Vznik a vlastnosti střídavých proudů

3. Střídavé proudy. Naučit se odvození vztahu pro okažitý a průěrný výkon střídavého proudu, znát fyzikální význa účiníku.. ět použít fázorový diagra na vysvětlení vztahu ezi napětí a proude u jednoduchých obvodů střídavého proudu. 3... Vznik a vlastnosti střídavých proudů Již v podkapitole 3.8. jste se setkali se způsobe převodu echanické energie na elektrickou, k něuž dochází v generátoru proudu: v hoogenní agnetické poli jse nechali rotovat jednoduchou syčku (Obr. 3.8.-6). V této kapitole budee psát okažité hodnoty napětí a proudu alýi píseny a aplitudy s dolní indexe, proto přepiše vztah (3.8.-5) do tvaru u = sinωt. 3..- Veličinu ω budee nazývat úhlová frekvence, t je saozřejě čas. Závislost napětí na čase tvaru (3..-) je speciální případe střídavého napětí, které je obecně periodickou funkcí času u (t)= u(t + kt), 3..- kde k je celé číslo. Několik typických tvarů periodické funkce u je načrtnuto na Obr. 3..-. Se střídavý napětí je spjat střídavý proud, který á stejnou periodu, ale není vždy ve fázi s napětí (o fázové posunutí více v podkapitole 3..). Budee se zabývat výhradně kvazistacionárníi obvody se střídavý proude či napětí, tedy těi, jež splňují tuto podínku: V dané okažiku je odchylka elektrického proudu v různých průřezech nerozvětveného vodiče zanedbatelná. Pro kvazistacionární obvody platí Kirchhoffovy zákony. Obr. 3..- Nechť á střídavé napětí průběh podle (3..-) a proud á počáteční fázi ϕ a rovněž haronický průběh. Pak okažitý výkon střídavého proudu je: p = ui = I sinωt sin(ωt ϕ). 3..-3 prave výraz sinωt sin (ωt ϕ).poocí gonioetrických identit 496

sinωtsin( ωt ϕ) = sinωt [ sinωtcosϕ cosωtsinϕ] = sin ωtcosϕ sinωtcosωtsinϕ = = cosϕ ωt + sin ωt sin ωtcos ωtsinϕ = cosϕ cosϕ cos ω sin ω t t sinωtsinϕ = sin ωt sin ωt cosωt = cosϕ cosωtcosϕ sinωtsinϕ = cosϕ cos(ωt ϕ) a dosaďe do (3..-3): I p = [ cosϕ cos( ωt ϕ) ]. 3..-4 Položíe-li I I = 3..-5 a =, 3..-6 ůžee psát p = I [ cosϕ cos( ωt ϕ )].. 3..-7 a I jsou efektivní hodnoty napětí a proudu. Okažitý výkon se tedy skládá z na čase nezávislé části Icosϕ a z periodicky proěnlivé části, které přísluší dvojnásobná frekvence než proud i napětí. Z geoetrické interpretace určitého integrálu vyplývá, že střední výkon střídavého proudu za periodu vypočtee jako podíl integrálu okažitého výkonu v ezích od 0 do T a periody T: T pd t P = 0. T Po dosazení okažitého výkonu z (3..-7) a integraci získáte vztah: P = Icosϕ. 3..-8 Výkon P je činný výkon a cosϕ účiník. Do obvodu se střídavý proude dodává energii generátor střídavého napětí. Obvod ůže obsahovat prvky s odpore, indukčností, případně kapacitou. Část dodané energie se vyskytuje v elektrické poli kondenzátorů, část v agnetické poli cívky a část se disipuje v ateriálu s elektrický odpore, tzn. ění se ve vnitřní energii odporového ateriálu, nebo se užitečně spotřebuje na konání práce (např. v elektrootorech). Právě rychlost disipace energie a užitečného spotřebování energie (obvykle na konání echanické práce) je činný výkon, neboť za předpokladu ustáleného stavu časová střední hodnota energie uložené v agnetické poli cívky a v elektrické poli kondenzátoru zůstává konstantní. Odtud vychází fyzikální sysl účiníku: udává účinnost přenosu energie ze zdroje střídavého proudu do spotřebiče. KO 3..- Napište vztah pro okažitou hodnotu výkonu střídavého proudu a popište veličiny v ně vystupující. KO 3..- Pro střední výkon střídavého proudu za periodu platí..., kde... je účiník a... činný výkon. 497

Jaká je axiální hodnota střídavého napětí, jehož efektivní hodnota je 0 V? = 0 V; =? = = = 3 V TO 3..- Efektivní hodnota střídavého napětí I je: a) průěrná hodnota střídavého proudu v časové intervalu délky jedné poloviny periody. b) I. pozn. I je aplituda proudu, I á haronický průběh časové závislosti. 3... Obvody střídavých proudů (kvazistacionární) Nejprve diskutuje jednoduché obvody se střídavý proude, které obsahují io generátoru haronického střídavého napětí u = sinωt 3..-9 pouze jeden prvek. Obvod s odpore (Obr. 3..-) Podle. Kirchhoffova zákona platí: u = u. 3..-0 Pro napětí na rezistoru dostanee u = sinωt = sinωt. 3..- Aplituda napětí na prvku s je rovna aplitudě napětí generátoru. Podle Ohova zákona lze vyjádřit proud rezistore takto: Obr. 3..- u i = = sinω t = I sinωt = I sin( ωt + ϕ). 3..- To znaená, že fázový posuv ϕ ezi napětí a proude je nulový, jinak řečeno, proud a napětí jsou na rezistoru ve fázi (Obr. 3..-3). V totéž okažiku nabývají axiálních, případně iniálních hodnot. Souvislost ezi aplitudou proudu a napětí na rezistoru popisuje, jak plyne z (3..-), vzorec: = I. 3..-3 Elektrický odpor se v obvodech střídavého proudu obvykle nazývá rezistance. Časová závislost proudů a napětí se s výhodou znázorňuje fázorový diagrae (Obr. 3..-3): představte si, že fázory napětí a proudu, tj. vektory znázorňující veličiny u a i v Gaussově rovině koplexních čísel, rotují se stejnou úhlovou frekvencí jako generátor 498

Obr. 3..-3 Průběh časové závislosti proudu a napětí na rezistoru, jenžto je připojen ke generátoru střídavého proudu. Pro názornost je nakreslen fázorový diagra. střídavého proudu proti sěru hodinových ručiček. Pak délka fázorů odpovídá aplitudě napětí a proudu, průět fázoru na příslušné osy okažité hodnotě napětí a proudu, úhel ezi fázore a vodorovnou osou okažité hodnotě fáze kitání u a i. Obvod s indukčností (Obr. 3..-4) Pro napětí na cívce dostanee u = sinωt = sinωt. 3..-4 Aplituda napětí na prvku s je rovna aplitudě napětí generátoru. Podle. Kirchhoffova zákona platí: u + u = 0. 3..-5 Na levé straně je skutečně součet elektrootorických napětí na všech zdrojích napětí. Na cívce se totiž podle Faradayova zákona elektroagnetické indukce a enzova zákona indukuje napětí di u = 3..-6 dt Obr. 3..-4 jako důsledek zěny agnetického indukčního toku v závitech cívky, který vyvolává proěnlivost proudu v čase. Úbytek napětí na odporech neexistuje, neboť je odpor všech vodičů v naše ideální, ve skutečnosti neexistující obvodu, zanedbatelný. Dosaďe (3..-5) do (3..-4) a uprave: d i u =. dt S přihlédnutí k (3..-) je di sinωt =. 3..-7 dt Aplituda napětí je přeznačena na. Vztah (3..-7) je diferenciální rovnicí prvního řádu se separovatelnýi proěnnýi, jejíž řešení je funkce i proěnné t. Nejprve separuje proěnné a pak integruje: di = sinωtdt 3..-8 i = sinωtdt = cosωt. ω Nahraďe kosinus sine poocí identity sin( α β ) = sinαcosβ cosαsinβ : 499

i = sin ωt. 3..-9 ω Srovnání závislostí (3..-7) a (3..-) vede k závěru, že fázový posuv ezi napětí a proude je ϕ =. Na fázorové diagrau rotuje fázor napětí před fázore proudu; říkáe, že napětí předbíhá proud (Obr. 3..-5). Dle (3..-8) je aplitudou proudu I podíl. Zavedee-li veličinu ω = ω, 3..-0 která se nazývá induktance a á hlavní jednotku Ω (oh), bude spojovat aplitudu proudu a napětí vztah = I. 3..- Pro aplitudy proudu a napětí platí (3..-) na jakékoli bezodporové cívce v obvodu střídavého proudu. Obr. 3..-5 Průběh časové závislosti proudu a napětí na cívce, která je připojena ke generátoru střídavého proudu. Pro názornost je nakreslen fázorový diagra. Obvod s kapacitou (Obr. 3..-6) Podle. Kirchhoffova zákona platí: u = u. 3..- Pro napětí na kondenzátoru dostanee u = sinωt = sinωt. 3..-3 Aplituda napětí na prvku s je rovna aplitudě napětí generátoru. Náboj na deskách kondenzátoru je přío úěrný napětí ezi nii, přičež konstantou úěrnosti je kapacita kondenzátoru. Navíc platí (3..-). Pro náboj ihned dostanee q = u = sinωt. 3..-4 Derivací náboje podle času získáe proud: Obr. 3..-6 i = ω cosωt. 3..-5 Nahraďe kosinus sine poocí identity sin( α + β ) = sinαcosβ + cosαsinβ : 500

i = ω sin ωt +. 3..-6 Fázový posuv ezi napětí a proude je ϕ = +. Na fázorové diagrau rotuje fázor proudu před fázore napětí; říkáe, že proud předbíhá napětí (Obr. 3..-7). Dle (3..-6) je aplitudou proudu I součin ω. Zavedee-li veličinu =, 3..-7 ω která se nazývá kapacitance (kapacitní reaktance) a á hlavní jednotku Ω (oh), bude spojovat aplitudu proudu a napětí opět vztah = I 3..-8 Pro aplitudy proudu a napětí platí (3..-8) na jakékoli kondenzátoru v obvodu střídavého proudu. Prvky s odpore, indukčností a kapacitou ohou být zapojeny v obvodu se střídavý proude současně noha způsoby. Proberee pouze jedno zapojení tohoto druhu sériový obvod.vlastnosti řešení nehoogenní lineární diferenciální rovnice. řádu s konstantníi koeficienty, která se sestaví pro řešení proudu v obvodu opět na základě platnosti. Kirchhoffova zákona, pouze popíšee použití fázorových diagraů. Obdobně je ožné diskutovat o vlastnostech řešení v obvodech sériových, a, paralelních,, a, případně s dalšíi kobinacei základních prvků. Obr. 3..-7 Průběh časové závislosti proudu a napětí na kondenzátoru, která je připojena ke generátoru střídavého proudu. Pro názornost je nakreslen fázorový diagra. Obvod sériový (Obr. 3..-8) Podle. Kirchhoffova zákona platí vztah u + u = u + u, 3..-9 do něhož dosaďe za okažité napětí na cívce pravou stranu rovnosti (3..-8), za napětí na rezistoru podle Ohova zákona součin i a za napětí na kondenzátoru, vycházeje z definice kapacity, podíl q/: di q u = i + 3..-30 d t 50

Obr. 3..-8 Pro napětí, které odebíráe ze zdroje, platí (3..-9). Protože je okažitá hodnota elektrického proudu i definována jako derivace náboje podle času, derivuje (3..-30) a uprave: d i di + + i ω cosωt = 0 3..-3 dt dt Obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantníi koeficienty nehoogenní (3..-3) lze vyjádřit jako součet partikulárního řešení a obecného řešení příslušné hoogenní rovnice. Po dostatečně dlouhé době od zapnutí zdroje střídavého napětí je příspěvek obecného řešení hoogenní rovnice, které definuje tzv. přechodový jev, zanedbatelný. Je rozuné předpokládat, že po odeznění přechodového jevu bude příslušet proudu podobná časová závislost, jako napětí: i = I cos(ω t.+ϕ) 3..-3 Pokud á vztah (3..-3) představovat partikulární řešení rovnice (3..-3), usí být výsledke dosazení (3..-3) do (3..-3) rovnice, která je řešitelná vzhlede k neznáý paraetrů I a ϕ. Toto řešení lze také vyčíst z fázorového diagrau. Sestroje fázorový diagra sériového obvodu, respektujíc přito pravidla, ke který jse došli analýzou jednoduchých střídavých obvodů (Obr. 3..-9): a) Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi, ji příslušející fázory ají stejný sěr (Obr. 3..-3). b) Na cívce napětí předbíhá proud o / (Obr. 3..-5). c) Na kondenzátoru proud předbíhá napětí o / (Obr. 3..-7). Obr. 3..-9 Všei prvky prochází stejný okažitý proud, bude tedy i pro aplitudy platit rovnost I = I = I a fázory proudů splynou. V Obr. 3..-9 jsou pravoúhlé trojúhelníky. Využije Pythagorovu větu, abycho vyjádřili celkové napětí v obvodu: ( ) = + 3..-33 I zde platí (3..-3), (3..-) a (3..-8), což uožňuje vyjádřit z (3..-33) aplitudu proudu vztahe 50

I =, 3..-34 + ( ) který připoíná svý tvare Ohův zákon. Jenovatel á rozěr odporu a vyjadřuje celkový odpor sériového obvodu. Nazývá se ipedance a á značku Z: Z ( ) = +. 3..-35 Ipedance, současně také aplituda proudu, závisí na úhlové frekvenci ω (viz. (3..-0) a (3..-7)). Miniální hodnota ipedance odpovídá tzv. rezonanční úhlové frekvenci ω 0, kterou snadno dostanee z podínky = : ω 0 =. 3..-36 Odtud získáe rezonanční frekvenci f0 =. (Thosonův vztah) 3..-37 ezonanční křivkou se znázorňuje závislost aplitudy proudu na úhlové frekvenci (Obr. 3..-0). Aplituda proudu nabývá největší hodnotu právě tehdy, jestliže nastane v obvodu rezonance, tzn. ω = ω 0. Z Obr. 3..-0 je patrné, jak ovlivňuje hodnota odporu tvar rezonanční křivky. Obr. 3..-0 Fázový rozdíl ϕ ezi napětí a proude dostanee z tangentu úhlu, který svírají fázory celkového proudu a celkového napětí (Obr. 3..-9): tgϕ = = 3..-38 a závisí na úhlové frekvenci (Obr. 3..-). Je-li >, platí podle (3..-0), (3..-7) a (3..-36): a) ω > ω 0, b) napětí předbíhá proud obvod á induktivní charakter. Je-li <, platí podle (3..-0), (3..-7) a (3..-36): a) ω < ω 0, b) proud předbíhá napětí obvod á kapacitní charakter. Je-li =, platí podle (3..-0), (3..-7) a (3..-36): a) ω = ω 0, b) napětí je ve fázi s proude obvod je v rezonanci. 503

Obr. 3..- Frekvenční závislost fázového posuvu ezi napětí a proude v sériové obvodu. KO 3..-3 Jakou á jednotku kapacitance? Elektrootore prochází při střídavé napětí efektivní hodnoty 0 V, frekvence 50 Hz proud 4 A (efektivní hodnota) a účiník je 0,5. hcee připojit elektrootor ke zdroji střídavého napětí 0 V přes kondenzátor s takovou kapacitou, aby elektrootore procházel opět proud 4 A. rčete kapacitu kondenzátoru. Jaký bude účiník obvodu? Při jaké nejenší napětí ůže otor pracovat? = 0 V; I = 4 A; cosϕ = 0,5; = 0 V; =?; cosϕ =?; in =? V elektrootoru prochází proud cívkou, jež á určitý elektrický odpor (rezistanci) a ten vypočítáe poocí činného výkonu P: P = Icosϕ. Střední výkon je určen efektivní hodnotou proudu: Icosϕ cosϕ P = I = = = 55 Ω. () I I Protože nezanedbáváe odpor vinutí cívky, jedná se zatí o sériový obvod. Z fázorového diagrau (Obr. 3..-3) vyplývá, že I cos ϕ = = (Z ipedance obvodu), IZ proto Z = cosϕ Obr. 3..-3 a podle Pythagorovy věty (Obr. 3..-3) jest Z = +. 504

Snadno získáe ipedanci ve tvaru = = 95,6 Ω. () cos ϕ Podle zadání se á elektrootor připojit ke zdroji střídavého napětí přes kondenzátor. Proto vznikne sériový obvod. V kvazistacionárních obvodech střídavého proudu je pro ipedanci splněno: Ipedance je podíle napětí a proudu. V naší sybolice: Z = = 60 Ω. (3) I Ve fázorové diagrau (Obr. 3..-9) sériového obvodu jsou fázory a na sebe kolé, tudíž opět vycházeje z Pythagorovy věty a Ohova zákona odvodíe vzorec pro ipedanci: Z ( ) + =. (4): (4) je rovnice s jednou neznáou kapacitou kondenzátoru. ocněe (4) na druhou a uprave: ( ) = Z. (5) V další kroku je nutné (5) odocnit, což ůže vést ke dvěa různý řešení. Nechť platí nejprve podínka > : = Z = f = = f Z ( Z ). (6) Dosaďe hodnoty z (), () a (3): = 4,47 0-5 F. Pokud by platila podínka <, výsledná hodnota kapacity by byla tak velká, že by bylo veli obtížné sestrojit odpovídající kondenzátor. Pro účiník platí (Obr. 3..-9): cosϕ = = 0,9. Z Aby ve vzorci pro kapacitu nebylo pod odocninou záporné číslo, usí platit nerovnost Z. S přihlédnutí k (3) vyjádříe ipedanci poocí nového napětí 3 : 3. I Napětí usí splnit vztah: 3 I 3 0 V Motor bude pracovat při iniální napětí 0 V. 3..- rčete ipedanci sériového obvodu, jestliže platí: = 800 Ω, = 400 Ω a = 500 Ω. 806, Ω 3..- V obvodu střídavého napětí s aplitudou 500 V frekvence je ipedance 900 Ω. rčete aplitudu proudu. 505

0,55 A TO 3..- V obvodu střídavého proudu s ohický odpore (Obr. 3..-): a) proud se zpožďuje za napětí o. b) proud předbíhá napětí o. c) proud a napětí jsou ve fázi. TO 3..-3 V obvodu střídavého proudu s indukčností (Obr. 3..-4): a) proud se zpožďuje za napětí o. b) proud předbíhá napětí o. c) proud a napětí jsou ve fázi. TO 3..-4 V obvodu střídavého proudu s kapacitou (Obr. 3..-6): a) proud se zpožďuje za napětí o. b) proud předbíhá napětí o. c) proud a napětí jsou ve fázi. TO 3..-5 Který z uvedených fázorových diagraů patří sériovéu obvodu? (Obr. 3..-) 506

Obr. 3..- V tzv. kvazistacionárních obvodech se střídavý proude či napětí platí Kirchhoffovy zákony. Nechť á střídavé napětí průběh podle (3..-) a proud á počáteční fázi ϕ a rovněž haronický průběh. Pak okažitý výkon proudu je: p = ui = I sinωt sin(ωt ϕ). 3..-3 Poocí gonioetrických identit dostanee: p = I [ cosϕ cos( ωt ϕ )]. 3..-7 I I = (I efektivní hodnota proudu) = ( efektivní hodnota napětí) Střední výkon střídavého proudu za periodu (činný výkon) je: P = Icosϕ 3..-8 cosϕ nazýváe účiník. Fyzikální sysl účiníku: udává účinnost přenosu energie ze zdroje střídavého proudu do spotřebiče. Diskutuje jednoduché obvody se střídavý proude, které obsahují io generátoru haronického střídavého napětí u = sinωt 3..-9 pouze jeden prvek. Obvod s rezistore odporu (Obr. 3..-) 507

Podle. Kirchhoffova zákona platí: u = u. 3..-0 Aplituda napětí na prvku s je rovna aplitudě napětí generátoru. Podle Ohova zákona lze vyjádřit proud rezistore takto: u i = = sinω t = I sinωt = I sin( ωt + ϕ). 3..- To znaená, že fázový posuv ϕ ezi napětí a proude je nulový, jinak řečeno, proud a napětí jsou na rezistoru ve fázi (Obr. 3..-3). V totéž okažiku nabývají axiálních, případně iniálních hodnot. Souvislost ezi aplitudou proudu a napětí na rezistoru popisuje, jak plyne z (3..-), vzorec: = I. 3..-3 Elektrický odpor se v obvodech střídavého proudu obvykle nazývá rezistance. Obvod s indukčností (Obr. 3..-4) Podle. Kirchhoffova zákona platí: u + u = 0. 3..-5 Pro závislost proudu na čase odtud dostanee: i = sin ωt. 3..-9 ω Fázový posuv ezi napětí a proude je ϕ =. Na fázorové diagrau rotuje fázor napětí před fázore proudu; říkáe, že napětí předbíhá proud (Obr. 3..-5). Aplituda proudu I je podíl. Zavedee-li veličinu ω = ω, 3..-0 která se nazývá induktance a á hlavní jednotku Ω (oh), bude spojovat aplitudu proudu a napětí vztah = I.. 3..- Pro aplitudy proudu a napětí platí (3..-) na jakékoli bezodporové cívce v obvodu střídavého proudu. Obvod s kapacitou (Obr. 3..-6) Podle. Kirchhoffova zákona platí: u = u. 3..- Proto i = ω sin ωt +. 3..-6 Fázový posuv ezi napětí a proude je ϕ = +. Na fázorové diagrau rotuje fázor proudu před fázore napětí; říkáe, že proud předbíhá napětí (Obr. 3..-7). Dle (3..-6) je aplitudou proudu I součin ω. Zavedee-li veličinu =, 3..-7 ω která se nazývá kapacitance (kapacitní reaktance) a á hlavní jednotku Ω (oh), bude spojovat aplitudu proudu a napětí opět vztah 508

= I. 3..-8 Pro aplitudy proudu a napětí platí (3..-8) na jakékoli kondenzátoru v obvodu střídavého proudu. Obvod sériový (Obr. 3..-8) Podle. Kirchhoffova zákona platí vztah u + u = u + u, 3..-9 Sestroje fázorový diagra sériového obvodu, respektujíc přito pravidla, ke který jse došli analýzou jednoduchých střídavých obvodů (Obr. 3..-9): d) Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi, ji příslušející fázory ají stejný sěr (Obr. 3..-3). e) Na cívce napětí předbíhá proud o / (Obr. 3..-5). f) Na kondenzátoru proud předbíhá napětí o / (Obr. 3..-7). Všei prvky prochází stejný okažitý proud, bude tedy i pro aplitudy platit rovnost I = I = I a fázory proudů splynou. Vzorec pro aplitudu proudu: I = + ( ). 3..-34 Jenovatel á rozěr odporu a vyjadřuje celkový odpor sériového obvodu. Nazývá se ipedance a á značku Z: Z ( ) = +. 3..-35 Ipedance, současně také aplituda proudu, závisí na úhlové frekvenci ω (viz. (3..-0) a (3..-8)). Miniální hodnota ipedance odpovídá tzv. rezonanční úhlové frekvenci ω 0, kterou snadno dostanee z podínky = : ω 0 =. 3..-36 Odtud získáe rezonanční frekvenci f0 =. (Thosonův vztah) 3..-37 ezonanční křivkou se znázorňuje závislost aplitudy proudu na úhlové frekvenci (Obr. 3..-0). Aplituda proudu nabývá největší hodnotu právě tehdy, jestliže nastane v obvodu rezonance, tzn. ω = ω 0. Z Obr. 3..-0 je patrné, jak ovlivňuje hodnota odporu tvar rezonanční křivky. Fázový rozdíl ϕ ezi napětí a proude odpovídá tangentu úhlu, který svírají fázory celkového proudu a celkového napětí (Obr. 3..-9): tgϕ = = 3..-38 a závisí na úhlové frekvenci (Obr. 3..-). 509

Klíč KO 3..-3 Ω 3..- 806, Ω 3..- 0,55 A TO 3..- b) TO 3..- c) TO 3..-3 a) TO 3..-4 b) TO 3..-5 b) 50