ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE INVERZNÍ KYVADLO

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE INVERZNÍ KYVADLO Praha, 8 Autor: Lukáš Kratohvíl

Poděkování: Títo byh htěl oděkovat ředevší vedouíu bakalářské ráe Ing. Jindřihu Fukovi za oo ři tvorbě této ráe. Dále byh htěl oděkovat do. Ing. Slavoíru Jirků, CS. a Ing. Petru Kočárníkovi za enné řioínky ři odvozování difereniálníh rovni v rái ředětu Dynaika ehanikýh soustav. Mé dík rovněž atří anu Ladislavu Čelíkovi za výrobu některýh ehanikýh částí k odelu. Závěre byh htěl také oděkovat elé é rodině, která ě o elou dobu studia odorovala. 3

Abstrakt: Cíle této bakalářské ráe byla úrava a rozšíření výukového odelu inverzní kyvadlo tak, aby jej bylo ožné řídit jak z PC, tak z rograovatelného autoatu. Model je uístěn v laboratoři K3 katedry řídíí tehniky a slouží ředevší studentů v rái ředětů zabývajííh se řízení. Pro tyto účely byl vytvořen ois odelu včetně šablon v rostředí Siulinku, usnadňujíí studentů návrh regulátorů. Součástí ráe byl také návrh ukázkového regulátoru stabilizujíí kyvadlo v horní oloze. 4

Abstrat: The ai of this bahelor thesis was to odify and etend the eduational odel of inverted endulu, whih is loated in laboratory K3 of Czeh Tehnial University in Prague, Deartent of Control Engineering. A desrition of the odel was ade inluding Siulink telates, whih will be used by students in ontrol lessons. Finally, a sale regulator, whih stabilizes the endulu in the uward osition, was designed for resentation uroses. 5

6

Obsah Kaitola 1 Úvod...1 Kaitola Výukový říravek inverzní kyvadlo...11.1 Model inverzního kyvadla... 1. Hlavní skříň... 1..1 Obvod řeínání řízení ezi Matlabe a PLC... 13.3 Joystik... 13.4 Proojení odelu s Matlabe... 14.4.1 Blok endulu... 14.4. Blok joystik... 15.5 Proojení odelu s PLC... 16 Kaitola 3 Řízení odelu...17 3.1 Odvození rovni... 17 3.1.1 Ztráty tření... 3.1. Konečná odoba rovni... 1 3. Identifikae odelu... 1 3.3 Linearizae odelu... 3 3.4 Stavový ois... 4 3.5 Návrh regulátoru... 5 3.5.1 Návrh vnitřní syčky... 6 3.5. Návrh vnější syčky... 6 3.6 Realizae regulae v Siulinku... 7 3.6.1 Blok řeočet úhlu... 7 3.6. Blok suštění regulae... 9 3.6.3 Autoatiké vyšvihnutí kyvadla do horní olohy... 9 3.7 Realizae regulae v PLC... 9 3.7.1 Souštění řízení... 9 3.7. Poznáky k ileentai... 3 3.8 Vlastnosti navržené regulae... 3 3.8.1 Stabilizae kyvadla... 3 3.8. Systé s neiniální fází... 3 3.8.3 Autoatiké vyšvihnutí do horní olohy... 31 Kaitola 4 Závěr...36 Literatura...37 Příloha A Obsah řiloženého CD...38 Příloha B Elektriké zaojení...39 B.1. Zaojení konektorů na anelu hlavní skříně... 39 B.. Shéata zaojení... 41 Příloha C Skrit návrhu regulátoru ro Matlab...43 Příloha D Realizae regulátoru v PLC...44 7

Sezna tabulek Tab..1: Model inverzního kyvadla... 1 Tab..: Využité oduly PLC... 16 Tab. 4.1: Konektor endulu... 39 Tab. 4.: Konektor joystik... 4 Tab. 4.3: Konektor kabelu roojujíí říravek s PLC... 4 Tab 4.4: Sezna součástek obvodu řeínání řízení... 4 8

Sezna obrázků Obr..1: Proojení říravku včetně názvů kabelů... 11 Obr..: Model inverzního kyvadla... 1 Obr..3: Hlavní skříň... 13 Obr..4: Joystik... 14 Obr..5: Šablona ro návrh regulátorů v Siulinku... 14 Obr..6: Měření náklonu... 15 Obr..7: Vnitřní struktura bloku endulu... 15 Obr..8: Vnitřní struktura bloku joystik... 16 Obr. 3.1: Mehanika odelu... 17 Obr. 3.: Ryhlost těžiště kyvadla... 19 Obr. 3.3: Virtuální ráe kyvadla... Obr. 3.4: Nelineární odel systéu v Siulinku... Obr. 3.5: Porovnání odezvy reálného systéu a siulae... Obr. 3.6: Základní regulační shéa... 5 Obr. 3.7: Blok řeočet úhlu... 7 Obr. 3.8: Odhylky od raovního bodu... 7 Obr. 3.9: Hlavní regulační shéa ro Siulink... 8 Obr. 3.1: Blok řeínání řízení... 9 Obr. 3.11: Přenos na olohu v uzavřené syče... 31 Obr. 3.1: Stabilizae kyvadla bez vnějšíh zásahů... 3 Obr. 3.13: Stabilizae kyvadla s vnějšíi zásahy do soustavy... 3 Obr. 3.14: Ovládání vozíku joystike... 33 Obr. 3.15: Posun vozíku se stabilizovaný kyvadle... 34 Obr. 3.16: Autoatiké vyšvihnutí vozíku do horní olohy... 35 Obr. 4.1: Vnitřní zaojení odelu inverzní kyvadlo... 41 Obr. 4.: Vnitřní zaojení joystiku... 41 Obr. 4.3: Shéa zaojení obvodu řeínání řízení... 4 Obr. 4.4: Rutina endulu1, část 1/... 44 Obr. 4.5: Rutina endulu1, část /... 45 Obr. 4.6: Rutina endulu, list 1/... 46 Obr. 4.7: Rutina endulu list /... 46 9

Kaitola 1 Úvod Práe je rozdělena do dvou hlavníh částí. První část, obsažená v kaitole, se zabývá úravou výukového odelu inverzní kyvadlo, který je uístěn v laboratoři K3 katedry řídíí tehniky. Cíle rovedenýh úrav bylo ředevší uožnit řízení odelu jak z Matlabu v PC, tak z rograovatelného autoatu (PLC) firy Rokwell Autoation a dále rozšířit funkčnost odelu o další rvky. Součástí druhé kaitoly je i koletní ois odelu o rovedenýh úraváh, který bude sloužit studentů v rái výuky v laboratoři. Jsou zde osány jednotlivé části výukového odelu včetně obvodu řeínání řízení. Dále je uveden zůsob řiojení odelu k Matlabu a PLC a jsou řiraveny šablony ro návrh regulátorů v rostředí Siulinku. Cíle druhé části ráe, obsažené v kaitole 3, bylo navrhnout a ileentovat ukázkový regulátor, který bude stabilizovat kyvadlo v horní oloze. Kaitola zahrnuje všehny kroky nutné ro úsěšný návrh regulátoru od odvození difereniálníh rovni a identifikae odelu řes linearizai v raovní bodě, výběr vhodného tyu regulátoru a jeho návrh až o jeho saotnou realizai v Siulinku a PLC. Závěre je rovedeno zhodnoení navrženého řízení a jeho orovnání se siulaí. 1

Kaitola Výukový říravek inverzní kyvadlo Současná odoba výukového říravku inverzní kyvadlo vznikla úravou a rozšíření ůvodního říravku, který byl sestaven a orvé uveden do rovozu Toáše Haniše v roe 7 v rái jeho seestrální ráe. Základe říravku se tehdy stal zakouený odel vyrobený firou Quanser. Následně byla sestavena dráha vozíku s kyvadle a výrazně řeraováno elektriké zaojení uožňujíí říravek alesoň rovizorně řiojit k PC s Matlabe. K rovedený zěná byla vytvořena ouze velie stručná dokuentae [1] dolněná uživatelský anuále k zakouenéu odelu []. Hlavní otive k další úravá v rái této bakalářské ráe bylo uožnit řízení odelu jak z Matlabu v PC, tak z rograovatelného autoatu (PLC). Za títo účele byly rovedeny některé další ehaniké úravy a došlo k rozšíření o dodatečnou elektroniku zajištujíí řeínání řízení. Běhe úrav říravku bylo dbáno na to, aby jeho jednotlivé části byly snadno odojitelné a tí byla zajištěna jeho snadná řenositelnost. Příravek se nyní skládá z několika navzáje roojenýh částí odle Obr..1. Hlavní skříň obsahuje obvod řeínání řízení ezi Matlabe a PLC a současně slouží jako hlavní naájeí zdroj. Proojení s okolí je zajištěno řes konektorový anel v zadní části skříně, ka se řiojuje saotný odel inverzního kyvadla, řevodníková karta PC, roojovaí kabel s PLC a říadně i joystik. Dále je uveden stručný ois jednotlivýh částí včetně saotného odelu Inverzní kyvadlo, na které sie nebyly rováděny žádné zásadní úravy, ale odrobný ois je otřebný ro výuku v laboratoři. Obr..1: Proojení říravku včetně názvů kabelů 11

.1 Model inverzního kyvadla Model (Obr..) se skládá z vozíku oháněného stejnosěrný otore řes ozubené kolo o ozubnii. Na vozíku je zavěšeno kyvadlo volně otočné na hřídeli. Model je vybaven dvěa otikýi inkreentálníi sníači (IRC). Jeden sníá olohu vozíku řes ozubené kolo, druhý sníá náklon kyvadla. Vozík je dále vybaven čtyři konovýi sínači. Dva horní sníače (KLN, KPN) hardwarově odojují otor od naájení. Dva dolní sínače (KLD, KPD) jsou vyvedeny na řiojovaí sběrnii a jsou k disozii ro účely řízení. Inkreentální sníače generují 14 ulzů na otočku, ož doovídá v kvadraturní ódu rozlišení 496 hodnot na otočku. Sníače neají vyvedený signál nulové značky. Bližší tehniké seifikae jsou k disozii v uživatelské anuálu výrobe [1]. Původní shéa zaojení odelu bylo oraveno a je uvedeno v říloze B.. 1 3 4 5 6 P1 7 8 9 1 11 Obr..: Model inverzního kyvadla 1 řiojovaí sběrnie 7 ozubnie konový sínač KLD 8 sníání olohy vozíku řes IRC 3 konový sínač KLN 9 kyvadlo 4 vozík 1 ohon vozíku stejnosěrný otore 5 konový sínač KPN 11 sníání náklonu kyvadla řes IRC 6 konový sínač KPD. Hlavní skříň Tab..1: Model inverzního kyvadla Hlavní skříň vznikla úravou naájeího zdroje ro ůvodní odel kyvadla. Jelikož se ve zdroji naházel dostatek volného ísta, byla řeínaí deska s elektronikou uístěna řío do skříně zdroje. Dále byl zdroj vybaven anele s konektory ro řiojení ostatníh částí říravku. Součástí hlavní skříně je i výkonový zesilovač, který slouží k naájení otoru ve vozíku. 1

Obr..3: Hlavní skříň..1 Obvod řeínání řízení ezi Matlabe a PLC Kyvadlo je iliitně řízeno z Matlabu řes PC. V říadě otřeby se PLC řízení řeíná seiální signále, ož je indikováno červenou LED diodou na hlavní skříni. Jak PC tak PLC získává neustále inforae o výstueh odelu (IRC sníače, konové sínače) nezávisle na to, z kterého ísta je odel rávě řízen. Manuální reži řízení není uožněn. Elektriké shéa je uvedeno v říloze B.. Relé zajišťuje řeínání řízení vstuního signálu otoru a je ovládáno signále z PLC. Obvod 74HCT4 lní funki iedančního oddělení signálů z IRC sníačů od vstuů PLC, které ají říliš alý vnitřní odor ro říé řiojení sníačů..3 Joystik Uravili jse zaojení starého analogového PC herního joystiku s konektore ro gaeort (Obr..4). Poloha áky je sníána v ose X ooí osuvného otenioetru, dále jsou vyvedeny obě hlavní tlačítka ro říadné další využití. Nevýhodou joystiku je nutnost kalibrae klidové olohy áky. Elektriké shéa zaojení je v říloze B.. Původní záěr byl využít joystik k anuálníu řízení, ož se ukázalo v rai jako nereálné. Přesto á řiojený joystik raktiký význa, ůže být oužit naříklad jako zdroj referenční olohy vozíku. 13

tlačítka osa X kalibrae Obr..4: Joystik.4 Proojení odelu s Matlabe PC je vybaveno řevodníkovou kartou Huusoft MF64 [3] a realtie toolboe ro Matlab, který uožňuje v reálné čase řídit odel. Karta MF64 obsahuje všehny otřebné vstuy a výstuy, jenovitě čítače ro IRC, digitální a analogové vstuy a digitální a analogové výstuy. Pro účely řízení kyvadla byl v Siulinku vytvořen blok endulu. Proojení s joystike je rerezentováno bloke joystik, oba bloky jsou oužity v řiravené šabloně ro výuku v laboratoři (Obr..5)..4.1 Blok endulu Obr..5: Šablona ro návrh regulátorů v Siulinku Vnitřní struktura bloku je znázorněna na Obr..7. Vstu otor je řeváděn DA řevodníke karty na řídíí signál vozíku. Rozsah vstuu je noralizován na interval < 1, 1 >, který odovídá naětí řevodníku < 1 V, 1V >. Řídíí signál je zesílen výkonový zesilovače v hlavní skříni a řiveden na vstu stejnosěrného otoru vozíku. Naěťový rozsah se ři zesílení neění a zůstává < 1 V, 1V >. Náklon kyvadla je sníán inkreentální sníače a ukládán v čítaí registru řevodníkové karty. Hodnota na výstuu je řeváděna na radiány, kde sěru roti ohybu hodinovýh ručiček odovídá kladná a sěru oačnéu záorná hodnota. Nulová hodnota je iniializována ři suštění siulae, tyiky roto odovídá dolní oloze kyvadla. 14

Zůsob ěření náklonu vystihuje Obr..6. Poloha vozíku je ěřena odobně jako náklon kyvadla. Hodnota na výstuu je řevedena na etry. Nulová hodnota je oět iniializována ři suštění siulae, kladný sěr odovídá osuvu zleva dorava. Obr..6: Měření náklonu 1 Motor (u) RT Out RT Out Adater Huusoft MF64 (auto) RT In RT In u -.93 /496 -*i /496 1 Vozik () Naklon (th) RT In u OR STOP RT In 1 Sto Siulation Logial Oerator.4. Blok joystik Obr..7: Vnitřní struktura bloku endulu Vnitřní struktura bloku je znázorněna na Obr..8. Naětí z otenioetru v rozsahu < 5V > je řeváděno AD vstue řevodníkové karty na rozsahu hodnot <. 5 >. Vzhlede k tou, že signál otenioetru je silně zašuěný, je třeba oužít frekvenční filtr. V naše říadě ostačila jednoduhá dolní roust rvního řádu s ω 5rad / s. 15

Adater Huusoft MF64 (auto) RT In RT In.5 1.4s+1 filtr 1 osa X nulova oloha 1 RT In RT In 1 NOT NOT Tlaitko leve 3 Tlaitko rave Obr..8: Vnitřní struktura bloku joystik.5 Proojení odelu s PLC Model byl řiojen k rograovatelnéu autoatu řady ControlLogi 1756 firy Rokwell Autoation. Jedná se o oderní autoat vybavený elou řadou okročilýh funkí hojně využívaný v elé řadě růyslovýh alikaí. Důležitou součástí autoatu je i koletní balík uživatelsky řívětivého PC software sloužíí ředevší k jeho rograování, ale lníí i řadu dalšíh funkí jako naříklad onitorování hodu systéu. Jednou z výhod autoatů řady ControlLogi je jejih odulární struktura. K hlavníu roesoru, který vykonává řídíí rogra, se odle otřeby řiojují eterní I/O oduly jako jednotlivá saostatně fungujíí zařízení kounikujíí s hlavní roesore. Pro účely naší alikae byly využity oduly z tabulky dole. I/O název katalogové č. využití I High Seed Counter [4] 1756 HSC řiojení inkreentálníh sníačů IRC I Isolated Inut Module [5] 1756 IB16I řiojení konovýh sínačů O Fused Outut Module [5] 1756 OB16E řenutí řízení na PLC O Analog Outut Module [7] 1756 OF8 naětí ro otor vozíku Tab..: Využité oduly PLC Proojení konektoru PLC s jednotlivýi oduly je uvedeno v říloze B.1. 16

Kaitola 3 Řízení odelu 3.1 Odvození rovni Jelikož je ohoení ehanikého hování odelu kyvadla důležité ři jeho identifikai a ři následné návrhu vhodného regulátoru, rozhodli jse se rovnie sai odvodit. Vzhlede k tou, že v knize Franklin [8] jsou rovnie odvozeny etodou uvolňování, zvolili jse odvození ooí Lagrangeovýh rovni druhého druhu. Aby bylo ožné výsledky obou etod na koni snadno orovnat, snažili jse se oužívat stejné značení veličin jako v uvedené knize. Shéatiky je ehanika odelu vyznačena na obrázku Obr. 3.1. Vozíku á hotnosti t a jeho ohon je rerezentován silou F, na vozíku je zavěšeno kyvadlo o hotnosti setrvačnosti I vůči ose otáčení. Vzdálenost těžiště kyvadla s oente T od osy rotae je označena l. Ztráty tření rerezentuje síla F t, která ůsobí roti sěru ohybu, a oent obdobně roti sěru rotae. M č, který ůsobí Obr. 3.1: Mehanika odelu 17

Vyjdee z Lagrangeovýh rovni ve tvaru d dt E q k i Ek q i Q, i 1.. n, (3.1.1) i kde E k je kinetiká energie soustavy, q i je zobeněná souřadnie, Q i je zobenělá síla, n je očet stuňů volnosti soustavy. Soustava vyznačená na obrázku Obr. 3.1 á dva stuně volnosti, za zobeněné souřadnie zvolíe olohu vozíku a náklon kyvadla q 1, q. (3.1.) Lagrangeovy rovnie ro takto zvolené zobenělé souřadnie jsou d dt Ek Ek Q X (3.1.3) d Ek Ek Q. (3.1.4) dt Celkovou kinetikou energii soustavy lze vyjádřit jako součet energie vozíku a kyvadla kde 1 1 1 E T k + Ek VOZIK + Ek KYVADLO t + T I, (3.1.5) I T je onet setrvačnosti kyvadla vůči jeho těžišti, T je ryhlost těžiště kyvadla. Ryhlost T je ožné rozdělit na dvě složky. Složka je ryhlost udělená kyvadlu vozíke, složka th je ryhlost získaná rotaí kyvadla. Problé vystihuje Obr. 3.. Ryhlost T je získána součte obou složek v souřadniíh [, y], kde odovídá vodorovné ose, y svislé ose. l os, thx thy l sin ( + ) + ( + l os ) l sin T thx thy + T l + l + os (3.1.6) 18

Po dosazení Obr. 3.: Ryhlost těžiště kyvadla t do rovnie 3.1.5 a úravě dostanee 1 ( + ) + I + l os 1 Ek t, (3.1.7) kde odle Steinerovy věty I I + T l. (3.1.8) Sestavení levé strany rvní Lagrangeovy rovnie 3.1.3: E k Ek ( + ) + l os t ( + ) + l( os sin ) (3.1.9) (3.1.1) d Ek t. (3.1.11) dt Stanovení levé strany druhé Lagrangeovy rovnie 3.1.4: E k l sin Ek I + l os (3.1.1) (3.1.13) d Ek I + l os l sin dt. (3.1.14) Pravé strany rovni se stanoví ooí etody virtuálníh raí (viz Obr. 3.3). Platí, že n N Qidqi i 1 j 1 dw j, (3.1.15) 19

ož v naše odelu odovídá Q d + Q d ( F F ) d gl sind M d. (3.1.16) t + Z rovnie 3.1.16 vylývá, že Q Q F F sin t gl M č č. (3.1.17) Obr. 3.3: Virtuální ráe kyvadla Dosazení do Lagrangeovýh rovni 3.1.3 a 3.1.4 dostanee ohybové rovnie soustavy ve tvaru I + gl sin + M l os (3.1.18) č ( + ) + l os l sin + F F t t 3.1.1 Ztráty tření. (3.1.19) Třeí ztráty vozíku vyjadřuje v rovniíh člen F t, který zahrnuje odor vzduhu vozíku a veškeré třeí ztráty ři jeho ohybu včetně tření náhonového astorku o ozubnii (viz Obr..1). Třeí ztráty kyvadla vyjadřuje obdobně čelen M č, který rerezentuje odobně jako u vozíku odor vzduhu ři kývání kyvadla a odor čeového tření v ose otáčení. Kvůli zjednodušení rovni budee oba druhy ztrát ovažovat za čistě viskózní a tedy úěrné ryhlosti resektive úhlové ryhlosti. Ostatní ztráty neuvažujee. V rovniíh rovedee naví další zjednodušení, kdy budee ředokládat, že hnaí síla F je úěrná naětí na otoru vozíku.

3.1. Konečná odoba rovni Po dosazení za ztráty a hnaí sílu dostáváe konečnou odobu rovni, která je shodná s rovniei v knize Franklin [8]. Jedná se o soustavu dvou difereniálníh rovni druhého řádu I + gl sin + k l os ( t + ) + b + l os l sin u, (3. 1. ) kde u I je náklon kyvadla, je oloha kyvadla, je vstu do systéu a odovídá naětí na otoru vozíku, je oent setrvačnosti kyvadla vztažený k ose rotae, je hotnost vozíku, je hotnost kyvadla, g je gravitační zryhlení, je vzdálenost těžiště od středu rotae kyvadla, je koefiient viskózního tření kyvadla v ose rotae, je koefiient viskózního tření ozubeného kola vozíku s ozubnií, je řevodní konstanta, řevádí vstu na sílu vyvinutou otore vozíku. 3. Identifikae odelu Identifikai systéu jse rovedli v ředětu Systéy a odely a její ois je uveden v dokuentu [9]. V rái této ráe jse identifikai znovu řekontrolovali. Zjistili jse, že identifikae byla rovedena srávně, ouze jse oravili koefiient viskózního tření vozíku b a řevodní konstantu o roazání dráhy vozíku silikonový oleje. Pro úlnost uvádíe řehled všeh identifikovanýh konstant i s jejih jednotkai. I 8.7 1 l.66 t -4.94 kg.157 kg kg. b 4.63 kg.s 6.1N g 9.81.s - k.14 1-4 -1 kg. Kvůli ověření srávnosti identifikae byl sestaven nelineární siulinkový odel (Obr. 3.4) řešíí soustavu rovni (3. 1. ). Bloky eory ve shéatu řeší robléy s algebraikýi syčkai. Obr. 3.5 orovnává výsledek siulae s naěřenýi růběhy ři odezvě systéu na eriodiký obdélníkový signál. Největší neřesnost do odelu vnáší třeí ztráty vozíku, které jsou ouze velie obtížně siulovatelné. Siulinkové siulační shéa včetně nelineárního a linearizovaného odelu je k disozii na řiložené CD..s 1 1

Obr. 3.4: Nelineární odel systéu v Siulinku.8.6.4 vstu u ěrení vozík () ěření náklon (th) siulae oloha () siulae náklon (th). u[-], th[rad], [] -. -.4 -.6 -.8-1.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 t[s] Obr. 3.5: Porovnání odezvy reálného systéu a siulae

3 3.3 Linearizae odelu V této části je rovedena obeně linearizae odelu osaného rovniei 3.1. a následné číselné dosazení ro kyvadlo v horní oloze. Linearizae z ředětu Systéy a odely [9] se nedala oužít, rotože nebyla rovedena obeně a naví ouze ro dolní olohu kyvadla. Rovnie 3.1. vyjádříe ve tvaru vhodné ro linearizai ),, ( f ),,,, ( u f, (3.3.1) tedy I l I k I gl Θ sin os u l l b + + sin os. (3.3.) Linearizujee rovnie 3.3. v obené raovní bodě + + I l I gl I k I l sin os os u l l b l l + + + + os sin sin os (3.3.3) a dosadíe raovní bod odovídajíí horní oloze kyvadla, ro nějž π + I gl I k I l u b l +. (3.3.4)

4 3.4 Stavový ois Linearizované rovnie 3.3.4 usí být ještě dále uraveny za účele sestavní stavového oisu systéu. Rovnie řevedee do tvaru ),,, ( u f ),,, ( u f, (3.4.1) tedy u a l a lb a gl a k + u a I a bi a g l a lk +, (3.4.) kde jse zavedli konstantu I l a. Zavedee další stavy ryhlost vozíku v a úhlová ryhlost kyvadla ω, číž se zbavíe druhýh derivaí v rovniíh 3.4. u a l v a lb a gl a k + ω ω ω u a I v a bi a g l a lk v + ω v. (3.4.3) Stavový ois linearizovaného systéu ro kyvadlo v horní oloze získáe dosazení identifikovanýh konstant do rovni 3.4.3 ve tvaru u B A + u D C y +, (3.4.4) kde vektor stavů je [ ] T v ω (3.4.5) a atie systéu 1 4.17-1.4 -.6 1 49.7-13 -.77 A 6.17 73.5 B T C 1 D. (3.4.6)

3.5 Návrh regulátoru V rái [1] jse regulátor ro inverzní kyvadlo navrhovali klasiky z řenosů systéu etodou uisťování ólu (root lous). Navrženýi regulátory se ná sie odařilo soustavu stabilizovat, systé byl ale ve výsledku říliš kitavý a nebyl shoný uřídit ani drobné vnější zásahy. Z toho důvodu jse se rozhodli návrh rovést jako stavový kvadratiky otiální regulátor (LQR) a to z následujííh důvodů: Stavový regulátor využívá inforai o všeh staveh systéu, ůže tedy lée určit akční zásah do systéu. Neusíe navrhovat ozorovatele, rotože áe k disozii všehny stavy systéu. Polohu vozíku a náklon kyvadla řío ěříe, ryhlost vozíku v a úlovou ryhlost kyvadla ω snadno vyočtee filtrovanou derivaí. Metoda syetri root lous (SRL) saa navrhne stabilní a otiální regulátor uístění ólů systéu do otiální olohy i ro složitější systéy. Odadá tedy kolikované ruční uisťování ólů systéu vyžadujíí značné zkušenosti návrháře. Návrh regulátoru zahrnuje navržení dvou regulačníh syček. První vnitřní syčka stabilizuje kyvadlo v rovnovážné bodě v horní oloze. Druhá vnější syčka řídí olohu vozíku. Základní regulační shéa je znázorněno na Obr. 3.6. Obě regulační syčky jsou navrženy etodou syetri root lous (SRL) založenou na kvadratiky otiálníh regulátoreh (LQR), jejihž rini je osán v knize Franklin [8]. Navržené regulační syčky je ožné v naše říadě sloučit do jedné výsledné, ve které je vektor konstant K K 1 + K. Kvůli názornosti jsou ale v následujííh shéateh syčky kresleny odděleně. Podrobný ostu návrhu regulátoru je uveden v okoentované skritu ro Matlab v říloze: Příloha C. V další tetu jsou uvedeny ouze hlavní kroky návrhu. Obr. 3.6: Základní regulační shéa 5

3.5.1 Návrh vnitřní syčky Vyházíe ze stavového oisu systéu osaného rovniei 3.5.4. Poloha ólů systéu s uzavřenou syčkou se určí etodou syetri root lous ooí říkazu sisotool v Matlabu. Výočet vektoru konstant regulátoru rovádí říkaz lae. Přenos systéu na náklon kyvadla v otevřené syče byl vyočten říkaze sstf z ati systéu 73.5s f ( s). (3.5.1) 4 3 s + 4.15s + 13.7s + 487.6s Poloha ólů systéu v uzavřené vnitřní syče byla vyočtena říkaze sisotool [- 3.14-1.1-3.14i -1.1 3.14i ] oles 1 +. (3.5.) Vektor konstant regulátoru byl vyočten říkaze lae K [.43 1 4.96-1.36 ]. (3.5.3) Z vyočteného vektoru konstant je ožné vidět, že ro saotnou stabilizai náklonu kyvadla není odstatná oloha vozíku. 3.5. Návrh vnější syčky Vyházíe ze systéu s uzavřenou vnitřní syčkou, jehož atie se určí snadno z ati ůvodního systéu (3.4.6) a vektoru konstant vnitřní syčky (3.5.3) A A BK 1-31.5 1 -.63-33 - 9.4 5 4. [ 1] D D 1 B B, C. (3.5.4), Postu návrhu je shodný s návrhe vnitřní syčky. Přenos systéu na olohu vozíku 6.17 s +1.5 s - 71 f ( s). (3.5.5) 4 3 s + 7.3s + 3.3s + 49.7 s Poloha ólů systéu v uzavřené syče [-1.17 + 3.5i -1.17-3.5i -,6 1,76] oles. (3.5.6) Konstanty regulátoru K [.559.66 -.441-1.14]. (3.5.7) 6

3.6 Realizae regulae v Siulinku Koletní regulační shéa je znázorněno na Obr. 3.9. Základní funkí regulátoru je stabilizovat kyvadlo v horní oloze. Poloha vozíku je ovládána řes řiojený joystik. Kyvadlo ůže být do horní olohy uístěno buďto ručně, nebo zela autoatiky vyšvihnutí. Mezi oběa režiy se řeíná ruční řeínače. Vzhlede k tou, že shéa bude oužíváno v laboratoři k rezentai funke výukového odelu, je jeho součástí i odrobný návod k ovládání a obsluze inverzního kyvadla. 3.6.1 Blok řeočet úhlu Blok (Obr. 3.7) rovádí řeočet ěřeného náklonu kyvadla ro otřeby regulátoru navrženého v části 3.5. Úhel náklonu je ěřen roti sěru hodinovýh ručiček v radiáneh v teoretiké rozsahu (, ), kde nulová oloha tyiky odovídá dolní oloze kyvadla. Na druhou stranu je regulátor navržen na základě linearizovaného odelu, a tudíž na vstuu očekává odhylky od raovního bodu, který odovídá horní oloze kyvadla. Tuto situai vystihuje Obr. 3.8. Obr. 3.7: Blok řeočet úhlu Obr. 3.8: Odhylky od raovního bodu 7

Obr. 3.9: Hlavní regulační shéa ro Siulink 8

3.6. Blok suštění regulae Blok (Obr. 3.1) rovádí řeínání signálu ro ohon otoru. Po suštění siulae je na otor řiveden signál ro rozkývání kyvadla v autoatiké režiu, říadně nulový signál v ruční režiu. Jestliže se náklon kyvadla dostane do intervalu <.175,. 175 > ož odovídá < 1, 1 >, řene se na otor signál z regulátoru. Blok naví zastavuje siulai v říadě sadnutí kyvadla ři řekročení náklonu nárazy rozjetého vozíku. π ±, číž jsou hráněné dorazy odelu řed silnýi 4 Obr. 3.1: Blok řeínání řízení 3.6.3 Autoatiké vyšvihnutí kyvadla do horní olohy Nakone se ovedlo najít oěrně jednoduhé řešení tohoto robléu. Na vstu odelu je řiveden haroniký signál o frekveni 1 rad/s, která odovídá rezonanční frekveni linearizovaného systéu. Eerientálně byla určena jako nejvhodnější alituda, 7 a fázový osuv π / 4. 3.7 Realizae regulae v PLC Řídíí rogra (Příloha D) byl vytvořen v rograovaí software RSLogi 5 firy Rokwell Autoation. V PLC byl realizován odobně jako v Siulinku stavový regulátor navržený v části 3.5. Oroti řízení v Siulinku byla ileentována ouze základní funkčnost stabilizae. Rozšíření o další funke ale není složité a je oneháno studentů ředětů vyučovanýh v laboratoři K3. 3.7.1 Souštění řízení Algoritus se souští ruční nastavení bitu running řes RSLogi 5. PLC řene řízení na sebe, ož je indikováno červenou LED diodou na hlavní skříni, a čeká 5s na ruční zvednutí kyvadla. Kyvadlo usí být na začátku v klidu a do horní olohy zvednuto roti sěru hodinovýh ručiček. Po ěti sekundáh od startu začne regulátor stabilizovat kyvadlo, vozík je regulaí udržován v ůvodní oloze. Řízení se ukončí ruční shození bitu running říadně dosažení krajní olohy dráhy vozíke. 9

3.7. Poznáky k ileentai Progra byl rozdělen na dvě rutiny endulu1 (Obr. 4.4 a Obr. 4.5) a endulu (Obr. 4.6 a Obr. 4.7). Zatío rutina endulu1 je nasána v žebříčkové logie a zajišťuje základní logiku řízení, endulu realizuje saotný stavový regulátor v diagrau funkčníh bloků. Obsahy registrů HSC odulu udávajíího náklon kyvadla a olohu vozíku jsou stejný zůsobe jako v siulinkové bloku endulu řeváděny na radiány ro náklon kyvadla a na etry ro olohu vozíku. Kvůli zjednodušení regulačního shéatu byly obě navržené regulační syčky sloučeny do jedné. 3.8 Vlastnosti navržené regulae V této části je zhodnoeno hování stabilizujíího regulátoru navrženého v části 3.5 a realizovaného v Siulinku. Z naěřenýh růběhů je vidět skutečné hování řízené soustavy. V říadeh, kdy je to ožné, jsou naěřená data orovnána s výsledky siulae. Průběhy ři řízení z PLC nebyly naěřeny, ale vzhlede k tou, že se jedná o realizai stejného regulátoru, lze očekávat velie odobné výsledky. Pro srávné ohoení následujííh obrázků si je třeba uvědoit, že oloha vozíku je ěřena z leva dorava v etreh a náklon kyvadla je ěřen roti sěru hodinovýh ručiček v radiáneh. Pro účely siulae řízení odelu lze systé s uzavřenou syčkou určit snadno výočte z ati ůvodního identifikovaného systéu a vektorů konstant navrženého regulátoru. Matie systéu s uzavřenou regulační syčkou se vyočítají snadno z ati ůvodní soustavy A CL A B( K 1 + K ) B CL B, C CL C, D CL D. (3.8.1) 3.8.1 Stabilizae kyvadla Obr. 3.1 zahyuje stabilizai kyvadla bez uělýh zásahů do řízení. Lze si všinout, že vozík nestojí na ístě, ale kitá oalu okolo žádané olohy s rozkite řibližně čtyři entietry. V siulai se žádné kity neobjevují díky silně zatluený kitavý ólů (Obr. 3.11). V rai se říležitostně stane, že se regulátoru odaří najít řesný rovnovážný bod a kitání vozíku se zela zastaví, takový říad ale nastává zřídka a zela náhodně. Obr. 3.13 zahyuje shonost regulátoru stabilizovat vnější uělé zásahy do soustavy. V růběhu ěření bylo do kyvadla šťouháno rsty a vozíku byl rukou zneožňován volný ohyb. Lze si všinout, že regulátor dokáže stabilizovat výhylky kyvadla až do náklonu dvaeti stuňů. Tyiký růběh stabilizae je znázorněn na Obr. 3.14, kdy vozík usí ěnit ryhle svojí olohu odle ožadavků z joystiku. 3.8. Systé s neiniální fází Z řenosu na olohu v uzavřené syče 6.173 s +1.518 s - 71.3 f CL (3.8.) 4 3 s + 8.7 s + 69.9 s + 87. s + 731.7 3

je atrné, že systé obsahuje kladnou nulu, ož je grafiky znázorněné na Obr. 3.11. Jedná se tedy o syté s neiniální fází. Charakteristiké hování sytéu je dále atrné z naěřenýh i siulovanýh růběhů. Obr. 3.15 zahyuje situai, kdy byl na soustavu v klidu a s kyvadle v horní oloze řiveden ožadavek na ryhlou zěnu olohy vozíku dorava. Na uvedenýh růbězíh je však vidět, že vozík se nejrve írně osunul oačný sěre doleva a až oté se začal ohybovat dorava ožadovaný sěre. Toto zajíavé hování je zela řirozené a lze ho snadno vysvětlit: okud by se vozík rozjel rovnou dorava, zryhlení v toto sěru by zůsobilo ád kyvadla roti sěru hodinovýh ručiček. 4.95.91.8.55 Pole-Zero Ma 3.976.988.995 Iaginary Ais 1-1.999 14 1.999 1 8 6 4.995 -.988-3.976.95.91.8.55-4 -15-1 -5 5 1 15 Real Ais Obr. 3.11: Přenos na olohu v uzavřené syče 3.8.3 Autoatiké vyšvihnutí do horní olohy Autoatiké vyšvihnutí kyvadla do horní olohy rauje velie solehlivě a jeho tyiký růběh je znázorněn na Obr. 3.16. Vyšvihnutí kyvadla do horní olohy tyiky trvá 1,3s s tí, že do zela ustáleného stavu se soustava dostane do dvou sekund. Okažik řenutí na regulátor je z obrázku jasně atrný. 31

.8.6 akční zásah oloha vozíku náklon kyvadla žádaná oloha vozíku.4. u[-], [], th[rad] -. -.4 -.6 -.8 -.1 -.1 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 t[s] Obr. 3.1: Stabilizae kyvadla bez vnějšíh zásahů.4 oloha vozíku náklon kyvadla.3. [], th[rad].1 -.1 -. -.3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 t[s] Obr. 3.13: Stabilizae kyvadla s vnějšíi zásahy do soustavy 3

.4.3 oloha vozíku náklon kyvadla joystik..1 [], th[rad] -.1 -. -.3 -.4 4 6 8 1 1 14 16 18 t[s] Obr. 3.14: Ovládání vozíku joystike 33

1. 1 Měření žádaná oloha vozíku oloha vozíku náklon kyvadla.8.6 [], th[rad].4. -. -.4 6.5 6.7 6.9 7.1 7.3 7.5 7.7 7.9 8.1 8.3 t[s] 1. 1 Siulae žádaná oloha vozíku oloha vozíku náklon kyvadla.8.6 [], th[rad].4. -. -.4..4.6.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 t[s] Obr. 3.15: Posun vozíku se stabilizovaný kyvadle 34

4 akční zásah náklon kyvadla 3 u[-], th[rad] 1-1 - -3.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 t[s].15 oloha vozíku.1.5 [] -.5 -.1 -.15 -..5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 t[s] Obr. 3.16: Autoatiké vyšvihnutí vozíku do horní olohy 35

Kaitola 4 Závěr V rái ráe se odařilo úsěšně slnit následujíí úkoly. Byly rovedeny hardwarové úravy říravku inverzní kyvadlo tak, aby jej bylo ožné řídit jak z Matlabu v PC tak z rograovatelného autoatu. Dále byl vytvořen ois říravku o rovedenýh úraváh, který bude sloužit studentů v rái vičení v laboratoři k ryhléu seznáení s odele. V druhé části ráe byl koletně navržen a v Siulinku realizován ukázkový stavový regulátor stabilizujíí kyvadlo v horní oloze. Jeho základní verze byla též ileentována do rograovatelného autoatu řady ControlLogi firy Rokwell Autoation. Součástí úrav odelu byla i realizae obvodu řeínání řízení. Vzhlede k tou, že zočátku nebyla zela jasná finální odoba elého obvodu, rozhodli jse se jej realizovat ručně na univerzální ájivé dese s tí, že odle aktuální otřeby bude obvod ružně uravován. Zvolený ostu se ale ukázal jako ne říliš šťastný a řes relativní jednoduhost obvodu časově velie náročný. Výrazně jednodušší by zela jistě bylo nejrve rovést důkladný návrh obvodu a až oté jeho realizai na dese lošného soje. Na druhou stranu jako velie vhodné se ukázalo uístit řeínaí obvod do skříně ůvodního naájeího zdroje a na ně vytvořit anel s konektory ro řiojení všeh částí říravku. Za jednoznačný úsěh lze ovažovat navržený regulátor, který dokáže stabilizovat i značné vnější zásahy do řízení. Stabilizae kyvadla o jeho autoatiké vyšvihnutí do horní olohy též nečiní regulátoru větší otíže. Úsěh také je, že se oěrně jednoduhý zůsobe odařilo navržený stavový regulátor ileentovat v rograovatelné autoatu ControlLogi, s číž nebyly v laboratoři K3 doosud říliš velké zkušenosti. Drobný nedostatek oužité regulae je v rái stabilizae írné kitání vozíku okolo klidové olohy. Pokud by se odařilo kitání ještě víe zírnit, je velie ravděodobné, že regulátor by byl shoný ryhle najít řesný rovnovážný bod a vozík by se zela zastavil. Tento stavu ale v naše říadě nastává velie zřídka a zela náhodně. Dobrýh výsledků bylo io jiné dosaženo i díky zkušenoste autora ráe s títo odele získaný v rái laboratorníh raí v ředhozíh seestreh. Po dohodě s vedouí bakalářské ráe bylo uuštěno od rograování anelu oerátora PanelView Plus. 36

Literatura [1] Toáš Haniš, Seestrální ráe, 7 [] Quanser, IP User Manual, 3 [3] Huusoft, MF64 User Manual, 6 [4] Rokwell Autoation, High Seed Counter User Manual, [5] Rokwell Autoation, Isolated Inut Module User Manual, 1999 [6] Rokwell Autoation, Fused Outut Module User Manual, 4 [7] Rokwell Autoation, Analog Outut Module User Manual, 3 [8] FRANKLIN F., Feedbak ontrol of dynai systes, 5 th edition. Uer Saddle River, NJ: Prentie Hall, 6 [9] Lukáš Kratohvíl, Laboratorní ráe Systéy a odely, 7 [1] Lukáš Kratohvíl, Laboratorní ráe Systéy a řízení, 8 37

Příloha A Obsah řiloženého CD kratol1_bp.df bakalářská ráe Dokuenty Kyvadlo.do literatura [1] Quanser_IP.df literatura [1] Huusoft_MF64.df literatura [3] 1756 HSC.df literatura [4] 1756 IB16I.df literatura [5] 1756 OB16E.df literatura [6] 1756 OF8.df literatura [7] kratol1_ip_sam.df liteartura [9] kratol1_ip_sri.df literatura [1] Video IP_rezentae.wv rezentační video stabilizae kyvadla Matlab IP_ontrol.dl hlavní regulační shéa v Siulinku (Obr. 3.9) IP_telate.dl šablona ro návrh regulátorů v Siulinku (Obr..5) IP_design. skrit návrhu regulátoru v Matlabu (Příloha C) IP_siul. siulační shéa odelu PLC IP_ontrol.ad regulae v PLC (Příloha D) Eagle endulu.sh elektriké shéa v rograu Eagle (Obr. 4.1) reinani.sh elektriké shéa v rograu Eagle (Obr. 4.3) 38

Příloha B Elektriké zaojení B.1. Zaojení konektorů na anelu hlavní skříně Pendulu (P) Pin Pois 1 ni ni 3 otor + 4 otor + 5 otor 6 otor 7 konový sínač KPD 8 konový sínač KLD 9 náklon IRC B 1 náklon IRC +5V 11 náklon IRC A 1 náklon IRC GND 13 konový sínač KLD 14 konový sínač KPD 15 vozík IRC GND 16 vozík IRC A 17 vozík IRC +5V 18 vozík IRC B 19 ni ni Tab. 4.1: Konektor endulu 39

Joystik (J) Pin Pois 1 otenioetr +5V tlačítko levé B1 3 tlačítka GND 4 otenioetr GND 5 ni 6 otenioetr signál 7 tlačítko ravé B 8 ni Tab. 4.: Konektor joystik PLC Zaojení konektoru Přiojení PLC Pin Pois Modul Pin odulu Název inu 1 vozík IRC A 1756 HSC 16 A(5V) vozík IRC B 1756 HSC 1 B(5V) 3 náklon IRC A 1756 HSC 15 A1(5V) 4 náklon IRC B 1756 HSC 9 B1(5V) 5 oba IRC GND 1756 HSC 18, 1, 17, 11 RET 6 řeínání řízení + 1756 OB16E 1 OUT 7 řeínání řízení 1756 OB16E 9 RTN OUT 8 signál otor + 1756 OF8 7 VOUT 1 9 signál otor GND 1756 OF8 15 RTN 1 konový sínač KPD +5V 1756 IB16I 11 IN 5 11 konový sínač KLD +5V 1756 IB16I 13 IN 6 1 konové sínače GND 1756 IB16I 1, 14 GND 5, GND 6 13 5 rezerva Tab. 4.3: Konektor kabelu roojujíí říravek s PLC 4

B.. Shéata zaojení Obr. 4.1: Vnitřní zaojení odelu inverzní kyvadlo Obr. 4.: Vnitřní zaojení joystiku 41

Obr. 4.3: Shéa zaojení obvodu řeínání řízení Počet Označení ve shéatu Ty Hodnota 1 R1, R3 R EU 4/7 1 kω 3 R, R4, R5 R EU 4/7 1,3 kω 1 R6 R EU 4/7 47 kω 1 IC1 74HCT4N 1 IC 785H +5 V 1 IC4 výkonový zesilovač, součást skříně 1 K1 RELEHSD4 4V 1 D1 LED 5MM RED červená 1 D LED 5MM GREEN zelená 1 D3 BY5 1 U1 stabilizovaný, součást skříně +1 V ss Tab 4.4: Sezna součástek obvodu řeínání řízení 4

Příloha C Skrit návrhu regulátoru ro Matlab lear all; %identifikované konstanty v rovniíh odelu I8.7*1^-4; l.66; t.94;.157; k.14*1^-4; 6.1; b 4.63; g9.81; fi1; %ooné roěnné t+; a ^*l^-i*; %Matie linearizovaného systéu ro kyvadlo v horní oloze Au [k*/a -*g*l*/a *l*b/a ; 1 ; *l*k/a -^*l^*g/a b*i/a ; 1 ]; Bu [-*l*/a; ; -I*/a; ]; Cu [ 1 ]; Du ; %vektor stavů [oega; theta; v; ]; sysu ss(au, Bu, Cu, Du); %Návrh vnitřní syčky (regulae náklonu) r1 rank(trb(au, Bu)); [nu, den] sstf(au, Bu, Cu, Du); fu tf([73.53 ], [1 4.454-13.6-487.6 ]); %řenos systéu sysu na na náklon theta nubb onv([73.53 ], [73.53 ]); denbb onv([1 4.454-13.6-487.6 ],[1-4.454-13.6 +487.6 ]); fubb tf(nubb, denbb); %fubb fu(s)*fu(-s) %sisotool(fubb) % zobrazí óly sysu v uzavřené syče, jako zesílení volíe konstantu ro, Cro1 oles1 [-3.14, -1.1-3.14j, -1.1 + 3.14j, ]; %vybíráe ouze stabilní óly zobrazené v sisotool K1 lae(au, Bu, oles1); %Matie a řenos systéu s vnitřní regulační syčkou (regulae náklonu) Au Au - Bu*K1; Bu Bu; Cu [ 1]; Du Du; sysu ss(au, Bu, Cu, Du); [nu, den] sstf(au, Bu, Cu, Du); fu tf([6.173 1.518-71], [1 7.3 3.3 49.7 ]); %fu(s) %Návrh vnější syčky (regulae olohy) r rank(trb(au, Bu)); nubb onv([6.173 1.518-71], [6.173-1.518-71]); denbb onv([1 7.3 3.3 49.7 ], [1-7.3 3.3-49.7 ]); fubb tf(nubb, denbb); %fubb fu(s)*fu(-s) %sisotool(fubb) %C ro 1 oles [-1.17 + 3.5j, -1.17-3.5j, -.6, -1.76]; K lae(au, Bu, oles); 43

Příloha D Realizae regulátoru v PLC Obr. 4.4: Rutina endulu1, část 1/ 44

Obr. 4.5: Rutina endulu1, část / 45

Obr. 4.6: Rutina endulu, list 1/ Obr. 4.7: Rutina endulu list / 46