ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

Transkript

1 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Pel Pech Česé Bdějoce 4

2 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Pel Pech Česé Bdějoce 4

3 OBSAH Předml 5 I část Afí prostor 7 Vetoroý prostor 8 Afí bodoý prostor Afí podprostory 6 4 Afí sořdce 9 5 Určeí fího podprostor 6 6 Neprmetrcá roce droy 7 Vzájemá poloh fích podprostorů 7 8 Příčy mmoběžých podprostorů 59 9 Sze dro 66 Trs dro 7 II část Eledosý prostor 8 Slárí soč 85 Cchyo eroost 89 Ortogoálí ortoormálí etory 94 4 Mtce přechod mez děm bázem 98 5 Kolmost podprostorů 6 Oretce etoroého prostor 5 7 Ortogoálí doplě - etoroý soč 7

4 8 Vější soč 7 9 Vzthy mez slárím etoroým ějším sočem Eledosý bodoý prostor 6 Objem smple 8 Obsh trojúhelí Objem čtyřstě 4 Vzdáleost mož 7 5 Vzdáleost bod od podprostor 9 6 Vzdáleost podprostorů 44 7 Odchyl podprostorů 5 Sezm požté ltertry 6 4

5 PŘEDMLUVA Učebce Alytcá geometre leárích útrů sezmje se záldím lstostm leárích útrů geometr Tet je rozděle do do částí - Afí prostor Eledosý prostor Protože fí eledosé bodoé prostory jso zedey pomocí etoroého prostor je moho čs ěoáo lstostem etoroých prostorů Všechy pojmy z teore etoroých prostorů teré bdeme potřebot jso strčě zopoáy Kíž t může číst s porozměím te do eštěol záldí rz lgebry U čteáře předpoládáme zlost z mtemty rozsh středošolsé láty V prí část jso zedey záldí geometrcé útry - bod přím ro dro pod Jedotlé podprostory fího prostor jso popsáy prmetrcém eprmetrcém tr jso zomáy jejch fí lstost - zájemá poloh prů spojeí pod Drhá část se zbýá metrcým lstostm Pomocí slárího soč etorů je zede zdáleost do bodů Vzdáleost bodů je zobecě zdáleost do lboolých podprostorů Dále jso zomáy objemy smpleů (př obsh trojúhelí objem čtyřstě) růzé způsoby jejch yjdřoáí Záěr je ěoá odchylce podprostorů (dě přímy přím dro dě droy) Během ýld byl lde důrz stečost že shor edeé pojmy ezásí olbě rtézsé sosty sořdc Poděoáí ptří oběm recezetům pí doc Ig L Vňtoé CSc p RNDr J Horo CSc z pečlé přečteí rops ceé rdy přpomíy teré přspěly e zltěí celého tet V Česých Bdějocích září 4 Pel Pech 5

6 6

7 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vetoroý prostor V záldím rz lgebry byl zede pojem etor jo pr etoroého prostor V d tělesem T přčemž jso stoey dě operce - sčítáí etorů ásobeí etor pry z těles T teré splňjí jsté lstost (omy) Protože se záldí lstost etoroých prostorů požíjí celém dlším tet elm strčě přpomeeme bez důzů ometáře ejdůležtější pojmy Vzhledem potřebám geometre bdeme předpoládt že těleso T je těleso reálých čísel R Defce Vetoroý prostor d tělesem reálých čísel R je eprázdá mož prů V teré jso defoáy operce ) sčítáí dojc prů t že e ždé dojc prů V je jedozčě přřze pre + V b) ásobeí prů z V reálým čísly t že ždém V ždém R je jedozčě přřze pre V Uedeé operce msí splňot pro šech w V šech l R tyto podmíy: ) + + ) ( + ) + w + ( + w) ) estje pre o V toý že + o pro ždé V 4) e ždém V estje etor ( ) V t že + ( ) o 5) ( + ) + 6) ( + l) + l 7) ( l ) ( l) 8) Pry etoroého prostor V se zýjí etory Vetor o se zýá loý etor 8

8 Vetoroý prostordoc Pojem etoroého prostor je defcí zede omtcy Jestlže bstrtí pojem etor sčítáí etorů ásobeí etorů reálým číslem hrdíme orétím pry teré splňjí omy defce ytořl jsme model prostor V Npř těleso ompleích čísel je etoroým prostorem zhledem obylým opercím sčítáí ásobeí reálým číslem Defce Leárí ombcí etorů tr de pro šech etrálí Defce Vetory V čísl c c c V rozmíme ždý etor R Leárí ombce se zýá trálí jestlže Je-l spoň jedo zýá se se zýjí leárě záslé jestlže estjí R z chž spoň jedo je růzé od ly pltí c o Je-l podmí splě poze dyž šech c jso etory Vět Nechť etory leárě ezáslé V jso leárě ezáslé echť etory jso leárě záslé P etor je leárí ombcí etorů jso rčey jedozčě oefcety této ombce Defce 4 Neprázdo podmož W etoroého prostor V zeme podprostorem prostor V jestlže W smotá je etoroým prostorem e smysl defce Ozčeí W V 9

9 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vět Neprázdá podmož W etoroého prostor V je podprostorem e V práě dyž pro ždé d pry W ždé R je + W W Defce 5 Nechť V V jso d etoroé podprostory prostor V Spojeím těchto podprostorů rozmíme mož šech etorů tr + de V V Ozčeí V V Symbol tomto přípdě ehrzje logco spoj "ebo" Průem podprostorů V V je mož šech etorů teré áleží sočsě do V Zčíme V V Vs V p V V p Vět Spojeí prů do etoroých podprostorů prostor V jso etoroé podprostory prostor V Vět 4 Mož šech leárích ombcí etorů z etoroého prostor V toří etoroý podprostor W prostor V terý zýáme leárí obl možy etorů } { Vetory zýáme geerátory podprostor W Zpsjeme W Defce 6 Vetoroý prostor V je oečě geeroý jestlže e V estje oečá mož geerátorů Mož } etorů z V se { zýá báze prostor V jestlže jso etory leárě ezáslé ždý etor prostor V je jejch leárí ombcí tj prostor V je geeroá etory Vět 5 Kždý oečě geeroý etrálí etoroý prostor má lespoň jed báz Kždé dě jeho báze mjí stejý počet etorů Počet

10 Vetoroý prostordoc etorů báze zýáme dmezí etoroého prostor Trálí etoroý prostor obshjící poze loý etor má dmez l Úml: V dlším tet bdeme etoroý prostor dmeze zčt V Vět 6 Nechť V jso podprostory etoroého prostor V Pro dmez s spojeí V dmez p prů V těchto podprostorů pltí zth h V s s h + p Vět 7 Nechť e e e } toří báz etoroého prostor V Kždý { etor V je možo yjádřt jedým způsobem jo leárí ombc etorů báze e Tj estje jedá spořádá -tce reálých čísel terá dé báz rčje etor Tto -tc zýáme sořdcem etor báz e e e } Zčíme ) ( { Důz: Předpoládejme že báz { e e e e p je jé yjádřeí etor } Ob etory od sebe odečteme dosteme o ( ) e Jedá se o leárí ombc etorů báze { e e e } terá se roá loém etor Proto šechy oefcety jso roy le Odtd etor má báz { e e e } jedé sořdce

11 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Afí bodoý prostor V předcházejícím odstc jsme přpoměl ejdůležtější pojmy zthy př omtcém zedeí etoroého prostor V Je přrozeé očeát že pojem bodoého prostor jehož záldím pry jso body ybdjeme od záld podobě Aomtcé bdoáí bodoého prostor yždje zčý přehled o relcích teré je třeb pro záldí pry defot př o cdec spořádáí Proto se s tímto pojetím sezámí stdet ž záěr rz geometre V této čebc yžjeme pro přesé bdoáí pojm fí bodoý prostor omtcy zedeý pojem etoroého prostor d tělesem reálých čísel obdobě jo ěmecý mtemt H Wel ( ) terý tímto způsobem zedl pojem fího prostor spojl t body etory Důody lze sdo ysětlt pomocí středošolsé předsty o pojm etor N středí šole se oretoo úsečo AB rozmí úseč jejíž rjí body mjí rčeé pořdí Bod A je počátečí bod bod B je ocoý bod Reálým ásobem oretoé úsečy AB rozmíme oretoo úseč AB' de B' je bod polopřímy AB je-l ldé číslo resp polopřímy opčé AB je-l záporé číslo přčemž pro elost úseče AB' AB pltí A B AB Je-l je oretoá úseč AB' loá Sočet oretoých úseče se společým počátem se opírá o fyzálí zšeost př sládáí sl zázorěých oretoým úsečm z obr C M A B

12 Afí bodoý prostordoc Jso dáy dě oretoé úsečy AB AC Potom jejch sočtem AB + AC zeme oretoo úseč AM jejíž ocoý bod M je obrzem bod A e středoé soměrost terá zobrzje bod B do bod C Dále bdeme defot (olý) etor Všechy oretoé úsečy teré mjí týž směr (tz jso sohlsě rooběžé) tož elost reprezetjí týž etor Nloé oretoé úsečy reprezetjí loý etor Kždá oretoá úseč AB terá reprezetje etor je místěím etor Zpsjeme AB Operce s (olým) etory se relzjí pomocí jejch místěí Jestlže AB AC p + je etor jehož jedím místěím je AB + AC je etor jehož jedím místěím je AB Mož šech místěí téhož eloého etor se sládá z oretoých úseče X X jejchž oec X je obrzem počát X témž postí Je-l etor loý počáte šech místěí se zobrzí do oce místěí dettě Zmíěá lstost šech místěí téhož etor zrčje že ýslede opercí s olým etory ezáleží tom teré místěí olých etorů požjeme Přtom lze sdo ázorě ázt že operce s oretoým úsečm té s etory mjí lstost ž 8 z defce Př zedeí fího bodoého prostor bdeme ycházet z ýše popsých poztů středošolsé geometre o ztzích mez oretoým úsečm tedy oretoým dojcem bodů etory Tedy záldím pojmy bdo body etory zobrzeí teré přřzje ždým děm bodům etor Pro stdm lstostí bodoého prostor se p yžjí lstost etoroého prostor teré jž byly přesě omtcy lgebře zedey dedtě odozey Z omy přjmeme dě lstost teré odpoídjí reálé stc zámé ze středošolsé geometre: ) Zolíme-l bodoém prostor peě bod A přřdíme ždém bod X etor jehož místěí má počáte A ocoý bod X dosteme zájemě jedozčé zobrzeí prostor šech bodů etoroý prostor

13 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů ) Jso-l A B C lboolé body p sečteme-l etor AB s etorem BC dosteme etor AC Defce Nechť je etoroý prostor dmeze d tělesem reálých čísel A V eprázdá mož jejíž pry zeme body Nechť g je zobrzeí teré ždé spořádé dojc bodů z V t že pltí: A přřdí etor z ) Ke ždém bod A A etor V estje práě jede bod B A toý že zobrzeí g přřzje spořádé dojc bodů A B etor což zpsjeme g ( A B) ebo B A ) Pro ždé tř body A B C A pltí Mož A g ( A B) + g( B C) g( A C) zýáme fím bodoým prostorem etoroý prostor V je změřeím fího bodoého prostor A Dmeze změřeí V rčje dmez fího bodoého prostor A Pozám Záps lstost ) lze též psát e tr A + B B A () Tedy zobrzeí g hrzjeme relčím zméem " - " Vlstost ) p trdí ( B A) + ( C B) C A () Vetor pro terý pltí A + B je body A B rče jedozčě eboť je-l A + A + y p podle ) je y Prdl pro počítáí se zméy "+" "-" Pro počítáí s oě zedeým zméy "+" "-" dáá áod ásledjící ět 4

14 Afí bodoý prostordoc Vět Nechť A B C D jso lboolé body fího prostor A lboolé etory ze změřeí V Potom A A o A B ( B A) ( A + ) B ( A B) + 4 B ( A + ) ( B A) 5 ( A + ) + A + ( + ) 6 ( A B) + ( C D) ( A D) + ( C B) 7 A B D C A D B C 8 A + B + A B Důz: Ad ) Pro specálí olb B A C A () je ( A A) + + ( A A) A A odtd A A o podle 4 lstost z defce etoroého prostor Ad ) Pro olb C A () dosteme ( A B) + ( B A) A A odtd podle trzeí ěty 4 lstost z defce etoroého prostor Ad ) Podle () estje jedý bod C toý že A + C C A Potom še trzeí má tr C B ( A B) + ( C A) To je podle trzeí ěty roo ( B A) + ( C B) C A což je prdlo () Ad 4) Ozčíme A + C C A Nše trzeí má po doszeí tr B C ( B A) ( C A) terý je eletí s prdlem () Alogcy se postpje př důz dlších trzeí V podsttě lze říc že s oě zedeým symboly " + " " - " se zchází obdobě jo se zméy "+" "-" zámým ze sčítáí odčítáí reálých čísel ž rčté ýjmy Npř emá smysl záps X + Y pro body X Y A č Y pro V Y A pod 5

15 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Afí podprostory V defc 4 se etoroým podprostorem rozmí podmož etoroého prostor terá je sm etoroým prostorem Alogcy defjeme fí bodoý podprostor Defce Neprázdo podmož A fího bodoého prostor zeme podprostorem prostor A jestlže je A fím bodoým prostorem Vět Nechť A je peě zoleý bod etoroý podprostor A změřeí V bodoého prostor A Mož bodů X pro teré pltí X A + () de je lboolý etor z podprostor toří fí bodoý podprostor A prostor A Ozčeí A A Důz: Doážeme že A je fím prostorem tj oěříme pltost omů ) ) z defce ) Nechť X je lboolý bod z A lboolý etor z V Protože A estje podle defce fího prostor A jedý A bod Y A toý že Y X + Protože X A je podle () X A + de V Tedy Y A + + odtd Y A lstost ) fího prostor je doázá ) Nechť X Y Z jso tř lboolé body z možy A Potom roost g ( X Y ) + g( Y Z) g( X Z) je splě tomtcy eboť A A V V A 6

16 Afí podprostorydoc Něteré fí bodoé podprostory mjí trdčí ázy teré přpomeeme ásledjící defc Defce Afí bodoý podprostor dmeze ( ) prostor zýáme droo prostor A Podprostor dmeze zeme přímo podprostor dmeze roo V prostor (tedy roě) je droo přím A je A droo ro td Je-l V změřeí bodoého prostor A p ždý etrálí etoroý podprostor V zýáme - směrem prostor A Vetor terý rčje změřeí přímy zýáme směroým etorem přímy Z ěty plye že fí bodoý podprostor A A je rče bodem A změřeím Následjící ět říá že z bod A lze A V A zít lboolý bod podprostor A V Vět Afí bodoý podprostor A prostor A je rče sým změřeím V lboolým ze sých bodů A Zpsjeme A A V ] [ Důz: Stčí doázt že bod můžeme zolt lboolě Nechť změřeím je rče V bodem A resp B Máme doázt A V ] [ B V ] A [ Protože B A potom B A + b de b V odtd A B b Nechť X A V ] Potom podle ěty X A + pro ějé [ V Doszeím z A z předchozího zth dosteme X B b + Protože b V V potom též b + V tedy X [ B V ] Obdobě se doáže: je-l X B V ] potom je té X A V ] [ [ 7

17 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vět Podprostor A [ A V ] lze yjádřt prmetrcém tr X A + t () de } je báze změřeí V A je lboolý bod { podprostor A t R Reálá čísl t prmetry Říáme že fí podprostor změřeím zpsjeme A [ A Důz: Přímý důslede ěty ěty A ] zýáme je rče bodem A Pozám Z defce ěty yplýjí ásledjící yjádřeí podprostorů fího prostor : A prmetrcá - roce droy A A ] [ + X A t - roce přímy A [ A ] X A + t de je směroý etor přímy - roce roy A [ A ] X A + t + t de A je změřeí roy A Pro je zth () etoroým yjádřeím fího bodoého prostor A 8

18 4 Afí sořdcedoc 4 Afí sořdce Z důz ěty je zřejmé že e ždém bod zoleém bod A přřze jedý etor V X A je př peě Tomto etor je jedozčě přřze spořádá -tce reálých čísel (sořdc) dé báz etoroého prostor V To ás oprňje zedeí pojm fích (leárích) sořdc bodů prostor A Defce 4 Nechť P je peě zoleý bod z A e e e } báze změřeí V Afí ebo leárí sosto sořdc S ebo též repérem S A rozmíme ( +) - tc S { P e e e } de P se zýá počáte sosty sořdc { Kždém bod X A je fí sostě sořdc S jedozčě přřze spořádá -tce reálých čísel ] toá že X P + [ e (4) eboť zth (4) je podle prdl () z defce fího prostor X e P e eletí se zthem X P e Čísl jso j zámo rče jedozčě proto je 9

19 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů zýáme sořdce bod X sostě sořdc S Vetor X P zeme rdsetorem bod X zhledem sostě S Afí prostor e terém je zole sost sořdc A S { P e e e } bdeme dále zpsot A P e e e ] [ V příld obráz jso př dé fí sostě sořdc { P e e }sořdce bod X roy X [ ] protože pro etor X P pltí X P e + e Pozámy ) Je-l sost sořdc S prostor A zole je zyem zpsot sořdce bod X této sostě e tr X ] dyž z tohoto záps eí zřejmá olb počát [ { P báze e e e } ) Sořdce bod X jso sočsě sořdcem jeho rdsetor X P protože pro počáte P je zřejmě P [ ] Příld Nechť leárí sostě sořdc S P e e e } mjí body { [ Y [ y y y { e e } X Y sořdce X ] ] Potom etor Y X má báz e sořdce Y X y y y ) ( Řešeí: Je totž odtd X P + e e + e e e + + Y P + y + y + y e + e + + e Y P ye + y e + X P + + y e Sečteím leých prých str zísáme ( Y P) + ( P X ) ( y ) + ( y ) e + + ( + e y ) e Trzeí yí dosteme požtím prdl () z defce fího prostor eboť ( Y P) + ( P X ) Y X Proto též říáme že etor Y X má edeé sořdce sostě S e

20 4 Afí sořdcedoc Vět 4 Nechť je fím prostor A sořdc S Potom podprostor A lze rčt prmetrcým rocem dá ějá leárí sost A ] prostor [ A resp de bod t t t t t t j j + j + + t t t t (4) j A má sořdce A ] etory báze A [ změřeí sořdce ) ( Důz: Vzthy ( 4 ) jso rozepsé zthy ( ) z ěty Pozám Alogcy zpíšeme prmetrcé roce droy přímy td Je žtečé s šmot že - V rocích (4) se ysytje prmetrů tj stejý počet jo je dmeze změřeí V tedy té podprostor A - Počet roc sosty (4) je roe dmez záldího prostor A e terém žjeme dý podprostor A ěmž je dá sost sořdc Proto př prmetrcé roce přímy prostor A resp A toří resp roce s jedím prmetrem prmetrcé roce roy toří roce se děm prmetry td A Všměme s prmetrcé roce přímy t dé bodem A [ ] směroým etorem ( ) terá má tr A

21 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů + t + t + t (4) Vypočteme-l z ždé roce t p z předpold lze psát (4) e tr (44) terý zýáme ocý tr roce přímy V přípdě že pro ěteré př sost p ocý tr zpsjeme jo Kocého tr roce přímy požíáme zejmé e třírozměrém prostor A Přím rčeá bodem A [ ] směroým etorem ) má ocý tr ( y z de lboolý bod přímy má sořdce [ y z] jso eloá Ro prostor změřeím A terá je rče bodem A ] 4 [ 4 ( 4 V de ) ) má prmetrcé roce ( 4

22 4 Afí sořdcedoc t + t + t + t + s 4 + s + s + s Příld Zjstěte jé bodoé podprostory jso rčeé prmetrcým rocem: ) + t b) + t + r + s t t t r s r Řešeí: ) Přím A rčeá bodem [ -] směroým etorem () b) Třírozměrý prostor A 4 rčeý bodem [ -5] změřeím teré je rčeo etory (- ) ( ) ( - ) Zmysleme se ještě d prmetrcým yjádřeím (4) podprostor A Je zřejmé že bod M [ m m m ] áleží podprostor A jestlže sost leárích roc m j j + je jedozčě řeštelá s ezámým sostě (4) prmetry t t j t 4 t t j Jestlže s peě zolíme dosteme leé strě sosty sořdce jedého bod podprostor Afí bodoý podprostor A [ A ] je sám o sobě fím bodoým prostorem Jestlže je rče prmetrcým rocem (4) lze požot A } z fí sost sořdc tomto prostor A Kždý bod X prostor A má yí dojí sořdce Jedy t { t A X ] fí sostě [

23 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů A P sořdc prostor e e e ] podle (4) drhé [ X [ t t t ] fí sostě sořdc prostor A [ A ] podle () Sost roc (4) stoí zájemý zth mez těmto dojím sořdcem bodů podprostor A Užjme yí fí bodoý prostor A pšme jeho prmetrcé roce Jde lstě o specálí přípd roc (4) jestlže žjeme Předpoládejme že A jso dáy dě sosty sořdc Nechť sostě lboolý bod mjí báz S { [ [ ( [ A } S P e e e } { S má bod A sořdce A ] X sořdce X ] etory A e e e } sořdce ) Nechť { bod X má sostě (4) pltí j S sořdce X ] P podle resp mtcoém záps j + j j (46) ) ( ) + ( ( ) (47) Ozčíme-l mtce (47) X ( ) X ) A ( ) ' ( U 4

24 4 Afí sořdcedoc můžeme zth (47) pst e tr X X U + A (48) Roce (46) resp (47) dájí záslost mez sořdcem téhož bod e do fích sostách sořdc Říáme že rčjí trsformc ebo přechod od sosty S sostě S Mtce U ( j ) j se zýá mtce přechod od báze e e e } báz } { { Cčeí V leárí sostě sořdc S P e e e } je dá bod { X ] etor ) Potom bod [ ( Y X + má sořdce Y [ ] Dožte Náod: Npšte sořdce bod X e tr (4) sořdce etor báz e e e } potom yjádřete bod Y X + { Určete ocý tr roce přímy rčeé bodem A [ ] směroým etorem ( ) Výslede: z y Určete prmetrcé roce třírozměrého prostor A 4 rčeého bodem A [ ] změřeím ( 4 5) (- - ) w ( ) Výslede: + t t t + t + 4t t + t 4 5 5

25 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů 5 Určeí fího podprostor Ve ětě bylo doázáo že fí bodoý podprostor je rče lboolým sým bodem změřeím Ze šolsé geometre je zámo že př jedorozměrá přím je rče děm růzým body dojrozměrá ro třem body eležícím přímce Lze tedy očeát že logcy - rozměrý podprostor A bde rče ( + ) body teré bdo splňot jsto podmí Abychom tto podmí mohl přesě stot ysloíme ejdříe defc leárí ezáslost bodů Defce 5 Sp ( +) bodů A A z prostor A se zýá leárě záslá (ezáslá) jso-l etory leárě záslé (ezáslé) A A A A A A A Vět 5 Afí bodoý podprostor A prostor A je rče jedozčě ( +) leárě ezáslým body Důz: Jso-l body A A leárě ezáslé jso té etory leárě ezáslé rčjí změřeí podprostor A Podprostor A je tedy rče podle ěty jedím z bodů (př A A A V A ) etory A A To zmeá že A A A A A A A ] [ A Jedozčost plye z ezáslost etorů A A teré geerjí jedý etoroý prostor V - změřeí prostor A Z ěty 5 yplýá že dro A je rče -tcí leárě ezáslých bodů přím je rče děm růzým body ro je rče třem ezáslým body (tj body teré eleží přímce) 6

26 5 Určeí fího podprostordoc Jestlže body B B B leží téže přímce p říáme že jso oleárí Jestlže body jso omplárí C C C C Vět 5 Vetoroě prmetrcá roce podprostor ( +) leárě ezáslým body de X je lboolý bod podprostor X 4 A A Ao + t leží téže roě říáme že A ( A A ) A o A terý je rče má tr prmetry t R Důz: Plye z ěty dyž položíme A A (5) Z ěty 5 yplýjí etoroě prmetrcé roce ásledjících specálích podprostorů: - přím rčeá body A B : X A + t( B A) (5) - ro rčeá body A B C : X A + t B A) + t ( C ) ( A - dro rčeá body A A : A X ( A A ) + t ( A A ) + t ( A ) (5) A + t A Předpoládejme že prostor A je rče podprostor A leárě ezáslým body A A Nechť A je zole sost A sořdc P e e e } e teré mjí body A sořdce { A [ ] Jestlže lboolý bod X podprostor A má sořdce X ] p roc (5) [ 7

27 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů rozepíšeme jedotlých sořdcích zísáme prmetrcé roce podprostor A j j + t j j ) ( j (54) Specálím přípdy roc (54) jso zámé prmetrcé roce příme ro teré s yí přehledě přpomeeme V roě A má přím AB rčeá body A [ ] B [ b b ] prmetrcé roce + t( b ) V fím prostor B [ b b b ] V C y + t( b ) A má přím rčeá body A ] prmetrcé roce ( ) + t b y + t( b ) z + t( b ) [ [ A má ro rčeá body A ] B b b ] [ c c c ] prmetrcé roce [ b + t( b ) + t ( c ) y + t( b ) + t ( c ) z + t( b ) + t ( c ) Všměme s ještě prmetrů e ýše edeých prmetrcých rocích Je-l přím rče růzým body A B stoíme-l její prmetrco roc (5) p lze říc že prmetr t je sořdce bod X sostě sořdc přímy AB de A je počáte B A je etor báze změřeí této přímy Je ošem zřejmé že z počáte lze zolt př bod B z etor báze změřeí etor př B A P prmetrcá roce přímy AB je X B + r( B A) Prmetr r je yí sořdce bod X sostě sořdc přímy AB de B je počáte B A je etor báze Podobě lze ážt geometrcý ýzm prmetrů roc roy obecě prmetrcé roc (5) podprostor Přtom podprostor lze rčt lboolým ze sých bodů př A ( tedy e tě A A ) z etory báze změřeí emsíme olt etory 8 A

28 5 Určeí fího podprostordoc A A ýbrž jool jo báz př A A 4 P místo (5) máme etoroě prmetrco roc X A + r ( A A ) (55) Je-l prostor A zole sost sořdc body A rčjící podprostor A mjí sořdce A ] [ A dosteme prmetrcé roce podprostor rozepsáím sořdcích ěteré z prmetrcých roc Tedy estoíme tě prmetrcé roce (54) rozepsáím roce (5) ýbrž př rozepsáím sořdcích roce (55) Potom dosteme prmetrcé roce prostor j A e tr j + r j j ) ( j Příld V prostor A 4 jso dáy body A [ - ] B [ - ] C [ 4 - ] D [ ] Užte že tyto body rčjí třírozměrý prostor pšte jeho prmetrcé roce A Řešeí: Podle ěty 5 je třírozměrý podprostor rče čtyřm leárě ezáslým body Body A B C D jso leárě ezáslé jestlže etory B A C A D A jso leárě ezáslé Zpíšeme proto sořdce těchto etorů do řádů mtce zámo úpro dosteme 4 9 Tto mtce má hodost tedy body A B C D ezáslé Vetoroě prmetrcá roce prostor A ( B A) + t ( C A) + t ( D A X A + t ) Rozepsáo sořdcích dosteme prmetrcé roce jso leárě je 9

29 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů t + t t t t + t + t + t 4 t t Zmysleme se ještě d tím j může být rče fí bodoý podprostor Podle ěty je rče lboolým ze sých bodů A A sým změřeím V Podle ěty 5 je rče leárě ezáslým body A A A Přtom opráěost drhého trzeí se prozje pomocí prího dyž položíme A A A A To ede myšlece že podprostor A lze té rčt spo leárě ezáslých bodů A A j < spo leárě ezáslých etorů fího prostor rče př bodem V ( +) A j ze změřeí V A A t že j + Podprostor je p A změřeím A A A A A j A Příld Určete prmetrcé roce roy rčeé body A [ ] B [ - ] směrem etor ( ) Řešeí: Vetoroě prmetrcá roce roy je X A + t( B A) + r po rozepsáí dosteme prmetrcé roce t + r y t + r z + t + r

30 6 Neprmetrcá roce droydoc 6 Neprmetrcá roce droy Ze zth (54) jdeme prmetrcé roce droy terá je rče -tcí leárě ezáslých bodů teré mjí sořdce A ] j dyž položíme j tedy [ j j j + ( ) t + ( ) t + + ( + ( ) t + ( ) t + + ( + ( ) t + ( ) t + + ( ) t ) t ) t (6) Prmetrcé roce toří sost roc teré obshjí ( ) prmetrů t t t Lze tedy prmetry yločt dosteme jed roc terá eobshje prmetry Je eprmetrcá typ c + c + + c + c Přesé rčeí oefcetů c pro stoí ásledjící ěty Vět 6 Nechť je dro A A A prostor ždý bod A rče leárě ezáslým body teré mjí ějé fí sostě sořdc A sořdce A ] Potom X [ ] [ droy splňje roc (6) tero zýáme eprmetrcá ebo obecá roce droy

31 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Důz: Vetoroě prmetrco roc (5) droy lze psát e tr o t A ( X A ) + t( A A ) + + t ( A ) Jde o etrálí leárí ombc etorů eboť sost bodů X A A A je pro X A leárě záslá Rozepíšeme-l teto zth sořdcích dostááme homogeí sost roc o ezámých t t t t ( ) + t ( ) + + t ( ) t t ( ( ) + t ) + t ( ( ) + + t ) + + t ( ( Tto sost má etrálí řešeí práě dyž determt sosty je loý tj ) ) (6) Determt (6) má zhledem sostě roc změěy řády z slopce Nyí ho formálě rozšíříme o jede slopec řáde tto: Teto determt je zřejmě roe (6) Přčteím posledího řád osttím jeho přemístěím místo drhého řád dostááme tr (6)

32 6 Neprmetrcá roce droydoc Vět 6 Sořdce ždého bod X ] droy prostor A de [ splňjí eprmetrco (obeco) roc c c c c c A + c (64) jso po řdě lgebrcé doplňy prů prího řád determt (6) z ěty 6 Důz: Rozedeím determt leé stry (6) dostááme roc (64) Z důz ěty 6 plye že ždá leárí roce tr (64) je rocí droy A ejso-l šechy oefcety V roě A roy le je droo přím jejíž eprmetrcá roce typ (64) je + by + c de jsme z trdčích důodů ozčl c c b c c y V prostor A je droo ro jejíž obecá roce má tr + by + cz + d Roce (6) z důz ěty 6 je roěž obeco (eprmetrco) rocí droy Roce přímy roě A terá je rče body A y ] B [ ] je podle (6) [ y y y y Roce roy typ (6) prostor A terá je rče body A y ] B y ] C y ] je [ z [ z y y y y y y [ z z z z z z z

33 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vět 6 Je-l c + c rocí droy potom roce c + c je eprmetrco rocí téže droy e stejé sostě sořdé de je lboolé reálé číslo Důz: Podmí (6) z důz ěty 6 zůstáá pltost jestlže determt ásobíme eloým číslem Rozedeím determt zísáme hledo roc terá předstje stejo dro Pozám Užjme ještě dro terá je rčeá bodem A [ ] etory změřeí ( ) Jestlže roc droy (6) ozčíme etory A A tz sořdcích j j j má žoá dro roc (65) Příld Npšte eprmetrco roc droy A prostor A4 terá je rče body A [ 4 ] B [ 4 4 ] směroým etory ( ) ( ) Řešeí: Ndro rčíme bodem A směroým etory B A teré jso leárě ezáslé j se můžeme sdo přesědčt Užtím (65) dosteme roc 4

34 6 Neprmetrcá roce droydoc 4 4 Roztím determt podle prího řád p yjde obecá roce droy + Ještě se zmysleme d možostm stoeí eprmetrcé roce droy terá je rče leárě ezáslým body A A A jso-l dáy jejch sořdce Roc lze rčt doszeím do (6) ebo do (6) Mohl bychom ošem jo středí šole stojeme roc přímy roě č roy dosdt sořdce bodů A do roce (64) Tím zísáme sost roc pro ezámé c c c c Vzhledem ětě 6 lze jed z těchto ezámých terá je eloá zolt osttí jso sosto rčey jedozčě Můžeme té ejdříe pst prmetrcé roce droy typ (54) yločt prmetry t t t Nědy potřebjeme dro terá je dá eprmetrco rocí c + c yjádřt pomocí prmetrcých roc Z odstce íme že prmetrcé roce zásí olbě sořdcoého systém tř droy te lze olt moh způsoby Můžeme proto př jedodše položt t t t Doszeím do eprmetrcé roce p ypočteme A c c j j t j c z předpold že c 5

35 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Příld Určete prmetrcé roce roy y + z 5 prostor A Řešeí: Položme t y t potom doszeím do obecé roce ychází 5 z t + t Cčeí V A4 rčete roc droy ρ terá je rče body A B C D de A [ -] B [ -] C [- 9 -] D [ 7 -] Výslede: ρ : 4 V prostor A 4 rčete eprmetrco roc roy α [ A ] jestlže A [ ] ( ) ( ) Výslede: α : y + V A rčete prmetrcé roce roy β : + y z + 5 Výslede: Npř β : t y t z t + t 5 + 6

36 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc 7 Vzájemá poloh fích podprostorů N záldí středí šole se zjšťje zájemá poloh příme ro Víme že dě přímy roě moho být růzoběžé rooběžé ebo splýjící V třírozměrém prostor moho být íc ještě mmoběžé Tedy zájemá poloh příme zásí prostor e terém se přímy žjí V tomto odstc bdeme žot fím bodoém prostor A d bodoé podprostory A h A Jejch jedotlé polohy defjeme podobě jo se e šolsé geometr defjí polohy příme ro Bdeme přtom rčot podmíy estece těchto poloh Defce 7 D fí bodoé podprostory A A V ] A B V ] fího prostor A se zýjí: h [ h [ ) rooběžé pltí-l pro jejch změřeí V ebo h V V V h Zčíme A h A b) cdetí je-l Ah A ebo A Ah c) růzoběžé mjí-l eprázdý prů ejso cdetí d) mmoběžé ejso-l rooběžé růzoběžé Vět 7 D rooběžé fí bodoé podprostory h jso bď totožé růzo dmez h < p bď bod h A A téže dmeze A A ebo emjí společý bod Mjí-l Ah A h ebo emjí společý Důz: Nechť A A A V ] A B V ] Jestlže estje společý h A A h h [ h [ bod C C A potom podle ěty pltí: je-l h je V h V A h [ C Vh ] A ; je-l h < je Vh V A C V ] A C V ] tedy A A h [ h [ h 7

37 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vět 7 D rooběžé fí podprostory dmeze A [ B V ] jso cdetí jestlže etor h A A V ] B A V h [ h Důz: Jestlže B A V p B A de V Tedy A B odtd A [ B V ] Prostory A h A mjí společý bod A jso tedy dle ěty 7 cdetí Vět 7 Bodem B A prochází práě jede podprostor A rooběžý s dým podprostorem A téže dmeze Důz: Ob rooběžé podprostory mjí změřeí změřeím V je rče podle ěty jedý podprostor V V Bodem B A Pozám Z ěty 7 yplýá že mez rooběžé podprostory ptří prostory cdetí Mjí-l cdetí podprostory stejo dmez zýjí se totožé ebo splýjící Vět 74 D bodoé podprostory dé prmetrcy X A + h t Y B + r j j j h jso rooběžé práě dyž pro etory h pltí Jso cdetí jestlže sočsě B A Důz: Vyplýá přímo z ět 7 7 8

38 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Pozám Dě přímy X A + t Y B + r jso rooběžé jestlže λ λ Jso totožé dyž sočsě B A µ µ R Příld Užte že přím p je rooběžá s roo ρ : p : + t ρ : t + t + r t + r + t 5 r + t 4 4 t Řešeí: Z prmetrcého zdáí je zřejmé že přím p ro ρ leží A 4 Pltí p ρ dyž směroý etor přímy ( -) áleží změřeí roy rčeé etory ( ) w ( -) Stčí tedy rčt leárí záslost etorů w Řešíme pomocí eletích úpr mtce 4 4 Vdíme že třetí řáde je ásobem drhého řád etory w jso tedy leárě záslé Zjstíme ještě zd p ρ Podle ěty 74 rčíme záslost etorů w B A de A [ - 5] B [ ] B A [- - -] Pltí 9

39 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Vetory jso zřejmě leárě ezáslé tedy etor B A eáleží w Přím p je rooběžá s roo ρ této roě eleží Vět 75 Dě droy rčeé téže sostě sořdé prostor eprmetrcým rocem + b + b (7) jso rooběžé jestlže estje eloé reálé číslo λ toé že λ pro ždé Jso totožé jestlže íc b λ b Důz: Přípd totožost yplýá z ěty 6 Předpoládejme že pro rooběžé droy (7) epltí λb pro ždé tj př λb λb λ λ Potom determt b b sost roc (7) má pro řešeí záslé ( ) prmetrech Tím je proázá estece spoň jedoho bod terý leží obo droách (7) To š ylčje ět 7 Jestlže obráceě λb potom mtce b b b má hodost sost (7) má podle Frobeoy ěty lespoň jedo řešeí práě dyž té λb tj dyž rozšířeá mtce má té hodost V opčém přípdě řešeí emá droy jso rooběžé růzé V defc 7 jsme přřdl áze dojcím podprostorů jejchž poloh ebyl ztím proázá s ýjmo podprostorů rooběžých Pro osttí polohy je ýhodé yžít pojm spojeí etoroých podprostorů z defce 5 ět 6 Jso-l ob podprostory rčey bázem 4 A

40 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Vh h V V V V p pro spojeí s Vs h zřejmě h (7) Vět 76 D fí bodoé podprostory A A V ] A B V ] prostor A h [ h [ mjí společý spoň jede bod práě dyž etor B A V h V Důz: Nechť B A V h V Potom B A + de Vh V Odtd plye estece bod X B A + Bod B etor rčjí jstý bod prostor A bod A etor jstý bod prostor A h tedy estje společý bod X obo podprostorů Obráceě estje-l spoň jede společý bod X A h A potom X B + A + de Vh V potom B A + ( ) tj etor B A V h V Užjme yí d fí bodoé podprostory A Určeme ejmeší podprostor s A A prostor A prostor terý tyto podprostory obshje Toý prostor lze defot ásledjícím způsobem: Defce 7 Afí bodoý podprostor podprostorů A h A jestlže pltí: ) A A A h A s g A g h A zeme spojeím bodoých ) Jestlže je A lboolý podprostor A toý že A h A A A potom A g A Spojeí fích podprostorů A ozčíme A A A h A g h 4

41 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Pozám Z defce je zřejmé že spojeí A g A A je ejmeší podprostor obshjící podprostory A h A Jso-l tyto podprostory rčey bodem změřeím tj A A V ] A B V ] přčemž změřeí jso dá bázem V A h h [ h Vh [ p ejmeší bodoý podprostor A A terý obshje A lze rčt př bodem g h h A A g změřeím V g teré msí obshot šechy leárí ombce etorů báze změřeí V h V etor B A to zmeá že A h V g B A (7) h Z ostrce je zřejmé že V g V A A tedy dle ěty je spojeí A g A Vět 77 Nechť fí bodoé podprostory A A V ] A B V ] mjí prázdý prů P jejch spojeí g s + de s je dmeze spojeí jejch změřeí V Mjí-l fí podprostory spojeí A g A h A h má dmez Důz: Podle ěty 76 mjí podprostory je-l B A V V prostorů V V V g h h h A g [ h h [ A A má dmez s V V h A A společý spoň jede bod potom g s A h A Poroáme-l dle (7) (7) geerátory h společý spoň jede bod B A je zřejmě s g h 4

42 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Jestlže fí podprostory ěty 76 je A h A emjí společý bod potom podle B A V h V potom zřejmě g s + Nyí bdeme zomt zájemo poloh do bodoých podprostorů četě rčeí ejmešího bodoého prostor e terém příslšá poloh estje Vět 78 Nechť A A V ] A B V ] jso d fí bodoé h [ h podprostory prostor V p V h V potom: A [ dmeze ) A práě dyž V V V h A h Nechť Vs Vh V h p B A Vs podprostory A leží prostor A dmeze h A Ob b) A jso rooběžé růzé práě dyž V V h A B A V s ; Ob podprostory A h A leží prostor A dmeze + c) A h A jso růzoběžé práě dyž B A Vs epltí Vh V Ob podprostory A h A leží prostor A dmeze h + p d) A h A jso mmoběžé práě dyž B A Vs epltí Vh V Ob podprostory A h A leží prostor A dmeze h + p + Důz: Podmíy o zájemé poloze yplýjí z defce 7 ěty 76 Doplňjící podmíy o dmez prostor e terém ob podprostory A leží lezeme z lstostí spojeí A g A h A V V h h A A A teré je ejmeším podprostorem obshjícím Proto g Podle ěty 6 pltí pro dmez s spojeí dmez p prů V V V dmeze h s h V p h podprostorů V h V zth A A h + s + p (74) h 4

43 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Důzy jedotlých odstců ěty: ) Vh V proto dle ( 7 ) V Vs tj s B A Vs tedy dle ět g s z obo roostí plye g Protože g je b) B A V s proto podle ěty 77 g s + protože Vh V je V V s Tedy s z obo roostí plye g + Protože g je + c) Nepltí Vh V proto podle zth ( 74) h + s + p protože B A Vs je g s Z obo roostí plye h + g + p tedy g h + p d) Nepltí Vh V tedy h + s + p Protože B A V s potom g s + z obo roostí plye h + g + p tedy g h + p + Pozám Ve ětě 78 je písmeem p ozče dmeze prů V V V změřeí žoých bodoých podprostorů A A p h h Jestlže bdeme žot té prů bodoých podprostorů Ar Ah A p obecě ejso dmeze p r roy Npř jel přím rooběžá s roo eleží této roě p prů přímy roy je prázdý ztímco prů změřeí přímy změřeí roy má dmez Vzthy dmeze prů A r prů V p stoí ásledjící ět: Vět 79 Jso-l fí bodoé podprostory růzoběžé p dmeze r jejch prů dmez p prů jejch změřeí V p A A cdetí ebo h h A r V V A A je ro h 44

44 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Důz: Jso-l A h A cdetí ebo růzoběžé p mjí společé d body M N růzé ebo splýjící M Ar N Ar Potom etor M N Vh M N V tedy M N V p Je-l obráceě M etor V estje bod N A r M + A h té N M + A Tedy je N Ar Chceme-l dstot šechy možost zájemé polohy orétích bodoých podprostorů A h A fím prostor A yžjeme zth (74) ět 77 ět 79 Postp ážeme do příldech Příld Určete šechy možost zájemé polohy přímy roy Řešeí: Nechť A je přím A ro Jejch změřeí V V mjí prů Proto dmeze jejch prů p může být ro ebo V p Pomocí zth (74) h + s + p rčíme dmez s spojeí V s V V pro obě možost olby p tj pro s ebo s Dále ážíme dmez g spojeí A g A A podle ěty 77 je g s ebo g s + Je ýhodé ýsledy psát do tbly pro jedotlé přípdy poloh do jedoho řád h p s g áze polohy růzoběžé průem je bod 4 mmoběžé A A A A Náze polohy pré část tbly stoíme jedotlých řádcích tto: 45 p

45 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů ) p eí V V g s eprázdý prů A r A A má dmez r p Tedy prostory A A jso růzoběžé průem je bod ) p eí V V g s + 4 prázdý prů A r A A Prostory ejso rooběžé růzoběžé jso tedy mmoběžé ) p V V podprostory A A jso rooběžé g s A jso cdetí tedy A A A 4) p V V podprostory A A jso rooběžé s + A A ejso cdetí g Z tbly je zřejmé že přím je s roo mmoběžá prostor dmeze g 4 Příld Určete šechy možost zájemé polohy do ro A h A h Řešeí: h p s g áze polohy 4 4 růzoběžé průem je bod 4 5 mmoběžé růzoběžé průem je přím 4 mmoběžé společý směr totožé rooběžé růzé Zřejmě p ebo V řádcích je ) p eí Vh V g s jso růzoběžé prů A r má dmez r p Roy A h A jso růzoběžé průem je bod 46

46 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc ) eí V V g s + ejso rooběžé p h emjí společý bod Roy A h A jso mmoběžé ) p eí Vh V g s jso růzoběžé prů Ar má dmez p r Roy A h A jso růzoběžé průem je přím 4) p eí Vh V g s + mmoběžé se společým směrem V V Roy A h V h A jso mmoběžé 5) p Vh V totožé g s totožé Roy A jso h A 6) p Vh V g s + rooběžé růzé Roy A h A jso rooběžé růzé Z tbly lze sdo yčíst jo zájemo poloh mjí dě roy prostor dmeze 4 Protože g tedy g 4 sto šechy polohy s ýjmo g 5 V třírozměrém prostor je g stájí zámé polohy V prostor dmeze 5 yšší estjí šechy edeé polohy Všměte s zjímého ft že prostor dmeze ětší ež se dě roy moho protít jedém bodě Nyí bdeme rčot zájemo poloh do fích bodoých podprostorů teré jso rčey zdém systém sořdc prostor A prmetrcým rocem Z těchto roc lze stot rčjící bod změřeí obo podprostorů Z ěty 78 je zřejmé že zájemo poloh lze rčt pomocí mtce jejíž slopcích jso sořdce etorů změřeí obo prostorů etor B A Postp s ážeme orétím příld Příld V prostor A 4 rčete zájemo poloh ro ρ [ A ] δ [ B w z] jestlže fí sostě sořdc je A [ ] 47

47 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů (- - -) ( ) B [ 6 9 ] w ( 5 5) z ( 4 6) Řešeí: Roce ro lze psát prmetrcy ρ : X A + t + t δ : Y B + t w + t 4 z Pro společé body ro pltí A + t + t B + t + t z tj w 4 t + t tw t 4 z B A () Npíšeme-l mtc jejíchž slopcích jso sořdce etorů w z rozšíříme-l j o slopce sořdc etor B A lze z této mtce rčt zd změřeí změřeí V s w z roy ρ je podprostorem w z roy δ zd etor B A je prem spojeí Vychází Je zřejmé že hodost mtce bez pré stry je 4 tedy roy ejso rooběžé protože rozšířeá mtce má té hodost 4 je tedy B A V s Roy jso růzoběžé průem je podprostor dmeze p r h + s 4 4 tj bod Teto bod rčíme jo řešeí sosty roc hoře Z mtcoého záps ychází t 4 t t t Dosdíme do prmetrcých roc jedé z obo ro př X A + t + t t + t + t t + t 4 t + t po doszeí z t t dostááme průsečí [ ] 48

48 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Z ěty 78 je zřejmé že jsme mohl zomt mtc jejíchž slopcích jso sořdce etorů A B z w Když se zjstí jo šem přípdě že mtce sosty z w má stejo hodost jo mtce rozšířeá o A B plye odtd že prů podprostorů je eprázdý jeho dmeze r je ro r A s h r + P je té řešt sost () Je zřejmé že mtce z w má stejo hodost jo mtce z w Té etory w z rčjí stejé změřeí jo etory z w Příld Stote hodot prmetr t by roy ] [ A α ] [ z w B β byly mmoběžé jestlže A [ ] ( -) ( ) B [ - - ] w ( - ) z ( ) Řešeí: Sořdce etorů A B z w zpíšeme do slopců mtce príme Z posledí mtce je zřejmé že pro 4 eí z w Hodost mtce 49

49 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů ( w z) je tedy s Sočsě B A Vs eboť hodost mtce rozšířeé o etor B A je 4 Tedy pro 4 jso roy mmoběžé Příld V A 4 jso dáy přímy p : t + t 4 t q t t t t : 4 A g p q Určete jejch spojeí Řešeí: Přímy [A ] [B ] rčjí spojeí změřeí příme p q je V s A g [ A B A] spojeí V šem přípdě A [ ] (- -) B [ -] ( - -) Určíme záslost etorů B A de B - A (- - -) Vychází Vetory jso leárě ezáslé B A Vs tedy přímy p q jso mmoběžé rčjí spojeí A g dmeze g V prostor je spojeí podprostorů p q A droo Proto A4 můžeme rčt dro spojeí A [ A B A] jedo eprmetrco rocí podle zth (65) e tr 4 po rátém ýpočt dostááme + 4 5

50 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Ndro má možě podprostorů zláští posteí Lze j rčt eprmetrcy jedo rocí což sdňje stoeí zájemé polohy s jým podprostorem Vět 7 Afí podprostor A h je s ždo droo A prostor A bď rooběžý ebo je průem A h A podprostor dmeze (h - ) Důz: Podle zth (74) je h + s + p z podmíy Vs V t j s plye h + - p Pro přípd droy dy - dosteme h p tedy p h - Pro dmez p prů změřeí V V V je p h eboť p h předpoládáme p - Moho tedy stt poze d přípdy: ) p h tj V p V h podprostor A h je rooběžý s droo A ebo ) p h - potom podle (74) je h + s + p odtd plye h + - s + h - dosteme s Proto msí být dmeze spojeí A g Ah A ro g s Podle ěty 77 jso podprostory A h A růzoběžé podle ěty 79 má prů Ar Ah A dmez r p h - Pozám Pro h je ět zámo počo ze stereometre Příld V prostor A rčete zájemo poloh přímy AB roy ρ de A [ ] B [ -] ρ : + y + z + 5

51 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Řešeí: Podle ěty 7 je přím s roo rooběžá (resp í leží) ebo je průem bodoý podprostor dmeze h - tj - to zmeá bod Přím yjádříme prmetrcy AB: - t y t z - 5t Hledáme prů přímy AB roy ρ Dosdíme z prmetrcých roc přímy do roce roy zlo roc yřešíme pro ezámo t Dosteme ( - t ) + t + ( - 5t) + odtd t Hodot prmetr dosdíme do prmetrcých roc přímy zísáme sořdce průsečí [ - ] Vět 7 Dě droy jso bď rooběžé ebo je průem fí bodoý podprostor dmeze ( ) Důz: Specálí přípd ěty 7 pro h Pozámy ) Vyslote zámé ěty o zájemé poloze do příme roě resp do ro A jo specálí přípdy ěty 7 A ) Podle ěty 7 dě droy teré ejso rooběžé rčjí podprostor dmeze ( ) Jso-l droy dáy obecým rocem + b + b přčemž epltí b de rčje sost těchto do roc podprostor dmeze ( ) Specálě třírozměrém prostor A eprmetrcé roce do růzoběžých ro + b y + cz + d + b y + c z + d rčjí přím 5

52 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Příld Určete jý podprostor je rče průem do podprostorů teré jso dáy sosto roc A Řešeí: Kždá z eprmetrcých roc předstje dro bď A 4 ebo A 5 Jejch zájemo poloh dle ěty 6 rčíme řešeím sosty roc terá ypdá mtcoém tr ásledoě Protože hodost mtce sosty se roá hodost mtce rozšířeé tj jso droy růzoběžé Podle ěty 7 je průem podprostor dmeze ( ) Tedy prostor A 4 roce rčjí ro prostor rčjí třírozměrý prostor A 5 Pozám z ěto 7 předcházející příld ás edo zmyšleí zd ždý fí bodoý podprostor dmeze lze rčt jo prů rčtého počt dro dyž íme že podprostor dmeze ( ) lze rčt děm růzoběžým drom A 4 Vět 7 Ke ždém fím bodoém podprostor ( ) A rčjí dro jejchž průem je dý podprostor A A A estje teré Důz: Nechť A A [ A ] Jestlže dé sostě sořdc mjí bod A etory sořdce A ] ( ) podprostor jso A [ potom prmetrcé roce 5

53 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů t t t t t t + + t t t (75) V důsled leárí ezáslost etorů má mtce ( j ) j hodost Bez újmy obecost lze předpoládt že determt z prích řádů mtce sosty (75) je růzý od ly Tedy z prích roc sosty (75) lze jedozčě rčt hodoty prmetrů t t t Po doszeí těchto hodot do zbýjících ( ) roc obdržíme ( ) ezáslých leárích roc o ezámých z chž ždá je obeco rocí droy Tedy bod X [ ] leží A práě dyž leží sočsě e šech droách reprezetoých zmíěým ( ) rocem Pltí ět obráceá: Vět 7 Nechť sořdc prostor A je dáo ( ) dro teré mjí fí sostě A eprmetrcé roce c c c + + c + + c + c + c + c + + c 54 + c + c + c (76)

54 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc toé že mtce sosty (76) má hodost ( ) Potom prů dro (76) je fí bodoý podprostor A tedy droy (76) rčjí bodoý podprostor A A Důz: Protože mtce (c j ) sosty (76 ) má hodost ( ) můžeme předpoládt že determt sosty (76) c c c c c c c c c Položíme-l t t t řešíme (76) pro ezámé dosteme sost Ozčme Potom t t t t t t A [ ] ( ( ( t t t t t t dále ozčme ) ) ) + jso leárě ezáslé etory Tyto etory A [ A Tedy bod bod A rčjí bodoý podprostor ] A leží práě dyž leží prů dro (76) 55

55 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Příld Určete podprostor A 4 rčeý drom stote jeho prmetrcé yjádřeí Řešeí: Podle ěty 7 rčíme hodost mtce sosty 5 4 tedy h Roce rčjí podprostor A - tj př 4 je podprostorem je přím Podobě jo důz ěty 7 položme př 4 t řešme sost roc + t 6 t 4 Vyjde t 6 + t t 4 t Cčeí Určete šechy možost zájemé polohy přímy A třírozměrého podprostor A Výslede: růzoběžé (průem je bod) 4; mmoběžé 5; A A ; A A 4 Určete šechy možost zájemé polohy roy A třírozměrého prostor A Výslede: růzoběžé (průem je bod) 5; růzoběžé (průem je přím) 4; mmoběžé (společý směr) 5; mmoběžé (bez společého směr) 6; A ; A A 4 56 A

56 7 Vzájemá poloh fích podprostorůdoc Určete šechy možost zájemé polohy do příme b A Výslede: růzoběžé (průem je bod) ; mmoběžé ; totožé ; b 4 Určete šechy možost zájemé polohy do ro α β ) prostor A b) prostor A 4 Výslede: ) růzoběžé (průem je přím); α β ; α β b) růzoběžé (průem je bod); růzoběžé (průem je přím); mmoběžé ( společý směr ); α β ; α β 5 Určete zájemo poloh do příme A ) AB CD; A [ - 4 ] B [ - -4 ] C [ - / - ] D [ -5 ] b) AB [C ]; A [ - ] B [ - -5/7 ] C [ - - ] ( ) c) p: + y - z/ q: + t y - + t z t y + 8 z d) : - y + 5z - l: 7 + y - z + Výslede: ) splýjí b) růzoběžé průsečí [ / 5 / 4] c) mmoběžé d) splýjí 6 Určete zájemo poloh do ro A ) + y - z - + t + r y - t z + r b) + t + r + y - z + y - t + r z t - r Výslede: ) splýjí b) růzoběžé 7 V A 4 rčete zájemo poloh ) roy [A; ] přímy [B; w ] jestlže A [ ] ( - ) ( -) B [ -6 5] w ( - ) 57

57 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů b) do ro t + t t + t 4 + t + 5t - t + t 4 - t - 4t + t t t c) droy t t t 4 přímy t t t 4 d) do ro - t - + t + t 4 + t + t 4t + t 4 - t - 9t + t t + t 4 + t +t 4 Výslede: ) protíjí se bodě [-8/ -6/ 5 ] b) protíjí se bodě [ -] c) přím je rooběžá s droo d) protíjí se přímce + t + 4t 4-9t 4 + t 8 Určete prmetry b t by přím + t + t 4 + t ležel roě + t + t + t + t + t + t 4 b + t + t Výslede: b 9 Určete prmetry b t by přímy + t + t 4 bt ; - + 5t 4-5t 4-6t t byly růzoběžé rčete jejch průsečí Výslede: b - průsečí [ - - ] V prostor A 5 rčete zájemo poloh ro t + t t 4 t t + t 4 + t + t + t + t t 4 - t t t + t 4 Výslede: mmoběžé spojeí ro je dro

58 8 Příčy mmoběžých podprostorůdoc 8 Příčy mmoběžých podprostorů Defce 8 Přím p zeme příčo mmoběžých podprostorů fího prostor růzoběžá A práě dyž je s ždým z podprostorů A h A A A h Pozám V desrptí geometr se řeší úlohy příčy mmoběže zřejmé že e děm mmoběžám A estje eoečě moho příče Bdeme hledt příč mmoběže terá je zázá dlší podmío t že je rče jedozčě Bdeme zomt příč mmoběžých podprostorů procházející dým bodem příč dého směr A Je Příld Nechť A jso dáy mmoběžé přímy [ A ] b [ B ] Určete příč p mmoběže b procházející dým bodem M X b M Y p 59

59 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů Řešeí: způsob: Jso-l X Y body příčy p toé že X Y b potom pltí X A + t Y B + r pro ějá reálá t r Z podmíy že příč XY prochází dým bodem M plye leárí záslost etorů X M Y M tj estje reálé číslo toé že pltí X M ( Y M ) Dosdíme-l do tohoto zth X A + t Y B + r dosteme A + t M ( B + r M ) A Tto roce předstje po doszeí sořdc příslšých bodů etorů sost tří roc o třech ezámých t r Vypočteím ezámých t r rčíme ze zthů X A + t Y B + r sořdce bodů X Y hledé příčy mmoběže p způsob: Úloh lze řešt té pomocí této geometrcé předsty Bod M přím rčjí ro α [ A ; M A] Průsečí Y roy α s přímo b áleží příčce p tedy pltí A + t + s( M A) B + r Po úprě dosteme t + s( M A) r B A A Rozepsáím tohoto zth dosteme sost tří leárích roc o třech ezámých t s r Jestlže jso etory M A leárě ezáslé dosteme jedé řešeí Dlší postp je logcý jo předchozím přípdě způsob: Teto způsob je obdobo předchozího ázorého řešeí Bod M přím rčjí ro α [ M M A] logcy bod M přím b rčjí ro β [ M M B] Roy α β se protíjí přímce p terá má poždoo lstost Tto úh ede roc 6

60 8 Příčy mmoběžých podprostorůdoc což po úprě dáá zth M + t + s( M A) M + r + w( M B) t + s( M A) r w( M B) A Rozepsáím zísáme sost tří leárích homogeích roc o čtyřech ezámých t s r w Příld Nechť A jso dáy mmoběžy [ A ] b [ B ] Určete příč p mmoběže b rooběžo s dým směrem m m b X Řešeí: Nechť příč p protíá přím bodě X přím b bodě Y tj X A + t Y B + r Vetory X Y m jso leárě záslé tedy estje R t že Y p X Y m Po doszeí podmíe X A + t Y B + r úprě dosteme t r m B A A Tto roost předstje sost tří leárích roc pro ezámé t r Pod jso etory m leárě ezáslé je 6

61 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů det ( m) sost má jedé řešeí Z roost X A + t p rčíme bod X příčy p [ X m] terá je tímto rče Pozámy ) Práě ázý způsob lezeí příčy mmoběže dým směrem odpoídá způsob lezeí příčy dým bodem M příld I zde jsme mohl postpot logcy způsob řešeí š pro zčo podobost tyto způsoby yechááme přeecháme je čteář b) Nlezeí příčy mmoběže dým směrem je specálím přípdem příld pod bychom žol že bod M je eoečě zdáleý (elstí bod) Protože se elstím body (t jo čí př projetí geometre) tomto tet ezbýáme řešíme ždý problém zlášť Ze způsob řešeí ptrá podobost obo řešeí c) Pro teré body M příč př zdých mmoběžách p: X A + t q: Y B + r eestje? Podle příld toý přípd může stt dyž jso etory M A leárě záslé Protože předpoládáme že přímy p q jso mmoběžy jso etory ezáslé Neloý etor M A tedy ptří do etoroého prostor N ásledjícím obráz rychle leží šechy přímy teré procházejí bodem M protíjí přím p roě terá je rooběžá s přímo q Tyto přímy tedy emoho přím q protot p M q B A 6

62 8 Příčy mmoběžých podprostorůdoc Příld Nechť ro ρ [ A ] přím c [ B w] jso A 4 mmoběžé Určete jejch příč p procházející dým bodem M Řešeí: Podobě jo příld z předpold X ρ Y c leárí záslost etorů X M Y M plye estece R t že pltí X M ( Y M ) de X A + t + r Y B + sw Po doszeí dosteme roc A + t + r M ( B + sw M ) terá po rozepsáí sořdcích prostor A 4 přestje sost čtyř leárích roc pro ezámé t r s Vypočteím př ezámé s rčíme z Y B + sw sořdce bod Y příčy p terá je tto rče p M Y Příld Určete příč s mmoběže [ A ] b [ B ] terá prochází dým bodem M jestlže A [ ] ( ) B [ ] ( ) M [- ] Řešeí: Podle příld je X M ( Y M ) po doszeí X A + t Y B + r dosteme roc A + t M ( B + r M ) Rozepsáím do sořdc dosteme sost tří leárích roc pro ezámé t r + ( + r + ) t - ( + r ) 6 ( + r)

63 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů 4 terá má řešeí t r Doszeím př t do roce 5 5 X A+t dosteme bod X příčy s pro jehož sořdce pltí y z 5 4 Příč s je rče body M X tedy má prmetrcé roce s: - + t y t z 5 4 t Jé řešeí: Nyí ypočítáme příč s mmoběže jo průsečc do ro α β podle způsob příld Je α : X M + t + ( M A) β : Y M + r + l( M B) pltí s α β Body prů splňjí roc t + ( M A) r l( M B) o Odtd rozepsáím dosteme ásledjící sost tří homogeích leárích roc o čtyřech ezámých t r l - - r + l - r - l t - r + l V mtcoém yjádřeí dosteme odtd př r t de jsme položl l t Doszeím do zth X M + r + l( M B) dosteme roc příčy s e tr 5 4 s : X M + ts de M [- ] s ~ ( 5 4) 64

64 8 Příčy mmoběžých podprostorůdoc Cčeí Určete příč p mmoběže [ A ] b [ B ] terá je rooběžá se směrem m jestlže A [ - ] ( - ) B [ 9 -] ( ) m ( ) Výslede: p: t y + t z - Určete příč s mmoběže l y + z 5 : 4 terá prochází bodem M [4 - ] Výslede: s: 4 + t y t z - - t z + 5 l: y 5 V A 4 rčete přím s procházející bodem M [ ] terá protíá přímy p q p: t +t -5 t t q: s s - s 4 -s Výslede: průsečíy [ ] [ ] příč s má př roc 8 + 4t 9 + 5t - 6t 4-5 7t 65

65 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů 9 Sze dro Defce 9 Mož šech dro z A jejchž průem je fí bodoý podprostor dmeze ( ) zýáme szem dro prého drh Mož šech zájem rooběžých dro zeme szem dro drhého drh Vět 9 Nechť dě růzoběžé droy L L mjí A roce Potom roce L L + b + b (9) (9) λ L + λ L (9) je rocí sz dro prého drh jso-l λ λ lboolá reálá čísl z chž spoň jedo je růzé od ly Důz: Máme doázt že : ) roce (9) je rocí droy př lboolé olbě λ λ z chž spoň jedo je eloé ) ždý bod prů dro (9) (9) je bodem ždé droy (9) tj roce (9) je rocí sz dro ) ždá dro sz (9) růzá od dro (9) (9) má roc typ (9) Ad ) Čísl λ λ esmí být řešeím sosty roc 66

66 9 Sze drodoc λ + b λ (94) protože roce (9) by měl opčém přípdě šechy oefcety roy le ebyl by rocí droy Protože droy ejso rooběžé má mtce b b b hodost tedy spoň jede její determt drhého stpě je eloý Sost (94) má poze trálí řešeí λ λ Roce (9) je tedy rocí droy je-l spoň jedo λ λ eloé ) Nechť P je lboolý bod prů dro (9) (9) Po doszeí sořdc bod P do zthů (9) (9) je tedy té pltí L ( P) L ( P) λ L ( P) + λ L ( P) tj ždý bod prů dých dro je bodem ždé droy (9) ) Nechť Q je lboolý bod eležící žádé z dro (9) (9) tj L ( Q) L ( Q) Zolme λ L ( Q) λ L ( Q) P roce λ L + λl je rocí droy dého sz terá s ohledem olb λ λ ( po doszeí sořdc bod Q) tj prochází bodem Q L ( Q) L ( Q) L ( Q) L ( Q) Vět 9 Jso-l droy (9) (9) rooběžé potom podle (9) je roce λ L + λl 67

67 P Pech: Alytcá geometre leárích útrů rocí sz dro drhého drh jso-l λ λ lboolá reálá čísl terá ejso řešeím sosty roc (94) Důz: Jso-l droy (9) (9 ) rooběžé p estje číslo toé že b pro šech (z ět 75) Sost (94) má potom tr ( + λ ) λ Protože lespoň jedo z čísel je eloé je λ + λ Sost (94) má tedy eoečě moho řešeí Tto řešeí stojí podmí dy roce (9) má šechy oefcety roy le tj dy (9) eí rocí droy Doázl jsme že roce (9) je rocí droy ejso-l λ λ řešeím (94) Podobě jo důz ěty 9 se ještě doáže: roce (9) je rocí droy sz drhého drh ždá ro rooběžá s drom (9) (9) má roc typ (9) Důzy jso logcé Vět 9 Tř růzé droy teré mjí eprmetrcé roce L + L b + b (95) L c + c áleží témž sz dro (prého č drhého drh) práě dyž mtce ze šech oefcetů (rozšířeá) má hodost dě Důz: Protože droy jso růzé má rozšířeá mtce hodost h Když roy áleží témž sz je L λ L + λl tedy třetí řáde rozšířeé mtce je leárí ombcí osttích tj h 68