Diskrétní matematika (KAP/DIM)

Technická univerzita v Liberci Zápisky z předmětu Diskrétní matematika (KAP/DIM) Autor: David Salač Vyučující: doc. Miroslav Koucký z akademického roku 2015 / 2016 19. prosince 2015

OBSAH 1 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Obsah 1 Úvod do teorie dělitelnosti 4 1.1 Začínáme s celými čísly.......................... 4 1.2 Společný dělitel, největší společný dělitel................ 6 1.3 Eukleidův algoritmus........................... 7 1.3.1 Příklady na Eukleidův algoritmus................ 7 1.4 Další algoritmy nalezení NSD...................... 8 1.5 Bezoutova rovnost............................ 9 1.6 Společný dělitel více než 2 čísel..................... 10 1.6.1 Hledání NSD více čísel...................... 10 1.7 Diofantická rovnice............................ 10 1.8 Společný násobek............................. 11 1.8.1 Společný násobek více čísel................... 11 1.9 Prvočísla.................................. 12 1.10 Základní věta aritmetiky......................... 13 1.11 Některé důležité aritmetické funkce................... 13 1.11.1 Dolní a horní celá část čísla................... 15 1.11.2 Möbiova funkce.......................... 15 1.11.3 Eulerova funkce.......................... 16 1.12 Řetězové zlomky............................. 16 1.12.1 Konstrukce řetězového zlomku.................. 17 1.12.2 Přibližný zlomek......................... 17 1.12.3 Příklady řetězových zlomků................... 19 2 Kongruence 19 2.1 Vlastnosti relace kongruence....................... 19 2.1.1 Ekvivalentní pojmy u kongruencí................ 20 2.1.2 Vlastnosti kongruencí....................... 20 2.1.3 Úplná soustava nejmenších nezáporných zbytků........ 21 2.1.4 Úplná soustava absolutně nejmenších zbytků.......... 21

OBSAH 2 2.2 Redukovaná soustava zbytků mod m.................. 21 2.3 Eulerova věta............................... 22 2.3.1 Malá Fermatova věta....................... 23 2.3.2 Miller-Rabinův test prvočíselnosti................ 23 2.4 Řešení kongruencí............................. 24 3 Kongruence 1. stupně 24 3.1 Souvislost kongruence 1. stupně s diofantickou rovnicí......... 25 3.2 Obecné kongruence............................ 26 4 Soustavy kongruencí prvního stupně 26 4.1 Čínská věta o zbytcích.......................... 26 4.1.1 Aritmetika velkých čísel..................... 27 4.2 Zobecněná varianta řešení soustavy kongruencí............. 27 5 Úvod do algebry 28 5.1 Vlastnosti relací:............................. 28 5.2 Zobrazení................................. 28 5.2.1 Uzavřenost vzhledem k operaci................. 29 5.2.2 Vlastnosti binárních operací................... 29 5.2.3 Symetrický prvek a symetrizovatelnost............. 30 6 Grupy 30 6.1 Podgrupa................................. 31 6.1.1 Třídy grupy podle podgrupy................... 31 6.1.2 Věta (Lagrange)......................... 32 6.1.3 Některé pojmy.......................... 32 6.2 Cyklické grupy.............................. 33 6.2.1 Příklady cyklických grup..................... 33 6.2.2 Základní vlastnosti cyklických grup............... 34 6.3 Symetrické grupy............................. 34 6.3.1 Množina všech permutací a operace na ní............ 35 6.3.2 Zápis permutace pomocí cyklů.................. 35 6.3.3 Sudé a liché permutace...................... 36

OBSAH 3 7 Algebry se dvěma operacemi 36 7.1 Okruh................................... 36 7.2 Obor integrity............................... 37 7.3 Tělesa................................... 37 7.4 Vztahy uvedených algeber........................ 38 7.5 Eukleidovské obory integrity polynomů................. 38 7.5.1 Věta o dělení polynomu se zbytkem............... 39 7.5.2 Nalezení NSD polynomů..................... 40 7.5.3 Ireducibilita nad R........................ 40 7.5.4 Ireducibilita nad C........................ 41 7.6 Ireducibilita nad Z p............................ 41 8 Úvod do šifrování, kódování a komprese dat 43 8.1 Úvod do šifrování............................. 43

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 4 1 Úvod do teorie dělitelnosti Používané symboly: N přirozená čísla, uvažujeme VČETNĚ nuly (N = {0, 1, 2,...}) N + přirozená čísla bez nuly Z Celá čísla (N = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}) Q Racionální čísla (Q = { p q ; p Z q N+ }) R, E Reálná čísla C Komplexní čísla Dále je nutno znát (mimo jiné)... Symbol náleží: např. x A, x náleží A Symboly,, \ množinové operace v pořadí průnik, sjednocení rozdíl (ten lze též zapsat jako standardní odčítání symbolem " ") Operátory, velký operátor ("pro všechna"), malý operátor ("existuje alespoň jedno") Množinové relace, je podmnožinou, je vlastní podmnožinou Symbol prázdná množina Kartézský součin A B = {(a, b); a A, b B} Druhá kartézská množina A 2 = {(a, b); a, b A} Relace (binární) na množině A: Mohou být (anti)reflexivní, (anti)symetrické, tranzitivní. Např. ekvivalence je právě reflexivní, symetrická a tranzitivní. 1.1 Začínáme s celými čísly Množina celých čísel je uzavřená na operacích sčítání, odčítání, násobení. To znamená x, y Z (x + y) Z (x y) Z (x y) Z. Porovnejme například s množinou přirozených čísel, která zjevně není uzavřená na odčítání (např. 5 6 N). Množina celých čísel však NENÍ uzavřená na dělení ( x, y Z x Z). Teorie dělitelnosti tedy vlastně zkoumá vlastnosti komutativního okruhu Z vzhledem k operaci y dělení. Definice 1. býti dělitelem Nechť a, b Z, b 0. Řekneme, že b dělí a, zapisujeme b a, pokud q Z takové, že a = b q

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 5 Tedy triviálně b a, tj. b nedělí a, pokud q neexistuje. Využívané pojmy: a... dělenec čísla b b... dělitel čísla a q... podíl čísla a při dělení číslem b.. relace na Z (event. N) Základní vlastnosti: 1. a Z : 1 a 2. a Z \ {0} : a 0 a a 3. a Z \ {0} : a b b a (a = b) (a = b) a, b N + : (a b) (b a) a = b 4. a, b, c Z; a, b 0 : (a b) (b c) a c 5. a, b, c, d Z : a + b = c d a d c d b Důkaz: a = dq a ; c = dq c ; dq a + b = dq c b = d(q c q a ) d b 6. d a d a Důkaz: a = dq a a = ( d)( q a ) Poznámka: dělitele celých čísel uvažujeme pouze kladná přirozená čísla. Věta o dělení se zbytkem: Nechť a Z, b N +. Potom existuje jediná dvojce čísel q, r Z taková, že a = b q + r, kde 0 r < b. Využívané pojmy: q... neúplný podíl r... zbytek Důkaz: q = a, kde q je největší celé číslo splňující bq a. Platí dále 0 r = b a bq < b. Nyní pokračujeme sporem, předpokládejme, že máme k dispozici dvě různé dvojce (q 1, r 1 ) a (q 2, r 2 ): a = bq 1 + r 1 a = bq 2 + r 2 Stále platí 0 r 1 < b 0 r 2 < b. Nyní rovnice odečteme a po úpravách získáváme: 0 = b(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ), kde platí b (r 1 r 2 ). Uvažujeme však, že (BÚNO) r 1 r 2 a protože zároveň platí 0 r 1 r 2 < b, musí nutně být r 1 r 2 = 0 r 1 = r 2.

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 6 Druhá část je triviální, stačí dosadit za r 1 r 2 = 0 a získáváme 0 = b(q 1 q 2 ) (kde b > 0), je nevyhnutelně q 1 q 2 = 0 q 1 = q 2. Poznámka: převody mezi číselnými soustavami. b N +, a N. Každé číslo a lze vyjádřit jednoznačným způsobem (plyne z věty o dělení se zbytkem) jako: n a = r 0 + r 1 b + r 2 b 2... = r i b i kde r i {0, 1,..., b 1} r n 0. Čísla r i se nazývají cifry čísla a a b představuje základ soustavy. (Běžně se převod realizuje s mezičlánkem přes desítkovou soustavu). Z desítkové na cílovou pak opakováním: a = (r 1 + r 2 b +... + r n b n 1 + r 0 )b... i=0 1.2 Společný dělitel, největší společný dělitel Definice 2. společný dělitel Nechť a, b Z \ {0}. Přirozené číslo d nazveme společným dělitelem čísel a, b, jestliže d a d b. Platí 1 d min{ a, b } Definice 3. NEJVĚTŠÍ společný dělitel Nechť a, b Z\{0}. Největším společným dělitelem a, b nazveme takového společného dělitele, který je největší ze všech společných dělitelů a, b. Značení největšího společného dělitele čísel a, b: NSD(a, b) = GCD(a, b) = max{ d N + : d a d b} Triviální pozorování: NSD(a, 0) = a; NSD(a, 1) = 1. Poznámka: pokud NSD(a, b) = 1 nazývají se čísla a, b nesoudělná, jinak se nazývají soudělná. Definice 4. nevlastní a vlastní dělitele nevlastní dělitele čísla a jsou čísla a a 1. Vlastní dělitele jsou všechny ostatní dělitele. Věta: NSD(a, b) existuje vždy a je určen jednoznačně. Metody, jak nalézt NSD(a, b):

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 7 1. metoda hrubé síly: zkoušíme všechny varianty (efektivnější je postup shora dolů) 2. Eukleidův algoritmus 3. kanonický rozklad 4. další... jako dvojkový NSD algoritmus apod. 1.3 Eukleidův algoritmus Pro hledání největšího společného dělitele. a, b N + a > b : a = bq 0 + r 1 ; 0 < r 1 < b b = r 1 q 1 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 2 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2 r n 2 = r n 1 q n 1 + r n r n 1 = r n q n Hledaným největším společným dělitelem je číslo r n. Tj. poslední nenulový zbytek v algoritmu. Algoritmus se sestává z konečného počtu kroků (triviální důsledek nerovností uvedených napravo: 0 < r n < r n 1... < r 1 < b) Zároveň platí: NSD(a, b) = NSD(b, r 1 ) = NSD(r 1, r 2 ) =... = NSD(r n 1, r n ) = r n 1.3.1 Příklady na Eukleidův algoritmus Tato sekce na přednášce nebyla... Příklad 1: NSD(19043, 21509) =? 1) V E.A. si zapíši na první řádek čísla, pro která hledám NSD, (vyšší je první) a vypočtu zbytek po jejich dělení (značí se (a mod b)): dělenec dělitel zbytek 21509 19043 2466 2) Nyní si na další řádek přepíšu do prvního sloupečku dělitel z předchozího řádku a do druhého sloupečku zbytek po dělení z předchozího řádku. Opět vypočtu jejich

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 8 zbytek po dělení. Tento postup rekurzivně opakuji, dokud se v posledním sloupečku neobjeví nula. dělenec dělitel zbytek 21509 19043 2466 19043 2466 1781 2466 1781 685 1781 685 411 685 411 274 411 274 137 274 137 = NSD(21509, 19043) 0 Ve druhém sloupečku posledního řádku je hledaný nejvyšší společný dělitel čísel a, b. Příklad 2: NSD(408, 453) =? NSD(19043, 21509) = 137 Opět pozor na to, že první sloupeček musí začínat vyšším ze dvou čísel! dělenec dělitel zbytek 453 408 45 408 45 3 45 3 3 3 3 = NSD(408, 453) 0 Tedy hledaný NSD(408, 453) = 3. Příklad 3: NSD(401, 340) =? dělenec dělitel zbytek 401 340 61 340 61 35 61 35 26 35 26 9 26 9 8 9 8 1 8 1 = NSD(401, 340) 0 Tedy hledaný NSD(401, 340) = 1. Pozn.: čísla 401, 340 jsou tedy nesoudělná, což Eukleidův algoritmus nijak neovlivní. 1.4 Další algoritmy nalezení NSD Dvojkový NSD algoritmus vychází z následujících identit:

NSD(a,b) 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 9 1. nechť a, b jsou sudá čísla, pak NSD(a, b) = 2 NSD( a 2, b 2 ) 2. nechť a je sudé číslo a b je liché, pak NSD(a, b) = NSD( a 2, b) 3. nechť a, b jsou lichá čísla, pak NSD(a, b) = NSD( a b, b) = NSD( a b 2, b) (vychází z a + b = c, kde d a d c d b) Tyto operace opakujeme, dokud nedostaneme případ NSD(1, a) nebo NSD(a, a) (či NSD(0, a) a podobně). Vlastnosti NSD 1. d a d b NSD( a d, b d ) = NSD(a,b) d 2. NSD(ka, kb) = k NSD(a, b); k N + 3. a, b N + ; a = a 1 NSD(a, b); b = b 1 NSD(a, b) a navíc platí 1 = NSD(a 1, b 1 ) Protože můžeme na dělitelnost nahlížet jako na relaci uspořádání (stejně jako můžeme nahlížet například na a b), lze si situaci vyjádřit graficky (Vennovými diagramy). a 1 b 1 a b 1.5 Bezoutova rovnost Nechť a, b N +. Potom NSD(a, b) = min{ax + by > 0 x, y Z}. Důsledek: x 0, y 0 Z taková, že NSD(a, b) = ax 0 + by 0 Tvrzení: platí (ax 0 + by 0 ) (ax + by); x, y Z Z věty o dělení se zbytkem lze zapsat jako : ax + by = (ax 0 + by 0 )q + r, kde 0 r < (ax 0 + by 0 ). Tedy r = a(x x 0 q) + b(y y 0 q) r = 0 (ax 0 + by 0 ) (ax + by) Speciálně pak případy: x = 1; y = 0 (ax 0 + by 0 ) a x = 0; y = 1 (ax 0 + by 0 ) b Ze kterých vyplývá (ax 0 + by 0 ) NSD(a, b). Protože však zároveň NSD(a, b) (ax 0 + by 0 ) musí platit: NSD(a, b) = ax 0 + by 0

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 10 1.6 Společný dělitel více než 2 čísel Definice 5. Společný dělitel více čísel a NSD více čísel Nechť a 1, a 2,..., a n N + jsou kladná přirozená čísla. Pak d nazveme jejich společným dělitelem, pokud: d a 1 d a 2... d a n. Identicky určíme největšího společného dělitele. Ten existuje vždy a je určen jednoznačně. Poznámka: Nesoudělná čísla jsou taková čísla a 1, a 2,..., a n, pro která platí: NSD(a 1, a 2,..., a n ) = 1. Nesoudělná PO DVOU jsou taková čísla a 1, a 2,..., a n, pro která platí: i, j {1, 2,..., n}, i j NSD(a i, a j ) = 1. 1.6.1 Hledání NSD více čísel Nejdříve vezmeme první dvě čísla a spočteme jejich NSD, NSD(a 1, a 2 ) = d 2. V dalších krocích hledáme NSD(d 2, a 3 ) = d 3, NSD(d 3, a 4 ) = d 4... dokud nedostaneme poslední člen, který odpovídá: NSD(d n 1, a n ) = NSD(a 1, a 2,..., a n ). Příklad: NSD(20, 30, 15) =?: 1) d 2 = NSD(20, 30) = 10 2) d 3 = NSD(10, 15) = 5 = NSD(20, 30, 15) (a je hotovo...) 1.7 Diofantická rovnice Rovnice tvaru ax + by = c, kde a, b, c Z, kde hledáme celočíselná řešení, se nazývá diofantická. Kritérium existence řešení rovnice: rovnice tvaru ax + by = c; a, b, c Z má řešení tehdy a jen tehdy, pokud: Řešení 1) Rovnici vydělím NSD(a, b): NSD(a, b) c 1 ax + by = c / NSD(a, b) a 1x + b 1 y = c 1

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 11 nyní je zřejmé, že NSD(a 1, b 1 ) = 1, tedy mohu vyjádřit z Bezoutovy rovnosti: 1 = a 1 x 0 + b 1 y 0 Po nalezení vyhovujících x 0 a y 0 vynásobím rovnici c 1, čímž získávám partikulární řešení rovnice. V druhém kroku řeším homogenní rovnici (pravou stranu pokládám rovnu nule): a 1 x + b 1 y = 0, což vede na řešení: x (h) = b 1 t a y (h) = a 1 t, kde t Z Celkové řešení lze zapsat ve tvaru: (x, y) = (x (p), y (p) ) + (x (h), y (h) ) = (x (p) b 1 t; y (p) + a 1 t); t Z 1.8 Společný násobek Definice 6. společný násobek a nejmenší společný násobek Společným násobkem čísel a, b Z\{0} nazveme číslo D, pro které platí: a D b D Identicky pro nejmenší společný násobek (značíme NSN(a, b)), je to nejmenší ze všech společných násobků čísel a, b. Je určen vždy a jednoznačně. Platí NSN(a, b) = Odvození vztahu: ab. NSD(a,b) D... společný násobek a, b a D b D. Tedy: D = a q a = a 1 NSD(a, b) q a b 1 q 1...q a = b 1 t; t Z D = a 1 NSD(a, b)b 1 t a = a 1 NSD(a, b) b = b 1 NSD(a, b); NSD(a 1, b 1 ) = 1 D = a 1NSD(a,b)b 1 NSD(a,b) t = ab t NSN(a, b) = ab NSD(a,b) NSD(a,b) 1.8.1 Společný násobek více čísel NSD(a,b) Společný násobek čísel a 1, a 2,..., a n je takové číslo D, kde platí: D a 1 D a 2... D a n Platí, že NSD(a 1, a 2,..., a n ) existuje vždy a je určen jednoznačně. Hledání NSN více čísel:

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 12 POZOR!!! je odlišné od hledání NSN dvou čísel. Nejdříve vezmeme první dvě čísla a spočteme jejich NSN, NSN(a 1, a 2 ) = D 2. V dalších krocích hledáme NSN(D 2, a 3 ) = D 3, NSN(D 3, a 4 ) = D 4... dokud nedostaneme poslední člen, který odpovídá: NSD(D n 1, a n ) = NSN(a 1, a 2,..., a n ). 1.9 Prvočísla Definice 7. prvočíslo číslo p N \ {0, 1} nazveme prvočíslem, jestliže platí: a N + : a p (a = 1 a = p) Tedy prvočíslo má PRÁVĚ dva různé dělitele (jedničku a sebe samo, tj. má pouze nevlastní dělitele). Například: 2,3,5,7,11,13... Poznámka autora: je vhodné si definovat pro usnadnění zápisu množinu všech prvočísel, například ji lze označit jako P. Platí, že prvočísel je nekonečně mnoho (již od Eukleida). Důkaz se provádí sporem: 1) předpokládám, že jich je konečně mnoho, tj. zapíši si je do množiny P = {a 1, a 2,..., a n }. 2) uvažuji číslo vzniklé jako: x = 1 + n a i = 1 + a 1 a 2 a n i=1 3) žádné z čísel a 1 až a n není dělitelem čísla x, tedy je číslo x také prvočíslo, avšak x P, což je spor s předpokladem 1). Tedy je prvočísel nekonečně mnoho (jiných zajímavých důkazů existuje na internetu několik stovek). Poznámky: i) (Rozestupy prvočísel) kolik je prvočísel v řadě 2,...,n? Označím jako π(n) a platí: π(n) = n ln n Poznámka autora, pokud si přejete dozvědět se o tomto problému více, přečtěte si knížku Posedlost prvočísly od Johna Derbyshireho. ii) Pokud n N, tak nejmenší od 1 různý dělitel čísla n je prvočíslo a pokud je navíc číslo n složené, je dané prvočíslo n. Důkaz: první část je zřejmá ze základní věty aritmetiky, druhá část lze dokázat sporem:

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 13 Předpokládám, že existuje větší dělitel čísla n nežli n, BÚNO uvažuji dělitele D jako (nejmenší možný větší nežli n): D = n + 1 Pak nutně: k Z : n = kd = k( n + 1) Po vyjádření k (viz standardní dělení polynomů na Googlu): k = n nd = n n + 1 = n 1 + 1 n + 1 Uvědomím si, že: 1 n + 1 Z k Z Což je spor s předpokladem. iii) testování, zda je dané číslo prvočíslem lze provést prakticky výhradně hrubou silou. iv) pro nalezení prvočísel v řadě 2,...,n se využívá Erathostenovo síto: napíši si do tabulky všechny čísla od 2 do n. Vyberu první číslo (tj. 2), označím jej jako prvočíslo a vyškrtám všechny jeho násobky. Dále vezmu další neškrtnuté číslo, označím jej jako prvočíslo a vyškrtám opět všechny jeho násobky, takto rekurzivně opakuji, dokud nemám zakroužkované či vyškrtané všechny čísla. 1.10 Základní věta aritmetiky Každé přirozené číslo n > 1 lze vyjádřit pomocí součinu prvočísel. Součin prvočísel je jednoznačně definovaný až na pořadí. ( n N \ {0, 1})( {p i, α i } n i=1, p i P α i N +, i {1, 2,..., n}) (n = n i=1 p α i i ) Koeficienty α i představují násobnost prvočísla v rozkladu. Mluvíme o kanonickém rozkladu čísla n. Např. rozklad čísla 12 má tvar: 12 = 2 2 3 1.11 Některé důležité aritmetické funkce Aritmetickou funkcí rozumíme všechny funkce, jejíž definičním oborem jsou přirozená čísla. Pozn. autora: což ovšem pro horní a dolní celou část tak úplně neplatí, zde je definiční obor roven celým číslům... ale kam jinam je zařadit.

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 14 Platí: každý dělitel d čísla n > 1 je tvaru: n d = p γ i i, 0 γ i α i, i = 1, 2,..., n i=1 Platí: NSD(a, b) = n k=1 ϑζ k k Cílem je ukázat, že NSD je roven součinu všech prvočísel kanonického rozkladu čísla s minimem jejich exponentů. Uvažuji rozklady čísel a, b jako: n a = p α i i ; b = i=1 m j=1 q β j j ; p i, q j P Pak platí: ζ k = min α i,β j {α i, β j ϑ k = p i = q j } Platí: NSN(a, b) = n obou rozkladů. k=1 rψ k k Definice 8. Počet všech dělitelů čísla počet všech dělitelů čísla n značíme τ(n) a platí: n τ(n) = (α i + 1), kde ψ k je maximální exponent u stejného prvočísla i=1 Definice 9. Součet všech dělitelů čísla součet všech dělitelů čísla n značíme S(n) a platí: n p αi+1 1 S(n) = p 1 i=1 Vzoreček je odvozen ze součtu geometrické řady: n α i S(n) = ( p j i ) Další zajímavosti: i=1 i) Fermatova prvočísla jsou prvočísla tvaru: j=0 F n = 2 2n + 1; n N Tj. F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65537, žádné další Fermatovo prvočíslo nebylo dosud nalezeno. ii) Mersenova prvočísla jsou prvočísla tvaru: M n = 2 n 1 Platí, že pokud je n složené číslo, je i M n složené číslo, negace obecně nikoli.

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 15 1.11.1 Dolní a horní celá část čísla Definice 10. dolní celá část dolní celá část čísla x je nejmenší celé číslo: i) x Z ii) x x < x + 1 Definice 11. horní celá část horní celá část čísla x je nejmenší celé číslo: i) x Z ii) x 1 < x x Definice 12. lomená část lomená část čísla x je: i) {x} = x x ii) {x} [0, 1) 1.11.2 Möbiova funkce Möbiova funkce se značí µ a splňuje: i) D µ = N ii) µ(1) = 1 iii) Pokud uvažuji kanonický rozklad čísla n jako: n = k i=1 p α i i ; p i P(i = 1, 2,..., n) Pak µ(n) = 0 α i > 1, i = 1, 2,..., k nebo µ(n) = ( 1) k jinak Platí dále: a) Möbiova funkce je tzv. multiplikativní (viz dále). NSD(m, n) = 1 µ(m n) = µ(m) µ(n) b) Sumace všech hodnot Möbiovi funkce pro dělitele čísla přes všechny dělitele čísla n > 1 je rovna nule: µ(d) = 0; n N \ {0, 1} d n (Pozn. pokud bychom připustili, že n = 1, pak je sumace rovna 1 viz bod ii) Poznámka autora: Möbiova funkce není zdaleka tak akademická, jak se může jevit, viz. anglická Wikipedia.

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 16 1.11.3 Eulerova funkce Eulerova funkce (značí se ϕ) udává počet všech čísel nesoudělných s daným číslem. Platí: i) D ϕ = N + ii) ϕ(1) = 1 iii) Pokud uvažuji kanonický rozklad čísla n jako: n = k i=1 p α i i ; p i P(i = 1, 2,..., n) pak je hodnota Eulerovy funkce v bodě n rovna: Platí dále: a) p P : ϕ(p) = p 1 ϕ(n) = k i=1 b) Eulerova funkce je multiplikativní. p α i 1 i (p i 1) = k i=1 p α i p α 1 i c) Sumace všech hodnot Eulerovy funkce pro dělitele čísla přes všechny dělitele čísla n N + je rovna n: ϕ(d) = n d n 1.12 Řetězové zlomky Spadají do oblasti matematiky zvané diofantická aproximace. Řetězovým zlomkem rozumíme výraz (koneční nebo nekonečný) tvaru: q 0 + kde q 0 Z, q i N pro i = 1, 2,... q 1 + 1 q 2 + Čísla q i jsou tzv. členy řetězového zlomku. 1 1 q 3 + Číslo x vyjádřené pomocí řetězových zlomků s členy q 0 až q n můžeme zapsat též jako: x = [q 0, q 1,..., q n ] Platí: Číslo α R má ukončený rozvoj v řetězový zlomek právě tehdy, jestliže je racionální (tj. α Q).

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 17 Důkaz: triviálně, uvědomím si definici racionálního čísla x jako x = a b, a Z b N+, pak stačí řetězové zlomky vhodně sečíst a vychází právě a b. 1.12.1 Konstrukce řetězového zlomku Při konstrukci řetězového zlomku výrazu a je vhodné využít Eukleidův algoritmus v b následujícím tvaru: a = q 0 b + r 0 b = q 1 r 0 + r 1 r 0 = q 2 r 1 + r 2 r n 2 = q n r n 1 + 0 kde právě čísla q i jsou naše hledané členy řetězového zlomku. 1.12.2 Přibližný zlomek Přibližný zlomek se značí jako δ i a platí: δ 0 = q 0, δ 1 = q 0 + 1 q 1, δ 2 = q 0 + 1 q 1 + 1 q 2 Definice 13. přibližný zlomek i-tý přibližný zlomek má tvar δ i = P i Q i Kde P i je čitatel a Q i jmenovatel i-tého přibližného zlomku. Řetězový zlomek lze nejlépe zkonstruovat pomocí rekurentního vztahu: P i = q i P i 1 + P i 2 S počátečními podmínkami: P i = q i Q i 1 + Q i 2 P 1 = 1 P 0 = q 0 Q 1 = 0 Q 0 = 1 Rozdíl sousedních přibližných zlomků je roven vztahu: δ i δ i 1 = ( 1)i 1 Q i Q i 1

1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 18 Důkaz: δ i δ i 1 = P i P i 1 = P iq i 1 Q i P i 1 Q i Q i 1 Q i Q i 1 Dále je důležitý pouze čitatel (označím h i ): h i = P i Q i 1 Q i P i 1 = (q i P i 1 + P i 2 )Q i 1 P i 1 (q i Q i 1 + Q i 2 ) = = P i 2 Q i 1 P i 1 Q i 2 = ( 1)h i 1 h i = ( 1) i h 0 = ( 1) i+1 = ( 1) i 1 h 0 = P 0 Q 1 P 1 Q 0 = 1 Poznámka: přibližné zlomky konvergují rychle. Platí, že NSD(P i, Q i ) = 1. Dokazuje se indukcí: Pro první člen (platí triviálně): Uvažuji δ i 1 : δ i 1 = q 0 + δ 0 = q 0 1 + 0 = q 0 1 + 0 q 0 1 q 1 + q 2 + 1 1 q 3 + + 1 1 q i 2 + 1 q i 1 Z čehož si vyjádřím δ i : δ i 1 = P i 1 Q i 1 = q i 1P i 2 + P i 3 q i 1 Q i 2 + Q i 3 po převedení na společného jmenovatele: δ i = (q i 1 + 1 q i )P i 2 + P i 3 (q i 1 + 1 q i )Q i 2 + Q i 3 = po úpravě a dosazení: = (q i 1q i + 1)P i 2 + q i P i 3 (q i 1 q i + 1)Q i 2 + q i Q i 3 = = q i(q i 1 P i 2 + P i 3 ) + P i 2 q i (q i 1 Q i 2 + Q i 3 ) + Q i 2 = q ip i 1 + P i 2 q i Q i 1 + Q i 2 = P i Q i Pro hledání přibližných zlomků je vhodné sestavit tabulku přibližných zlomků:

2 KONGRUENCE 19 q P + q Q + i -1 0 1 2 n 1 n q i q 0 q 1 q 2 q n 1 q n P i 1 q 0 q 1 q 0 + 1 q 2 P 1 + P 0 q n 1 P n 2 + P n 3 n n 1 P n 2 Q i 0 1 q 1 q 0 + 1 q 2 Q 1 + Q 0 q n 1 Q n 2 + Q n 3 n n 1 Q n 2 Při určování hodnot se využívá již uvedených rekurentních vztahů. Tvrzení: pro α R je n-tý přibližný zlomek je nejpřesnější aproximace mezi všemi racionálními čísly, které mají jmenovatel Q n. 1.12.3 Příklady řetězových zlomků π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,...], e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...], 2 = [1, 2, 2, 2,...], 5 = [2, 4, 4,...], 10 = [4, 8, 8,...], 17 = [4, 8, 8,...] 2 Kongruence Definice 14. býti kongruentní mod m Nechť m N \ {0, 1}. Řekneme, že a, b Z jsou kongruentní dělení číslem m dávají stejný zbytek. mod m, pokud při Ekvivalentní zápisy: a b (mod m) a m b a b(m) Pokud čísla naopak nejsou kongruentní, značíme: a b (mod m) Pozor! a = b mod m je něco jiného, nežli a b (mod m) Příklady: 7 19 (mod 4) 3 = 19 mod 4 2.1 Vlastnosti relace kongruence Býti kongruentní je relace ekvivalence na Z. i) reflexivita: a a (mod m)

2 KONGRUENCE 20 ii) symetrie: a b (mod m) b a (mod m) iii) tranzitivita: a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Můžeme tedy rozdělit Z na třídy ekvivalence. 2.1.1 Ekvivalentní pojmy u kongruencí Následující pojmy jsou ekvivalentní: i) a b (mod m) ii) m (a b), což je totéž jako m (b a) iii) a = b + mt; t Z Z posledního uvedeného vyplývá, že čísla jsou kongruentní, pokud jsou posunuta o celočíselný násobek modulu. _[...] [...] _[...] [2] [m-1] _[1] [m] [0] Graficky si lze situaci znázornit jako: Z/ mod m 2.1.2 Vlastnosti kongruencí Uvažuji: a 1 b 1 (mod m), a 2 b 2 (mod m), pak: i) a 1 + a 2 b 1 + b 2 (mod m) Důkaz: triviální sečtení rovnic a 1 = b 1 + mt 1 a a 2 = b 2 + mt 2 a 1 + a 2 = b 1 + b 2 + m(t 1 + t 2 ) a 2 + a 2 b 1 + b 2 (mod m) ii) a 1 a 2 b 1 b 2 (mod m) iii) (d a 1 ) (d b 1 ) NSD(d, m) = 1: a 1 d b 1 d (mod m) Důsledky: a) obě strany kongruence lze vynásobit libovolným číslem x v Z, kde NSD(x, m) = 1. b) obě strany lze umocnit na libovolný přirozený exponent n N. c) členy z jedná strany kongruence lze převést na druhou stranu, pokud změníme znaménko.

2 KONGRUENCE 21 Vlastnosti při změně modulu: i) a b(m) ( k N + ) : ka kb(km) ii) iii) a b(m) d m a b(d) a b(m) d NSD(a, b, m) a d b d (m d ) iv) Obdobně pro více modulů. a b(m 1 ) a b(m 2 ) a b (mod NSN(m 1, m 2 )) Pomocí ekvivalence (mod m) mohu rozložit Z na m ekvivalentních tříd {[0], [1],..., [m 1]}. 2.1.3 Úplná soustava nejmenších nezáporných zbytků Značí se Z m : Z m = {0, 1, 2,..., m 1} 2.1.4 Úplná soustava absolutně nejmenších zbytků Pro m liché: Pro m sudé: Z m = { 1 m 2 Z m = { m 2,..., 1, 0, 1,..., m 1 } 2 m 2,..., 1, 0, 1,..., } 2 2.2 Redukovaná soustava zbytků mod m Libovolná (maximální) podmnožina, kterou tvoří zbytky nesoudělné s m. Značí se Z m. Kardinalita množiny: Z m = ϕ(m), kde ϕ(m) je Eulerova funkce v bodě m. Příklad: Z 5 = {1, 2, 3, 4}, Z 6 = {1, 5}. Počítání Platí: Komutativita Asociativita (mod m): a, b Z m : a + b b + a(m) a, b, c Z m : a + (b + c) (a + b) + c(m)

2 KONGRUENCE 22 Existence neutrálního prvku: 0 Z m : a Z m 0 + a a(m) Existence opačného prvku: a Z m ( a) Z m : a + ( a) = 0(m) Komutativita vzhledem k násobení: a, b Z m : ab ba(m) Asociativita vzhledem k násobení: a, b, c Z m : a(bc) (ab)c(m) Existence jednotkového prvku: 1 Z m : a Z m 1a a(m) POZOR! OBECNĚ NEEXISTUJE INVERZNÍ PRVEK: a Z m (a 1 ) Z m : aa 1 = 1(m) Ten existuje pouze pokud NSD(a, m) = 1. Distributivní zákony: a, b, c Z m : a(b + c) ab + ac(m) 2.3 Eulerova věta Nechť NSD(a, m) = 1, kde a Z \ {0}, m N + \ {1}, potom: a ϕ(m) 1(m) kde ϕ(m) je Eulerova funkce v bodě m. Důkaz Uvažuji redukovanou soustavu zbytků mod m, která má právě ϕ(m) členů: Z m = {x 1, x 2,..., x ϕ(m) } Po jejím přenásobení a získávám ekvivalentní redukovanou soustavu zbytků mod m: {ax 1, ax 2,..., ax ϕ(m) } Platí NSD(x i, m) = 1 NSD(ax i, m) = 1, dále uvažuji soustavu kongruencí: x 1 ax i1 (m)

2 KONGRUENCE 23 x 2 ax i2 (m) Po součinu všech členů:. x 2 ax iϕ(m) (m) a ϕ(m) x i1 x i2 x iϕ(m) x 1 x 2...x ϕ(m) (m) po vydělení i x i vychází hledaný výraz: a ϕ(m) 1(m) 2.3.1 Malá Fermatova věta Důsledek Eulerovy věty: p P, a N + a 2 : a p 1 1 (mod p) Všechna přirozená čísla p > 1, která splňují uvedenou rovnost, se nazývají pseudoprvočísla. Nutně se nemusí jednat o prvočísla, například 561 (561 = 3 11 17) splňuje uvedenou rovnost, byť je složené číslo, pak mluvíme o Carmichaelových číslech. 2.3.2 Miller-Rabinův test prvočíselnosti Poznámka autora. Tato sekce na přednášce nebyla. Předpokládám, že je n prvočíslo. Pak mohu n 1 zapsat jako n 1 = 2 d s, kde s je liché (tedy najdu největší mocninu dvojky (značenou jako d) v rozkladu n 1. Podmínka nutná: pokud je n prvočíslo, pak a {2, 3, 4,..., n 1} platí alespoň jedna z uvedených kongruencí: a d 1 (mod n) a 2rd 1 (mod n); r {0, 1, 2,..., s 1} Tedy pokud nalezneme takové a, pro které neplatí ani jedna z uvedených rovností, je n složené číslo. Pokud takové a nenalezneme, NEVÍME NIC (můžeme pouze říci, že a je PRAVDĚPODOBNĚ prvočíslo).

3 KONGRUENCE 1. STUPNĚ 24 2.4 Řešení kongruencí Kongruencí rozumíme výraz f(x) 0(m), kde m N m 2. Kde f(x) je polynom tvaru a 0 + a 1 x +... + a n x n, kde a i Z m m a n Cílem je nalézt všechna čísla x splňující uvedenou kongruenci. Platí: jestliže x 0 Z splňující f(x 0 ) 0(m). Potom f(x 0 + mt) 0(m), t Z. Důležité: za řešení kongruence považujeme CELOU zbytkovou třídu! Důsledky: i) Lze využít metodu hrubé síly (zkoušíme všechna čísla od 0 do m). ii) Pro kongruence stupně 1 máme efektivnější způsob. (Poznámka autora: i pro kongruence vyšších stupňů máme efektivnější metody) 3 Kongruence 1. stupně Kongruence 1. stupně a jejich řešení... obecně má kongruence prvního stupně tvar: kde a, b, m Z m 2. ax b(m) (1) Věta: nechť NSD(a, m) = 1, potom kongruence (1) má pro libovolné b právě jedno řešení ( mod m). Toto řešení je tvaru: x ( 1) n P n 1 b mod m (2) kde P n 1 představuje čitatel předposledního řetězového zlomku rozvoje čísla m a řetězový zlomek. Důkaz: Jednoznačnost řešení: x 1, x 2 Z ax 1 b(m) ax 2 b(m) Odečtu obě kongruence: v a(x 1 x 2 ) 0(m) m a(x 1 x 2 ) NSD(a, m) = 1 m (x 1 x 2 ) Tedy je řešení jednoznačné. Platí: Pn Q n = m a δ n δ n 1 = ( 1)n+1 Q n Q n 1 P n Q n 1 P n 1 Q n = ( 1) n+1, z čehož získávám

3 KONGRUENCE 1. STUPNĚ 25 pokud uvažuji tuto rovnici mod m: mq n 1 P n 1 a = ( 1) n+1 P n 1 a ( 1) n+1 (m) což přenásobím ( 1) n+1 b: (P n 1 ( 1) n b)a b(m) Poznámka: Další řešení lze získat z Eulerovy věty: NSD(a, m) = 1 a ϕ(m) 1(m) ax b(m)/a ϕ(m) 1 x a ϕ(m) 1 b(m) 3.1 Souvislost kongruence 1. stupně s diofantickou rovnicí Tato sekce na přednášce nebyla, jedná se o poznámku autora. Protože mohu zapsat kongruenci (1) ekvivalentně jako: k Z : b = km + ax, b, k, m, a, x Z Mohu také diofantickou rovnici: ax + by = z zapsat jako kongruenci (BÚNO předpokládám b > a a že diofantická rovnice má řešení): ax z(b) což může podstatně urychlit její řešení (hledání čitatele řetězového zlomku je rychlejší nežli zpětných chod Eukleidova algoritmu). Svůj význam v daném případě mají i jmenovatele předposledního řetězového zlomku, platí pak: x = [( 1) n P n 1 z mod b] + k b y = [( 1) n 1 Q n 1 z mod a] + k a

4 SOUSTAVY KONGRUENCÍ PRVNÍHO STUPNĚ 26 3.2 Obecné kongruence Uvažuji stále kongruenci tvaru (1). Platí: nechť d = NSD(a, m), potom má kongruence (1) řešení tehdy a jen tehdy, když d b, v tomto případě má kongruence právě d mod m nekongruentních řešení. Tato řešení jsou tvaru: x m x 0 x m x 0 + m 0 x m x 0 + 2m 0... x m x 0 + (m 1) m 0 kde m 0 = m/b a x 0 představuje řešení kongruence: x 0 a d b d (mod m d ) 4 Soustavy kongruencí prvního stupně Mějme soustavu: x b 1 (m 1 ) x b 2 (m 2 ) x b k (m k ) (3) kde i, j, i j : NSD(m i, m j ) = 1 (tj. moduly jsou nesoudělné po dvou). Poznámka: obecné a i x b i (m i ) mohu převést na tvar (3) vyřešením dílčích kongruencí. 4.1 Čínská věta o zbytcích Využívá se pro vyřešení soustav kongruencí 1. stupně. Platí: soustava (3) má právě jedno řešení pro libovolné pravé strany b 1, b 2,..., b k. Toto řešení je tvaru: x x 0 (M) kde x 0 = M = k i=1 m i k M i M i b i i=1 M i = M m i a M i je takové, že řeší kongruenci: M i M i 1(m i ) Důkaz:

4 SOUSTAVY KONGRUENCÍ PRVNÍHO STUPNĚ 27 1) x 0 vyhovuje soustavě: x 0 M i M i b i (m i ) Je evidentní, že M i M i b i nevypadne, neboť je nesoudělné s m i (viz definice výše). Tedy: x 0 b i (m i ). 2) Důkaz jednoznačnosti (sporem): y 0 Z takové, že y 0 b 1 (m 1 ) y 0 b 2 (m 2 ) y 0 b k (m k ) ale zároveň platí: x 0 b 1 (m 1 ) x 0 b 2 (m 2 ) x 0 b k (m k ) Z tranzitivity relace býti kongruentní plyne: y 0 x 0 (M) Tedy jsme dostali spor, a tedy existuje pouze jedno řešení x 0. V praxi se soustavy kongruencí využívají při aritmetice velkých čísel. 4.1.1 Aritmetika velkých čísel Vyjádřím si modulární reprezentaci čísla a v k nesoudělných modulech m 1, m 2,..., m k, kde m i 2 0 a < M = k i=1 m i: a i = a mod m i pak a = (a 1, a 2,..., a k ) nazýváme modulární reprezentací čísla a. Vlastnosti modulární reprezentace: Pokud a = (a 1, a 2,..., a k ) a b = (b 1, b 2,..., b k ) je modulární reprezentace čísel a, b, pak: 1) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a k + b k ) 2) a b = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a k b k ) Výstup pak získáme z Č.z.v. Obvykle volíme moduly tvaru 2 n 1. 4.2 Zobecněná varianta řešení soustavy kongruencí Předpokládám soustavu: x b 1 (m 1 ) x b 2 (m 2 ) x b k (m k ) (4) Platí, že soustava (4) má řešení tehdy a jen tehdy, pokud i j : NSD(m i, m j ) (b i b j ) (tj. NSD dělí b i b j ).

5 ÚVOD DO ALGEBRY 28 V tomto případě platí: jsou-li d 1, d 2,..., d k přirozená čísla taková, že d i m i a i j : NSD(d i, d j ) = 1 a k i=1 = NSN(m 1, m 2,..., m k ) a jsou-li c 1, c 2,..., c k N taková, že platí c i 0( M d i ) c i 1(d i ), kde M = NSN(m 1, m 2,..., m k ), potom: je jediným řešením soustavy (4). x k c i b i mod M i=1 5 Úvod do algebry Připomenutí základních pojmů: A B je kartézský součin množin A a B: A B = {(a, b) a A, b B} kde (a, b) představuje uspořádanou dvojici. Druhá kartézská mocnina: A 2 := A A Definice 15. binární relace binární relace na A je libovolná podmnožina A 2. 5.1 Vlastnosti relací: i) reflexivní: a A : (a, a) R i.a) antireflexivní (též ireflexivní): a A : ((a, a) R) ii) symetrická: a, b A 2 : (a, b) R (b, a) R iii) antisymetrie: a, b A 2 : (a, b) R (b, a) R a = b iv) tranzitivní: a, b, c A 2 : (a, b) R (b, c) R (a, c) R Důležité: 1) Každá relace, která je zároveň reflexivní, symetrická a tranzitivní se nazývá ekvivalence. 2) Každá relace, která je zároveň reflexivní, antisymetrická a tranzitivní se nazývá uspořádání. 5.2 Zobrazení Mějme množiny A, B, zobrazením f množiny A do množiny B rozumíme: f : A B x A, y B : y = f(x)

5 ÚVOD DO ALGEBRY 29 ekvivalentně též: (a, b) f Operace na množině A : ω... n-ární operace na A: ω : A n A (a 1, a 2,..., a n ) ω(a 1, a 2,..., a n ) Pro n = 2 mluvíme o binární operaci na množině A. Používáme buď multiplikativní zápis ( ) nebo aditivní zápis (+). a b (a, b) a b Pro n = 1 mluvíme o unární operaci. Například: : A A a a 5.2.1 Uzavřenost vzhledem k operaci Pokud je binární operace na A, pak řekneme, že je uzavřená na B, pokud: Příklady: B A : b 1, b 2 B : b 1 b 2 B Množina (N, +) je uzavřená (přirozená čísla a operace sčítání). Množina (N 2N, +) není uzavřená (lichá přirozená čísla a sčítání). Stačí vzít 3+3 = 6 což není liché... 5.2.2 Vlastnosti binárních operací Mějme binární operaci : : A 2 A pak mluvíme o: i) asociativitě, pokud a, b, c A : a (b c) = (a b) c ii) komutativitě, pokud a, b A : a b = b a iii) idempotenci, pokud a A : a a = a iv) existenci neutrálního prvku, pokud e A : a A, a e = a

6 GRUPY 30 v) existenci symetrického prvku, pokud a A a 1 A : a a 1 = e Příklady: neasociativní je například střed úsečky. Nekomutativní je například násobení matic. Bez neutrálního prvku je například maximum/minimum na celých číslech. V případě symetrického prvku mluvíme o nulovém prvku (0) při aditivním zápise a jednotkovém prvku (1) při multiplikativním zápise. Platí: každá binární operace má nanejvýš jeden neutrální prvek. Důkaz: sporem, předpokládám, že e 2, e 2 jsou různé neutrální prvky, potom ale: e 1 = e 1 e 2 = e 2 Což je spor, tedy existuje pouze jeden neutrální prvek. 5.2.3 Symetrický prvek a symetrizovatelnost Nechť a A a e je neutrální prvek. Řekneme, že prvek a je symetrizovatelný, pokud a A takový, že a a = e. V konkrétních aplikacích mluvíme o: a... opačném prvku v případě aditivním a 1... inverzním prvku v případě multiplikativním Platí: nechť je asociativní operace s neutrálním prvkem. Potom ke každému prvku existuje nejvýše jeden prvek symetrický. Navíc platí: pokud a, b jsou symetrické prvky k a, b, potom prvek a b je symetrizovatelný a symetrický prvek je b a. Důkaz: důkaz jednoznačnosti inverzního prvku (sporem). Předpokládám, že a má inverzní prvky a 1 a a 2, potom: a 1 = a 1 e = a 1 (a a 2 ) = (a }{{} 1 a) a }{{} 2 = e a 2 = a 2 e e Což je spor s předpokladem, tedy existuje pouze jeden inverzní prvek. Důkaz druhého vztahu: (a b) (b a) = a (b b) a = (a e) a = a a = e }{{}}{{} e a 6 Grupy Zavedl Évariste Galois (25. října 1811, Bourg-la-Reine 31. května 1832, Paříž)...

6 GRUPY 31 Nechť G je neprázdná množina s operací, o grupě mluvíme, pokud: 1) a, b, c G : (a b) c = a (b c) 2) e G a G : e a = a 3) a G a G : a a = e Pokud navíc platí: 4) a, b G : a b = b a mluvíme o komutativní grupě nebo též Abelově grupě. U grup používáme zápisy: (G, )... pro multiplikativní zápis (G, +)... pro aditivní zápis Definice 16. řád grupy řád grupy představuje počet prvků grupy, značí se: ord G = G Grupy se takto dělí na konečného řádu a nekonečné. Příklady grup: (Z m, +)... sčítáme mod m (Z p, )... násobení mod p, kde p P (tj. je prvočíslo) (Z m, )... násobení na redukované soustavě zbytků mod m 6.1 Podgrupa Nechť (G, ) je grupa. Potom H G, jestliže platí: i) 1 H ii) h 1, h 2 H : h 1 h 2 H iii) h H h 1 H Zapisujeme jako H G nebo též (H, ) (G, ) 6.1.1 Třídy grupy podle podgrupy Mějme grupu (G, ) a její podgrupu (H, ) (G, ), definujme relaci následovně: Platí: i) relace je ekvivalence ii) g G; [g] = g H = {g h h H} iii) g 1, g 2 G : [g 1 ] = [g 2 ] g 1, g 2 G : g 1 g 2 g 1 1 g 2 H

6 GRUPY 32 V podstatě tak provádíme rozklad grupy G dle podgrupy H. Značíme jako G/H. Index podgrupy je [G : H]... index podgrupy H v grupě G. Je roven počtu tříd ekvivalence rozkladu G / H Celou situaci si lze graficky představit obdobně jako rozklad mod m: G/ _ H [g] [g] = g H [1] [1] = 1 H = H 6.1.2 Věta (Lagrange) Nechť (G, ) je konečná grupa a (H, ) její podgrupa, potom platí G = [G : H] H 6.1.3 Některé pojmy V případě grupy (G, ) mluvíme o G jako o nosiči grupy a o jako o binární operaci. Zápis v aditivním případě: místo symbolu ( a) používáme standardně a: a + ( a) = a a Zavedení pojmů a m a m a: Při multiplikativním zápisu a (G, ): 1 pro m = 0 a a m } a {{ a} pro m N + = m krát a} 1 a 1 {{ a 1 } pro m Z \ N m krát Při aditivním zápisu a (G, +) (operace není operací grupy): 0 pro m = 0 } a + a + {{ + a } pro m N + m a = m krát a } + a {{ + + a } pro m Z \ N m krát

6 GRUPY 33 6.2 Cyklické grupy Nechť (G, ) je grupa a g 0 G je prvek grupy, potom množinu generovanou prvkem grupy značíme g 0 : { } g 0 = g0 m m Z a o g 0 mluvíme jako o generátoru množiny. Platí: g 0 G g, g g 0 g g g 0 1 g 0 g 1 g 0 ( g 0, ) Tedy ( g 0, ) je skutečně grupa, říkáme, že ( g 0, ) je cyklická podgrupa grupy G generovaná prvkem g 0, tj. generátorem. Definice 17. Cyklická grupa Grupu G nazveme cyklickou, jestliže g 0 G takový, že G = g 0. Při aditivním (G, +) zápisu používáme definici: g 0 = {m g 0 m Z} 6.2.1 Příklady cyklických grup Celá množina Z vůči operaci sčítání i násobení: Pro množinu Z m vůči operaci sčítání: 1 = (Z, +) = {m 1 m Z} 1 = (Z, ) = {m ( 1) m Z} (Z m, +) = 1 = k, k N +, NSD(k, m) = 1 (Z 5, +) = 1 = 2 = 3 = 4 (Z 6, +) = 1 = 5 Definice 18. Nevlastní a vlastní podgrupy Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je vlastně zároveň triviální grupou). Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální). Pro (Z, +) platí, že (mz, +) pro m 2 tvoří jediné vlastní podgrupy (Z, +), tj. m N, m 2 : (mz, +) (Z, +). Například (2Z, +) představuje všechna sudá čísla.

6 GRUPY 34 Pokud provedeme rozklad grupy (Z, +) podle (mz, +), tj. Z / mz : k l k + l m Z l k m Z Tak získáváme standardní Z m 6.2.2 Základní vlastnosti cyklických grup 1) Všechny cyklické grupy jsou Abelovské (tj. komutativní). 2) Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická 3) Pokud G = g 0 a G = k, tj. řád grupy G je roven k. Potom g 0 = {g 0, g 2 0, g 3 0,..., g k 1 0, g k 0 = g 0 0 = 1} představuje všechny různé prvky grupy ( g 0, ) Platí, že G = g 0 = g r 0, kde NSD(k, r) = 1 4) Každá grupa prvočíselného řádu je cyklická. Což plyne z Lagrangeovi věty: G = [G : H] H kde je zřejmé, že řád libovolné podgrupy dělí řád grupy. 5) Každá nekonečná cyklická grupa je izomorfní s grupou (Z, +) 6) Každá cyklická grupa řádu m je izomorfní s grupou (Z m, +) 6.3 Symetrické grupy Jsou důležité grupy v oblasti kombinatorických metod. Symetrická grupa = množina všech permutací na množině. Definice 19. Permutace na množině permutace na množině X = {1, 2,..., N} je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny X na X. Obvykle značíme řeckými písmeny π, ϱ, τ, σ... Značení vzájemné jednoznačnosti: X 1 1 X {1, 2,..., N} 1 1 {1, 2,..., N} Permutace π můžeme definovat jako (tzv. dvouřádkový zápis): ( ) 1 2 3 n π = π(1) π(2) π(3) π(n)

6 GRUPY 35 6.3.1 Množina všech permutací a operace na ní Množinu všech permutací na n prvkové množině značíme S n. Platí: S n = n! Na množině S n se zavádí operace násobení permutací (jedná se o skládání zobrazení). ( ) ( ) 1 2 3 n 1 2 3 n π = ϱ = π(1) π(2) π(3) π(n) ϱ(1) ϱ(2) ϱ(3) ϱ(n) Pokud se násobí (π ϱ)(x), uvažuje se permutace ϱ(π(x)), skládání probíhá odzadu!!! ( ) 1 2 3 n π ϱ = ϱ(π(1)) ϱ(π(2)) ϱ(π(3)) ϱ(π(n)) Násobení permutací splňuje tyto vlastnosti: 1) Je asociativní: π, ϱ, τ S n : (π ϱ) τ = π (ϱ τ) 2) Existuje jednotkový prvek (identická permutace) Id n S n : ( ) 1 2 3 n Id n = 1 2 3 n 3) Ke každé permutaci existuje inverzní permutace: π S n Inverzní permutaci mohu nalézt jako: ( ) 1 2 3 n π = π(1) π(2) π(3) π(n) π 1 S n : ππ 1 = π 1 π = Id π 1 = ( π(1) π(2) π(3) ) π(n) 1 2 3 n Poznámka: při zavedení permutace dvouřádkovým zápisem nezáleží na pozici jednotlivých sloupců! Například: ( ) ( ) 1 2 3 4 5 3 4 2 1 5 π = = 2 3 4 1 5 4 1 3 2 5 Z vlastností 1), 2), 3) je zřejmé, že (S n, ) tvoří symetrickou grupu na n prvkové množině. 6.3.2 Zápis permutace pomocí cyklů Definice 20. Cyklus (permutace) Nechť π S n : řekneme, že π je cyklus délky k, jestliže existuje {i 1, i 2,..., i k } {1, 2, 3,..., n} taková, že: i) j {1, 2,..., k 1}: π(i j ) = i j+1 π(i k ) = i 1 ii) j {1, 2,..., n} \ {i 1, i 2,..., i k }: π(j) = j

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 36 Definice 21. Transpozice Transpozice představuje cyklus délky 2. Platí: každou permutaci lze zapsat ve tvaru součinu disjunktních cyklů. Součin disjunktních cyklů je komutativní. Příklad: π = ( ) 1 2 3 4 5 = (1, 2, 3, 4)(5) = (1, 2, 3, 4) 2 3 4 1 2 Platí: každý cyklus lze zapsat ve tvaru součinu transpozic. Znaménko permutace je počet transpozic rovno ( 1) 6.3.3 Sudé a liché permutace Pokud permutaci π rozložíme na součin transpozic, pak mluvíme o: SUDÉ permutaci pokud je počet transpozic sudý (tj. včetně nuly) LICHÉ permutaci pokud je počet transpozic lichý Platí: každá permutace je buď sudá, nebo (výlučně) lichá. Při skládání permutací má výsledná permutace paritu (identicky jako při sčítání přirozených čísel): lichá lichá = lichá lichá sudá = sudá lichá = lichá sudá sudá = sudá Definice 22. Alternativní grupa Alternativní grupa je grupa všech sudých permutací a představuje podgrupu všech permutací (S n, ). 7 Algebry se dvěma operacemi V této části se sledují struktury: okruh obor integrity těleso. 7.1 Okruh Mějme množinu R, která je nosič okruhu. Dále mějme na množině R dvě binární operace a, potom (R,, ) tehdy a jen tehdy, pokud: 1) (R, ) představuje Abelovu grupu (tj. komutativní grupu). 2) (R, ) představuje monoid. Monoid (R, ) je definován jako:

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 37 a) a, b, c R : (a b) c = a (b c) b) ɛ R a R : ɛ a = a 3) Platí distributivní zákony: i) a, b, c R : (a b) c = a c b c ii) a, b, c R : c (a b) = c a c b Vzhledem k faktu, že algebra není vzhledem k operaci komutativní, je třeba uvádět oba distributivní zákony. Příklady: Celá čísla (Z, +, ), celá čísla mod m (Z m, +, ), čtvercové matice vzhledem k operaci sčítání a násobení (M n, +, ) Komplikace: například na (Z 6, +, ) mohou existovat vlastní dělitele nuly. Definice 23. Dělitel nuly, vlastní a nevlastní Nechť (R, +, ) je okruh, řekneme, že prvek a R je dělitel nuly, jestliže b R takové, že a b = 0. Pokud je b = 0, říkáme děliteli nevlastní. Pokud je b 0, říkáme děliteli vlastní. Poznámka: 0 a = a 0 = 0, důkaz: 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a = 0 = a 0 7.2 Obor integrity Říkáme, že R je nosič oboru integrity (R,, ) tehdy a jen tehdy, pokud: 1) (R,, ) je komutativní okruh. Tedy navíc a, b R : a b = b a 2) Neobsahuje vlastní dělitele nuly, tj. a R : a b = 0 b = 0 Příklady: (Z, +, ) je Eukleidovský obor integrity. (Z p, +, ) kde p P (p je prvočíslo) je obor integrity. ALE: (Z 6, +, ) není obor integrity, neboť 3 2 = 0, což je spor s axiomem 2) Definice 24. Eukleidovský obor integrity Říkáme, že (R, +, ) je Eukleidovský obor integrity, tehdy a jen tehdy, jestliže je oborem integrity, ve kterém platí věta o dělení se zbytkem. 7.3 Tělesa Definice 25. Těleso T je nosič tělesa a, jsou binární operace. Říkáme, že množina (T,, ) je těleso, jestliže: 1) (T, ) je Abelova grupa 2) (T, ) je Abelova grupa

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 38 3) Platí distributivní zákon a, b, c T : (a b) c = a c b c Příklady: (Z p, +, ), kde p P je těleso. ALE POZOR: (Z, +, ) není těleso (neexistuje inverzní prvek vzhledem k násobení pro čísla větší než jedna). Další příklady: reálná čísla R, racionální čísla Q, komplexní čísla C. Definice 26. Konečná a nekonečná tělesa Konečná tělesa jsou tělesa, která mají konečný počet prvků, například (Z p, +, ). Nekonečná tělesa nemají konečný počet prvků Q, R, C atd. Definice 27. Charakteristika tělesa Charakteristika tělesa je nejmenší přirozené číslo p takové, že: p 1 = 0 } 1 + 1 + {{ + 1 } = 0 p krát Tělesa (Z p, +, ), p P mají charakteristiku p. Tělesa C.R, Q mají charakteristiku 0 (nula). Lemma: každé těleso má prvočíselnou charakteristiku, nebo má charakteristiku nula. V této souvislosti platí: (a + b + c) p = a p + b p + c p kde a, b, c Z p, p P. (a + b + c) p a p + b p + c p pro tělesa charakteristiky 0. 7.4 Vztahy uvedených algeber Platí obecně: Těleso (T) Obor integrity (OI) Okruh (O) Tj. nejobecnější pojem je okruh, obor integrity je zároveň okru, těleso je zároveň obor integrity i okruh. 7.5 Eukleidovské obory integrity polynomů Nechť (T, +, ) je těleso, x T, potom polynomem nad tělesem T (v neurčité/neznámé x) rozumíme výraz: n a i x i i=0 kde n N a i T, i = 1, 2,..., n Definice 28. Množina všech polynomů Symbolem T [x] značíme množinu všech polynomů nad tělesem T

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 39 Definice 29. Stupeň polynomu Stupeň polynomu f(x) se značí symbolem st f(x) nebo ekvivalentně (z anglické literatury) deg f(x) a představuje nejvyšší mocninu, která se v polynomu vyskytuje s nenulovým koeficientem. Platí: st (0) = 1 tedy stupeň polynomu rovného nule je roven -1 Platí: k R \ {0}, st (k) = 0 tedy stupeň konstantního polynomu je roven jedné Příklady: 1) f(x) = x 7 + 2x + 0 pak st f(x) = 7 2) g(x) = 9x + 4 pak st g(x) = 1 Definice 30. Hodnota polynomu v bodě hodnota polynomu f(x) T [x] v bodě c T je rovna číslu: f(c) = n c i a i i=0 Operace sčítání a násobení polynomu: f(x), g(x) T [x] a nechť: f(x) = n i=0 = a ix i a dále g(x) = m i=0 b ix i Sčítání polynomů: f(x)+g(x) = max m,n i=0 (a i +b i )x i, platí: st (f(x)+g(x)) max m, n Platí, že (T [x], +) tvoří Abelovu grupu. Násobení polynomů: f(x) g(x), platí st (f(x) g(x)) = st f(x) + st g(x) f(x) g(x) = m+n i=0 c i x i c i = i a k b i k k=0 Platí, že (T [x], ) tvoří monoid (komutativní, pokud je T komutativní) Definice 31. Kořen polynomu Kořenem polynomu (též nulovým bodem polynomu) rozumíme c T pro které f(c) = 0. 7.5.1 Věta o dělení polynomu se zbytkem Nechť f(x), g(x) T [x], kde T je Eukleidovský obor integrity. Platí, že st f(x) st g(x), potom existují jediné polynomy q(x), r(x) T [x] takové, že f(x) = g(x) q(x) + r(x), kde st r(x) < st g(x). To samé symbolicky: f(x), g(x) T [x], deg g(x) deg f(x)!q(x), r(x) T [x] : f(x) = q(x) g(x)+r(x)

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 40 Analogicky jako na oboru integrity celých čísel zavádíme následující pojmy: a) Řekneme, že g(x) T [x] je dělitelem f(x) T [x], pokud existuje q(x) T [x] takový, že f(x) = q(x) g(x), symbolicky: g(x), f(x) T [x] : g(x) f(x) q(x) T [x] : f(x) = g(x) q(x) nevlastní dělitel stupně 0 není určen jednoznačně b) společný dělitel a NSD(f(x), g(x)), NSD rozumíme monický polynom nejvyššího stupně (definice je zřejmá). Monický polynom je polynom stupně n, kde a n = 1 (tj. člen u nejvyšší mocniny je jednička). c) společný násobek a nejmenší společný násobek (definice zřejmá). Pro NSN platí opět vztah: f(x) g(x) NSN(f(x), g(x)) = NSD(f(x), g(x)) 7.5.2 Nalezení NSD polynomů K nalezení NSD(f(x), g(x)) se využívá Eukleidův algoritmus nebo rozklad na ireducibilní polynomy. Definice 32. Ireducibilní polynom Řekneme, že f(x) T [x] je ireducibilní polynom nad T, jestliže polynom f(x) nelze vyjádřit ve tvaru součinu 2 polynomů zt [x] stupně ostře menšího než stf(x). Platí: f(x)t [x] ireducibilní f(x) = f 1 (x)f 2 (x) st f 1 (x) = st f(x) st f 2 (x) = st f(x) Platí: i) Polynomy stupně jedna jsou vždy ireducibilní (bez ohledu na T ) ii) Platí, že c T je kořenem polynomu f(x) T [x] právě tehdy, když f(x) = (x c)g(x) + r(x), kde st r(x) < st (x c) = 1 nebo je r(c) rovno nule. Důkaz: směr : (x c) f(x). Směr triviálně f(x) = (x c)q(x). iii) Polynom f(x) T [x], kde st f(x) je 2 nebo 3, je ireducibilní na T, právě tehdy, když nemá kořeny. Pozor: to, jestli má daný polynom kořeny záleží na tělese T. Příklad: x 2 + 1 = 0 je ireducibilní v R, ale není ireducibilní v C. 7.5.3 Ireducibilita nad R Definice 33. Základní věta algebry Je-li f(x) polynom stupně n nad C, potom f(x) má v tělese C právě n kořenů, včetně jejich násobnosti.

7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 41 Důsledek (komplexně sdružený kořen je také kořenem): f(x) R[x], x 0 C \ R, f(x 0 ) = 0 f(x 0 ) = 0 Platí: ireducibilní polynomy nad R jsou právě všechny polynomy prvního stupně a všechny polynomu druhého stupně, které mají záporný diskriminant. Tedy pouze a jenom: f(x) = ax + b, a 0 a g(x) = ax 2 + bx + c, kde b 2 4ac < 0. Všechny polynomy f(x) R[x] lze zapsat ve tvaru: f(x) = a n k (x α i ) ni i=1 l (x 2 + p j x + q j ) m j kde α i představuje všechny různé kořeny v R a m i představuje jejich násobnosti (pro i = 1, 2,..., k) Dále platí: i) i {1, 2,..., l} : p i 4q i < 0 ii) k i=1 n i + 2 l i=1 m i = n 7.5.4 Ireducibilita nad C Pro f(x) C[x], st f(x) = n N + platí důsledek základní věty algebry, tedy f(x) lze zapsat jako: k f(x) = a n (x α i ) n i i=1 Kde α i C jsou všechny různé kořeny polynomu f(x) a n i je násobnost kořene α i (pro i = 1, 2,..., n). Platí: ireducibilní polynomy nad C jsou právě všechny polynomy stupně jedna. j=1 7.6 Ireducibilita nad Z p Existenční věta o ireducibilních polynomech nad Z p : Nechť p je libovolné prvočíslo a n N +, potom existuje polynom stupně n, který je ireducibilní nad Z p. Vyvstává netriviální otázka, jak generovat ireducibilní polynomy nad (Z p, +, ). Na Z p [x] se zavádí relace býti kongruentní mod q(x), kde q(x) Z p [x] je ireducibilní polynom. Definice 34. Býti kongruentní mod q(x) q(x) Z p [x] je ireducibilní polynom (p P). Pak platí: f(x) g(x) (mod q(x)) q(x) (f(x) g(x)) kde f(x), g(x) Z p [x]