8.2.6 Geometrická posloupnost

Transkript

1 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího možství láty) frci 87 Fr je přibližě miut. Jé možství láty po půl hodiě z 0grmů? Budeme sledovt možství frci vždy po pěti miutách: počátečí možství 0 po miutách 0 po 0 miutách 0 0 po miutách 0 0 po 0 miutách 0 0 po miutách 0 0 po 0 miutách , g Po 0 miutách zbude z původích 0 grmů pouze 0, grmu frci 87 Př. : Hodotu peěz eustále sižuje iflce (pomlé průběžé zdržováí všech omodit). Npříld při dlouhodobé průměré ročí iflci % ztrtí libovolá část z ro % své hodoty (tedy příld 00 Kč zčátu rou bude mít oci hodotu pouze 00 9 Kč). Jo hodotu bude mít Kč po uplyutí pěti let? Postupujeme podobě jo v předchozím příldě, postupě počítáme hodotu peěz po jedotlivých letech: počátečí hodot po. roce po. letech ( ) po. letech ( ) po. letech ( ) po. letech ( )

2 Po pěti letech bude mít při % ročí iflci hodotu pouze 97 Kč. Př. : Njdi společou speciálí vlstost obou předchozích posloupostí. U obou předchozích posloupostí pltí, že dlší čle zísáme vyásobeím tuálího čleu stále stejým číslem. Při určováí dlších čleů eustále ásobíme stejým číslem. Posloupost s uvedeou vlstostí se zývá geometricá. Posloupost ( ) se zývá geometricá právě dyž existuje tové reálé číslo, že pro ždé přirozeé číslo pltí +. Číslo se zývá vociet poslouposti. Jestliže v poslouposti ( ) pltí 0 zároveň 0, p jsou všechy čley poslouposti růzé od uly můžeme psát +, tedy podíl dvou po sobě ásledujících čleů geometricé poslouposti je osttí rový jejímu vocietu. Př. : Urči vociety geometricých posloupostí z příldů. ) v příldu pltí: + b) v příldu pltí: + Př. : Rozhodi, zd dá tři čísl tvoří tři po sobě jdoucí čley ějé geometricé poslouposti. Poud o urči vociet. ) 9 ; ; 9 b) ; ; + poud zdá trojice čísel tvoří tři po sobě jdoucí čley geometricé poslouposti, musí být jejich podíl stejé číslo ) 9 ; ; Jde o tři po sobě jdoucí čley geometricé poslouposti s vocietem 9. b) ; ; + ( ) ( )

3 + ( + ) + + ( ) Jde o tři po sobě jdoucí čley geometricé poslouposti s vocietem ( ) +. Pedgogicá pozám: S předchozím příldem mjí studeti opět ečeé problémy, hlvě u bodu b) se p objevují problémy s uprveím výrzu. Př. : Npiš prvích pět čleů geometricých posloupostí: ), b) π, 0 c), d) 0, 0 Které z těchto posloupostí jsou ritmeticé? ), čley poslouposti: ; ; ; 8;;... eí ritmeticá b) π, 0 čley poslouposti: π ;0;0;0;0;... eí ritmeticá c), čley poslouposti: ; ;; ;;... eí ritmeticá d) 0, 0 čley poslouposti: 0;0;0;0;0;... je ritmeticá s diferecí 0 + Př. 7: Dož, že posloupost ( ) je geometricá. Hledáme v defiici geometricé poslouposti podmíu, terá odlišuje geometricou posloupost od osttích posloupostí musíme doázt, že pltí: +. + ( ) Dosdíme: / : / : Vzth je pltí pro všechy čley poslouposti posloupost + + ( ) geometricá (s vocietem ). Geometricá posloupost je stejě prvidelá jo ritmeticá měl by existovt vzorec pro -tý čle.

4 Př. 8: Njdi vzorec pro -tý čle posloupostí z příldů. Vyslov hypotézu o vzorci ritmeticé poslouposti: ; + ; N. ) čley poslouposti mám již vlstě uprveé, by byl ždý vyjádře pomocí d: počátečí možství 0 po miutách 0 po 0 miutách po miutách po 0 miutách po miutách po 0 miutách Zdá se, že posloupost by mohl být dá vzorcem 0 b) čley poslouposti mám již vlstě uprveé, by byl ždý vyjádře pomocí d: počátečí hodot po. roce po. letech ( ) po. letech ( ) po. letech ( ) po. letech ( ) Zdá se, že posloupost by mohl být dá vzorcem Ob odvozeé vzorce mjí stejý tvr: dá vzorcem zřejmě pltí: geometricá posloupost je O správosti ší hypotézy se musíme přesvědčit. Zusíme důz mtemticou iducí:

5 Př. 9: Dož větu: V geometricé poslouposti ( ) N. s vocietem pltí pro ždé. Ověříme pltost pro 0 pro vzorec pltí. Předpoládáme, že vzorec pltí pro dozujeme, že pltí i pro + Víme: ( ) Chceme doázt: + + Určitě pltí reuretí vzth pro geometricou posloupost: + Dosdíme do reuretího vyjádřeí z : to jsme chtěli Podřilo se ám vzth doázt. Pedgogicá pozám: Poud estíháme, předchozí příld vyecháváme důz buď rychle udělám tbuli ebo ho úplě přesočíme. Teď už můžeme pst s jistotou: V geometricé poslouposti ( ). s vocietem pltí pro ždé N Vzorec je hodě podobý vzorci pro ritmeticou posloupost, opět v ěm vystupuje čle ( ), protože čle jsme vocietem ještě eásobili. Vzorec geometricé poslouposti připomíá předpis expoeciálí fuce geometricá posloupost je speciálím přípdem expoeciálí fuce. Př. 0: U ásledujících ritmeticých posloupostí sestv vzorec pro -tý čle, jdi reuretí vyjádřeí urči. ), ), b) ; c) ( ) ; ; N d) + e) reuretí vyjádřeí: ; +, N vzorec pro -tý čle:

6 b) ; ejdříve si určíme : 9 reuretí vyjádřeí: 9; +, N vzorec pro -tý čle: 7 9 c) ( ) posloupost je zdá vzorcem pro -tý čle, ;, N reuretí vyjádřeí: ( ) + vzorec pro -tý čle už máme ( ) d) ; + ; N reuretí vyjádřeí už máme, vzorec pro -tý čle: 7 e) pozor, to eí lsicý vzorec pro -tý čle musíme vzth uprvit do tvru vzorce pro -tý čle, reuretí vyjádřeí: ; ; N vzorec pro -tý čle: ( ) + Př. : Petáová: str 7/cvičeí 9 b) c) str 7/cvičeí 0 b) str 7/cvičeí ) c) d)

7 Shrutí: Posloupost v íž ždý čle zísáme z čleu předchozího vyásobeím stejým číslem se zývá geometricá. Při výpočtu jejího -tého čleu ásobíme prví čle mociou vocietu. ( ) 7