chíl se dete mset
4 spoojt s toto scho defcí Poze s ědomme, že SS4 eříá, že slárí soč do loolých etorů je ezáporý, ýrž že slárí soč etor s týmž etorem je ezáporý je roe le poze přípdě, že te žoý etor je loým etorem V ásledjící ětě s ážeme dlší lstost slárího soč Vět 6: Pro šechy etory,, w V pro šech reálá čísl R pltí: w w,, c, d o o 0, e - - Důz 6: plye z SS SS c plye z SS SS d o - - - - 0 e plye z Pltí zthy: Velost etor : 6 Jedotoý etor e: e 6 ormoý etor eloém etor oz 0 je etor 0 6 Odchyl do eloých etorů, V ozčjeme symolem, je reálé číslo <0, π>, teré je defoáo pomocí jeho os ásledoě:
5 cos, 64 yí jž máme možost s slárí soč do etorů, lespoň e V, orétě předstt K předstě požjeme geometrcého model dojdmezoálího etoroého prostor Vzorec 64 príme tr cos, po požtí soctího záo můžeme psát cos, 65 Ze zth 65 je zřejmé, že slárí soč do etorů je číselě yjádře oshem odélí, jehož jed str má elost drhá str má elost cos, Protože drhé číslo může ýt záporé pro, π, π, měl ychom říc, že drhá str toho odélí má elost cos, Už teď je zřejmé, že je-l < 0, je, π, π, > 0, je, 0, π, 0, je, π Doprooďme teto tet ázorým orázem 6, Or 6 Vlstost slárího soč:
6 Vět 6: Jso-l, V, R, p pltí: 0 o, je eloý etor práě tehdy, je-l > 0, c, d je-l eloý etor, je 0, e Schwrzo eroost, př čemž pltí, že, jso leárě záslé, f, g h trojúhelíoá eroost, Důz 6: plye z SS4 c 0 d e Je-l, R, je Vyjádříme pro str: Jso-l, leárě ezáslé tedy eloé etory, je pro ždé reálé číslo t R t > 0 Je tedy t t > 0, tže, dosdíme-l příld t -, de > 0, < > 0 po úprě f g h
7 Vřele doporčjeme, yste s ěteré z lstostí Schwrzo trojúhelíoo eroost ymodelol podle or 6 yí zedeme pojem Grmmů determt deme zomt, j sosí Grmmů determt s leárí ezáslostí spy etorů Grmmů determt pro etory,,, V má tr: G,,, : : : : : : : : 66 Vět 6: Vetory,,, V jso práě tehdy leárě záslé, je-l G,,, 0 Důz 6: Z roce o dosteme postpým ásoeím etory,,, systém roc 0, j,,, Tto sost má eloé řešeí,,, práě tehdy, je-l G,,, 0 j Vět 64: Vetory, V jso leárě záslé práě tehdy, je-l, π, eo, 0 Důz 64: Jso-l etory, leárě záslé, estje R t, že, tedy cos, ± Z drhé stry této roost plye, že je-l cos, ±, je ± 0, tže G, 0 Vetory, jso tedy podle ěty 6 leárě záslé Shrtí 6 Vše, co jsme pozl o etorech prím díl, ám emožlo rozhodot, jestl d etory jso soě olmé, č ol, přčemž olmost je přece ýzmá lstost, terá se techcém sětě čsto yžíá edoedl jsme t olmost stot proto, že jsme ž této ptole zedl pojem odchyly do etorů
8 Víme, že msíme rozlšt pojmy úhel odchyl Úhel je část roy, odchyl je reálé číslo z terl 0, π Odchyl se ždy stoje poze mez děm etory, teré jso defoáy prostor loolé dmeze Vzorec 64 je možo s předstt e tr cos,, 67 z ěhož je zřejmé, že oss odchyly do etorů je roe slárím soč jejch ormáloých tedy jedotoých etorů To je jž zcel předsttelé je možo tto stc zázort pomocí doproodého oráz Ve zýjící část jsme pozl pojem Grmmů determt ázl jsme s, j sosí s leárí záslostí spy etorů yí doedete jstěj z lstostí determtů ododt, př dy je ždá sp čtyř etorů prostor dmeze tř leárě záslá
9 7 Kolmost etorů V mlé ptole jsme, romě jého, mll o prolemtce spojeé s pojmem elost úhl Protože se te pojem šolách oprd požíá má šroé prtcé pltěí protože áze této ptoly záotě poede pojm prý úhel, je ejyšší čs se toto prolemto zýt líže Výzmo rol de hrát odchyl do etorů Zo s ědomme, že oeí, tj dtý úhel je průem do poloro, jejchž hrčí přímy jso růzoěžé Podotěme sočsě, že se oeí úhel dá defot emožoě jo t část roy, ležící mez děm polopřímm, jejchž počátečí od je společý Je-l hrčí přím poloroy dá ody R, P hrčí přím poloroy dá ody S, P, p oeí dtý úhel α, terý je průem těchto poloro, může ýt zpsá symolem α RPS Bod P se p zýá rchol úhl α Té s jstě pmtjete, že polopřímám PR elost úhl α PS říáme rme úhl α yí jž můžeme přstopt defc Defce 7: ějme dá úhel α PR, PS echť jso jeho rme Je-l úhel α oeí, zýáme elostí úhl α odchyl etorů R - P, S - P Velost oeího úhl α zpsjeme symolem α Podle této defce je možo zpst α R - P, S - P Z defce je zřejmé, že je možo defot té elost eoeího yplého úhl α Jso-l yí PR PS rme eoeího úhl α, je α π - R - P, S - P 7 Defce 7 soě srýá jedo elé úslí: tto elze defot elost úhl šolách, protože se defc ysytje pojem odchyl etorů, tedy pojem, terý záldí šole zám eí Z defce odchyly íme, co je její oss, ol, co je odchyl sm, tže se stále pohyjeme jéms rh Z ěj edo dě cesty: Vrchol úhl zolíme středem ržce o poloměr jed Velost úhl α je ro délce rhoého olo, terý je jedotoé ržc rče rmey úhl Je-l př dél rhoého olo ro,4 cm, je elost příslšého úhl,4 rdáů Zpsáo α,4 rd
0 jedé strě se teto způso zdá ýt jedodchý, drhé strě měřeí déle rhoého olo eí t zcel jedodchá záležtost Úhel, jehož rme jso polopřímy opčé, zěme úhel přímý Prohlásíme jeho elost roo 80 stpňů Od této elost se odozjí šechy ásoy Je to zřejmě jedodšší způso ež te prí, le má té sé emlé prolémy Do deších dů se epodřlo prosdt děleí stpě desety, sety,, ýrž se stále žíá děleí stpě 60 mt děleí mty úhloé mty 60 teř opět je jsé, že se jedá o úhloé teřy ol sedy! Ze šoly jstě doře íme, j ám šedesátoá sost doedl zepříjemt žot V dlším tet deme ždy předpoládt, že je dá etoroý prostor V se slárím sočem Defce 7: Vetory, V jso zájem olmé práě tehdy, dyž 0 ožá s řeete, proč zádíme olmost etorů t složtě pomocí slárího soč proč se edefjí olmé etory t, že jejch odchyl je π rd, popř 90? Důod je prostý: z chíl se dozíte, že ýpočet slárího soč je prostor s ortoormálí ází prosto jedodchým prolémem Je to sočet sočů jejch sořdc Protože pro ždý etor pltí o 0, je o olmý e šem etorům z V sám soě Protože pro ždý eloý etor je > 0, eí žádý eloý etor olmý sám soě Defce 7: Systém etorů {,,, } zeme ortogoálí, pod je j pro ždé d růzé dey, j,,, Vět 7: Kždý ortogoálí systém eloých etorů je leárě ezáslý Důz 7: Je-l {,,, } ortogoálí systém etorů e V, je G,,, 0 : 0 0 : 0 : 0 0 : > 0 Dále z ět 6
Před chíl jsme řel, že ýpočet slárího soč tím lstě odchyly do etorů je zlášť jedodchý prostorech s ortoormálí ází eí d, že se mtemtoé sžl ytořt ějý lgortms, terý y možl loolo áz změt áz, terá y yl ortoormálí Stčlo y sestrojt ortogoálí áz, protože proces ormlzce je ž jedodchý Toý lgortms yl sestroje je osže důz ásledjící ěty Vět 7: Kždý etoroý prostor V se slárím sočem oshje ortogoálí systém etorů, oshjící ejýše růzých eloých etorů Důz 7: Je-l,,, leárě ezáslý systém eloých etorů e V, můžeme ěm sestrojt ortogoálí systém etorů,,, pomocí ostrce, terá se zýá Schmdtů ortogolzčí proces Te se sládá z roů: Zolíme, áme-l jž sestrojey etory,,, r r,,, -, p můžeme sestrojt etor r tto: r r - r r 7 J se můžeme sdo ýpočtem přesědčt, dostl jsme t pro r,,,, ortogoálí systém etorů,,, r Ay yl teto proces strtelější, žme s jedotlé roy pro systém do etorů ějme systém, eortogoálích etorů sestrojme ěm systém, ortogoálích etorů z or 7 A B Or 7
čároý etor, tj etor B A Te yjádříme jo část etor Z úměry B A B A 7, je možo yjádřt etor B A Odd plye hed ro Schmdto ortogolzčího proces Podoě ychom postpol dlších rocích Defce 74: Ortogoálí áze e V je áze prostor V, terá je ortogoálím systémem Ortoormálí áze e V je ortogoálí áze prostor V, íž je ždý etor jedotoý Vět 7: V ždém etoroém prostor V se slárím sočem estje ortoormálí áze Důz 7: ět plye z ět 7 6d Počítáme-l se sořdcem etorů ortoormálí áz, máme sděy ýpočty, teré ycházejí ze slárího soč etorů: Defce 75: Je-l <e, e,, e > ortoormálí áze prostor V, je e e j δ j, 74, de δ j 0 pro růzé od j, δ j pro j Symol δ j se zýá Kroeceroo δ Z defce 75 yplýá, že jso-l, y V,,,,, y y, y,, y, je y e y j j e j y j j e e j y 75 Odtd dostááme záldí početí prdl: Vět 74: Jso-l prostor V dáy d etory, y sým sořdcem,,,, y y, y,, y, dým ortoormálí áz, je:
y y y T, 76, 77 c cos,y y y 78 Ze zorce 76 je dět, j se ýpočty pro slárí soč prostor s ortoormálí ází zjedodší Sočsě s šmeme, že Schmdtů ortogoálí proces eí omeze poze Pro loolé lze prostor V sestrojt etorů see olmých Smozřejmě zde ž zse odpdá jáol geometrcá předst Defce 76: Bdž loolá mož etorů prostor V, V Vetor je olmý mož práě tehdy, pltí-l pro ždý etor zth Defce 77: Ortogoálí doplě možy : { V ; } Vět 75: Je-l podmožo etoroého prostor V se slárím sočem, p je podprostorem prostor V Důz 75: je eprázdá mož, eoť o Jso-l,, jso,, tže pro ždý etor pltí:, 0 Je tedy Kromě toho je pro c R : 0 c c, tže c Bdeme yí hledt metod, j jít etor olmý loolý podprostor Z defce 7 ž íme, že teto etor de mset ýt olmý loolý etor tohoto podprostor Stc ám elm zjedodšje ásledjící ět, terá podsttým způsoem sdňje lezeí toého olmého etor Vět 76: Bdž V etoroý prostor se slárím sočem, V jeho podprostor Vetor V je olmý prostor V práě tehdy, je-l olmý e šem etorům loolé áze prostor V Pltí tedy zth dmv dmv, pod je V podprostorem prostor V
4 Důz 76: Je-l V, je olmý e šem etorům prostor V, tedy e šem etorům loolé áze V Je-l op <,,, > áze prostor V,, pro,,,, V, je, tže 0 Vět 76 je lstě poze jo terpretcí trzeí, teré jsme jo středošolští stdet ěolrát opol: Přím je olmá roě, je-l olmá e děm růzoěžám této roy Vzpomíáte? Vět 77: Je-l V podprostorem V, je dm V - Důz 77: Je-l <e, e,, e > ortogoálí áze V, lze j podle ěty 7 doplt ortogoálí áz <e, e,, e, f, f,, f - > prostor V Protože je f j e pro,,,, j,,, -, jso f j V podle ěty 76, tedy f, f,, f - V Protože jso tyto etory leárě ezáslé, toří áz prostor V Vět 78: Je-l V podprostorem V, jso podprostory V, V totálě ezáslé Důz 78: Vět plye z ěty 77 z toho, že V V o Defce 78: Podprostory V, V zeme totálě olmým podprostory e V Defce 79: ějme dáy d podprostory V, V r prostor V echť: r < P V V r práě tehdy, je-l V r podprostorem prostor V je-l prostor V podprostorem prostor V r r P V V r práě tehdy, je-l V r V V V r c r > P V V r práě tehdy, je-l V podprostorem prostor V r, eo té, je-l V r podprostorem prostor V Shrtí 7 Pozl jste rozdíl mez pojmy úhel elost úhl Ve šolsé mtemtce se ědy rozdíl pojmech ezdůrzňje, tže se zádí př relce ýt meší přímo pro úhly,
5 ol pro jejch elost Velost úhlů se yjdřjí rdáech eo e stpích, ždé z edeých yjádřeí má sé ýhody edostty Záldí pojem ptoly je olmost do etorů Teto pojem se postpě rozšřje íce etorů, čímž zísáme ortogoálí systém etorů Too ortogolzc lze proést ždy, áod tom dáá Schmdtů ortogolzčí proces ásledjící úhy směřoly pozt, že ždém etoroém prostor se slárím sočem lze zést ortoormálí systém etorů, přčemž prostor dmeze může estot mmálě ortoormálích etorů, teré jso leárě ezáslé, tedy moho tořt áz V toých prostorech se podsttě zjedodší ýpočet slárího soč, tím dlší ýpočty Stc zchycjí zorce 76, 77 78 Pojem olmost etorů jsme rozšířl etor olmý možě etorů, zejmé přípd, dy je tto mož etorů změřeím ějého podprostor Dále jsme dospěl totálě ezáslým prostorům, teré mjí společý poze loý etor Posledím sledoým pojmem je olmost do podprostorů, terý podroě podáá defce 79 záldě tohoto pojm se e šole př defje olmost do ro jestlže jed ro oshje přím, terá je olmá e děm růzoěžým přímám, ležících e drhé roě
6 8 Vetoroý soč Když s přečtete ázy ptoly 8 9, dete přesědče o tom, že s mtemtoé ymyslel dlší typy sočů je proto, y mohl potrápt eohé stdety Ujšťjeme ás, že tom t eí že tyto pojmy mjí sá orétí pltěí V této ptole pozáte ostrc etor, terý má t lstost, že je olmý d předem dé etory, toří s m ldo áz má zcel rčto elost Teto etor je tedy toto dojcí etorů rče jedozčě jeho ostrce je prostor V elm jedodchá Zdůrzěme hed úod, že této ptole se omezíme poze prostor V temtcá teore zá dooce postp, jímž je možo sestrojt - etorům z prostor V etor, terý je olmý e šem dým etorům, le ejětší prtcé yžtí má práě ostrce e V Smozřejmě s šmeme yjících prtcých plcí ějme dá e V áz <e, e, e > í d etory,,,,, Bdž,, loolý etor e V ozčme U 8 Sestrojme G,, P det det U U T det U det U T det U Dostááme tedy,, G det U Ozčme dále U lgercý doplě pr U etor w U, U, U 8 P je detu U U U w Jelož w det U, p,, G det U w 8
7 Je-l eo, jso U d řády stejé, tedy w 0 zároeň w 0 Vetor w je tedy olmý o etory Podle 8 dosteme, dosdíme-l z w, w G,, w 0 0 0 0 w w G, Je tedy w G, 84 Defce 8: Vetor w zeme etoroým sočem etorů ozčíme ho symolem w Vět 8: Ve etoroém prostor V se slárím sočem estje e ždé spořádé dojc etorů, jejch etoroý soč, terý má tyto lstost: G,, o práě tehdy, dyž jso etory leárě záslé, c, d jso-l, leárě ezáslé, je <,, > ldá áze Důz 8: Plye ezprostředě z předcházejícího tet Je důsledem d ět 6 6 c Jž ylo doázáo předcházejícím tet d Jso-l,,,,, etory yjádřeé ldé ortoormálí áz <e, e, e >, je mtce přechod od této áze áz <,, > ro U Vzhledem tom, že detu U > 0, je áze <,, > ldá Je-l áze prostor V <e, e, e >, je podle 8 8 e e e 85 V tomto omž jsme lstě jž spll še, co jsme slíl úodím odstc: sestrojt etor w, terý de olmý d loolé etory e V, de s m tořt ldo áz de mít zcel rčto elost Velost etor w je dá zorcem 84 je dá zthem 85 V ásledjícím tet s edeme ěteré lstost etoroého ásoeí
8 Vět 8: Pro ždé tř etory,, w V pro ždé c R pltí: c c c, w w w, c -, d, s Důz 8: Vlstost yplýjí z lstostí determtů e e e e e e c c c c c c c c c e w w w w w w w w w e e e e e c Změíme-l determt d řády, změí determt zméo d, G, s, cos - Vzth d e ětě 8 je možo geometrcy terpretot jo osh rooěží, jehož stry jso d geometrcé etory, z or 8 Je-l odchyl oo etorů loá, je s, roe le etoroý soč těchto do etorů je loý etor, s Or8
9 Shrtí 8 Kromě slárího soč do etorů, jehož ýsledem je slár, tedy číslo, zá geometre etoroý soč do etorů, jehož ýsledem, j je z áz zřejmé, je etor Vetoroý soč elze sestrojt prostorech V, V sí ýt V celé ptole jsme se zýl poze prostory V Ztímco Schmdtů ortogoálí proces y ám možl sestrojt etor w olmý etory, teré jso le té see olmé, etor je olmý loolé etory, toří s m ldo áz čl jeho oretc je možé stot tz prdlem pré ry, tj prsty zčjí otáčeí od plec zázorňje směr etoroého soč Velost etoroého soč zásí eje elostech etorů, ýrž jejch odchylce Jso-l, leárě záslé odchyl je 0 eo π, je etoroý soč loý etor Geometrcy zmeá elost etoroého soč osh rooěží, jehož stry jso d dé etory
0 9 Smíšeý soč tří etorů e V Pozl jsme ž slárí etoroý soč V tomto člá zůsteme zse poze e V, což je jsté omezeí, drho str pozáme tomto prostor zjímé plce, mž ede dlší ze zedeých sočů, to smíšeý soč Už áze tohoto soč poídá, že smíšeý soč etorů de zřejmě slože ze slárího etoroého soč Cílem tohoto člá je zedeí smíšeého soč, pozáí jeho lstostí pochopeí zjímých plcí Defce 9: Ve etoroém prostor V mějme dá ortoormálí áz í sořdce tří etorů,,, pro,, Smíšeý soč etorů,, je zorzeí f: V R, teré ozčjeme symolem [,, ] teré defjeme zthem [,, ] 9 Vět 9: ějme dá etoroý prostor V d R etory,, w V Smíšeý soč [,, w] má ásledjící lstost [,, w] w w w, [, w] w s, cos w,, Důz 9: [,, w] w w w w w w Ale e e e e e e Z toho plye, že [,, w] w w w cos w, s, w cos w,
jděte oráz 9 geometrcý ýzm těchto ýrzů: s, s, c d e w cos w, f s, w cos w, w Or 9 Pod jste spráě odpoěděl šechy ody, dospěl jste jstě pozt, že ýrz f, terý je podle ěty 9 smíšeý soč etorů,, w, předstje soltí hodotě ojem rooěžostě, jehož hry jso etory,, w Proeďte yí tto myšleoo úh: slápějte etor w postpě do roy rčeé etory J se de mět smíšeý soč těchto tří etorů? Pod slopíte etor w do roy rčeé etory, já de elost smíšeého soč těchto tří etorů? yí jž můžete přstopt dlším odorém tet Vět 9: ějme dá V d R etory,, z tohoto prostor Smíšeý soč má ásledjící lstost:,, jso leárě záslé, práě dyž [,, ] 0, [,, ] G,,, c [,, ] [,, ] [,, ], d [,, ] - [,, ] - [,, ] - [,, ], e [,, ] [,, ] [,, ] [,, ], f [,, ] [,, ] [,, ] šechy dlší možost
Důz 9: Všechy edeé lstost se doáží z lstostí determtů Shrtí 9 Smíšeý soč tří etorů e V je reálé číslo Je-l dá e V ortoormálí áze, p řádcích tohoto determt jso postpě sořdce jedotlých etorů Už z toho je zřejmé, že pořdí etorů záleží Číselě je hodot tohoto determt ro ojem rooěžostě, jehož stry jso dé etory stále msíme zchoát pořdí etorů, eoť z lgery je zámo, že změíme-l determt d řády, změí se zméo Jso-l etory,, w leárě záslé tj leží-l jedé roě, je ojem toho rooěžostě roe le, tedy smíšeý soč tří etorů je roe le Tohoto přípd se yžíá př záps roce roy, terá prochází dým odem změřeí dé děm ezáslým etory Vlstost smíšeého soč jso edey e do ětách soro šechy lze z geometrcé předsty pochopt
0 Eldosé prostory síme přzt, že še zlost z geometre jso stále dost mlém, protože emíme yřešt jede ze záldích geometrcých prolémů, to stot zdáleost mez děm ody Dod edeme mět yřešt teto prolém, emůžeme řešt prolémy složtější: lézt zdáleost od od přímy, zdáleost od od roy, zdáleost do mmoěže td V této ptole pozáme prostor, de doedeme stot zdáleost loolých odů Protože zdáleostí hrje ýzmo úloh olmost, poíme s o í íce, ež ylo řečeo předchozích ptolách Zčeme defcí fce, terá pro stoeí zdáleost hrje zásdí úloh Vět 0: Je-l loolá mož, p metro možě deme zýt ždé zorzeí µ: R, teré má lstost: µ, y 0, µ, y 0 y, µ, y µy,, 4 µ, y µ, z µy, z pro šechy pry, y, z etrcý prostor je spořádá dojce <, µ>, de µ je metr možě Důz 0:, : z ět 6, : Z ěty 6c plye: XY Y X X Y X Y YX 4: XY Y X Y Z Z X Y Z Z X YZ XZ, Z A K pochopeí pojm metr řešme ásledjící úloh: Poštoí dorčotel ese zásl z pošty flt Co je pro zdáleostí těchto do do? Podíejme se or 0
4 p o š t f lt Or 0 ejrtší možá cest z pošty flt je oráz yzče 0 I dyž šch íme, že tímto způsoem elze lce přecházet, z mtemtcého hleds lze říc, že dél yzčeé cesty je µpošt, flt Kdyychom zoll ějý od Z mmo yzčeo trjetor, yl y cest z pošty flt delší ež cest yzčeá oráz Z tohoto ázor je možo pochopt šechy čtyř lstost metry V geometr, de ám př cestoáí estojí cestě žádé doy jé přeážy, můžeme zdáleost do odů defot ásledjícím způsoem Defce 0: Je-l A <A, V > je-l V defoá slárí soč, p zorzeí µ: A A R, defoé pro šechy ody X, Y A tto: XY µ X, Y Y - X 0 je metr možě A Záps 0 říá, že zdáleost odů X, Y, tj µx, Y, je elost etor, jehož počátečí od je od X ocoý od je od Y Defce 0: Eldosý prostor E <A, V > je fí prostor, jehož změřeí V je defoá slárí soč jehož ostelce A je defoá metr zthem 0 Defce 0: Krtézsý sořdcoý systém <P, e, e,, e > je sořdcoý systém, ěmž sořdcoé etory toří ortoormálí systém etorů e V Z edeého plye, že eledosých prostorech je možé stot j zdáleost do odů, t odchyl do etorů To ž je docel dorá ý pro růzé ýpočty Řel jsme jž úod, že př stooáí zdáleostí deme potřeot zjstt olmé směry O prolemtce olmost se doíte íce ásledjícím tet
5 Defce 04: ějme dáy d podprostory E <B, V >, E r <C, V r > eldosého prostor E Prostory E E r jso see olmé E E r práě tehdy, jso-l see olmá jejch změřeí V V r Prolém olmost do etoroých podprostorů je řeše člá 7, orétě se teto pojem defje defc 79 Pro s můžeme olmost do podprostorů ázt ásledjících orázcích: r < V r V Korétí stc modeljí dě přímy prostor V r V V Or 0 r V r V Korétí stc modeljí ro přím eo opčě V r V Or 0 r > V V r Korétí stc modeljí dě roy V r V Or 04
6 Defce 05: Prostory E, E r jso see totálě olmé E E r eo E r E práě tehdy, jso-l see totálě olmá jejch změřeí V ejrůzějších úlohách se ysytjí roce ro V ch hrje ýzmo rol etor, terý je té orétí roě olmý V ásledjícím tet de teto etor defoá Defce 06: ormáloý etor droy α je etor toý, že [] je totálě olmý změřeí droy α Vět 0: Je-l E <B, V > podprostor prostor E <A, V >, A, p odem prochází práě jede prostor E, totálě olmý prostor E Je-l E <C, V >, estje práě jede od A toý, že B C Důz 0: Pltí C V podle ěty 77 dm E - Podle ěty 5 je - dme E, tže dme E 0 Defce 06: Bod, sestrojeý e ětě 0, se zýá proúhlý ortogoálí průmět od do prostor E Vět 0: Je-l α: 0 dro E, dá rocí rtézsém sořdcoém systém, je,,, ormáloý etor droy α Důz 0: Roce změřeí droy α je 0, de,,, je loolý etor změřeí droy α Je tedy Pro dosteme zámý oráze 05 ze středí šoly α X Or 05
7 Vět 04: D podprostory E <B, V >, E r <C, V r > eldosého prostor E <A, V > jso see olmé práě tehdy, jestlže př: l < estje podprostor totálě olmý E, ěmž leží E r, l je E r E, l > estje podprostor totálě olmý E, terý je podprostorem E r Důz 04: Vět plye přímo z defce zájem olmých podprostorů prostor E Příldy E : Dě přímy E jso see olmé práě tehdy, estje-l ro olmá jedé přímce oshjící drho přím Přím E je olmá roě práě tehdy, je-l ro totálě olmá Dě roy E jso see olmé práě tehdy, osh- je-l jed z ch přím, olmo e drhé roě Proúhlý průmět od přím sestrojíme, edeme-l odem ro, olmo dé přímce Její průsečí s do přímo je hledý průmět Vět 05: Jso-l E <B, V >, E r <C, V r > d podprostory eldosého prostor E <A, V >, přčemž, r > 0, r, jso o prostory E, E r ď mmoěžé, eo mjí společý práě jede od Důz 05: Podle ěty 04 je E r podprostorem prostor E Podle ěty 0 je E E A Je-l C, je B C, eí-l C, jso prostory E, E r mmoěžé K pochopeí ěty jejího důz s modeljme stc E Podmí, r > 0 zmeá, že žádý podprostor eí loý ostel oshje jedý od, změřeí oshje jedý etor, to etor loý Tyto podprostory ze sých úh ylčjeme Pro r s předstíme dě přímy prostor Ty ď mjí jede společý od jso růzoěžé, eo emjí společý od jso rooěžé, eo mmoěžé Pro r s předstíme přím ro
8 Vět 06: Je-l α droo E, α, ormáloý etor droy α, p loolý od X α yhoje roc X - 0 0 Důz 06: Vět plye z toho, že X Shrtí 0 V této ptole jsme zedl Eldosý prostor Prí jsme defol ýchozí fc metr Dále jsme přesl rtézsý sořdcoý systém, terý má té šroé yžtí záldí šole ásledjícím důležtým pojmem yl ortogoálí průmět od do prostor záěr jsme se podroě zýl šem přípdy, dy see moho ýt d podprostory eldosého prostor olmé
9 Ortogoálí průmět přímy do podprostor Geometre čsto řeší úlohy spojeé s prolemto odchyle příme od ro Tyto úlohy edly řešeí oecějšího prolém, to stoeí odchyly přímy od podprostor Úspěšost jeho řešeí zásí schopost jít ortogoálí průmět od do roy, popř oecěj do podprostor Ze středí šoly íme, že odchyl přímy p od roy σ se stoí t, že do přímo proložíme ro α olmo roě σ Průsečc těchto do ro ozčme q Odchyl přímy p od roy σ je odchyl příme p q Vše je ázorě dět oráz Přím q je tomto oráz ortogoálím proúhlým průmětem přímy p do roy σ přímce p je zole od X sestroje jeho ortogoálí průmět X do roy σ p X α q σ X Or Pojďme se yí tto prolemt podít oecěj: Defce : Bdž E <B, V > podprostor prostor E <A, V >, podmož možy A Ortogoálí průmět možy do podprostor E je mož šech toých odů X B, pro ěž estje od X t, že X je ortogoálím průmětem od X do prostor E Vět : Ortogoálím průmětem přímy p do podprostor E <B, V > prostor E <A, V > je od, je-l p E, eo přím, terá je průem podprostor olmého prostor E s prostorem E procházejícího přímo p
0 Je-l přím p rooěžá s prostorem E, je rooěžá se sým ortogoálím průmětem do prostor E Důz : Bdž dá přím p: X t hledejme její ortogoálí průmět p do prostor E Je-l V, je p E V B je ortogoálím průmětem od do E Protože š p je podmožo možy V, je p Pod V, je dm V [] Prostor E < V [], V []> oshje p je E E eoť je - >, je dme E, tedy dm E E -, tže E E p je přím, pro íž pltí: α Je-l p, jeho ortogoálí průmět do E, je - V, tže E, tedy p β Je-l P p, je P r -, r R, eoť podoě jo od α, je té p P je od Q r - odem přímy p je P - Q - r[ - - - ] - r - r -, tže P - Q V P Q je tedy ortogoálím průmětem od Q do E Je-l p E, je V Ozčme, Je p, p, - -, tže E, tedy Proto je - p p Shrtí Stot ortogoálí průmět přímy p do podprostor potřejeme zejmé proto, ychom doedl stot odchyl té přímy od žoého podprostor Přímo p proložíme podprostor přím eo ro olmý dém podprostor stoíme prů těchto podprostorů trojrozměrém prostor to může ýt od eo přím Vět p říá, že tím proúhlým průmětem přímy do podprostor je od eo přím
Vzdáleost podprostorů E Výpočet zdáleost do geometrcých útrů je čstý geometrcý prolém Omezíme se poze zdáleost do podprostorů tže eřešíme př prolém zdáleost přímy od ržce podoé prolémy Protože ostely fích prostorů jso odoé možy, de té zčít pojmem zdáleost do podmož Ittě chápeme teto pojem jo ejrtší možá zdáleost mez ody, z chž ždý leží jé odoé možě Přpojeý oráze ší ttí předst ještě přesňje Chy! X Y Or Přejděme defc pojm zdáleost do odoých podmož Defce msí odrážet stečost, y zdáleost těch do resleých odoých mož yl ro elost úsečy, terá je oráz zázorě tlsto čro Defce : Vzdáleost do podmož, ostely A prostor E <A, V > zčíme defjeme tto: m XY, X, Y Z defce 0 eldosého prostor plye: Vět : Jso-l X, Y d ody eldosého prostor E <A, V >, přčemž ěterém rtézsém sořdcoém systém prostor E je X [,,, ], Y [y, y,, y ], je XY y Důz : Z defce metry 0 eldosém prostor plye zorec Zčeme ejjedodššího přípd Jedím podprostorem de tz loý podprostor, tj podprostor, jehož ostel oshje jedý od jehož změřeí oshje
jedý etor, to etor loý V ásledjící ětě se ž mlí přímo o zdáleost od podprostor Vět : Je-l E <B, V > podprostor prostor E <A, V > A, ortogoálí průmět od do E, je E Důz : Bdž P B P je - P - - P, de - - P Odtd dosteme: P - P - - P - - - P - P - - P -, tže P Zde pltí zhledem lstostem metry z odstce 0 roíto práě tehdy, je-l P Vět : Je-l E <A, V > dá dro α rocí X - P 0, de P α, od A, je α P Důz : Veďme odem olmc droě α sestrojme od α Pro ěj pltí: - P 0 t Odtd dosteme postpě: - P t 0, tedy α - - P t 0, - P P t -, - P P P Zázorěme s zth geometrcy, ychom s děll jsější předst Přepšme zorec do tr α P,
ěmž jsme zpoměl pré strě pst soltí hodot Prá str je le slárí soč do etorů te, j jž doře íme, může ýt číslo záporé Protože leá str toho zth zmeá zdáleost od od droy α, tedy předstje elost úsečy, což je ždy ezáporé číslo, msí prá str zth předstot té číslo ezáporé Proto je to číslo soltí hodotě Vetor je jedotoý ormáloý etor droy α V ptole 6 jsme s ázl, že soltí hodot slárího soč se číselě roá osh odélí, jehož jed str má elost roo elost jedoho etor drhá str má elost roo elost proúhlého průmět drhého etor do směr prího etor Je-l jede z etorů jedotoý, má odélí jed str o elost jedé, tže jeho osh se číselě roá elost té drhé stry Přpojeý oráze zázorňje popso stc e Or Číslo e je ezáporé yjdřje osh odélí zázorěého oráz Protože jed jeho str je ro jedé, je jeho osh roe elost drhé stry Tto elost je ro elost proúhlého průmět drhého etor do směr prího etor Tto stečost ám pomůže doole pochopt smysl zorce Chy! α P α Or
4 Vět 4: echť je E dá rtézsý sořdcoý systém ěm dro α rocí 0 od [m, m,, m ] P je zdáleost od od droy yjádře zthem: m α Důz 4: Je-l P α, P [p, p,, p ], je 0 p P pltí podle ěty α P - p m p m p m m Vzth se ysytje e středošolsých čecích pro V ásledjícím tet s žme požtí Grmmo determt př stoeí zdáleost od od roy Vět 5: Je-l E <A, V > dá podprostor E <B, V >, přčemž V [,,, ], ody P B, A, je α,,, G,,,, G P 4 Důz 5: G,,,, P det P P P P P
5 det P P P P P det det P P P P P,,,, G,,, G P,,, G Vět 6: Jso-l E <B, V >, E r <C, V r > d rooěžé podprostory prostor E <A, V >, přčemž < r,, B, je E r E r Důz 6: Je-l, je V tedy V r, eoť V je podprostorem V r Je-l ortogoálí průmět od do E r, P, je - P - - E r Je tedy P, eoť P C Z toho plye - - tedy E r - - E r Defce : Vzdáleost µ do rooěžých podprostorů prostor E je zdáleost loolého od podprostor meší dmeze od drhého podprostor Vět 7: Jso-l E dáy dě rooěžé droy α, β rocem: α: 0, β: 0, je αβ é 5 Důz 7: Zolme [m, m,, m ] α, tže 0 m Je
6 αβ β m m m - é Vzorec 5 je trojrozměrém prostor docel doře předsttelý Ro je dá rocí typ y cz d 0, de,, c je ormáloý etor ýrz y cz se můžeme dít jo y to yl slárí soč do etorů Jede je ormáloý etor dé roy, drhý je polohoý etor jejího loolého od Pod ychom yjádřl ormáloý etor ormoém tr, tj jo jedotoý ormáloý etor, msel ychom, j té doře íme, ždo jeho sořdc dělt elostí ormáloého etor Dostááme roc tr 0 c d c cz c y c, tero můžeme přepst do tr 0 c d z c c y c c dále c d z c c y c c c d z c c y c c O slárím soč jedotoého etor s loolým etorem jsme jž řel moho oráz 4 s opět žme geometrcý ýzm tohoto slárího soč Chy! Or 4 O Polohoý etor loolého od roy Jedotoý ormáloý etor X Vzdáleost roy od počát sořdé sosty
7 Vzorec 5 lstě zmeá rozdíl zdáleostí do ro od počát, tedy zdáleost mez m Vět 7: Jso-l E <B, V >, E r <C, V r > d mmoěžé podprostory prostor E <A, V >, B, E s < V V r, V V r >, je E E r E r E s Důz 7: ějme dáy d podprostory E <B, V >, E r <C, V r > prostor E <A, V > Jso-l P B, Q C d ody toé, že PQ m XY, X B, Y C, je Q, podle ěty, ortogoálím průmětem od P do podprostor E r od P je ortogoálím průmětem od Q do podprostor E Je tedy Q P V Q P V r, tže Q P V V r Je-l B, je prostor E s < V V r, V V r > droo prostor E E r jejím ormáloým etorem je etor Q - P Je s l - p, de p dmv V r, dme E r s Protože E r E s, Q C, P V V r, je PQ E r E s E E r podle ěty 6 Posme se dělt s předst o smysl předchozí ěty echť ty d mmoěžé prostory jso dě mmoěžé přímy Afí prostor E s je tomto orétím přípdě ro σ, íž leží přím p E jejíž změřeí jso směroé etory oo příme, q E r Grfcé zázorěí y ypdlo př tto or 5: q σ p Or 5 Defce : Os do mmoěžých podprostorů prostor E je příč oo podprostorů, terá je m olmá Kostrce osy do mmoěžých podprostorů: echť jso dáy d podprostory E <B, V >, E r <C, V r > prostor E <A, V >
8 Sestrojíme etor Q - P z podmíe V, V r, V V r -, de B, C Ozčme dmv V r s, dmv V r p Sestrojíme prostor E r < V r [], V r []> Je E E r E E r, tže dme E r dme E r s r p Je tedy dme E r r - r p p Je-l tedy E E r <D, V p >, p stčí zolt P D sestrojt Q E r, de : X P t Je-l V V r o, je os oo podprostorů rče jedozčě, eoť p 0 Je-l p > 0, je os oo podprostorů rče ícezčě Shrtí Oshem této osáhlé ptoly yly zdáleost podprostorů Defol se zdáleost do odoých mož Pojem zdáleost je zlože pojm ortogoálího průmět od do podprostor Vět popsje zdáleost do odů eldosém prostor Vychází se z defce metry eldosých prostorech ásledjící ět popsje zdáleost od od podprostor, zje zdáleost od od droy Tto ět má A mohá žtečá požtí Dále yl zede pojem zdáleost do rooěžých podprostorů, smozřejmě se cetje přípd do rooěžých dro Prolemt se zřel ázo ostrce ejrtší příčy do mmoěže A, tím ýpočtem zdáleost do mmoěže
9 Odchyl do podprostorů prostor E V předposledí ptole tohoto díl s řeeme ěco o odchylách Zčěme pozámo, že geometre ezá pojem úhel do etorů O tom jsme jž mll ptole 6 Úhel je část roy Já část roy je rče děm růzým etory? Přece žádá Odchyl do etorů je reálé číslo, teré jsme zčl symolem prí etor, drhý etor teré leží terl <0, π> Z edeého je zřejmé, že odchyl do etorů se číselě roá elost rdáech úhl, jehož rme dosteme místěím těch do etorů t, že jejch počátečí ody splyo Odchyly úhl požjeme defc odchyly do příme Z oráz je dět, že Or přípdě je odchyl terl <0, π/, tže její oss je ldý, přípdě je odchyl terl π/,π, tže její oss je záporý Defce : V E mějme dáy dě přímy p: X t, q: X s Odchyl příme p, q symol p, q je reálé číslo dé roostí: cos p, q rozdíl od zorce 64 má zlome pré strě zth čttel soltí hodot Tto mlá změ má z áslede, že cos p, q emůže ýt číslo záporé, tedy odchyl je ždy terl <0, π/> Je tedy rčtý rozdíl mez odchylo do etorů odchylo do příme Vět : Odchyl do příme p, q je ezáslá olě směroých etorů oo příme Důz : echť, l,, l R P je
40 l l l l l l Vět : Odchyl příme p: m t, q: s,,,, je rče roostí cos p, q Důz : Plye ze zorce po yjádřeí slárího soč elostí etorů Defce : Odchyl p, E přímy p od podprostor E prostor E je odchyl přímy p od jejího proúhlého průmět p do podprostor E, eí-l přím p olmá E Je-l p E, je p, E π/ Vět : Je-l přím p rooěžá s podprostorem E prostor E, je p, E 0 Důz : Z ěty plye: p E p p Je-l tedy p: X t, je p : X s, tže cos p, p Před ásledjící ěto ychom s měl dělt spoň jedodchý áres A Podprostorem E echť je ro Dosteme t zámý oráze yjdřjící proúhlý průmět přímy do roy Or Vět 4: Jso-l, d ody přímy p,, jejch ortogoálí průměty do podprostor E prostor E, je cos p, E
4 Důz 4: Je-l, je, tže 0 eí-l je-l p E, je cos p, E cosπ/ 0, tže 0 Jso-l, d růzé ody eí-l p olmá E, ozčme -, - Je tedy E, E - - - Dále - - - - - Je tedy cos p, E Vět 5: Je-l p přím, α dro E, přím olmá droě α, je s p, α cos p, Důz 5: Př ozčeí z důz 4, de E α, je - směroý etor olmce, tže cos p, Potom s p, α cos p, α - - Je tedy s p, α K ásledjící ětě s řeěme pár slo Je-l podprostorem dro, můžeme s ýhodo yžít ormáloého etor droy, popř ormoého ormáloého etor droy Ze středí šoly je zámo, že cos α s π/ α Chceme-l požít ormáloého etor, msíme požít tohoto zorce z or
4 α Or Vět 6: Je-l α: 0 dro E, p: m t,,, přím, je s p,α 4 Důz 6: Vět plye z ět 0 5 Defce : Odchyl do dro α, β prostor E α,β je odchyl do příme, l, α, l β Vět 7: Jso-l α : 0, β : 0 dě droy E, je cos α,β 5 Důz 7: Vět plye z ěty 0 Shrtí V této ptole jsme pozl ýpočet odchyly do příme Tto odchyl je ždy terl 0, π/ Odchyl do příme eí totéž, co odchyl jejch směroých etorů Věty 4 popsoly lstost odchyly přímy od podprostor Je-l podprostorem dro, yžíá se jejího ormáloého etor, tže se prolém přeede
4 odchyl do příme Je zřejmé, že fc oss msíme změt fcí ss Př stoeí odchyly do dro yžjeme opět odchyl jejch ormáloých etorů
44 4 Ortogoálí trsformce sořdc e V E Už jsme s řel ptole 5, že fí trsformce fí trsformce sořdc ejso stejé pojmy Pojem fí trsformce sořdc sosí se změo áze, tže oé áz má ždý od etor jé sořdce my jsme zoml, j tyto oé sořdce jít, dyž jsme zl mtc přechod od jedé sosty sořdé e drhé sostě sořdc V této ptole ás do zjímt toé trsformce sořdc, teré změňjí jed ortogoálí áz jo ortogoálí ází Dooce s deme poždot, y oě ty áze yly ortoormálí Defce 4: Ortogoálí trsformce sořdc e V je trsformce sořdc e V, terá je přechodem od jedé ortoormálí áze jo ortoormálí áz ějme dáy dě ortoormálí áze B <e, e,, e >, B <e ', e ',, e '> etoroého prostor V s mtcí přechod B j, <, j < Je tedy pro,,, e ' e δ j e e j jre r e r r jre e r j, tže j 0 pro l 4 j pro j 4 Výrzy j dosteme př yásoeí prů -tého řád mtce přechod B s pry j-tého řád této mtce Aychom mohl požít mtcoého ozčeí, msel y ýt j-tý řáde j-tým slopcem, což je možé poze přípdě, že drhá mtce de mtcí trspooo té prí, tedy B T Soč mtc B B T de mtce, jejíž dgoále do smé jedčy podle zth 4, pry ležící mmo dgoál do loé podle zth 4 To je le lstost mtce jedotoé Proto B B T E 4 Defce 4: tce B je ortogoálí práě tehdy, je-l B B T E
45 Z ýše edeého plye Vět 4: tá postčjící podmí pro to, y trsformce sořdc e etoroém prostor V yl ortogoálí je, y její mtce přechod yl ortogoálí Řel jsme s té, že sořdcoý systém, terý je dá ějým počátem ortoormálím ázoým systémem se zýá rtézsý sořdcoý systém Proto můžeme s porozměím přjmot ásledjící defc Defce 4: Ortogoálí trsformce sořdc eldosém prostor E je trsformce sořdc E, terá je přechodem od jedoho rtézsého systém sořdc jém rtézsém sořdcoém systém Vět 4: ějme dáy E dě rtézsé sořdcoé sosty S <P, e, e,, e >, S' <P', e ', e ',, e '>, přčemž P' [m, m,, m ] Je-l α e ', e, jso roce trsformce sořdc př přechod od S S í cosα m,,, 44 Důz 4: Je-l e ' j j e,,,,, je B j mtcí přechod od S S j e e j j e j e Vzhledem tom je cos α e e e e 45 Protože e zorc 45 se ysytje poze fce oss, terá je sdá, tj cos α cos -α, emsíme s dělt strost, jestl stoíme odchyl od e e eo oráceě Užme s možé ortogoálí trsformce prostor E Protože cos α s π/ - α, můžeme e ýrzech požít fc ss ějme E dá trsformc sořdc rocem ' y' p y c' dy' q
46 Ay tto trsformce yl ortogoálí, msí ýt c 0 46 d c d 0 tže c, cd 0, 47 d Je-l e ', e α, je cos α, c ±s α Rozlšjme tedy dě možost: cosα, c sα Potom je cosα dsα 0, 48 odd dosteme t s α, d - t cos α, de t R - {0} je loolý eloý prmetr Doszeím do třetí roce sostě 47 dosteme t s α cos α, tže t Opět msíme rozlšt dě možost: α t V tom přípdě roce trsformce jso ' cos α y' s α p y ' s α - y' cos α q 49 β t - Roce trsformce do mít tr ' cos α - y' s α p y ' s α y' cos α q 40 cos α, c - s α yí pltí podle 47 cos α - d sα 0, 4 tže t s α, d t cos α Z třetí roce sosty 47 opět dosteme t msíme tedy rozlšt dě možost: α t Roce trsformce do mít tomto přípdě tr ' cos α y' sα p y - ' s α y cos α q 4 β t - Roce trsformce mjí tr 'cos α - y' s α p y - ' s α - y' cos α q 4 Z těchto čtyř možostí edo dě trsformce e shodé oretc změřeí fího prostor 40 4, eoť determty mtc přechod jso roy jedé tedy
47 ldé, ztímco osttí dě trsformce edo opčé oretc změřeí fího prostor Vějme se yí trsformc 40 Determt mtce přechod je cosα sα sα cosα Pod je α 0, dosteme trsformc p y y q, 44 což jso roce postí o etor p, q Počáte P oého sořdého systém má p půodím sořdém systém sořdce [p, q] Osttí trsformce s jstě ymodeljete EXCELU spráě rčíte, co zmejí Shrtí 4 Ortogoálí trsformce jso toé trsformce, teré jsto rtézso sořdcoo sost měí jo rtézso sořdcoo sost tce přechod A má tomto přípdě lstost A A T E Záme-l etory oé áze, lze trsformčí roce stot ze zth 44 V prostor E jsme po podroém rozor šech možostí dospěl romě postí, teré má jedotoo mtc přechod, e čtyřem možým ortogoálím trsformcím: otočeí ldém směr dáá zth 40, otočeí záporém směr dáá zth 4, osoo soměrost s oso procházející drtem s odchylo α/ od ldé osy dáá zth 49, 4 osoo soměrost s oso procházející 4 drtem s odchylo α/ od záporé osy dáá zth 4