Analytická geometrie

Transkript

1 MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké), estlže zchovává vzdáleost bodů, t. pro kždé dv body X, Y E e f X, f Y = X, Y ( ) ( ). Vět 5.. Kždé shodé zobrzeí e prosté fí, t. zobrzue vzáe růzé koleárí body opět růzé koleárí body zchovává dělící poěr tří bodů. Vět 5.3. Afí zobrzeí eukldovského prostoru E(V) do eukldovského prostoru E (V ) e shodé právě tehdy, když eho socové zobrzeí ϕ zchovává velkost vektoru, t. u V ϕ ( u ) = u. Vět 5.4. Afí zobrzeí f: E(V) E (V ) e shodé právě tehdy, když eho socové zobrzeí ϕ zchovává sklárí souč, t. pro kždé dv vektory u, v V pltí ϕ u ϕ v = u v ( ) ( ). Vět 5.5. Kždé shodé zobrzeí zchovává velkost úhlu. Defce 5.6. Dvě eprázdé ožy U E, U E (U, U se tké zýví geoetrcké útvry) zýváe shodý, exstue-l shodé zobrzeí f: E E, pro ěž pltí f(u) = U. Vět 5.7. Z defce shodého zobrzeí plye: ) Obrze úsečky AB e úsečk f(a)f(b) shodá s AB. b) Obrze polopříky AB e polopřík f(a)f(b), obrzy opčých polopříek sou opčé polopříky, obrze příky AB e přík f(a)f(b). c) Obrze polorovy pa e polorov f(p)f(a), obrzy opčých polorov sou opčé polorovy. d) Obrze úhlu AVB e úhel f(a)f(v)f(b) shodý s úhle AVB. e) Obrzy rovoběžých příek sou příky rovoběžé. f) Obrze kružce k(s,r) e kružce k (f(s),r). Vět 5.8. Vět o určeost shodého zobrzeí.

2 Nechť P 0,P,,P sou leárě ezávslé body prostoru E P 0,P,,P sou body prostoru E. Nutou postčuící podíkou pro to, by exstovlo shodé zobrzeí f: E E, pro které f(p ) P, = 0,,, e, by pltlo P, P = P, P,, = 0,,,. Jsoul tyto vzthy splěy, exstue právě edo shodé zobrzeí f s uvedeý vlstost. Vět Vět o lytcké vyádřeí shodého zobrzeí. Buď P; e, K, e krtézská báze eukldovského prostoru E, Q; g, K, g krtézská báze eukldovského prostoru E. Buď f shodé zobrzeí E E ϕ eho socové zobrzeí. ϕ ( ) ( ) Nechť e = g, f P = Q + g, = X = P + x = b = e, f ( X ) = Q + g. x = Pk á shodé zobrzeí f: E E lytcké vyádřeí přčež pro tc A = ( ) = M L O L M = pltí = δ, r, s =,,, t. A.A T = I. = r s rs = x + b,,,, Defce 5.0. Shodé zobrzeí f: E E se zývá shodá trsforce (shodost) prostoru E. Vět 5.. Mož všech shodostí prostoru E tvoří vzhlede k operc skládáí zobrzeí grupu, která e podgrupou fí grupy. Je to tzv. grup shodostí prostoru E ebo Eukldov grup. Vět 5.. Buď f shodost prostoru E, vzhlede k í á f lytcké vyádřeí = = x + b Pk tce ( ) e ortogoálí., =,,. Vět 5.3. Kždá shodost prostoru E e ekvfí trsforce. P; e, L, e krtézská báze prostoru E echť Defce 5.4. Zobrzeí f prostoru E E se zývá souěrost podle drovy σ, estlže pro kždý bod X σ pltí f(x) X pro kždý bod X E, X σ pltí, že střed dvoce X, f(x) ptří σ přík X f(x) e kolá k drově σ. Vět 5.5. Souěrost podle drovy prostoru E e shodost prostoru E. Vět 5.6. Souěrost podle drovy á právě drovu sodružých bodů.

3 3 Vět 5.7. Souěrost podle drovy e zobrzeí volutorí. Vět 5.8. Souěrost podle drovy e edozčě urče buď drovou sodružých bodů ebo edou dvocí odpovídících s esplývvých bodů. Vět 5.9. Buď v E zvole krtézská soustv souřdc. Zobrzeí f echť e souěrost podle drovy prostoru E, eíž drov sodružých bodů á rovc c x + c x + L + c x + c = 0 ( c,, c K, c ) o. Pk f á lytcké vyádřeí c = x + α ( cx + L+ c x + c), =, K,, kde α =. c Vět 5.0. Vět o rozkldu. Ke kždé shodost f eukldovského prostoru E exstue k souěrostí podle drov tkových, že f e ech složeí k +. = Shodost příce E Vět 5.. Buď v E zvole krtézská soustv souřdc P ;e shodost vyádřt právě edou z rovc: () x = x + () x = x +,. Vzhlede k í lze Vět 5.. Shodost příce e urče dvě dvoce odpovídících s bodů, pro ěž pltí X, Y = X, Y. Nedetcká shodost příce á evýš ede sodružý bod. Shodost v rově E Vět 5.3. Buď v eukldovské rově zvole krtézská soustv souřdc P e, e. Vzhlede k í lze shodost lytcky vyádřt právě edou ze soustv rovc: = x by + e = x + by + e () () = bx + y + f = bx y + f, kde + b = tedy rovce shodostí lze psát ve tvru: ( ) = x cosα y sα + e = x cosα + y sα + e ( ) = xsα + y cosα + f = xsα y cosα + f. Rovce () resp. ( ) vydřuí shodost příé, rovce () resp. ( ) shodost epříé. ; Vět 5.4. Kždá edetcká shodost v rově á buď příku sodružých bodů ebo právě ede sodružý bod ebo eá žádý sodružý bod. Vět 5.5. Kždá shodost v rově á buď všechy sěry sodružé ebo právě dv vzáe ortogoálí sodružé sěry ebo eá žádý sodružý sěr.

4 4 Defce 5.6. Shodost v E, která á právě ede sodružý bod S se zývá rotce kole bodu S o úhel α (vz rovce ( )). V přípdě α π eá žádý sodružý sěr, pro α = π e kždý eí sěr sodružý zývá se středová souěrost. Nepříá shodost v E, která eá příku sodružých bodů, se zývá posuutá souěrost (posuuté zrcdleí). Přehled typů shodostí v rově eukldovské podle sodružých bodů sěrů. sodružé právě dv s. sěry žádý ortogoálí kždý body žádý - posuutá souěrost posuutí právě ede rotce - středová souěrost přík - osová - souěrost kždý - - dett Vět 5.7. Vzhlede ke vhodě voleé krtézské soustvě souřdc v E lze rovce shodost uvést edodušší tvry: Idett x = x = y. Rotce kole počátku soustvy souřdc o úhel α : = x cosα y sα = xsα + y cosα. Trslce o vektor (,b): = x + = y + b. Středová souěrost se střede v počátku: x -x y = y. Osová souěrost s osou souěrost v ose x: x = x y = y. Posuutá souěrost: x = x + e y = y. Vět 5.8. Poocí koplexí souřdce bodu v rově lze shodost v E vyádřt ásledově: Shodost příé: z = Az + B, A =, z vzor, z -obrz, A, B, z, z C. Specálě dett z = z, trslce z = z + B, rotce z = Az (střed e v bodě O, úhel rotce α rg A), resp. z = Az + B (střed e v bodě s B ( A) ), středová souěrost z =-z + B.

5 5 Shodost epříé: z = Az + B, A =, A, B, z, z C. B Specálě osová souěrost z = Az + B, A B + B = 0 (os souěrost prochází bode s kldý sěre reálé osy svírá úhel rg A), posuutá souěrost z = Az + B, A B + B 0. Skládáí osových souěrostí v eukldovské rově Vět 5.9. Ke kždé shodost v eukldovské rově exstue rozkld evýše tř osové souěrost (Vět 5.0. pro = ). Vět Buďte f, f dvě osové souěrost s os souěrost o, o. Je-l ) o o, pk složeé zobrzeí e dett, b) o o, o o, pk složeé zobrzeí e trslce o vektor u, kde u o, u = o, o oretce vektoru u e urče pořdí os o, o, c) o o, o o {S}, pk složeé zobrzeí e rotce se střede S úhle rotce rový dvoásobku oretového úhlu os o, o, d) specálě, e-l o o, pk složeé zobrzeí e středová souěrost se střede v průsečíku os. Vět 5.3. Kždou trslc lze ekoečě oh způsoby rozložt dvě osové souěrost s os rovoběžý, růzý kolý vektor trslce v pořdí ve syslu vektoru trslce. Vzdáleost os e rov polově velkost vektoru trslce, přčež edu osu ůžee volt lbovolě, druhá e vektore trslce ž edozčě urče. Vět 5.3. Kždou rotc lze ekoečě oh způsoby rozložt dvě osové souěrost s os růzoběžý, procházeící střede rotce v pořdí ve syslu úhlu rotce svírící úhel rový polově úhlu rotce, přčež edu osu ůžee volt lbovolě, druhá e ž úhle rotce edozčě urče. Specálě středovou souěrost lze ekoečě oh způsoby rozložt dvě osové souěrost s os procházeící střede souěrost, přčež edu osu volíe lbovolě druhá e kolá. Vět Buďte f, f, f 3 tř osové souěrost s os o, o, o 3 vzáe růzý. ) Jsou-l příky o, o, o 3 rovoběžé ebo růzoběžé procházeí-l týž bode S, poto e složeé zobrzeí osová souěrost. b) Jsou-l spoň dvě ze tří os růzoběžé, přčež třetí eprochází ech průsečíke, poto e složeé zobrzeí posuutá souěrost. Vět Kždá posuutá souěrost se dá složt z osové souěrost středové souěrost, přčež střed středové souěrost eleží ose osové souěrost. Vět Kždá posuutá souěrost se dá složt z osové souěrost z posuutí ve sěru osy souěrost.

6 6 Shodost v prostoru E 3 Defce Souěrost podle drovy σ z defce 5.4. se v prostoru E 3 zývá rovovou souěrostí. Vět Kždá shodost v E 3 se dá složt z koečého počtu rovových souěrostí. Exstue rozkld, v ěž stčí evýše čtyř souěrost. Složeí lchého počtu souěrostí dostee shodost epříou, složeí sudého počtu shodost příou. Vět Buďte f, f dvě rovové souěrost s rov souěrost σ, σ. Jestlže ) σ σ, pk složeé zobrzeí e dett, b) σ σ, σ σ, pk složeé zobrzeí e trslce o vektoru v σ, v = σ.σ oretce e urče pořdí rov σ, σ. Zobrzeí eá žádý sodružý bod. c) σ σ, σ σ s, pk složeé zobrzeí e otočeí kole osy s o úhel ϕ, kde ϕ e odchylk rov σ, σ. Přík s e příkou sodružých bodů. d) Specálě, e-l σ σ, pk složeé zobrzeí e otočeí kole osy s o úhel π zývá se osová souěrost v prostoru, přík s os souěrost e příkou sodružých bodů. Osová souěrost v prostoru e zobrzeí volutorí. Vět Buďte f, f, f 3 tř rovové souěrost s rov souěrost σ, σ, σ 3, které sou po dvou k sobě kolé. Tyto rovy se protíí v edé bodě S. Složeí rovových souěrostí f, f, f 3 (v lbovolé pořdí) vzke shodost zvá souěrost v prostoru podle středu S. Bod S e eí edý sodružý bode. Je to shodost epříá e volutorí. Vět Buďte f, f, f 3,, f 4 čtyř rovové souěrost. Nechť σ σ s, σ 3 σ 4 s. Složeé zobrzeí eá žádý sodružý bod zývá se šroubový pohyb (torze). Vět 5.4. Všechy shodost v E 3 tvoří grupu. Mož všech příých shodostí tvoří eí podgrupu, eíž podgrupou e grup trslcí s dettou. Vět 5.4. Kždá shodost v prostoru E 3 se dá složt ze dvou volutorích shodostí (rovová, osová, středová souěrost), t. volutorí shodost geeruí grupu všech shodostí prostoru E 3.