nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

Transkript

1 ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí ule, se zývá ulový vekto o = (0, 0, 0,, 0) Opece s vektoy Nechť jsou dáy vektoy = (,, ), b ( b, b,, ) eálé číslo α Součtem vektoů b, = b téže dmeze, je vekto c = + b = ( + b + b,, + ), b Součem vektou čísl α je vekto α = ( α α,, α ), Defce Součem čísl ( ) vektou je vekto = (,, ) Teto vekto zveme vektoem opčým k Pozámk: + ( ) = o 3 Rozdílem vektoů b Defce b = jestlže,, je vekto c = b = ( b b,, ), = b, po =,,, b 4 Skláím součem vektoů b, je číslo b = b+ b + + b Defce Velkostí vektou zveme ezápoé číslo Vekto zveme jedotkovým vektoem, jestlže = = Defce Leáí kombcí vektoů u,u,, u stejého ozměu zveme kždý vekto v = k u + k u + + k, kde k R po =,,, u

2 Leáí závslost ezávslost vektoů Defce Vektoy u,u,, u stejé dmeze zveme leáě závslé, jestlže lespoň jede z ch je leáí kombcí osttích leáě ezávslé, jestlže žádý z ch eí leáí kombcí osttích Vět Neulové vektoy u,u,, u jsou leáě ezávslé, pávě když ku+ k u + + k u = o je po k = k = k 3 = = k = 0 Pltí-l ku+ k u + + k u = o, kde k,k,, k jsou vhodá čísl, z chž spoň jedo je ůzé od uly, jsou vektoy u,u,, leáě závslé u Specálě: Vektoy jsou leáě závslé, když je mez m ) lespoň jede ulový, b) dvojce sobě ových, c) jede vekto k-ásobkem jého vektou MATICE Defce Mtcí typu (m,), kde m, N, zveme možu m pvků ( eálých čísel ), uspořádých do m řádků sloupců Píšeme ebo zkáceě j m, kde =,, m; j =,, m m m Tedy je pvek mtce A, kteý leží v -tém řádku j-tém sloupc mtce Je-l m, pk je mtce obdélíková, je-l m =, je to čtvecová mtce řádu Pvky mtce,,,, ( m ) esp,,, ( m ) 33 mm > tvoří hlví dgoálu mtce A, logcky se defuje vedlejší dgoál mtce A tvořeá pvky,,, m, m, m, 3 Duhy mtc Mtce ulová O je mtce typu (m,), jejíž všechy pvky jsou ovy ule Dvě ulové mtce se od sebe lší pouze svým typem T Mtce tspoová A je mtce, kteá vzke z mtce A záměou řádků z sloupce př zchováí pořdí Tto opece se zývá tspozce

3 Mtce jedotková je čtvecová mtce, kteá má v hlví dgoále všechy pvky ovy jedé, všechy osttí pvky jsou uly Jedotkové mtce zčíme I Mtce stupňová (schodovtá) je mtce, jejíž kždý dlší řádek zčíá větším počtem ul ež předcházející Mtce dgoálí je mtce (čtvecová ebo obdélíková), jejíž pvky v hlví dgoále ejsou všechy ulové, le všechy pvky, kteé eleží v hlví dgoále, jsou uly Defce Po mtce pávě když A = j m, b j m, = b po =,,,m; j=,,, B= téhož typu (m, ) pltí A = B, Opece s mtcem Součet (ozdíl) mtc : Jsou-l A, B mtce typu (m, ), pk A ± B= C je mtce typu (m, ) pltí c = ± b po =,,,m; j=,,, j j j Násobeí mtce číslem : Je-l A mtce typu (m, ), α R, pk α A= B je mtce typu (m, ) pltí b =α po =,,,m; j=,,, j 3 Souč mtc: Nechť A je mtce typu (m,p), B je mtce typu (p,) Součem mtc j A B= C je mtce typu (m,), po jejíž pvky pltí c = b + b + + b = b j j Pvek c je tedy skláím součem -tého řádku mtce A s j-tým sloupcem mtce B Souč mtc AB je defová pouze v přípdě, že počet sloupců pvé mtce A je ove počtu řádků duhé mtce B Pokud tto podmík eí splě, souč mtc eí defová p pj p k= k kj Po souč mtc tedy epltí obecě komuttví záko A B B A Defce Jestlže po dvě mtce A, B, pltí vzájem změtelým AB= BA, zýváme mtce A, B Někteé zvláští typy čtvecových mtc jsou změtelé s kždou čtvecovou mtcí stejého typu: A I = I A= A A O= O A= O Ivezí mtce Defce Mtc mtc A, jestlže pltí: A zveme vezí mtcí k eguláí čtvecové A A = A A = I, kde I je jedotková mtce

4 Hodost mtce Defce Hodost eulové mtce je přozeé číslo, kteé udává počet leáě ezávslých řd mtce Hodost mtce A zčíme h(a) Hodost ulové mtce je ov ule Vět Elemetáí úpvy mtce, kteé eměí její hodost, jsou: lbovolá zámě pořdí ovoběžých řd vyásobeí všech pvků téže řdy stejým číslem k R, k 0 přčteí k lbovolé řdě leáí kombce řd s í ovoběžých vyecháí řdy, jejíž všechy pvky jsou uly vyecháí řdy, kteá je leáí kombcí ěkteé ebo osttích řd s í ovoběžých tspoováí mtce A Defce Elemetáí úpvy mtce z předchozí věty zveme ekvvletím úpvm Dvě mtce, z chž jedu dosteme z duhé koečým počtem ekvvletích úpv, zveme ekvvletím mtcem Píšeme A~B Př zjšťováí hodost mtce je ejvhodější upvt dou mtc mtc stupňovou pomocí ekvvletích úpv, přčemž se vyulují leáě závslé řádky Hodost mtce je pk ov počtu eulových řádků ve výsledé stupňové mtc Pomocí výpočtu hodost mtce můžeme ozhodout o leáí závslost č ezávslost soustvy číselých vektoů Mějme m -ozměých vektoů Tyto vektoy zpíšeme do řádků mtce Dosteme mtc A typu (m,) Pk pltí: h (A) = m soustv vektoů je leáě ezávslá h (A) < m soustv vektoů je leáě závslá DETERMINANTY Defce Detemtem čtvecové mtce A řádu je eálé číslo, kteé je jstým předpsem této mtc přřzeo Píšeme det A = = A

5 Číslo zveme řádem detemtu, číslo pvkem detemtu, kteý leží v -tém řádku j-tém sloupc Pvky,,, tvoří hlví dgoálu Pvky,, tvoří vedlejší dgoálu,, Vyčísleí detemtů, 3 řádu Detemt řádu det A = = Detemt řádu det A = =, tj detemt řádu se ová souču pvků hlví dgoály mus souč pvků vedlejší dgoály Teto postup se zývá křížové pvdlo Detemt 3 řádu det A = = Algotmu po výpočet detemtu třetího řádu se říká Susovo pvdlo Vlstost detemtů Vět Po detemt A lbovolého řádu pltí: det A = det A T Vyměíme-l v detemtu dvě sousedí ovoběžé řdy, změí detemt své zméko 3 Detemt se ová ule, když () všechy pvky ěkteé řdy jsou uly (b) dvě ovoběžé řdy jsou stejé (c) ěkteá řd je leáí kombcí (k-ásobkem) řdy s í ovoběžé 4 Vyásobíme-l pvky lbovolé řdy det A číslem α 0, dosteme det B, po kteý pltí det B = α det A, 5 Přčteme-l k lbovolé řdě detemtu ásobek řdy s í ovoběžé, hodot detemtu se ezměí 6 Detemt, kteý má pod hlví dgoálou smé uly, je ove souču pvků v této dgoále

6 Vyčísleí detemtů vyšších řádů Defce Vyecháme-l v detemtu -tého řádu -tý řádek j-tý sloupec, vzke detemt ( ) řádu, kteý zveme subdetemtem (moem) detemtu A přdužeým k pvku Teto mo budeme zčt symbolem M + j Defce Číslo A = ( ) M zveme lgebckým doplňkem pvku v detemtu A Vět Detemt det A, -tého řádu, se ová součtu všech součů pvků lbovolé řdy detemtu jejch lgebckých doplňků det A = A = A + A + + A po -tý řádek ebo j= det A = A = jaj + jaj + + = j A j po j-tý sloupec Teto postup zýváme Lplceovým ozvojem detemtu podle pvků -tého řádku ebo j-tého sloupce ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC Defce Soustvou m leáích ovc o ezámých ozumíme soustvu = b kde m + + m m = b = b b,, jsou eálá čísl po =,,,m; j =,,, m,,,, Soustv se zývá homogeí, když b = 0 po všech =,,, m Soustv se zývá ehomogeí, když je b 0 spoň po jedo

7 Mtc mtc A = zveme mtcí soustvy, m m m b b A = mtcí ozšířeou, m m m bm řádkový vekto = (,,, ) vektoem ezámých b b sloupcový vekto b = vektoem pvých st ovc bm Soustvu ovc pk můžeme zpst mtcově A T = b Řešeím soustvy ovc je kždý vekto = (,,, ) ovcím soustvy, kteý vyhovuje všem Vět Fobeov vět Soustv m-leáích ovc o -ezámých má řešeí pávě tehdy, když mtce soustvy mtce ozšířeá mjí stejou hodost Soustv m-leáích lgebckých ovc o - ezámých h(a) = h(a ) h(a) h(a ) soustv má řešeí soustv emá řešeí (je kozstetí) (eí kozstetí) h(a) = h(a ) = h(a) = h(a ) < soustv má jedé řešeí soustv má ekoečě moho řešeí, (je kozstetí učtá) závslých ( h) pmetech

8 3 Příkld Je-l po úpvě A =, potom má soustv pávě jedo řešeí, potože h ( A), h( A ) = počet ezámých je tké = 3 4 Příkld Je-l A =, potom h ( A) =, h( A) =, tedy soustv má řešeí 0 4 potože ezámé jsou 3, bude mít ekoečě moho řešeí závslých pmetu Vět Homogeí soustv leáích ovc má vždy řešeí Potože ozšířeá mtce A homogeí soustvy má v posledím sloupc všechy pvky ovy ule, mjí mtce soustvy A mtce ozšířeá A vždy stejou hodost h( A) = h( A ) = h Má-l homogeí soustv jedé řešeí, je to tzv tválí řešeí = o (Všechy ezámé jsou ovy ule) Neúplá (Gussov) elmčí metod ) ozšířeou mtc A soustvy ovc převedeme pomocí ekvvletích úpv řádků mtc stupňovou Použeme-l př těchto úpvách záměu pořdí sloupců v mtc soustvy, musíme počítt se stejou záměou pořdí ezámých Sloupec pvých st ovc soustvy přtom vždy musí zůstt svém místě, ) pomocí Fobeovy věty povedeme ozbo řešeí, 3) stupňové mtc přřdíme zpětě soustvu ovc, kteá je ekvvletí s původí soustvou To zmeá: posledí řádek stupňové mtce píšeme jko ovc z í vypočítáme jedu ezámou Dále píšeme ovc z předposledího řádku stupňové mtce, do í dosdíme jž vypočítou ezámou vyjádříme dlší ezámou Tk pokčujeme dále, ž z pvího řádku dosteme posledí ezámou Tímto postupem vypočítáme všechy ezámé Výsledek zpsujeme jko vekto řešeí