4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema

Transkript

1 4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou micí Vybíráí více ež jedé oule z osudí je totéž jo postupé výběry po jedé Viděli jsme, že v těchto přípdech rychle přibývá elemetárích jevů s rostoucím počtem opováí Dvě či tři ještě rozumě zvládeme, v přípdě většího počtu jsou výpočty dříve uvedeými postupy velice prcé Budeme se tomuto problému věovt v této pitole Uvedeme si ejprve modelový příld 41 Příld: V osudí je bílých oulí b čerých Náhodě vybíráme ouli, pozmeáme si její brvu, vrcíme teto pous rát opujeme Vypočtěte prvděpodobosti jedotlivých možých výsledů, teré jsou určey počtem bílých oulí Řešeí: V serii thů může stt pro počet bílých oulí celem + 1 růzých možostí sice těch, že bílých oulí je právě, 0 Ozčme si P (), 0, prvděpodobost toho, že je tžeo právě bílých oulí, tedy zároveň čerých Jedotlivé thy jsou sobě ezávislé, eí možé, by brv dříve tžeé oule určovl výsledy dlších thů Prvděpodobosti jsou dáy počty oulí je prvděpodobost thu bílé oule rov P b +b prvděpodobost thu čeré oule je rov P c b +b Všimeme si, že se jedá o jevy opčé P b + P c 1 V jedé orétí serii, dy se objeví právě bílých čerých oulí, musíme rát táhout bílou ( ) rát táhout čerou Z ezávisloti jedotlivých thů vyplývá, že prvděpodobost výsytu tové serie je rov součiu prvděpodobosti výsledů jedotlivých thů Tto prvděpodobost je tudíž rov ) ) ( ) ( + b ( b + b Serií, teré obshují právě bílých oulí může být víc Je vidět, že jejich počet je rove počtu možostí výběrů pozic pro bílé oule v serii dély To ( jsou ) le zámé čleé ombice z prvů Jejich počet je dá ombičím číslem Prvděpodobosti jedotlivých výsledů jsou stejé, serie se vzájem vylučují tudíž celovou prvděpodobost dosteme jo součet prvděpodobostí z ( ), tedy její ásobe Je tedy b ( ) P (), 0 + b + b Pozám: Budeme yí formulovt obecé zěí úlohy Je zřejmé, že určující je dél serie prvděpodobost výsytu sledového výsledu (bílá oule) v ždém opováí áhodého pousu Prvděpodobosti ze vzorce ( ), teré jsou prvděpodobostmi jedotlivých elemetárích jevů tvoří systém, terý se zývá Beroulliho schem Formulujme obecý výslede ve tvru tvrzeí věty 42 Vět: Beroulliho schem Provádíme serii ezávislých áhodých pousů, ve terých stává sledový výslede, áhodý jev A, s prvděpodobostí P (A) p, 0 < p < 1 Prvděpodobost P () toho, že se v serii vysyte áhodý jev A právě rát, 0, 1, 2,, je rov ( ) P () p (1 p), 0 2

2 Důz: Tvrzeí jsme odvodili v příldu 41 Stčí do jeho výsledu dosdit p 1 p b +b +b 43 Příld: Házíme rát micí počítáme počet rubů Určete prvděpodobosti jedotlivých možých výsledů pousu Vyčíslete jejich hodoty pro Řešeí: Výsledy pousu se řídí Beroulliho schemtem z odst 42, de je p 1 p 1 2 Sledový jev stává v jedom ze dvou možých přípdů Jestliže si ozčíme v souldu s 42 jo P () prvděpodobost áhodého jevu - v serii pde rát rub, 0, je (1 1 P () 2) 2 ( ) 1 2, 0 Pro je , 0312 po řdě je 32 1,, Je tedy P (0) () 0, 0312, P (1) (4) 0, , 162 P (2) (3) 100, , Příld: Házíme rát hrcí ostou počítáme počet šeste Určete prvděpodobosti jedotlivých možých výsledů pousu Vyčíslete jejich hodoty pro Řešeí: Výsledy pousu se řídí Beroulliho schemtem z odst 42, de je p p 6 Sledový jev stává v jedom ze šesti možých přípdů Jestliže si ozčíme v souldu s 42 jo P () prvděpodobost áhodého jevu - v serii pde rát šest, 0, je (1 P () 6) 6 6, 0 Pro je 0, jestliže použijeme hodot ombičích čísel z příldu 43 6 dosteme po řdě P () 0, , ,1607 0,0321 0, ,00013 Pozám: Všimeme si, že v příldě 43 je posloupost prvděpodobostí symetricá, sledový jev jev opčý mjí stejou prvděpodobost V přípdě příldu 44 jsou hodoty symetricé, prvděpodobost opčého jevu je -rát větší Větší prvděpodobost mjí hodoty 0 1 pro počet šeste Více si o rozděleí prvděpodobostí řeeme v pitole o áhodé veličiě, dy prvděpodobosti z odst 42 odpovídjí tzv biomicému rozděleí 4 Vět: Vlstosti čísel P () Pro prvděpodobosti P () z odstvce 42 pltí: 26

3 ) P () 1; b) 0 P () p; c) 0 ( p) 2 P () p(1 p) Důz: ) Tvrzeí vyplývá z toho, že uvedeý součet je součtem prvděpodobostí všech áhodých jevů Ji vyplývá tto idetit z biomicé věty pro [p + (1 p)] 1 1 b) Uážeme si obrt, pomocí terého doážeme uvedeé tvzeí Je totiž P () 0 p p 1 1 m0 0 p (1 p) 0 1!!( )! p (1 p) ( 1)! ( 1)![( 1) ( 1)]! p 1 (1 p) ( 1) ( 1) 1 m ( 1)! m![( 1) m]! p 1 (1 p) ( 1) m p[p + (1 p)] 1 p c) Tvrzeí odvodíme obrtem jo v přípdě b) Jeom si uprvíme výrz ( p) 2 2 2p + 2 p 2 ( 1) + + 2p + 2 p 2 Součet vyjádříme jo součet 4 sčítců Součet posledích tří vypočteme pomocí vzthů z ) b) v prvím provedeme ráceí jo v odvozeí z b), jeom můžeme rátit výrzem ( 1) místo Pozám: Prvděpodobosti P () jedotlivých výsledů z Beroulliho schemtu mjí určitou záoitost rozděleí hodot Přestvují tzv biomicé rozděleí jejich hodoty jsou předevší ocetrováy hodotě p, terá má prvděpodobost výsytu ejvětší Předstvu o tom zísáme z Beroulliho erovosti, terá je tzv Čebyševovou erovostí pro biomicé rozděleí Uvedeme její odvozeí jo příld odhdů itervlů výsytu áhodých jevů, terých jsou zlože sttisticá šetřeí 46 Vět: Beroulliho erovost Je-li P (A) p, 0 < p < 1, p pro počet výsytů áhodého jevu A v serii ezávislých pousů číslo ε > 0 pltí odhd: P p < ε ( p < ε) 1 p(1 p) ε 2, tedy Tudíž P p ε ( p ε) lim P p < ε 1 p(1 p) ε 2 Důz: Zázoríme si obrázu, de leží hodoty, teré odpovídjí počtu výsytů áhodého jevu A splňující podmíu 0 δ(ε) : p < ε p < ε 0 p ε p p + ε p ε < < p + ε Potom z vlstostí uvedeých v odstvci 4 úprvmi dosteme: p(1 p) ( p) 2 P () 0 / δ(ε) 27 ( p) 2 P () 2 ε 2 / δ(ε) P ()

4 2 ε 2 1 δ(ε) P () Uvážíme erovici mezi prvím posledím čleem ve vzthu po vyděleí výrzem 2 ε 2 dosteme prví z erovic ve větě Druhá je jejím přepisem, eboť obshuje prvděpodobost opčého jevu, tedy doplě do 1 Třetí vlstost bezprostředě vyplývá z prví, jestliže přejdeme ve vzthu limitě uvážíme, že se jedá o posloupost s ldými čley Pozám: Nerovosti ve větě uvdí vzth mezi třemi veličimi Jsou to odhd prvděpodobosti, veliost itervlu počet pousů v serii Jestliže si dvě zdáme můžeme určit třetí Pozmeejme, že vycházíme z odhdů tudíž zísáme i odhd hodoty počíté veličiy Užme si příldy tového využití odhdu z věty Příld: Házíme 1000-rát micí Odhděte prvděpodobost P, s jou se bude počet rubů vysytovt v itervlu (40, 0) Řešeí: V souldu se zěím věty 46 je : 1000, p 0,, p 10000, 00 ε 1000ε 0 ε 0, 0 Podle odhdu z věty je P , < 0, 0 0, 0, (0, 0) , Příld: V áhodém pousu má jev A prvděpodobost výsytu P (A) 0, 3 V jém itervlu se bude počet jevů A vysytovt s prvděpodobostí P 0, 98, poud budeme pous opovt 00-rát Řešeí: V souldu s větou 46 je: p 0, 3, 00, p 000, 3 10, P 0, 98, ε? Aby byl prvděpodobost popsého jevů větší ebo rov 0,98, musí být větší její odhd Odtud dosteme podmíu pro hledý itervl Je P 00 0, 3 < ε 1 0, 30, 7 0, 21 0, 98 0, 02 00ε2 00ε 2 ε Potom pro tolerčí itervl dosteme: ε 000, 14 72, tedy p ε p + ε 77, 222, 0, , Příld: Házíme hrcí ostou počítáme počet šeste Koli musíme provést hodů, by se s prvděpodobostí P 0, 99 lišil reltiví četost od hodoty p 1 6 ejvýše o ε 0, 1 Řešeí: V souldu se zčeím ve větě 46 je : p 1 6 0, 16666, ε 0, 1, P 0, 9? Prvděpodobost P bude větší ež 0,99, jestliže bude větší ež 0,99 její odhd Je tedy ( P 1 ) 1 6 < 0, (0, 1) 2 0, , 89 Musíme provést lespoň 1389 hodů Určeme si itervl pro počet šeste Je p 13890, , ε 13890, 1 138, 9, tedy p ε p + ε 92, 6 370, 4 Pozám: Kometujme ještě výslede příldu 49 Te říá, že budeme-li opově házet ostou serie o 1389 hodech počítt šesty, t v přibližě jedé ze st serií bude počet šeste meší ež 92 či větší ež

5 Pozám: Beroulliho erovost m dovoluje odhdout prvděpodobost P, což je souhr prvděpodobostí výsytů sledového áhodého jevu A olem hodoty p, terá má ejvětší prvděpodobost Směrem oběm rjím hodotám 0 tto prvděpodobost lesá Pro velé hodoty je výpočet těchto prvděpodobostí velmi prcý Jedá se o velé možství mlých čísel Budeme si uvádět formule, teré umoží jejich jedoduchý výpočet N uázu uvedeme jedu z ich, terá vychází z tzv Poissoov rozděleí 410 Vět: Poissoov vět Nechť v serii ezávislých pousů stává áhodý jev A s prvděpodobostí P (A) p echť lim p λ > 0 Potom je lim P () λ! e λ, 0, 1, 2, Důz: ebudeme provádět Pro využití tvrzeí ve sttistice eí zjímvý Opírá se o zámou idetitu e z ( lim 1 + z ) 411 Pozám: Tvrzeí věty říá, že pro velé hodoty, v prxi 30 mlé hodoty p, v prxi p 0, 1, pltí: P () p (1 p) (p) e p, 0! Volíme λ p uvedeá proximce je dobrá j pro jedotlivé hodoty, t i pro jejich souhr Příld: Sdělovcím álem přeášíme symboly s chybovostí 0, 1% Já je prvděpodobost, že ve zprávě, terá má 2000 symbolů budou ejvýše 3 chyby Řešeí: Přeos symbolů je opový pous, 2000, ve teré sledový áhodý jev A, výsyt chyby, se objevuje s prvděpodobostí p 0, 10, 01 0, 001 Prvděpodobost výsytu dého počtu chyb se řídí Beroulliho schemtem z věty 44 Hledá prvděpodobost je rov P 2000 (0) + P 2000 (1) + P 2000 (2) + P 2000 (3), 2000 de P 2000 () (0, 001) (0, 999) 2000, Sdo tyto prvděpodobosti vyčíslíme pomocí proximce z pozámy 411 Je p 0, 001 < 0, 1, 2000 > 30 λ p 20000, Je p P 2000 () 2! e 2, 0 Odtud pro hledou prvděpodobost dosteme ( P ) e e 2 6, 33330, ,