Fakulta informačních technologií

České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Historie matematiky a informatiky Zlatý řez Jaroslav Hrách

Obsah 1 Úvod 1 2 Historie 2 3 Zlatý řez v matematice 4 3.1 Výpočet zlatého řezu....................... 4 3.2 Geometrická konstrukce zlatého řezu.............. 5 3.3 Zlatý obdélník.......................... 6 3.4 Zlatá (logaritmická) spirála................... 6 3.5 Fibonacciho posloupnost..................... 6 3.5.1 Úloha s králíky...................... 7 4 Zlatý řez v přírodě 9 5 Zlatý řez v umění 9

1 Úvod Položme si několik základních otázek: Co je to krása? Existují na krásu nějaká měřítka? Dá se krása matematicky vyjádřit? Krása jako taková je veskrze abstraktní pojem, jehož vysvětlení není snadným úkolem. Krásou se zabývá filosofická disciplína zvaná estetika, pojem vymezený v 18. století. Nicméně ještě dávno předtím se těmito otázkami zabývala řada velkých myslitelů. Jednou z uspokojivých odpovědí na námi kladené otázky je bezesporu zlatý řez (alternativně také zlaté číslo či zlatý poměr). Zlatý řez je vnímán jako ideální poměr mezi dvěma úsečkami a působí tak estesticky příznívým dojmem. Nejčastěji se zlatý řez označuje řeckým písmenem φ (fí) a odpovídá hodnotě 1,618033... Se zlatým řezem se setkáme takřka na každém rohu. V přírodě, architektuře, umění, malbě, fotografii, či třeba hudbě. Dokonce i zcela neintuitivní matematické konstrukty nás mohou zavést ke zlatému řezu. Geometrie má dva poklady: pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen. Johannes Kepler 1

2 Historie Zlatý řez má velmi bohatou historii, která sahá až do dávných civilizací starověkého Východu, Egypta a Babylonu. Zlatý řez, respektive poměr na něm založený, používali již Egypt ané při stavbě pyramid. Alespoň to tvrdí Rhindův papyrus, který vznikl někdy v období 1788-1540 př. n. l. a ve kterém se píše, že v pyramidách je utajen tajemný kvocient, nazvaný seqt. Tento seqt později objevili Řekové. Zda šlo opravdu o zlatý řez, jak ho dnes známe my, je však spíše polemikou. Někteří historikové se to sice domnívají, nicméně žádná měření tuto domněnku nepotvrdila, ovšem ani nevyvrátila. Antický učenec Euklides se kolem let 340-287 př. n. l. fenoménem zlatého řezu zabýval. Ve svém díle Základy uvedl následující úlohu: Rozděl úsečku na dva díly tak, aby obdélník, jehož jedna strana je celá úsečka a druhá strana je jeden z dílů, měl stejný obsah jako čtverec nad druhým dílem. Na svou dobu se jednalo nepochybně o velmi náročnou úlohu, jelikož stále ještě nebyla známa algebra. Řešením této úlohy je pak právě rozdělení úsečky v poměru zlatého řezu. Euklides se dále zabýval konstrukcí pravidelného pětiúhelníku, který opět vede na tento poměr. Euklides nebyl v antice jediný, kdo se zlatým řezem zabýval. Umělec Phidias (sochař, malíř, zlatník a architek) v 5. století př. n. l. postavil známý Parthenón na athénské Akropoli, jehož základem je zlatý obdélník a zlatý poměr nalezneme i na průčelí této stavby. Obrázek 1: Parthenón na athénské Akropoli Ve středověku byl zlatý řez považován za dílo Boha a údajně představoval dokonalost božího stvoření. V té době se o něm nic nového nezjistilo. Až teprve v období renesance (15. století) se začalo něco dít a to zejména v Itálii. Renesanční matematik Luca Pacioli navázal na Eukleidovy Základy a roku 1509 vydal pojednání O božském poměru, které bylo doplněno ilustracemi Leonarda da Vinci (ten považoval zlatý řez za ideál krásy a harmonie). Kniha obsahuje zajímavou sbírku příkladů výskytu poměru zlatého řezu v 2

rovinných obrazcích a tělesech. Německý malíř Albrecht Dürer ve svém spisu z roku 1528 rozvinul některé teoretické problémy nauky o proporcích. I zde se setkáváme s řadou zlatých řezů, úseček a zlatých obdélníků. Mezi holandskými mistry výtvarného umění vynikal v teorii i užití zlatého řezu Jan Vermeer (1632 až 1675). Až od 19. století se začalo užívat označení zlatý řez a zlatý poměr. V současné době ustoupila, snad trochu neprávem, teorie zlatého čísla do pozadí. Jednou z mála osobností, která se touto problematikou ve 20. století zabývala, byl Francouz Matila Ghyka, který v roce 1931 vydal v Paříži knihu Le Nombre d Or (v překladu Zlaté číslo ). Následně, v roce 1946, vyšla ve Velké Británii jeho kniha The geometry of Art and Life (v překladu Geometrie umění a života ). Autor se v obou dílech zaobírá výskytem zlatého čísla v přírodě i v architektuře, jeho vlastnostmi a využitím od starověkého Egypta přes antiku až po současnost. V dnešní době o přítomnosti zlatého čísla svědčí například pyramida v Louvre nebo budova La Géode v Paříži. Dále se se zlatým řezem můžeme setkat v mnoha odvětvích jako například planimetrie, stereometrie či třeba v plastických chirurgiích. 3

3 Zlatý řez v matematice Mějme úsečku nějaké délky. Rozdělme ji na dvě části a a b tak, aby byl poměr mezi celkovou délkou a+b a větší částí a stejný jako poměr větší části a a menší části b. Obrázek 2: Poměr a:b je stejný jako poměr (a+b):a. Zdroj: [6] 3.1 Výpočet zlatého řezu Pokud výše uvedené tvrzení převedeme do matematického vyjádření, dostaneme následující rovnici: a b = a + b a Tento poměr označíme symbolem φ jako zlatý řez. φ = a b Následně provedeme pár matematických úprav. Nejprve vyjádříme délku a, následně ji dosadíme do první rovnice a nakonec vykrátíme délkou b. Potom se zbavíme zlomků, převedeme členy na jednu stranu rovnice a získáme tak kvadratickou rovnici. a = bφ bφ b = bφ + b bφ φ = φ + 1 φ φ 2 = φ + 1 φ 2 φ 1 = 0 Kvadratická rovnice vede na dvě řešení, jedno kladné a jedno záporné. Jelikož jsme vypočítali poměr větší části k menší, musí vyjít poměr větší než 1, 4

proto je řešením rovnice pouze kladný kořen, který odpovídá iracionálnímu číslu: φ = 1 + 5 2 = 1, 618033988749894... 3.2 Geometrická konstrukce zlatého řezu Pro geometrické vyjádření zlatého řezu se používá tzv. Herónova konstrukce a skládá se z několika kroků: Obrázek 3: Herónova konstrukce zlatého řezu. Zdroj: [8] 1. Sestrojíme úsečku AB, kterou chceme rozdělit zlatým řezem. 2. Z bodu B vztyčíme kolmici o délce poloviny AB. 3. Konec kolmice označíme jako bod C. 4. Sestrojíme trojúhelník ABC. 5. Sestrojíme kružnici n se středem v bodě C a poloměrem BC. 6. Průnik kružnice n a úsečky AC označíme jako bod N. 7. Sestrojíme kružnici m se středem v bodě A a poloměrem AN. 8. Průnik kružnice m a úsečky AB označíme jako bod M. 9. Délky úseček AB a AM jsou navzájem ve zlatém poměru. 5

3.3 Zlatý obdélník Zlatý obdélník je takový obdélník, který má delší stranu ke kratší straně v poměru zlatého řezu. Takový obdélník má mnoho zajímavých vlastností. Například při vepsání zlatého obdélníku do čtverce nám všechny vrcholy obdélníka rozdělují strany čtverce v poměru zlatého řezu. Dále pokud od zlatého obdélníku oddělíme čtverec odpovídající velikosti jedné strany, dostaneme ze zbývající části další zlatý obdélník. Obrázek 4: Zlatý obdélník. Zdroj: [6] Obrázek 5: Zlatý obdélník vepsaný ve čtverci. Zdroj: [2] 3.4 Zlatá (logaritmická) spirála U zlaté spirály využijeme zlatého obdélníku a jeho vlastnosti dělení. Pokud toto dělení provedeme několikrát, můžeme nakreslit spirálu, která protíná body vyznačující zlaté řezy jednotlivých obdélníků. Proč logaritmická? Pojmenování je odvozené od způsobu prodlužování poloměru při vzdalování spirály od středu po směru hodinových ručiček. Pro zlatou spirálu je navíc charakteristické, že se vzrůstající velikostí se nemění její tvar. 3.5 Fibonacciho posloupnost Italský matematik Leonardo Fibonacci, vlastním jménem Leonardo Pisánský, se zabýval aritmetikou a algebrou. Skrze různé matematické úlohy přinesl plno zajímavých myšlenek a umožnil zkoumání tzv. Fibonacciových čísel 6

Obrázek 6: Spirála v obdélnících. Zdroj: [3] a vznik Fibonacciho posloupnosti. Fibonacciho posloupností se rozumí nekonečná řada, kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Fibonacciho posloupnost je definována následovně: F 1 = 1 F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2 3.5.1 Úloha s králíky Fibonacci objevil vztah zlatého řezu na úloze s králíky, jejíž zadání zní: Kolik párů králíků se během jednoho roku narodí z jednoho páru, jestliže každý pár dá měsíčně přírůstek jeden pár, jenž bude schopen plodit po dvou měsících, když přitom žádný pár nezahyne? Posloupnost Fibonacciho čísel odpovídá řadě: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Obrázek 7: Grafické znázornění úlohy s králíky. Zdroj: [7] 7

Pokud spočítáme několik poměrů dvou za sebou jdoucích členů Fibonacciho posloupnosti, můžeme si všimnou, že konvergují k hodnotě zlatého řezu: 1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1,5 5/3 = 1,666... 8/5 = 1,6 13/8 = 1,625 21/13 = 1,615... Z tohoto zjištění potom lze dokázat, že platí: φ = lim n F n F n 1 8

4 Zlatý řez v přírodě V přírodě se se zlatým řezem můžeme setkat téměř kdekoliv. Nejvýraznější je v tomto případě logaritmická spirála, kterou můžeme vidět například u skořápky loděnky, či u schránek plžů. Tvar odpovídající spirále je k nalezení i na řadě neživých částí živých tvorů jako jsou vlasy, nehty, zobáky, zuby, rohy, parohy, konkrétně třeba kly slonů. Obrázek 8: Schránka plže. Zdroj: [6] U rostlin je velmi zajímavá struktura rozmístění semen u semenících květin (například u slunečnice), semen šišek, kaktusů či uspořádání listů některých květin. V kontextu již zmiňované Fibonacciho posloupnosti se zde objevuje fylotaxe, což je biologický termín pro postavení listů na stoncích rostliny. 5 Zlatý řez v umění Jelikož se nám jeví zlatý řez jako něco estetického, či subjektivněji krásného, je hojně využíván v mnoha odvětvích lidského působení. Výraznou roli hraje v oblasti umění, kdy byl již v dávné minulosti využíván v malbě. Již Leonardo da Vinci využil zlatý řez ve svém slavném obraze Mona Lisa a v mnoha dalších obrazech. Od obrazů je jen malý krok k fotografii, kde se v profesionální sféře bere zlatý řez jako samozřejmost, kterou by měl znát každý fotograf. Další výraznou oblastí je architektura. Proporce ve zlatém poměru můžeme nalézt téměř ve všech významných stavbách po celém světě. Často se používají základny ve tvaru zlatého obdélníku, dveře a okna se rozmist ují podle zlatého poměru. 9

Obrázek 9: Mona Lisa a zlatý řez. Zdroj: [9] Zlatý řez hraje roli dokonce i v oblasti hudby. Kupříkladu konstrukce houslí obsahuje zlatý řez. U piána zase nalezneme Fibonacciho čísla. 10

Reference [1] Janoušek, I. Estetika. 2015, přednáška z předmětu Základy gnozeologie na FIT CVUT. [2] Nagyová, Iveta. Zlatý řez. [online]. [cit. 2017-01-21]. Dostupné z: http: //mujweb.cz/zlaty.rez/diplomka.html [3] Jozefík, Tomáš. Zlatý řez v matematice, přírodních vědách a umění. Odborná maturitní práce. Dostupné z: https://www.wlyceum.cz/web/ soubory/jozefik.pdf [4] Chmelíková, Vlasta. Zlatý řez. Bakalářská práce. Dostupné z: http:// kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/chmelikovabp/zlaty_rez.pdf [5] Kotková, Kateřina. Zlatý řez. Diplomová práce. Dostupné z: https:// is.muni.cz/th/128853/pedf_m/dipl.prace_kotkova.pdf [6] Wikipedia.org Golden ratio. [online]. [cit. 2017-01-23]. Dostupné z: https://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio [7] Wikipedia.org Fibonacci number. [online]. [cit. 2017-01-23]. Dostupné z: https://en.wikipedia.org/wiki/fibonacci_number [8] Hordějčuk, Vojta Zlatý řez. [online]. [cit. 2017-01-23]. Dostupné z: http: //voho.eu/wiki/zlaty-rez/ [9] Neff, Ondřej Zlatý řez. [online]. [cit. 2017-01-23]. Dostupné z: http:// digineff.cz/art/pojmy/zlat-ez.html 11