Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
|
|
- Vlasta Marcela Soukupová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste si prostudovli zvedeí pojmu určitý itegrál (kpitol ) Dále předpokládáme že záte zákldí metod výpočtu určitého itegrálu Výkld Jk již lo uvedeo v úvodu kpitol eistuje epřeeré možství prolémů při jejichž řešeí je používá itegrálí počet V průěhu studi se sezámíte s použitím itegrálů ve fzice v dlších odorých předmětech V této kpitole se omezíme pouze jedoduché plikce v mechice Půjde o výpočet sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti hmotých křivek roviých olstí V oecém přípdě kd veliči závisí dvou eo třech proměých se k výpočtu používjí dvojé eo trojé itegrál Podroosti lezete v tetu Mtemtik III Těžiště momet setrvčosti soustv hmotých odů Připomeňme si jk je v mechice defiová sttický momet momet setrvčosti Uvžujme v roviě jede hmotý od A = ( ) s hmotostí m Or 5 Hmotý od A v roviě Sttický momet hmotého odu k liovolé ose o je dá vzthem So = rm momet setrvčosti uvedeého odu při jeho rotci kolem os o je
2 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Io = r m kde r je vzdáleost odu od os o (or 5) Pokud je uvžovou osou os je r = pro osu je r = Mějme v roviě soustvu hmotých odů Ai = ( i i) s hmotostmi mi i = Celková hmotost soustv ude sttický momet k ose ude m= mi i= S = imi i= sttický momet k ose ude S = im i i= momet setrvčosti udou I i mi i= = I i m i i= = Těžiště T = ( ξ η) je od s touto vlstostí: Kd do ěj l soustředě všech hmot soustv pk teto od měl stejé sttické momet k souřdicovým osám jko dá soustv hmotých odů Ted pro těžiště pltí ξ m= S η m= S Odtud dostáváme pro souřdice těžiště vzth ξ = S m S η = m Při výpočtu souřdic těžiště hmoté křivk eo rovié olsti udeme postupovt jko při zvedeí určitého itegrálu Křivku (olst) rozdělíme mlé elemet Sttické momet (hmotost) dosteme jko součet sttických mometů (hmotostí) těchto elemetů Limitím přechodem pro přejdou sum itegrál Těžiště momet setrvčosti rovié křivk Křivku v roviě si můžeme předstvit jko kus drátu z mteriálu který má kosttí délkovou hustotu Chceme lézt souřdice těžiště této křivk (or 5)
3 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié křivk Předpokládejme že je křivk dá prmetrickými rovicemi = ϕ() t = ψ () t t < > přičemž fukce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce itervlu < > Její délk (vět ) je = [ ϕ ()] + [ ψ ()] s t t dt Hmotost křivk dosteme jko souči délk hustot: [ ()] [ ()] m= s= ϕ t + ψ t dt Křivku můžeme proimovt lomeou čárou složeou z úseček s i = Úsečk udou mít hmotosti mi = si i = V přípdě mlých elemetů si můžeme předstvit že hmotost je soustředě do jedoho odu A = ( ) který leží dé úsečce s i = Sttické momet této lomeé čár udou i S = imi = i si i= i= S = imi = i s i i= i= i i i Je zřejmé že pro zvětšující se počet úseček udeme dostávt přesější proimce sttických mometů Pro dosteme (logick jko v kp ) () [ ()] [ ()] S = ψ t ϕ t + ψ t dt () [ ()] [ ()] S = ϕ t ϕ t + ψ t dt i
4 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os resp Vět 5 Nechť je křivk dá prmetrickými rovicemi = ϕ() t = ψ () t t < > přičemž fukce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce itervlu < > Je-li délková hustot křivk kosttí pk má křivk hmotost [ ()] [ ()] m= ϕ t + ψ t dt Pro sttické momet pltí: () [ ()] [ ()] S = ψ t ϕ t + ψ t dt () [ ()] [ ()] S = ϕ t ϕ t + ψ t dt Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: () [ () ] [ () ] I = ψ t ϕ t + ψ t dt () [ () ] [ () ] I = ϕ t ϕ t + ψ t dt S S Těžiště T = ( ξ η) má souřdice ξ = η = m m Je-li speciálě křivk grfem fukce = f( ) s kosttí délkovou hustotou pk je [ ] ds = + f ( ) d (vět ) Dostáváme ásledující modifikci vět 5 Vět 5 Nechť je hmotá křivk určeá eplicití rovicí = f( ) se spojitou derivci f ( ) itervlu < > kosttí délkovou hustotou Pk má křivk hmotost [ ] m= + f ( ) Pro sttické momet pltí: d
5 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce [ ] S = f( ) + f ( ) [ ] S = + f ( ) d d Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: [ ] I = f ( ) + f ( ) d [ ] I = + f ( ) d S Těžiště T = ( ξ η) má souřdice ξ = m S η = m Těžiště momet setrvčosti rovié olsti Uvžujme hmotou roviou olst ohričeou zdol grfem fukce g( ) shor grfem fukce f( ) ( g ( ) f( ) ) pro < > Předpokládejme že je plošá hustot v kždém odě tohoto orzce kosttí hustot: Hmotost rovié olsti dosteme jko souči oshu ploch olsti (vět ) ( ( ) ( )) m= f g d Alogick jko při zvedeí určitého itegrálu (kpitol ) rozdělíme orzec rovoěžkmi s osou proužků (or 5) Kždý proužek můžeme proimovt úzkým odélíčkem šířk i = který je zdol ohričeý fukčí hodotou i g ( i ) shor fukčí hodotou f ( i ) Teto odélíček hrdíme těžištěm ležícím ve středu odélíčku Pro odélíček ude soustředíme hmotost celého odélíčku i A = ( ) i i i f ( i) + g( i ) = Do tohoto odu
6 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié olsti Hmotost i - tého odélíčku ude [ ( ) ( )] m f g i = i i i i = Sttické momet celé olsti udou přiližě rov f( i) + g( ) S i = imi = [ f( i) g( i) ] i = f ( i) g ( i) i i= i= i= S = imi = i[ f( i) g( i) ] i i= i= Je zřejmé že pro zvětšující se počet odélíčků udeme dostávt přesější proimce sttických mometů Pro dosteme limitím přechodem S = f ( ) g ( ) d [ ( ) ( )] S = f g d i Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os resp Vět 5 Nechť je hmotá roviá olst ohriče křivkmi g( ) f( ) kde g( ) f( ) itervlu < > Pk hmotost této olsti s kosttí plošou hustotou je [ ( ) ( )] m= f g d
7 Mtemtik II Pro sttické momet pltí: 5 Fzikálí plikce S = f ( ) g ( ) d [ ( ) ( )] S = f g d Momet setrvčosti této rovié olsti dosteme ze vzthů: ( ) ( ) I = f g d [ ( ) ( )] I = f g d S S Těžiště T = ( ξ η) má souřdice ξ = η = m m Řešeé úloh Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště homogeí půlkružice + = r Řešeí: Prmetrické rovice půlkružice jsou (viz příkld ): = rcost = rsi t t < > Or 54 Souřdice těžiště homogeí půlkružice Je-li délková hustot kosttí je hmotost rov součiu hustot délk půlkružice: m= s = r = r - -
8 Mtemtik II Sttické momet jsou: 5 Fzikálí plikce = ψ [ ϕ ] + [ ψ ] = [ ] + [ ] = = r [ cost] = r S () t () t () t dt r sit r sit r cos t dt r sit dt = [ ] [ ] [ ] [ ] S = ϕ() t ϕ () t + ψ () t dt = r cost r sit + r cos t dt = r cost dt = [ ] = r si t = Těžiště T = ( ξ η) má souřdice S S ξ = = r r η m = m = r = r T = ( ) Pozámk Sttický momet S jsme emuseli počítt protože je evidetí že pro dou půlkružici musí těžiště ležet ose ted je S = Příkld 5 Vpočtěte momet setrvčosti homogeí půlkružice z příkldu 5 k souřdicovým osám Řešeí: Momet setrvčosti půlkružice k ose : I = ψ t ϕ t + ψ t dt = r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] si [ si ] [ cos ] = cost r sit r = r si tdt = r dt = t = Momet setrvčosti půlkružice k ose : I = ϕ t ϕ t + ψ t dt = r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] cos [ si ] [ cos ] = + cost r sit r = r cos tdt = r dt = t + = - -
9 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště trojúhelík s vrchol O = () A = () B = () Řešeí: Str AB dého trojúhelík leží přímce = ( ) tj = Roviá olst je ohriče shor grfem fukce ( ) f = zdol grfem fukce g( ) = or 55 Or 55 Těžiště trojúhelík Je-li plošá hustot kosttí je hmotost rov součiu hustot oshu trojúhelík: m= P = = Sttické momet jsou (připomíáme že g( ) = ): S = f ( ) d= ( ) d= ( + ) 4 d= = + = ( + ) = S = f ( ) d = ( ) d = ( ) d = = 6 4 = = Těžiště T = ( ξ η) má souřdice S S ξ = = = η = = = m m - -
10 Mtemtik II T = ( ) Pozámk 5 Fzikálí plikce Těžiště trojúhelík leží v průsečíku těžic (spojic vrcholů středů str) Těžiště rozděluje těžici v poměru : Z podoých trojúhelíků je zřejmé že ová souřdice těžiště musí ležet v str OB ová souřdice těžiště musí ležet v str OA Proto ξ = = η = = Příkld 54 Vpočtěte momet setrvčosti homogeího trojúhelík z příkldu 5 při rotci kolem os resp Řešeí: Momet setrvčosti trojúhelík k ose : I = ( ) ( ) ( ) f d = d d = + = = + = ( + ) = = Momet setrvčosti trojúhelík k ose : 4 I = f ( ) d = ( ) d = ( ) d = = 8 8 = = Příkld 55 Vpočtěte souřdice těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou Řešeí: Grfem prol = 6 protíá osu v odech = = 6 jsme se podroě zývli v příkldu Prol - -
11 Mtemtik II Roviá olst je ohriče shor křivkou 5 Fzikálí plikce = zdol křivkou g( ) = f ( ) 6 or 56 Or 56 Těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou Je-li plošá hustot kosttí je hmotost rov součiu hustot ploch olsti ohričeé prolou osou : 6 P= (6 ) d= = (8 6) = 6 Sttické momet jsou (připomíáme že g( ) = ): S = f ( ) d (6 ) d (6 ) = = + d= = + = ( + ) = 6 ( 8 + ) = = 8 = S = f( ) d= (6 ) d= (6 ) d= = = 6 = 6 ( ) = 8 4 Těžiště T = ( ξ η) má souřdice 648 S 8 S 8 ξ = = = η = = 5 = m 6 m T = ( )
12 Mtemtik II Pozámk Sttický momet 5 Fzikálí plikce S jsme emuseli počítt Protože je orzec souměrý podle os = musí těžiště ležet této ose - ová souřdice těžiště musí ýt ξ = Kotrolí otázk Uveďte vzth pro sttický momet momet setrvčosti hmotého odu Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi? 4 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé eplicití rovicí 5 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé křivkmi g( ) f( ) kde g( ) f( ) itervlu < > 6 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé grfem spojité fukce f ( ) osou itervlu < > 7 Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté rovié olsti ohričeé křivkmi g( ) f( ) kde g ( ) f( ) itervlu < >? Úloh k smosttému řešeí Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ohričeého křivkmi ) ) c) d) = ; = = 6; = 5 = 4; = ; = 4 = ; = e) = ; = + f) = si ; = ; g) = si ; = ; = - 5 -
13 Mtemtik II h) = si ; = ; 5 Fzikálí plikce i) + = 4; Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce = t si t = cos t t osou ) ohričeého ckloidou ( ) ( ) ) který leží v prvím kvdrtu jeho hrici tvoří steroid + = 4 oě souřdé os c) ohričeého křivkou = t t = t + t osou Vpočtěte souřdice těžiště homogeího olouku dé křivk: ) ) c) = + ; = l ; 4 t = t = t ; t d) = cos t = si t; t 6 6 e) = cos t = si t; t = t si t = cos t ; t f) ( ) ( ) g) = cost+ tsi t = si t tcos t; Výsledk úloh k smosttému řešeí 6 ) ; ; ) ( ; ) ; c) ; 5 5 ; d) ; ; e) ; + ; f) ; 8 ; ( ) g) + ; ( ) ; h) ; 4 8 ; i) ; ) ; ; - 6 -
14 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce ) ; 5 5 ; c) 8 9 ; d) ; ; e) 6 ; 5 ; f) 8 ; ) ( ;97 ) ; ) ( ) ( 6) ; g) 6 ; 5;97 ; c) 7 ; 5 4 ; Kotrolí test Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi ) = = + 8 ( + ) ) ( ) c) ( ) d) ( + ) Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeího hmotého olouku křivk dé prmetrick t t t = = pro t ) 98 ) 5 89 c) 5 8 d) ) Vpočtěte sttický momet vzhledem k ose homogeího hmotého olouku křivk = pro ) ( + ) ) ( ) c) ( ) d) ( + ) ) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti tvru rovormeého trojúhelík výšk v zákld velikosti vzhledem k jeho zákldě ) v ) v c) 4 4 v d) v 5) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti ohričeé elipsou + = < < kost vzhledem k její hlví ose ) ) 4 c) 4 d) 6) Vpočtěte momet setrvčosti homogeího hmotého olouku křivk pro e vzhledem k ose = l 4-7 -
15 Mtemtik II ) c) 4 ( 8 e e ) + ) 4 ( 8 e e ) + d) 4 ( ) 8 e + e + 4 ( ) 8 e + e + 7) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku steroid = cos t = si t > kost pro t ) ) 5 c) 5 5 d) 5 Fzikálí plikce 5 8) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi = si = pro mimálě z itervlu ( ) ) c) + 8( ) ) + 8( ) d) 8( ) + 8( ) + 9) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi = ) = 5 ) 7 5 c) 7 4 d) 7 ) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku křivk pro t 4 7 = t = t t ) ) 5 7 c) 5 7 d) Výsledk testu ); ); ); 4 c); 5 ); 6 c); 7 d); 8 ); 9 ); d) Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitolu 5 zovu - 8 -
16 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Shrutí lekce Itegrálí počet je používá v moh disciplíách i tm kde chom to eočekávli (př ekoomie) V této kpitole jsme se omezili jedoduché plikce v mechice Odvodili jsme vzth pro výpočet sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek roviých olstí Při výpočtech jsme se omezili homogeí křivk olsti s kosttí hustotou S výpočt sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek v prostoru roviých olstí těles i v přípdech kd se hustot spojitě měí se sezámíte v Mtemtice III Z ejdůležitější v této kpitole povžujeme metodu jk lze odvodit potřeé vzth Z fzikálích zákoů se odvodí vzth pro velmi mlé elemet Provede se součet hodot pro všech elemet Limitím přechodem pro počet elemetů přejdou sum itegrál Pochopeím tohoto pricipu můžete odvozovt vzth pro dlší veliči Stejým způsoem postupovli i tvůrci itegrálího počtu Newto Leiiz - 9 -
17 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Místo pro pozámk - -
Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Více3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceGeometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceDigitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.
Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VíceZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceVýpočet vnitřních sil přímého nosníku II
Stveí sttik, 1.ročík kářského studi ýpočet vitřích si přímého osíku II ýpočet vitřích si osíků ztížeých spojitým ztížeím: příčé kosttí trojúheíkové spojité ztížeí, spojité ztížeí v osové úoze, mometové
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.
5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceCílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)
FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceDUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceStředová rovnice hyperboly
757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná
VícePRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava
Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x
- Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceSbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak
Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí
VíceTěžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.
Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose
Více7.5.8 Středová rovnice elipsy
758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,
VíceNosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku
Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY,
POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceFunkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D
Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí
VícePři výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály.. Mtod pr prts pro určité intgrály Cíl Sznámít s s použitím mtody pr prts při výpočtu určitých intgrálů. Zákldní typy intgrálů, ktré lz touto mtodou vypočítt
VíceHledání hyperbol
759 Hledání hyperol Předpokldy: 756, 757, 758 Pedgogická poznámk: Některé příkldy jsou zdlouhvější, pokud mám dosttek čsu proírám tuto následující hodinu ěhem tří vyučovcích hodin Př : Npiš rovnici hyperoly,
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
Více